kg K dp p = R LuftT 1 ln p 2a =T 2a Q 12a = ṁq 12a = 45, 68 kw = 288, 15 K 12 0,4 Q 12b =0. Technische Arbeit nach dem Ersten Hauptsatz:

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1 Übung 9 Aufgabe 5.12: Kompression von Luft Durch einen Kolbenkompressor sollen ṁ = 800 kg Druckluft von p h 2 =12bar zur Verfügung gestellt werden. Der Zustand der angesaugten Außenluft beträgt p 1 =1, 0 bar und t 1 = 15 C. Wie groß ist der Leistungsbedarf für die Durchführung der Kompression, wenn sie a) isotherm, b) adiabat/isentrop oder c) polytrop mit n =1, 3 erfolgt? Geben Sie darüberhinaus die Endtemperaturen und den abzuführenden Wärmestrom für jeden der drei Fälle an. Hinweis: Die Luft soll als ideales Gas (R Luft =287, 1 J, κ =1, 4) mit konstanter spezifischer kg K Wärmekapazität c v angesehen werden. Lösung: Kompression von Luft a) Für die isotherme Kompression gilt = T 2a. Somit folgt für das ideale Gas Luft: Technische Arbeit des Verdichters: w t,12a = 2a 1 u 2 u 1 =0=h 2 h } {{ 1 +q } 12a + w t,12a 0 vdp = R Luft }{{} =T 2a 2a 1 dp p = R Luft ln p 2a p 1 = 205, 571 kj kg = q 12a Die von dem System abgegebene Wärme ist in diesem Fall also dem Betrage nach gleich der zugeführten technischen Arbeit, die sich wie folgt berechnet: Ẇ t,12a = ṁw t,12 = 45, 68 kw Q 12a = ṁq 12a = 45, 68 kw b) Endtemperatur der isentropen Kompression T 2b : ( ) κ 1 p2 κ T 2b = p 1 Da der Prozess adiabat verläuft gilt: = 288, 15 K 12 0,4 1,4 = 586, 08 K Q 12b =0. Technische Arbeit nach dem Ersten Hauptsatz: w t,12b (= κ w vol,12b )=c p (T 2b )= 7R Luft (T 2b )=299, 375 kj 2 kg Der Leistungsbedarf des Verdichters errechnet sich hiermit zu Ẇ t,12b = ṁw t,12b =66, 53 kw. 55

2 c) Die Berechnung der Endtemperatur T 2c und der aufzubringenden Leistung Ẇt,12c bei der polytropen Zustandsänderung geschieht analog der adiabat/isentropen Zustandsänderung unter Verwendung des Polytropenexponenten n anstelle von κ. Technische Arbeit: ( ) n 1 p2 n T 2c = p 1 w t,12c (= n w vol,12c )= = 288, 15 K 12 0,3 1,3 = 511, 28 K n n 1 R Luft (T 2c )=277, 596 kj kg Der Leistungsbedarf des Verdichters errechnet sich für die polytrope Zustandsänderung zu Ẇ t,12c = ṁw t,12c = ṁ n n 1 R Luft (T 2c )=61, 688 kw Übertragene Wärme bei polytropen Zustandsänderungen mit idealen Gasen: q 12c = w t,12c + c p (T 2c )= w t,12c + 7R Luft (T 2c )= 53, 384 kj 2 kg Hieraus ergibt sich: Q 12c = ṁq 12c = 11, 863 kw. Vergleicht man nun die Ergebnisse, so sieht man, dass T 2a <T 2c <T 2b gilt. Die isotherme Kompression verursacht selbstverständlich die niedrigste und die adiabat/isentrope Kompression die größte Temperaturänderung. Für die Antriebsleistungen des Verdichters gilt entsprechend Ẇt,12a < Ẇt,12c < Ẇt,12b. Daheristfür eine Kompression die isotherme Zustandsänderung die wünschenswerteste (jedenfalls dann, wenn die Temperaturerhöhung des Gases bedeutungslos oder gar unerwünscht ist), während in der Realität Kompressionen eher adiabat/isentrop verlaufen, also gemäß der Zustandsänderung, welche die höchste Antriebsleistung beansprucht. 56

3 Aufgabe 6.3: Wärmepumpe Eine Wärmepumpe nimmt im stationären Betrieb aus der Umgebung (T u =280K) den Wärmestrom Q u =42kW auf und fördert ihn unter Aufnahme eines Stroms an technischer Arbeit Ẇt =28kW auf die Heiztemperatur von =350K. a) Welcher Wärmestrom Q H wird an die Heizung abgegeben? b) Welchen Arbeitsverluststrom ẆV,irr (Exergieverluststrom) tritt in der Anlage auf? c) Welchen Heizwärmestrom Q H und welche Antriebsleistung Ẇt würde man erhalten, wenn die Anlage bei unverändertem Wärmestrom Q u und gleichbleibenden Temperaturen und T u ersibel (verlustfrei) arbeiten würde? d) Warum ist der Mehraufwand Ẇt Ẇt = Ψ (im System in Wärme dissipierte Arbeit) größer als der Arbeitsverlust ẆV,irr? Lösung: Wärmepumpe a) Energiebilanz: 0= Q H + Q u + Ẇt Q H = Q u Ẇt = 42kW 28kW = 70kW Da Q H < 0 ist, wird die Energie von der Wärmepumpe abgegeben. b) Es gilt: W V,irr = T u S prod Die Entropiebilanz lautet somit: 0= Q H + Q u + T Ṡprod Ṡprod = 70kW u 350K 42kW 280K =0, 05kW K Ẇ V,irr =280K 0, 05 kw K =14kW c) 0= Q H + Q u + T }{{} 0 u Q H = 350K 280K 42kW = 52, 5kW Ẇ t = Q H Q u =52, 5kW 42kW =10, 5kW d) Ẇ t Ẇt =17, 5kW > Ẇ V,irr =14kW, da durch die WKM wegen T > T u ein Teil der in Wärme dissipierten Arbeit in nutzbare Arbeit umgewandelt werden könnte. 57

4 Aufgabe 6.5: Turboverdichter In einem Turboverdichter werden ṁ = 1 kg Luft vom Umgebungszustand p s u = 1bar, T u = 298, 15K (25 C) isotherm ( = T u = const.) aufp 1 =6bar verdichtet. Es gelten folgende Zusammenhänge: spezifische Enthalpie: spezifische Entropie: h h 0 =1 kj (T T kgk 0) s s 0 =1 kj ln ( ) T kgk T 0 0, 287 kj ln ( ) p kgk p 0 Welche Antriebsleistung Ẇt min ist dem Verdichter mindestens zuzuführen? Lösung: Turboverdichter Exergiebilanz liefert Ẇ t min bei Aufnahme von Arbeit +Ẇex = ṁ [h 1 h u T u (s 1 s u )] = + Ẇt Das positive Vorzeichen rührt von der Richtung der Integration u 1her(ṁ ein > 0; ṁ aus < 0). Es folgt schließlich für Ẇ t min : Ẇ t min =+1 kg s [ 0 298, 15K min ( 0 0, 287 kj ( ) )] 6 kgk ln = +153, 3kW 1 58

5 . Q Aufgabe 6.6: Wärmestrom durch eine Wand Als Grundlage für diese Aufgabe betrachten Sie die Aufgabenstellung von Aufgabe 3.10: Entropieproduktion durch Wärmeleitung a) Zeichnen Sie ein Exergie-Anergieflussbild für den in Aufgabe 3.10 beschriebenen Wärmestrom durch eine Wand. b) Berechnen Sie sowohl den in die Wand eintretenden Exergiestrom ĖQ ein als auch den aus aus der Wand austretenden Exergiestrom ĖQ aus und die zugehörigen Anergieströme ȦQ ein und ȦQ aus. c) Wie groß ist der Arbeitsverlust durch Irersibilitäten? Verwenden Sie zwei unterschiedliche Berechnungsverfahren und vergleichen Sie die Ergebnisse. Lösung: Wärmestrom durch eine Wand a) Exergie-Anergie-Flussbild T T B> TA T = T u A Q. Ė v Ȧ Q E Q. Umgebung Wand geheizter Raum b) Ein Wärmestrom kann entsprechend der Umgebungstemperatur T u in Anergie und Exergie unterteilt werden: Q 1 = ĖQ 1 + ȦQ 1 mit Ė = Ẇex > 0. Die Exergie- und Anergieströme sind folgendermaßen definiert: ( Ė Q1 = Ẇex = 1 T u ) Q 1 und Ȧ Q1 = Q 1 ĖQ1 = Q 1 T u 59

6 Folglich strömt der Anergiefluss immer in die gleiche Richtung wie der zugehörige Wärmestrom. Bei der Exergie stimmt dies nur, wenn das Temperaturniveau der Wärmeübertragung oberhalb der Umgebungstemperatur liegt und der Carnot- Faktor positiv ist. Wird der Wärmestrom bei einer Temperatur unterhalb der Umgebungstemperatur übertragen, wie es in Kältemaschinen vorkommt, so strömt der Exergiestrom dem Wärmestrom entgegen. Für die Exergie- und Anergieströme in die Wand hinein gilt: Ė Qein = ( 1 T ) u Q ein =0, 8385kW T B A Qein = Q ein T u T B =9, 1615kW Für die Exergie- bzw. Anegieströme aus der Wand heraus ergibt sich analog: Ė Qaus =0 und Ȧ Qaus =10kW c) Der Arbeitsverlust durch Irersibilitäten kann einmalüber die Entropieproduktion Ẇ Virr = T u Ṡ prod = T u Q ein T A T B T A T B =0, 8385kW oder über die Exergiedifferenz der ein- und austretenden Wärmeströme berechnet werden. Ẇ Virr = Ėein Ėaus =0, 8385kW 60

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