2. Stationäre Wärmeleitung

Transkript

1 Sttonäre Wärmeletung Von ttonärer Wärmeletung prcht mn, fll ch de Temperturen nur mt dem Ort, jedoch ncht mt der Zet ändern Der Wärmetrom t dnn bezüglch Ort und Zet kontnt ( Q ɺ kontnt) De Wärmetromdchte knn dgegen ortbhängg en Wärmeletung durch enchchtge Wände Im Folgenden wrd de Wärmeletung n ener enchchtgen Wnd betrchtet, de entprechend Bld - l Pltte, Hohlzylnder oder Hohlkugel ugebldet en knn Drgetellt t der Fll, d Wärme von nnen nch ußen geletet wrd De Körper hben de Dcke bzw r r De Oberflächentemperturen een jewel mt T (ußen) und T (nnen) vorgegeben Für den Wärmetrom glt dt Q ɺ A dx (-) De ndbedngungen nd dnn ( x ) T bzw T ( r r ) T ( x ) T bzw T ( r r ) T T T Für den Wärmetrom ergbt ch dmt und T T T T Q ɺ A A x (-) Bld -: Sttonärer Temperturverluf n ener Pltte, enem Hohlzylnder und ener Hohlkugel

2 Bem ohr und be der Hohlkugel hängt de Fläche vom du b, o d für den Wärmetrom glt dt Q ɺ A( r) dr (-3) De Flächen betrgen bem ohr (Länge L) A ( r) π r L (-4) und be der Hohlkugel A ( r) 4 π r (-5) Dmt erhält mn u der Integrton Qɺ π L T T ln r / r T T ln r / r (-6) bzw Qɺ 4 π T / r T / r T T / r / r (-7) Dmt ergeben ch für de Temperturverläufe de folgenden Glechungen T T T T x r ln T T r T r T ln r T T T T r r r r (Pltte), (Hohlzylnder), (Hohlkugel) (-8) (-9) (-) Be der Pltte t omt der Temperturverluf lner, bem ohr proportonl ln r und be der Hohlkugel proportonl /r Au dem FOUIEchen Antz qɺ dt dx

3 3 erhält mn l Wärmetromdchte mt den Temperturgrdenten u den Glechungen (-8) b (-) qɺ ( T T ) (Pltte), qɺ ( r) ( T T ) (Hohlzylnder), r ln r r qɺ ( r) ( T T ) (Hohlkugel) r r r (-) (-) (-3) Au den Glechungen (-), (-6) und (-9) ergbt ch omt für de Wärmetröme Qɺ ( T T ) A (Pltte), Qɺ ( T T ) π L (Hohlzylnder), r ln r Qɺ ( T T ) 4 π (Hohlkugel) r r (-4) (-5) (-6) Häufg knn mn zur Berechnung de Wärmetrom durch ohrwände nttt der komplzerteren Hohlzylnderglechung (-5) de hndlchere Glechung (-4) für de Pltte verwenden In dee mu dnn de Dcke r r und de mttlere Fläche de Holzylnder A m r r π L engeetzt werden D Verhältn ϕ Qɺ Qɺ Z P (-7) gbt den Fehler n, der uftrtt, wenn mn ttt de Wärmetrom Q ɺ Z für den Zylnder näherungwee den Wärmetrom Q ɺ P für de Pltte berechnet Au den Glechungen (-4) und (-5) erhält mn omt r r ϕ r r ln r r (-8)

4 4 Deer Korrekturfktor, mt dem der Wärmetrom Q ɺ P multplzert werden mu, um den erwähnten Fehler uzuglechen, hängt lo nur vom denverhältn r / r de Hohlzylnder b Im Bld - t dee Abhänggket drgetellt Mn erkennt, d der Korrekturfktor ϕ be den n der Prx üblchen denverhältnen nur gerngfügg von bwecht Bld -: Korrekturfktor ϕ zur Berückchtgung der Krümmung ener Hohlzylnderwnd Im Allgemenen t r / r <, 3, o d ch de Wärmetröme um wenger l,5 % untercheden In velen Fällen, und zwr nbeondere be dünnwndgen Hohlzylndern (z B ohre), wrd mn dehlb uf dee Korrektur verzchten und zur Berechnung de Wärmetrom durch de ohrwnd de enfchere Formel (-4) für de Wärmeletung durch Pltten hernzehen, wobe l Wärmeübertrgungfläche de mttlere Hohlzylnderfläche A m enzuetzen t Wärmedurchgng be enchchtgen Wänden In den meten Fällen nd ncht de Oberflächentemperturen T und T, ondern de Umgebungtemperturen T u, und T u, beknnt Wrd Wärme von enem Medum uf en ndere übertrgen, de bede durch ene Wnd vonennder getrennt nd, o mu de Wärme zuert von dem Medum mt der höheren Tempertur (konvektv) n de Wnd übertrgen, durch de Wnd zur gegenüberlegenden Sete geletet und von dort weder (konvektv) n d ndere Medum bgegeben werden Deen gekoppelten Mechnmu u Konvekton und Letung bezechnet ml l Wärmedurchgng Der ch dbe entellende Temperturverluf t qulttv n Bld -3 drgetellt

5 5 Bld -3: Temperturverluf bem Wärmedurchgng durch ene enchchtge ebene Wnd D bem ttonären Wärmedurchgng der Wärmetrom Q ɺ ch ncht mt dem Ort ändert, erhält mn für de enchchtge Wnd de dre Glechungen ( T T ) Q ɺ α A, (-9) u, Qɺ (-) A ( T T ), Q ɺ α A T T, (-) ( ) u, zur Betmmung der beden unbeknnten Oberflächentemperturen und de geuchten Wärmetrom Elmnert mn de Oberflächentemperturen, ergbt ch für den Wärmetrom ( T u T ) Q ɺ k A, (-), u, mt dem Wärmedurchgngkoeffzenten k (Pltte) α α (-3) Für Hohlzylnder und Hohlkugel geht mn entprechend vor, ndem mn n den Glechungen (-9) und (-) de jewelgen Flächen (nnen und ußen) nch den Glechungen (-4), (-5) und für Glechung (-) de pende Glechung für de gekrümmten Wände enetzt Al Wärmedurchgngkoeffzent erhält mn dnn

6 6 k (Hohlzylnder), r ln r r α r r α k (Hohlkugel) r r r r α r α (-4) (-5) De Ortbhänggket kürzt ch m Produkt k A für den Wärmetrom heru It uf ener der beden Körpereten nttt der Umgebung- de Oberflächentempertur gegeben, o können lo de oben hergeleteten Formel (-3) b (-5) für den Wärmedurchgngkoeffzenten weter verwendet werden, ndem mn den entprechenden Wärmeübergngkoeffzenten unendlch etzt 3 Wärmedurchgng be mehrchchtgen Wänden Wände von Apprten, ektoren, Indutreöfen, ohletungen uw nd häufg l mehrchchtge Wände ugebldet Ene Schcht betmmt de Fetgket (z B Metllwnd be ohren, Stenwnd be Gebäuden), ene ndere Schcht dent l Iolerung Se betehen m Allgemenen u mehreren Schchten unterchedlcher Dcke und Wärmeletegenchften Im Bld -4 t bepelhft für ene drechchtge ebene Wnd der Temperturverluf ngegeben Bld -4: Schemtcher Temperturverluf durch ene drechchtge Wnd Be ttonärem Wärmedurchgng (lo Q ɺ kontnt) durch ene mehrchchtge Pltte (lo A kontnt) folgt u dem FOUIEchen Antz dt dt dt 3 3 dx dx dx (-6)

7 7 Aufgrund der unterchedlchen Wärmeletkoeffzenten müen ch lo n den Berührungflächen de Temperturgrdenten prunghft ändern, d h de Temperturverläufe hben dort enen Knck Für de benchbrten Schchten und erhält mn bepelwee dt dx dt dx (-7) D Verhältn der Temperturgrdenten t lo rezprok zum Verhältn der zugehörgen Wärmeletkoeffzenten Zur Berechnung der Wärmetröme für de Geometren Pltte, Hohlzylnder und Hohlkugel mt N Schchten geht mn ebeno vor we m vorhergen Abchntt Für jede zuätzlch Schcht erhält mn ene Glechung für de Wärmeletung durch dee Schcht n der Form von Glechung (-) zur Betmmung der Zwchenwndtemperturen TZ, TZ, (vgl Bld -4) Al Wärmedurchgngkoeffzenten ergeben ch dnn - für de mehrchchtge Pltte k, N j α j j α - für den mehrchchtgen Hohlzylnder k, N r, r ln r α r r α j j,j (-8) (-9) - für de mehrchchtge Hohlkugel k N r r α j j r,j r,j r α (-3) Dmt nd de Wärmetröme wederum nch Glechung (-) mt den Flächen gemäß Glechung (-4) oder (-5) betmmbr De Temperturen n den Berührungund den Oberflächen erhält mn, ndem zunächt der Wärmetrom und dnn nchennder de geuchten Temperturen u dem Newtonchen Antz und dem FOU- IEchen Antz für de jewelge Schcht berechnet werden Wll mn uch bem mehrchchtgen Hohlzylnder den Wärmetrom mt den Glechungen für de Pltte betmmen, o müen de uftretenden Korrekturfktoren für jede Schcht errechnet werden

8 8 4 Wärmewdertände Wärmetrom und Temrpturdfferenz nd ennder proportonl Be ener enchchtgen Wnd glt T T Qɺ A (-3) Führt mn nlog zur Elektrotechnk mt A (-3) enen Wärmeletwdertnd en, o erhält mn de Bezehung T T Qɺ, Temperturdfferenz Wärmetrom x Wärmeletwdertnd (-33) d h forml den glechen Zummenhng we bem OHMchen Geetz Uel Iel el, Spnnungdfferenz elektr Strom x elektr Wdertnd (-34) In beden Fällen prcht mn von ener Potenzldfferenz (Temperturdfferenz, Spnnungdfferenz) l trebender Krft, welche dem Strom (Wärmetrom, elektrchen Strom) proportonl t Der Proportonltätfktor t der den Strom hemmende Wdertnd (Wärmewdertnd, elektrcher oder uch OHMcher Wdertnd) Bede Vorgänge unterlegen lo den glechen mthemtchen Geetzmäßgketen, fnden ber n verchedenen phyklchen Sytemen ttt und nd dmt, we m Kptel erläutert, nlog Berückchtgt mn n deen Betrchtungen uch den Wärmeübergng zu beden Seten ener mehrchchtgen Wnd, o erhält mn u den Glechungen (-) und (-8) N T u, Tu, Qɺ A α j A A α (-35) De Audrücke n der Klmmer,,, A α α A α (-36) bedeuten de Übergngwdertände zu beden Seten der Wnd und N j j A (-37)

9 9 den Wärmeletwdertnd Mn erhält dnn T u, wobe T Qɺ Σ, (-38) u, Σ (-39) α, Σ α, und Σ der Wärmeletwdertnd ener mehrchchtgen Wnd t Wdertände bem Wärmeübergng können lo ebeno ddert werden we be entprechenden elektrchen Vorgängen Mt Hlfe von Wärmewdertänden len ch vele wärmetechnche Zummenhänge ehr nchulch drtellen De wrd n enem enfchen Bepel, dem Wärmdurchgng durch ene Hezkörperwnd mt Bld -5 drgetellt Bld -5: Ertzchltbld für den Wärmedurchgng durch de Wnd ene Hezkörper Auf der lnken Sete fleßt Wer mt enem Wärmeübergngkoeffzenten von etw α 5 W/m /K (ehe Tbelle -) De Wnd u Sthl betzt enen Wärmeletkoeffzenten von 5 W/m/K (ehe Bld -) und ene Dcke von 5 mm De rechte Sete der Wnd wrd mt Luft umtrömt Her wrd Wärme owohl durch Konvekton l uch durch Strhlung bgeführt Bede Wärmetröme nd unbhängg vonennder und überlgern ch omt, w durch de zwe prllel gechlteten Übergngwdertände ymbolert wrd Wrd de Strhlung durch enen Wärmeübergngkoeffzenten entprechend Glechung (-) ngenähert, o können bede Wärmeübergngkoeffzenten ddert werden Her wrd ngenommen, d de Summe beder Wärmeübergngkoeffzenten den reltv hohen Wert von α 5 W/m /K ht De Oberfläche der Wnd wrd verenfchend zu A m engeetzt Der Gemtwdertnd

10 Σ 5,5 5 5 K W 4 4 ( ) K 3 W 4 4 K W t folglch nur weng größer l der Übergngwdertnd zur Luftete De durch de Wnd fleßende Wärme wrd dher huptächlch von deem Wdertnd betmmt Ene Veränderung de Wärmeübergngkoeffzenten uf der Werete oder de Wärmeletwdertnde der Wnd würde dher den Wärmetrom kum beenfluen Nur ene Verbeerung de luftetgen Wärmeübergngkoeffzenten vergrößert de übertrgene Wärme weentlch Ene technche Mßnhme herzu t de Anbrngung von ppen uf deer Fläche, woruf m folgenden Abchntt engegngen wrd Bepel -: Wrkung von Thermopnefentern Der Wärmedurchgng durch Fenter mt Enfch- und Doppelverglung (Thermopnefenter) oll mt ennder verglchen werden In der Skzze t der Temperturverluf durch d Fenter mt ener Schebe qulttv drgetellt De Innenrumtempertur e C, ußen e wndge Wnterwetter mt - C De Schebe hbe ene Dcke von mm und enen typchen Wärmeletkoeffzenten von, W/m/K Innen wrd Wärme durch free Konvekton und Strhlung n de Glchebe übertrgen Nch Bld -6 beträgt der Wärmeübergngkoeffzent be freer Konvekton be ener Temperturdfferenz zwchen der Wnd und dem Flud von K etw 4 W/m /K Der Wärmeübergngkoeffzent durch Strhlung beträgt nch Bld -7 etw 4,5 W/m /K nnen und 4 W/m /K ußen wegen der her etw gerngeren Temperturen Der Wärmeübergngkoeffzent für de wndge (turbulente) Außentrömung wrd gemäß Bld -4 zu 5 W/m /K bgechätzt D zugehörge Ertzchltbld für de Wdertände t ebenfll n der Skzze enthlten (De SI-Enheten werden enfchhethlber telwee weggelen) Skzze : Fenter mt Enfchverglung Für den Wärmedurchgngkoeffzenten ergbt ch omt

11 k α α ε α α ε 4 4,5, 3 5 4,8,,34,54 k 6,5 W / m /K Der Wdertnd der Wärmeletung durch de Glchebe t lo vernchlägbr klen De Wärmetromdchte durch de Wnd t ( T T ) 6,5 3 8 W / q ɺ k m Für den Wärmetrom glt ebenfll ( α α ) ( T ) qɺ ε Tw Dru folgt für de Tempertur der Schebe n der nneren Oberfläche k Tw T α α ε ( T T ),5 C Aufgrund de gerngeren Wärmeletwdertnde t de Oberflächentempertur der Schebe uf der äußeren Oberfläche nur um etw,3 K nedrger D de nnere Oberfläche der Schebe Mnutemperturen nnmmt, gefrert de kondenerte umfeuchtgket E blden ch ogennnte Eblumen u Skzze : Thermopnefenter In der Skzze t der Temperturverluf n enem Fenter mt Doppelverglung qulttv drgetellt, wederum mt zugehörgem Ertzchltbld De Scheben ollen enen Abtnd von cm hben De Wärme mu nun durch den Luftplt zwchen den beden Scheben geletet werden Deer Letung t ene Strhlung überlgert Dru folgt für den Wärmedurchgngkoeffzenten, wobe de Letung durch de Glchebe vernchlägt t k α α / α α α ε L L εg ε

12 Der nnere Wärmeübergngkoeffzent durch free Konvekton t etw gernger und der durch Strhlung etw höher l m vorhergen Bepel, d de Temperturdfferenz zwchen der Luft und der nneren Schebe gernger t E wrd ngenommen, d de Summe beder glech blebt De Wärmeletfähgket der Luft beträgt,6 W/m/K, der Wärmeübergngkoeffzent durch Strhlung zwchen den beden Scheben etw 4, W/m /K Dmt folgt k 3,7 4,8,6 /, 4, 5 4,8,8,34,334 8,5,3 4, 9 k 3, W / m /K Der Wärmedurchgngkoeffzent t lo durch de Doppelverglung etw hlbert worden We mn erkennt, t der Wärmeübergngkoeffzent durch de Strhlung zwchen den Scheben mt 4, etw dreml o hoch we der durch de Letung n der Luft mt,3 En größerer Abtnd der Scheben zur weteren Erhöhung de Wärmeletwdertnde ht lo nur ene gernge Wrkung Zudem trtt dnn de Gefhr uf, d ch zwchen den Scheben ene Umluftrömung durch free Konvekton ubldet, de den Wdertnd wederum verrngert Ene Erhöhung der Iolerwrkung knn noch durch ene Evkuerung zwchen den Scheben errecht werden, w be Hochletungolerbehältern gemcht wrd De Iolerwrkung der Scheben knn deutlch verbeert werden, wenn de Oberfläche mt enem Metllflm bechchtet wrd, wodurch der Emongrd um en Velfche bgeenkt werden knn Dher nd de Wände von Hochletungolerbehältern zuätzlch verpegelt Ene olche Verpegelung ht enen Emongrd klener l,9, o d de Wärmetrhlung mehr l um den Fktor verrngert wrd Ene olche Hochletungolerung hätte für dee Bepel enen Wärmedurchgngkoeffzenten von k 3,7,48,4 5,4,39,38,39,66 k,38 W / m /K lo nur /8 de vorhergen Werte Durch de Doppelverglung wrd de Wärmetromdchte lo etw um de Hälfte verrngert D n Deutchlnd de mttlere Jhreußentempertur etw be 9 C legt, t der Wärmeverlut durch d enfche Glfenter deutlch klener l 8 W/m Nmmt mn l grobe Abchätzung n: ene mttlere Wärmetromdchte be Enfchverglung W/m, ene Enprung von 5 % be Doppelverglung und Hezkoten von 6 Cent/kWh, o ergbt ch ene Enprung von 6 /Jhr/m Der Autuch ene Fenter mt Enfchverglung gegen en Thermopnefenter nur u Iolerzwecken benötgt lo ehr lnge Amorttonzeten En Autuch knn ch jedoch uch u nderen Gründen lohnen Ene beere Iolerwrkung knn gegebenenfll noch ddurch errecht werden, d durch den Enbu de neuen Fenter Undchtgketen beetgt werden In jedem Fll wrd durch en Thermopnefenter de Behglchket m um verbeert:

13 3 Erten wrd de Tempertur der nneren Schebe erheblch ngehoben Ddurch t de Wärmebtrhlung von Peronen n deren zum Fenter gewndten Sete gernger It der Wärmeverlut zu llen Seten etw glechmäßg, fühlt mn ch behglcher l be enem ehr unglechmäßgen Wärmeverlut Deer Effekt t bepelwee vom Lgerfeuer beknnt, be dem mn ch zur Aufwärmung de ücken öfter umdreht Zur Verrngerung der Abtrhlung von Peronen n d klte Fenter werden Hezungkörper unterhlb de Fenter ngebrcht Be Thermopnefentern t dher uch ene Audehnung deer b zum Boden möglch, d nun de Hezkörper uch n nderen Wänden ngebrcht werden können Zweten kondenert n der nneren Schebe uf Grund der erhöhten Tempertur kene Luftfeuchtgket mehr En Bechlgen der Fenter trtt nur noch elten uf Drtten vermndern Thermopnefenter deutlch den Lärm von ußen Bepel -: Wrkung ener Huwndolerung T, u ) De A w m große Außenwnd ene ume beteht u enem M 38 cm trkem Zegelmuerwerk, deen Wärmeletkoeffzent M,75 W / m / K beträgt De umtempertur wrd n der Hezperode von t H Tge/Jhr durch en Thermott uf C geregelt De durchchnttlche Außentempertur n der Hezperode beträgt T u, 4 C We groß t der Wärmetrom durch de Wnd? De Wärmeübergngkoeffzenten uf der Innenete der Wnd durch free Konvekton und Strhlung werden jewel zu etw 4 W/m /K ngenommen, we m Bepel zuvor De entprechenden Wärmeübergngkoeffzenten uf der Außenete werden zummen mt 8 W/m /K ngenommen Dmt folgt für den Wärmedurchgngkoeffzenten k α M M α 8,38,75 8,5,57,56,688 k,46 W / m /K D Muerwerk betzt her den größten Wärmetrnportwdertnd Al Wärmetrom ergbt ch ( T T ) A,46 ( 4) 63 W Q ɺ k w b) We vel Lter Hezöl nd jährlch mt enem feuerungtechnchen Wrkunggrd von η f, 9 zu verbrennen, um den Wärmetrom durch de Wnd uzuglechen? echnen Se mt enem Hezölhezwert von h u 4,7 MJ/kg und ener Hezöldchte von ρ Öl,85kg / l We hoch nd de jährlchen Brenntoffkoten be enem Hezölpre von, / l Ct / kwh?

14 4 Skzze 3: Wärmedurchgng be ener Huwnd Für de n der Hezung herzu verbrnnte Ölmenge glt M Öl h η Qɺ t u f H Dru folgt für d Ölvolumen V Qɺ th ρ h η 63J/ Tge / Jhr 4h / Tg36 / h,85kg / l 4,7MJ/ kg,9 Öl Öl u f 43 l/ Jhr c) E wrd n Betrcht gezogen, de Außenwnd mt ener cm trken Hrtferpltte mt enem Wärmeletkoeffzenten von,4 W / m / K zu oleren Um we vel Prozent würde ch der Wärmeverlut verrngern? Der Wärmekoeffzent berechnet ch n deem Fll zu k α M M α,5,57 3,,56 3,69 k,7 W / m /K Der Wärmetrom würde ch lo um 8 % uf 48,8 W verrngern d) En Fchbetreb verlngt für de Wärmedämmmßnhme 5 /m Nch welcher Zet hätte ch de Wärmedämmung der Wnd mortert, wenn de Znen durch ttlche Zuchüe kompenert werden? De Koten der Dämmung betrgen 5 5 Pro Jhr werden, Lter Öl herfür engeprt Be enem Hezölpre von /l hätten ch lo de Koten nch 4,3 Jhren mortert Be enem Hezölpre von,8 /l beträgt de Amorttonzet 5,4 Jhre

15 5 e) We verändert ch de nnere Oberflächentempertur der Wnd durch de Wärmedämmung be ener wnterlchen Außentempertur von -4 C? Für de Wärmetromdcht glt ( T T ) α ( T T ) qɺ k Dru folgt für de nnere Wndtempertur w T w k T ( T T ) α Ohne Wärmedämmung ergbt ch,46 T w 8 und mt Dämmung ( 4) 7,3 C,7 T w ( 4), C 8 De Wndnnentempertur wrd lo durch de Dämmung ngehoben Ddurch verbeert ch wederum de Behglchket, d de Abtrhlung n ene große Fläche verrngert wrd De mcht ch beonder bemerkbr, wenn ch de klte Wnd vornehmlch m ücken der Peronen m um befndet Be äumen mt klten Wänden wrd zu Erhöhung der Behglchket oftml ene hohe umlufttempertur engetellt Be llet wrmen Wänden wrd dgegen ene ncht o hohe umlufttempertur benötgt Ddurch wrd zuätzlch der Wärmeverluttrom durch de Wnd verrngert Deer Effekt mcht ch umo tärker bemerkbr, je gernger de Wnd zuvor wärmegedämmt wr f) W würde ch ändern, wenn d Muerwerk nnen nttt ußen gedämmt würde? Am Verlutwärmetrom würde ch ncht ändern, d de Wärmewdertände n ehe gechltet nd Jedoch wrd der Temperturverluf n der Wnd bgeenkt Ddurch knn n der Wnd Luftfeuchtgket kondeneren, w zu Schäden führt Heruf wrd m Kptel Stofftrnport noch engegngen werden Dher dürfen Huwände nur ußen olert werden Bepel -3: Iolerung ene Hezungrohre Durch en frelegende Hezungrohr u Kupfer ( 39 W / m / K ) mt enem Außendurchmeer von 4 mm und ener Wndtärke von,5 mm fleßt Wer von 8 C De umgebende Kellertempertur e C

16 6 ) We groß t der Wärmeverlut, wenn d ohr zum enen blnk t und zum nderen mt weßer Frbe getrchen t, um ncht o ufzufllen? De Wärmewdertände durch den konvektven Wärmeübergng de Wer ( α > 8 W / m / K ) und de Letung durch de Wnd können vernchlägt werden, we beret mt enem Bepel gezegt wurde Dher wrd der Wärmeverlut ledglch durch den äußeren Wärmeübergng betmmt, der ch wederum u freer Konvekton und Strhlung zummenetzt Für de fre Konvekton ergbt ch u Glechung (-4) für de Grßhofzhl Gr ( / π d) 3 3 gl ρu ρw g / Tu / Tw, ν ρu ν / Tu wobe / π d de Übertrömlänge t (hlber Umfng), Gr 9,8 ( / π,4 ) 5 ( ) 3 / 83 / 353 / 83, 6 De Strömung t omt lmnr, d Pr,7 für Luft glt Für den Wärmeübergngkoeffzenten erhält mn α L Nu,57 Gr / π d / 4 Pr / 4 6 / 4 4 (, ),7 / 8, W / m / K,3,57 π,4 Der Wärmeübergngkoeffzent durch Strhlung legt für ngetrchene ohre ( ε, 9 ) nch Bld -7 etw b 7 W/m /K, d Frbntrche nch Tbelle -3 enen hohen Emongrd ufween Blnke Kupfer wet dgegen nur enen Emongrd von,3 uf, w zu enem Wärmeübergngkoeffzenten von etw, W/m /K führt Der pezfche Wärmeverluttrom Qɺ n /L π d ε ( α α ) ( T T ) beträgt folglch bem blnken ohr ( 8,,) ( 8 ) 74 W / m Qɺ n / L π,4 und bem ohr mt Frbe ( 8, 7, ) ( 8 ) 34 W / m Q ɺ f /L π,4 De Frbe erhöht lo den Wärmeverlut um etw d Doppelte

17 7 b) D ohr wrd mt enem Hohlzylnder u Iolerchum (,4 W / m / K ) mt ener Wndtärke von cm überzogen We t de Wrkung? D denverhältn de Hohlzylnder t Dmt knn nch Bld - de Wärmeletung durch de Glechung für de Pltte ngenähert werden Bechtet werden mu jedoch d de Wärmeübergngkoeffzenten n der Außenchle der Iolerung von deren Tempertur bhängen Dee Tempertur mu dher tertv ermttelt werden Her wrd de Tempertur zu C bgechätzt Der Wärmeübergngkoeffzent durch free Konvekton berechnet ch nun wegen der gerngen Temperturdfferenz ber höheren Übertrömlänge zu Gr 9,8 ( / π,8 ) 5 ( ) 3 / 83 / 93 / 83, / 4 (,66,7 ) 4,5 W / m / K,3 α,57 π,8 Der Wärmeübergngkoeffzent durch Strhlung beträgt ungefähr 4 W/m /K, d de Iolerung enen hohen Emongrd betzt Der Wärmetrom berechnet ch nun zu Qɺ /L π d α αε ( T T ) π,8 ( 8 ) 8,5 W / m, 4,5 4,4 Mn bechte, d ch be ohren nfolge der Iolerung de Wärmeübertrgungfläche vergrößert De Iolerung verrngert lo den Verlutwärmetrom bem blnken ohr um 8,5 / 74 6% nd bem ngetrchenen ohr um 8,5 /34 8% c) Hohlzylnder zur Hezungrohrolerung nd hndelüblch n Bumärkten etc erhältlch Der Pre legt n der Größenordnung von /m je nch Durchmeer We lng t de Amorttonzet, fll mn l Hemwerker de Zet zum Kuf und zur Intllton l Hobby neht? Gehen Se we n enem vorhergen Bepel von enem feuerungtechnchen Wrkunggrd von,9 und enem Brenntoffpre von,5 / l 6 Ct / kwh u Der jährlche Ölverbruch ohne Iolerung beträgt V Qɺ th h η 74J/ / m 36l/ 4h / d36 / d,85kg / l 4,7MJ/ kg,9 Öl ρöl u f 69 l/ / m

18 8 Be ener Verrngerung um 7 % durch de Iolerung prt mn jährlch 5 b 5 /m De Amorttonzet legt lo be etw 3 b 6 Wochen 5 Temperturbhängger Wärmeletkoeffzent It de Temperturdfferenz n dem feten Körper ehr groß, bepelwee mehrere hundert Kelvn, o knn der Wärmeletkoeffzent n der egel ncht mehr l kontnt ngenommen werden Für de Wärmetromdchte glt dnn T qɺ ( T) dt T (-4) Der Temperturverluf n der ebenen Wnd t dnn ncht mehr lner, ondern gekrümmt Je höher der Wärmeletkoeffzent t, deto nedrger mu der Temperturgrdent en Zur Verwendung der bhergen Glechungen für den Wärmedurchgng empfehlt ch en temperturgemttelter Wärmeletkoeffzent gemäß m ( T) dt T T T T (-4) Zuert wrd der enfche Fll betrchtet, d der Wärmeletkoeffzent durch ene lnere Temperturfunkton ngenähert werden knn entprechend ( T) ( T ), (-4) T wobe bepelwee der Wert be der Umgebungtempertur T t Für den mttleren Wert folgt dnn m ( T ) / ( T T ) ( T T ) ( T ) ( T ) T T T (-43) Der mttlere Wert de Wärmeletkoeffzenten t der Wärmeletkoeffzent be der mttleren Tempertur oder der gemttelte Wert der beden Wärmeletkoeffzenten n den ändern mt T und T Dee Werte nd von vornheren ncht beknnt ondern ergeben ch u der Wärmedurchgngberechnung Dee mu dher be temperturbhänggen Wärmeletkoeffzenten n der egel numerch durchgeführt werden Iolertoffe ween en große Hohlrumvolumen und omt ene gernge Dchte uf In den Hohlräumen wrd Wärme von Wnd zu Wnd durch Strhlung trnportert Deer Trnport tegt entprechend Glechung (-3) für den Wärmeübergngkoeffzenten durch Strhlung etw mt der drtten Potenz der Tempertur n entprechend 3 3 ( T) ( T ) (-44) T

19 9 Für deen zweten her betrchteten Fll erhält mn omt für den mttleren Wärmeletkoeffzenten u Glechung (-4) m 4 4 T T T T 4 T 3 4 T 3 T T T T T T 3 3 T (-45) It we be Prozeen der Hochtemperturtechnk de Tempertur T vel höher l de Tempertur T, o glt näherungwee 3 3 ( T >> T ) ( T T ) m 4 (-46) Bepel -4: Ofenwndolerung In enem Tunnelofen zur Hertellung von Porzelln herrcht nnen ene Gtempertur von 6 C De Wnd de Ofen beteht entprechend der Skzze 4 u ener Muer mt Feuerfettenen (Dcke M, m, M W / m / K ), zur Iolerung u ener Schcht mt Fermtten F,5 m und ener Sthlwnd ( mm, 4 W / m /K ) In der Produktonhlle beträgt de Lufttempertur C Skzze 4: Wärmedurchgng be ener Indutreofenwnd ) We groß t der Wärmedurchgngkoeffzent und we eht der Temperturverluf n der Wnd u? De Wärme wrd vom G n de nnere Wnd überwegend durch Strhlung übertrgen Nch Bld -7 ergbt ch be 6 C en Wärmeübergngkoeffzent von etw 5 W/m /K Der Wärmeletkoeffzent von Feuerfettenen tegt lecht mt der Tempertur lner n (ehe Stoffwerteblder m Anhng) Der mttlere Wert be 8 C beträgt etw W/m/K De Wärmeletfähgket von Fermtten knn durch F 3 3 ( T T ),4 8

20 ngenähert werden Al mttlerer Wert be 5 C (Tempertur hnter Muer) ergbt ch u Glechung (-46),45 Fm,4,5 W / m /K 4 Den Wärmetrnportwdertnd durch de Sthlwnd knn mn wederum vernchlägen Der äußere Wärmeübergngkoeffzent durch free Konvekton und Strhlung wrd jewel zu 7 W/m /K bgechätzt Dmt folgt für den Wärmedurchgngkoeffzenten k α M F, 3,33,7 3, 6 E M F α 5,,5,5 4 k,8 W / m /K Den Wärmewdertnd bldet lo huptächlch de Fermtte Für de Temperturdfferenzen gelten k k T Tmx, T Tmx α De ch dru ergebenden Werte der Temperturen und der Verluf nd n der Skzze ngegeben b) W würde peren, wenn de Außenwnd zur weteren Verrngerung der Wärmeverlute mt ener Frbe u Alumnumbronze ngetrchen wrd? Der äußere Wärmeübergngkoeffzent würde etw hlbert werden Der Wärmedurchgngkoeffzent würde ch um % verrngern De äußere Temperturdfferenz würde ch jedoch verdoppeln, o d de Wnd ene Oberflächentempertur von 8 C bekäme Dee Tempertur t u Scherhetgründen zu hoch

21 6 Wärmeletung n ppen We d Bepel für de Wärmewdertände gezegt ht, wrd der Wärmetrom durch ene Wnd oft nur durch enen enzgen Wdertnd betmmt, wenn nämlch deer weentlch größer t l de Summe ller nderen Wdertände De t m llgemenen dnn der Fll, wenn uf der enen Sete ener Wnd en G, uf der nderen hngegen ene Flügket trömt Der getge Wärmeübergngkoeffzent t häufg ehr vel klener t l der flügketetge (Tbelle -), und ußerdem knn der Wärmeletwdertnd der Wnd vernchlägt werden Der getge und dmt der gemte Wärmeübergng lät ch n deen Fällen ddurch verbeern, d mn de Wärmeübertrgungfläche durch Anbrngen von ppen vergrößert, we de z B be Hezkörpern oder Kühlrppen üblch t Zur Dmenonerung olcher ppen mu beknnt en, n welcher Wee de Wärme von hnen übertrgen wrd Der Temperturverluf und de übertrgene Wärme werden m folgenden Abchntt berechnet Bld -6 zegt qulttv den Temperturverluf läng ener tbförmgen ppe mt kontntem Querchntt De Tempertur m ppenfuß t de Wndtempertur T x De ppe ht de Länge L, den Umfng U und den kontnten Querchntt A Der Wärmeübergngkoeffzent läng der ppenoberfläche und de Umgebungtempertur werden l kontnt vorugeetzt De Wärmeletung wrd nur n x-chtung berückchtgt, d h e wrd der Verluf der ppentempertur l Funkton der Längkoordnte x betmmt Dee Verenfchung t m Allgemenen zuläg, d de Länge von ppen groß gegenüber hrer Brete t und dmt de Temperturänderung über dem Querchntt vernchlägt werden knn Bld -6: Wärmeübertrgung n ener tbförmgen ppe In d Volumenelement A dx fleßt durch Wärmeletung über de Querchnttfläche A der Wärmetrom Q ɺ hnen und u dem Element der Wärmetrom ( Qɺ dqɺ ) weder heru (TAYLOrehenentwcklung und Vernchlägung der Gleder höherer Ordnung) Außerdem wrd über de Außenfläche U dx konvektv der Wärmetrom

22 dq ɺ α n de Umgebung übertrgen Im ttonären Zutnd lutet folglch de Energeblnz d Qɺ dqɺ (-47) α Für den Wärmetrom durch Letung n der ppe glt dt Q ɺ A dx, (-48) woru für de Änderung dqɺ d T dqɺ dx A dx dx dx (-49) folgt Für den konvektv übertrgenen Wärmetrom glt nch dem NEWTONchen Antz ( T ) dq ɺ α U dx (-5) α T u Dmt ergbt ch u Glechung (-47) de Dgl für den Temperturverluf läng der ppe d ( T T ) dx u α U A ( T T ) u (-5) Zur Löung werden zwe ndbedngungen benötgt Am ppenfuß (x ) beträgt de Tempertur ( x ) T x T (-5) Am Ende der ppe (x L) wrd ngenommen, d de über de Strnfläche übertrgene Wärme vernchlägbr klen t Dher knn her der Temperturgrdent glech null geetzt werden dt dx ( x L) (-53) Mt deen beden ndbedngungen ergbt ch l Löung der Dgl T T T T x u α U coh A α U coh A ( L x) L u (-54) Für ene unendlch lnge ppe folgt heru mt dem Grenzübergng L

23 3 T T T T x exp α U A x u u (-55) Dee Glechung ergbt ch uch, wenn nttt der ndbedngung (-53) de Bedngung verwendet wrd, d be ener unendlch lngen ppe de Tempertur n der Sptze uf Umgebungtempertur bgeunken t x ( x) Tu lm T (-56) Durch de Verlängerung der ppe wrd wegen der vergrößerten Übertrgungfläche der n de Umgebung übertrgene Wärmetrom erhöht Für deen erhält mn L ( T( x) Tu ) α U dx Q ɺ (-57) Mt dem Temperturverluf u Glechung (-54) folgt u der Integrton für den von der ppe übertrgenen Wärmetrom Q ɺ α x U α A ( T T ) A u tnh α A U L (-58) Ene unendlch lnge ppe überträgt den mxmlen Wärmetrom ( T T ) U ɺ lm Qɺ α x u A L α A Q (-59) Au dem Verhältn Qɺ / Qɺ der übertrgenen Wärmetröme be ener ppe mt endlcher Länge L zu ener mt unendlcher Länge knn mn erehen, welchen Antel de mxmlen Wärmetrom ene ppe überträgt, d h we gut hr Wrkunggrd t Qɺ Qɺ η tnh α U A L (-6) Dee m Bld -7 drgetellte Abhänggket dent der Beurtelung, b welcher Länge der ppe ene Erhöhung de Wärmetrom ncht mehr m wrtchftlchen Verhältn zur Erhöhung de Mterlufwnde teht

24 4 Bld -7: Übertrgener Wärmetrom be der ppe n Abhänggket von hrer Länge D Verhältn Umfng zu Querchntt hängt von der geometrchen Form der ppe b Be ener rechteckgen ppe mt der Brete B und der Dcke glt U A B b (-6) Dru folgt U A B (-6) Im Allgemenen nd ppen dünn, o d de Brete um ene Velfche größer l de Dcke t Dher knn näherungwee U (-63) A geetzt werden Be zylnderförmgen ppen mt den Durchmeer d glt entprechend U A ( Zyl) 4 d (-64) Für ene rechteckge ppe erhält mn u den Glechungen (-58) und (-6) mt Glechung (-63) für den Wärmetrom Qɺ α α ( Tx Tu ) A η (-65) und für de Wärmetromdchte

25 5 qɺ α α ( Tx Tu ) η (-66) mt dem ppenwrkunggrd η tnh α L (-67) De Wärmetromdchte ener ppe t lo umo höher je dünner dee t Je klener de Dcke t umo länger mu de ppe en um enen hohen Wrkunggrd zu erhlten Folglch nd ppen von Hochletungkühlern, we bepelwee be Krftfhrzeugen und Motorräder, lmellenförmg ugebldet Bld -8: Ebene Wnd mt echteckrppen Der gemt von ener berppten Fläche (ehe Bld -8) bgegebene Wärmetrom etzt ch näherungwee zummen u den Wärmetrom der unberppten Fläche A Z und dem Wärmetrom der ppen Qɺ qɺ ɺ, (-68) A Z Q wobe qɺ ( T ) α x Tu de Wärmetromdchte der unberppten Wnd t Der Abtnd der ppen Z mu tet o groß en, d de Strömung zwchen deen ncht behndert wrd Mn knn dnn nnehmen, d de Übertrömung der freen Oberfläche und der ppen glech t und d omt uch deren Wärmeübergngkoeffzenten glech nd Für de Wärmetromdchte ener berppten Wnd folgt dmt

26 6 qɺ q Z z z α η, (-69) wobe de reltven Verhältne der Dcken den reltven Flächenverhältnen entprechen Mn erkennt heru, d de Vertärkung de Wärmetrom durch de ppe umo wrkungvoller t, je nedrger der Wärmeübergngkoeffzent t ppen werden oft mt Querchnttflächen gebut, de ch mt der Länge x verrngern, we z B be trpezförmgen Formen In deem Fll mu wegen A f( x) de Glechung (-48) prtell bgeletet werden De Dgl (-5) t dnn entprechend komplzerter und mu n der egel numerch ntegrert werden Auf entprechende Wee knn mn für en wetere Anwendungbepel berechnen, we tef en Mefühler n en homogene Flud engetucht werden mu, dmt der Mefehler durch de Wärmeüberrgung über ene Anchluletungen ncht zu groß wrd En Mntelthermoelement mt dem kontnten Querchntt A und dem kontnten Umfng U rgt uf ener Länge L n en Flud hnen, we e m Bld -9 vernchulcht t Bld -9: Blnz und Temperturverluf bem Thermoelement De gemeene Tempertur T x L n der Sptze de Elemente oll von der zu betmmenden Fludtempertur T u nur um enen klenen Wert δ bwechen T u T xl δ (-7) Bezeht mn lle Größen uf de Temperturdfferenz T u T x, wobe T x de Tempertur de Elemente n der Wnd t, o glt für den ogennnten Wärmeletfehler

27 7 θ δ T u T x (-7) nch Glechung (-47) θ T T x T T coh α U L A x L u u (-7) Deer Zummenhng zwchen dem Mefehler und der Entuchtefe de Thermoelemente t m Bld - grfch drgetellt Bld -: Mefehler de Thermoelemente n Abhänggket von ener Entuchtefe m Flud Bepel -5: ppenwrkung En Plttenwärmeübertrger zur Kühlung von Thermlöl wrd uf der klten Sete mt Luft ngetrömt, wobe ch en Wärmeübergngkoeffzent von 5 W/m /K entellt Zur Intenverung der Wärmebfuhr werden ppen u Sthl ngebrcht ) Der Abtnd der ppen oll cm ncht unterchreten Al ppendcke werden mm gewählt Um welchen Fktor lät ch de Wärmetromdchte erhöhen? Der Wärmeletkoeffzent von Sthl beträgt etw 5 W/m /K Der Wrkunggrd wrd zu 8 % gewählt Dmt ergbt ch u Glechung (-69) qɺ qɺ 5,8,9,3 3, 5, De Wärmetromdchte wrd lo etw um den Fktor 3 erhöht Für de herzu benötgte Länge der ppe folgt u Bld -7 für η, 8

28 8 α L Heru erhält mn 5, L,3 3 mm α 5 D Verhältn Länge zu Dcke beträgt lo L 3 6 Heru t erchtlch, d ppen reltv lng en müen b) Welche Vertärkung würde mn errechen, fll durch trömungtechnche Mßnhmen der Abtnd der ppe uf mm verklenert werden könnte be enem glech blebenden Wrkdunggrd von 8 %? Au Glechung (-69) folgt nun qɺ qɺ 5,8,83 4, 5, 5, De Wärmetromdchte würde lo um den Fktor 5 erhöht Herdurch t erchtlch, d ppen enen möglcht gerngen Abtnd betzen ollten c) Um welchen Fktor würde der Wärmtrom durch de ppen erhöht, fll der Wärmeübergngkoeffzent nur W/m /K betrgen würde? Au Glechung (-69) ergbt ch jetzt qɺ qɺ 5,8,9 3,64 4,5, De Wrkung ener ppe t lo be enem gerngeren Wärmeübergngkoeffzenten tärker De Länge beträgt jetzt 5, L 5 mm De tärkere Wrkung mu mt ener größeren Länge und dmt größerem Mterlufwnd erkuft werden

29 9 d) Für welche Dcke der ppe errecht de Wärmetromdchte den mxmlen Wert? We verändert ch ddurch de Menge de Mterl für de ppen? Zur Ermttlung de Mxmum mu de Abletung der Wärmetromdchte (Glechung (-69)) nch der ppendcke zu null geetzt werden dq/ ɺ d / q Z,5 η ( Z ) ( Z ) α Z α Durch Umformung erhält mn η Z α Z α Z η η E ergbt ch mx Z,78 6 mm mx Dmt folgt für de Vertärkung der Kühlwrkung qɺ qɺ ,8,56 3,95 4,5 5,6 De Länge mu uf L 5,6 5 9 mm erhöht werden Für d Verhältn der Volumn der beden ppendcken von mm und 6 mm glt V V 6 L L 6 6 6, n n wobe der Index de ppe kennzechnet und n de Anzhl der benötgten ppen t Für dee Verhältn erhält mn (A Fläche der gemten Wnd) ( ) n ( ) A n Z 6 Z 6 Dmt ergbt ch für d Volumenverhältn V V

30 3 De Erhöhung der Wärmetromdchte durch de dckeren ppen um 5 % mu lo mt enem 4fch höheren Mterlufwnd erkuft werden, w cherlch ncht wrtchftlch t Mt deem Bepel oll verdeutlcht werden, d de Wärmetromdchte hnchtlch Mterlufwnd und dmt uch Gewcht optmert werden mu D de Länge und de Dcke der ppe uch m Wrkunggrd enthlten t, knn ene olche Optmerung nur numerch durchgeführt werden Bepel -6: Mefehler Thermoelement De uchgtempertur n der Abzugletung ene Konverter oll mt enem Thermoelement gemeen, d durch de feuerfet ugekledete Wnd 5 cm tef n de Strömung rgt D ohr mt dem Thermoelement ht enen Durchmeer von 4 mm D Thermoelement zegt ene Tempertur von C n De Wndtempertur beträgt etw C ) Schätzen e de ttächlche Gtempertur b Der Wärmeübergngkoeffzent durch Strhlung und Konvekton wrd zu 8 W/m /K bgechätzt De Wärmeletfähgket von hochhtzebetändgem Sthl beträgt etw W/m/K D Verhältn U/A be ohren t 4/d Dmt ergbt ch α U L A α 4 L d 8 4,5 3,,4 Dmt folgt u Bld - l reltver Fehler % De Gtempertur wrd lo um etw K zu nedrg ngezegt b) We könnte mn de Megenugket erhöhen? Dzu müte, owet möglch, d Thermoelement tefer n de Gtrömung rgen und der Durchmeer de ohre mt dem Thermoelement verrngert werden Würde mn d Thermoelement mt cm doppelt owet n de Strömung rgen len, o würde der Fehler beret vernchlägbr klen werden Bepel -7: Sonnenkollektor In den ohren ene Sonnenkollektor trömt en Wärmeträgermedum mt ener nhezu kontnten Tempertur von T K 45 C Berechnen Se de mxmle Tempertur uf der Aborptonfläche ( 95 W/m/K) zwchen zwe ohren! Der Aborptonkörper t,5 mm dck Der Abtnd zwchen den zwe ohren beträgt L 8 mm De Energetromdchte der Sonnentrhlung knn mt qɺ 4 W/m ngenommen werden, wobe Verlute beret berückchtgt nd

31 3 8,5 5 5 Tempertur [ C] Skzze -6: 45 -,4 -,,,4 x [m] Berechneter Temperturverluf de Sonnenkollektor Der Temperturverluf ergbt ch wederum u der Energeblnz für ene dfferentelle Länge dx De borberte Sonnentrhlung t glech der Änderung de geleteten Wärmetrom Mt der Brete B und der Querchnttfläche B de Sonnenkollektor folgt mt Glechung (-49) d T B dx B dx dx q Al ndbedngungen gelten ( x L / ) TK T und ( x ) dt / dx Al Löung der Dgl d T dx qɺ erhält mn de Prbel T T K qɺ L x Für de mxmle Tempertur n der Mtte be x ergbt ch omt T 4 W / m 45 C,4 m 5,7 C 95 W / m /K,5 m mx

32 3 7 Letung mt glechvertelten Wärmequellen Bepelwee von elektrchem Strom durchfloenen Letern, we Elektrokbel, Heztrhler und Grphtelektroden, oder be Körpern, n denen chemche ektonen oder Kernpltungprozee blufen, treten über hr Volumen vertelte Wärmequellen uf Qulttv tellt ch dnn en Temperturverluf we m Bld - en Exemplrch wrd m Folgenden der Fll behndelt, d dee Wärmequellen wɺ m Volumen de Körper glechvertelt und ttonär nd Der Wärmeletkoeffzent wrd wederum l temperturunbhängg ngenommen q Bld -: Qulttver Temperturverluf n enem elektrchen Kbel 3 De m Volumen erzeugte Wärme wɺ [W / m ] mu zum nd hngeletet werden q D der Wärmetrom zum nd tetg höher wrd, nmmt folglch uch der Grdent zu Al dfferentelle Energeblnz glt, d de Erhöhung de durch de Dcke der Schcht dr geleteten Wärmetrom glech der n deer Schcht erzeugten Wärme t ( ) dr dqɺ wɺ q A r (-73) wobe A de be Zylndern und Kugeln vom du bhängge Mntelfläche bedeutet Mt dem FOUIEchen Wärmeletntz erhält mn d dr dt ɺ q dr [ A( r) ] w A( r) (-74) Durch prtelle Dfferentton ergbt ch d T dt da wɺ q dr dr A dr (-75) Mt den Flächen

33 33 A B L kontnt (Pltte) A π r L (Zylnder) A 4 π r (Kugel) (-76) folgt l Dgl d T b dt wɺ q dr r dr mt dem Formfktor b für Pltte b für Zylnder b 3 für Kugel (-77) (-78) Al ndbedngungen gelten m nd dt dr r k ( T T ) w u (-79) und n der Mtte uf Grund der Symmetre dt r dr (-8) Hern t k der Wärmedurchgngkoeffzent, der ch u der Wärmeletung durch de Iolerung (nur be Elektrokbeln vorhnden) und dem konvektven Wärmeübergng n de Umgebung zummenetzt Al Löung der Dgl erhält mn wɺ ( T T ) q u b r k (-8) Der Temperturverluf wrd lo durch ene nch unten geöffnete qudrtche Prbel drgtellt Vom prktchen Interee t zum enen de mxmle Temperturdfferenz m Körper, für de u der obgen Glechung T r T w wɺ b q (-8) folgt Be Kupferkbeln t dee Temperturdfferenz wegen der ehr hohen Wärmeletfähgket und dem reltv gerngen Durchmeer n der egel vernchlägbr klen Zum nderen t de Temperturdfferenz zwchen der Wnd und der Umgebung von Bedeutung, d de Wndtempertur de Höhe der zulägen Tempertur de Iolermterl ncht überchreten drf Au Glechung (-7) ergbt ch wederum

34 34 T w Tu wɺ q b k (-83) Je größer de Wärmequelle und der Durchmeer und je nedrger der Wärmedurchgngkoeffzent t, deto höher t de ch ergebende Kbeltempertur Für den n enem Stromkbel oder Heztrhler erzeugten Wärmetrom glt L ɺ el Iel el Iel A, q Q ρ (-84) wobe I el der elektrche Strom, el der elektrche Wdertnd de Kbel, ρ el de elektrche Letfähgket, L und A q de Länge bzw der Querchntt de Kbel bedeute Mt dem Volumen A q L folgt für de Wärmequellendchte ene Zylnder Q ɺ ɺ el el q Iel I el 4 V Aq π W ρ ρ (-85) Dmt ergbt ch u Glechung (-83) der Zummenhng zwchen dem notwendgen Kbeldurchmeer d und der Stromtärke d 4 I 3 el ρ el π k ( Tw Tu ) (-86) Je höher der zuläge elektrche Strom t, deto dcker mu lo en Elektrokbel en Bepel -8: Heztrhler En Heztrhler u Sthl ht ene Länge von, m und enen Durchmeer von 8 mm Er wrd mt ener Letung von 6 kw betreben ) We groß t de Temperturdfferenz m Querchntt? De Wärmequelldchte beträgt Qɺ 4 Qɺ ɺ q A L π d L w q Dmt ergbt ch l Temperturdfferenz m Strhler u Glechung (-65) T r T w Qɺ wɺ q b b π L

35 35 Dee t omt lo unbhängg vom Durchmeer und proportonl zur Letung (Wärmetrom) Al Wärmeletfähgket von Sthl be hohen Temperturen glt näherungwee 8 W/m/K Dmt folgt 6 Tr Tw 4, K π, 8 b) We hoch t de Oberflächentempertur de Strhler? Für den bgetrhlten Wärmetrom glt Qɺ 4 ε σ T π dl, w d T u << T w t Al Emongrd der oxderten Oberflächen knn mn,7 nnehmen Dmt folgt 6 T w 496 K 3 C 8 3,7 5,67 π 8, / 4 Bepel -9: Elektrokbel Elektrokbel u Kupfer nd mt ener Querchnttfläche von,5 mm je Strng für ene Stromtärke von 6 Ampere und mt,75 mm für Ampere zugelen Von welchem Wärmedurchgngkoeffzenten der Iolerung und Verlegung wrd dbe ugegngen, wenn mn l mxmle Temperturdfferenz zwchen Kern und Umgebung von K nnmmt? Au Glechung (-86) folgt für den Wärmedurchgngkoeffzenten k 4 I ρ el el 3 π Tw Tu d De zugehörgen Kbeldurchmeer nd,38 und,97 mm De elektrche Letfähgket von Kupfer beträgt ρ el,8 Ω mm / m ( Ω V / A, V A W ) A,8 Ω m W π k 49 K,38 m m K und von,75 mm 6 4 A,8 Ω m W π k 54 K,97 m m K