M a t h e m a t i k k l a u s u r Nr Hj Gk M 11

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Katarina Otto
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1 M a t e m a t i k k l a u s u r Nr. 2. Hj Gk M Aufgabe a) Gegebe sid die Pukte B ( /0), S ( 2/3) ud S 2 (6/9). Bestimme Sie die Gleicug des Kreises, auf dem diese drei Pukte liege. Gebe Sie die Koordiate des Kreismittelpuktes M ud de Radius r des Kreises a. (Ergebis: Kreisgleicug (x 2) 2 + (y 6) 2 25 ) b) Bestimme Sie die Gleicug der Tagete t, die de Kreis im Pukt B ( /0) berürt. c) Gegebe ist die Gerade g(x) 3 4 x Bestimme Sie die Koordiate der Scittpukte des Kreises mit dieser Gerade. d) Zeice Sie i ei Koordiatesystem de Kreis, die Tagete t, die Gerade g ud das Dreieck mit de Eckpukte ud ei. B, S S 2 e) Weise Sie ac,dass das Dreieck B,S,S 2 gleicsceklig ud rectwiklig ist. Berece Sie de Fläceialt des Dreiecks. Aufgabe 2 Die beide erste Klassearbeite eies Halbjares im Fac Matematik wurde folgedermaße bewertet:. Arbeit ser gut gut befriediged ausreiced magelaft ugeüged 2 x 7 x 2 x 6 x 4 x x 2. Arbeit ser gut gut befriediged ausreiced magelaft ugeüged 4 x 3 x 5 x 7 x x 2 x a) Zeice Sie für die Noteverteilug ei Säulediagramm, das beide Klassearbeite erfaßt. b) Berece Sie für beide Klassearbeite die Durcscittsote ud die mittlere lieare Abweicug vo ir.

2 Aufgabe 3 Vo 5 Persoe werde die Körpergröße ud das Gewict gemesse. Ma erält die folgede Tabelle. Größe x Gewict y Bestimme Sie zu diese Werte die Regressiosgerade. Zeice Sie die Meßwerte mit der Regressiosgerade i ei Koordiatesystem. Aufgabe 4 Bestimme Sie die Gleicug der Tagete a) a de Grape der Fuktio f(x) x 3 im Pukt P (/) b) a de Grape der Fuktio f(x) x im Pukt P (4/2)

3 L ö s u g e Aufgabe a) Die allgemeie Kreisgleicug lautet: (x x M ) 2 + (y y M ) 2 r 2 Durc Eisetze der Koordiate der drei gegebee Pukte erält ma: ( x M ) 2 ( 2 x M ) 2 (6 x M ) (0 y M ) 2 (3 y M ) 2 (9 y M ) 2 r 2 r 2 r 2 ( ) ( ) ( ) ( x M ) 2 + (0 y M ) 2 ( 2 x M ) 2 + (3 y M ) 2 ( 2 x M ) 2 + (3 y M ) 2 (6 x M ) 2 + (9 y M ) 2 x 2 M + 2 x M + + y 2 M 2 y M + 00 x 2 M + 4 x M y 2 M 6 y M + 9 x 2 M + 4 x M y 2 M 6 y M + 9 x 2 M 2 x M y 2 M 8 y M x M 20 x M x M 6 y M x M 6 y M x M 8 y M x M + 4 y M x M + 2 y M 04 : 4 4 x M + 28 y M 76 4 x M + 3 y M 26 ( ) 25 y M 50 y M 6 i ( ) 4 x M x M 8 x M 2 i ( ) (6 2) 2 + (9 6) 2 r r 2 r 2 25 r 5 Die Koordiate des Kreismittelpuktes laute: Der Kreis at de Radius r 5 LE M (2 / 6)

4 Aufgabe b) m M,B y M y B x M x B ( ) Da die Tagete, die de Kreis im Pukt B berürt, sekrect zum Radius r M,B stet, gilt für ire Steigug: m t m M,B 3 4 Die Koordiate des Puktes B ( / 0) müsse die Tagetegleicug erfülle. Folglic gilt: m t x + b t(x) 3 4 ( ) 0 b Die Tagetegleicug lautet: t(x) 3 4 x Aufgabe c) g(x) 3 4 x : y Durc Eisetze i die Kreisgleicug erält ma: (x 2) 2 + ( 3 4 x ) 2 25 (x 2) 2 + ( 3 4 x 2 ) 2 25 x x x2 9 4 x x x x x x 2 4 x 2 x 2 4 x x 2 ± 4 x 6 x

Fortsetzug vo Aufgabe c) g(x ) g(6) 3 4 6 + 4 2 8 2 9 g(x 2 ) g( 2) 3 4 ( 2) + 4 2 6 2 3 Die

5 Fortsetzug vo Aufgabe c) g(x ) g(6) g(x 2 ) g( 2) 3 4 ( 2) Die Scittpukte des Kreises mit der Gerade abe die Koordiate S (6 / 9) ud S 2 ( 2 / 3) Aufgabe d)

6 Aufgabe e) M (2 / 6) g(2) Da M g ist, gilt: Die Strecke S S 2 ist ei Durcmesser des Kreises; d.. S S 2 2 r 0 LE BS (x B x S ) 2 + (y B y S ) 2 ( + 2) 2 + (0 3) BS BS 2 (x B x S2 ) 2 + (y B y S2 ) 2 ( 6) 2 + (0 9) BS Es gilt: BS BS 2 Das Dreieck BS S 2 ist also g l e i c s c e k l i g. (BS ) 2 + (BS 2 ) 2 (S S 2 ) Da der Satz des Pytagoras erfüllt ist, adelt es sic um ei r e c t w i k l i g e s D r e i e c k. Die Rectwikligkeit des Dreiecks ka auc mit Hilfe des Talessatzes acgewiese werde. Da S S 2 ei Durcmesser des Kreises ist, ud der Pukt B auf dem Kreis liegt, gilt: Der Wikel S 2 BS ist ei r e c t e r W i k e l. Außerdem ka ma die Rectwikligkeit acweise, i dem ma mit Hilfe der Steiguge zeigt, dass die Strecke BS ud BS 2 sekrect zu eiader sid. m B,S Da y B y S x B x S m BS m BS2 0 3 ( 2) 7 m BS 2 gilt, ist das Dreieck Für de Fläceialt A des Dreiecks gilt: A r e c t w i k l i g Der Fläceialt des Dreiecks beträgt A 25 FE y B y S2 x B x S

7 Aufgabe 2a) Aufgabe 2b) x H(x i ) x i 32 i Arbeit. ( ) ,875 Die Durcscittsote für die erste Arbeit beträgt x 3,875 x i Arbeit 2 H(x i ) x i 00 ( ) ,25 Die Durcscittsote für die zweite Arbeit beträgt x 3,25

8 Aufgabe 3 x y x i 5 i i ( ) y i ( ) S x,y (x i x i ) (y i y i ) i 5 [(60 70) (58 65) + (63 70) (56 65) (72 70) (64 65) + (75 70) (68 65) + (80 70) (79 65)] 5 [( 0) ( 7) + ( 7) ( 9) + 2 ( ) ] 5 [ ] ,2 S 2 x (x i x) 2 i 5 [(60 70) 2 + (63 70) 2 + (72 70) 2 + (75 70) 2 + (80 70) 2 ] 5 [ ] 5 [ ] ,6 y S x,y S 2 x x + y S x,y Sx 2 x, x 09,89209,029 x 09,829 Die Regressiosgerade at die Gleicug: y,029 x 09,892

zu Aufgabe 3 Aufgabe 4a) Berecug der Tagetesteigug f(x + ) f(x) f( + ) f() ( + ) 3 3 + 3 2 + 3 mit mit lim x f(x) x 3 folgt folgt 3 + 3 2 + 3 +

9 zu Aufgabe 3 Aufgabe 4a) Berecug der Tagetesteigug f(x + ) f(x) f( + ) f() ( + ) mit mit lim x f(x) x 3 folgt folgt lim ( ) 3 Bestimmug der Tagetegleicug m x + b t(x) Durc Eisetze der Koordiate vo P ( / ) 3 + b b 2 folgt Die Tagetegleicug lautet: t(x) 3 x 2

10 Aufgabe 4b) Berecug der Tagetesteigug f(x + ) f(x) mit x 4 folgt f(4 + ) f(4) mit f(x) x folgt lim lim ( 4 + 2) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim Bestimmug der Tagetegleicug m x + b t(x) Durc Eisetze der Koordiate vo P (4 / 2) folgt b 2 b Die Tagetegleicug lautet: t(x) 4 x +

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