Grundlagen thermischer VT 3

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1 Grundlagen thermischer VT 3 3 Grundlagen der Thermischen Verfahrenstechnik thermal (thermal process engineering) 3. Definitionen Temperatur: T ist das Maß für den Wärmezustand eines Körpers gemessen in 0 C oder K. Wärmemenge: Q ist die äquivalente Größe zu einer Arbeit oder Energie (amount thermal heat of heat) (J = Joule = N m = kg m / s ) Wärmestrom: Q & ist die die äquivalente Größe zur Leistung oder Energiestrom (heat flux) (W = J/s = N m/s = kg m / s 3 ) Innere Energie: (internal energy) U ist eine extensive Zustandsgröße, die dem einen thermodynamischen System in einem bestimmten Zustand (state) innewohnenden "Energievorrat" entspricht. 45 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering Enthalpie (enthalpy): H kennzeichnet den Energiezustand (state of energy) eines Stoffes. Bezogen auf kg ist ihre Dimension J/kg = N m/ kg. Zahlenwerte werden häufig auch in kj/kg angegeben. Spezifische Unter c versteht man die einem kg Stoff von gleichbleibenden Wärme: Aggregatzustand (physical state) zugeführte Wärmemenge, die die T des Stoffes um 0 C = K erhöht. Dimension: J/kg K oder kj/kg K. Auch definiert als: c=differenz der inneren Energie / Q& Temperaturdifferenz. λ = A T l Leitfähigkeit (conductivity): λ ist als Wärmestrom (heat flux) pro (Flächeneinheit x Temperaturgradient) definiert. m& D = A c l Diffusionszahl: D ist als Massestrom pro (Flächeneinheit x Konzentrationsgradient (diffusion (unit of area x concentration gradient)) definiert. number) 46

2 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering 3. System und Zustand (system and state) Unter einem thermodynamischen System (thermodynamic system) versteht man einen durch ortsfeste oder ortsveränderliche Grenzen festgelegten Bereich, der zum Zwecke thermodynamischer Untersuchungen von seiner Umgebung abgegrenzt wird (= Bilanzraum (balance space)). Gegenstand der thermodynamischen Untersuchungen ist einerseits das innere Verhalten (interior behaviour), d.h. die Zustandsänderung des Stoffes im thermodynamischen System, und andererseits sein äußeres Verhalten (external behaviour), d.h. der Stoff- und Energietransport (mass and energy transport) über die Systemgrenzen (system boundary). 47 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering Thermodynamische Systeme (thermodynamic systems) können nach verschiedenen Gesichtspunkten klassifiziert werden: - hinsichtlich der Eigenschaften der im System befindlichen Stoffe. - nach den Wechselbeziehungen (interaction) zwischen System und Umgebung (ambient condition) Für die Kennzeichnung (characterisation) des Systems sind zwei Kriterien maßgebend: - Möglichkeit des Stofftransportes (mass transport) sowie - Möglichkeit und Art des Energietransportes (energy transport) über die Systemgrenzen (system boundary). 48

3 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering In geschlossenen Systemen (closed systems) sind die Systemgrenzen (system boundary) für Materie (matter) undurchlässig (impenetrable). Die Materiemengen (matter amount) sind immer konstant, jedoch können sich die Systemgrenzen ändern. Abb. 3.: Geschlossene Systeme (closed system) 49 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering In offenen Systemen (open systems)sind die Grenzen für Materie durchlässig (penetrable). Die im offenen System befindliche Stoffmenge (material amount) kann dabei - konstant bleiben: = i, zu i m mi, ab i - zunehmen (increase) (System wirkt als Stoffspeicher) (material storage) m > i, zu mi, ab (3.) i i - abnehmen (decrease) (Stoff wird aus dem System entspeichert) < i, zu i m mi, ab i (3.) (3.3) Ein Beispiel ist in der Abbildung 3. gezeigt. 50

4 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering 5 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering Existieren keine Temperaturunterschiede zwischen thermodynamischem System und seiner Umgebung (surroundings), so heißt die Systemgrenze adiabat (adiabatisches System). Eine wärmedurchlässige Systemgrenze nennt man diatherm. Nach den Eigenschaften der im System befindlichen Stoffe werden folgende Einteilungen vorgenommen: - bezüglich chemischen Eigenschaften (chemical properties): - Einkomponentensystem (Einstoffsysteme) (one-component system) = im System befindet sich ein chemisch einheitlicher Stoff; - Mehrkomponentensysteme (Mehrstoffsysteme) (multi-component system) = Systeminhalt wird von chemisch unterschiedlichen Stoffen gebildet. - bezüglich physikalischen Eigenschaften (physical properties): - Einphasensystem (single phase system)= Systeminhalt besitzt einheitlichen Aggregatzustand (physical state) - Mehrphasensystem (multiphase system) = Es liegen mehrere Aggregatzustände gleichzeitig vor 5

5 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering Die Zustandsgrößen (quantities of state) werden eingeteilt in: - innere (interior) (z.b. Druck (pressure), Dichte (density), Temperatur (temperature),...), - äußere (external) Zustandsgrößen (z.b. Raumkoordinaten (space coordinates), Geschwindigkeit (velocity), Systemgrenzen (system boundaries),...) ( nach Standpunkt des Beobachters). Die inneren Zustandsgrößen werden unterschieden in: - extensive (mengenabhängige) (quantity dependent), Masse, Stoffmenge, innere Energie, Enthalpie,Volumen - intensive (mengenunabhängige) Zustandsgrößen (z.b. Druck, spez. Volumen, Temperatur,...) Nehmen die Zustandsgrößen feste Werte an, so spricht man vom Zustand des Systems. Das thermodynamische System befindet sich im thermodynamischen Gleichgewicht (thermodynamical equilibrium), wenn sich die inneren Zustandsgrößen nicht ändern. 53 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering Thermische Zustandsgleichung (thermal equation of state): Als thermische Zustandsgleichung bezeichnet man den funktionalen Zusammenhang zwischen den intensiven Zustandsgrößen Druck p, Temperatur T und dem spezifischen Volumen v. Ihre allgemeine, implizierte analytische Form lautet: f(p, v, T) = 0 (3.4) 54

6 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering Die thermodynamischen Zustandsgrößen (thermodynamic equation of state) sind also: - Volumen V: v = V / m (3.5) spezifisches Volumen v ist das auf die Masse bezogene Volumen - Temperatur T: Zwei Systeme der gleichen Temperatur sind im thermischen Gleichgewicht (nullter Hauptsatz). (thermodynamic fundamental law) 55 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering - Druck p: p = F / A (3.6) Die verschiedenen Druckeinheiten sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: kp N kp bar at = Pa = Torr cm m m bar, ,06 097, kp at = 0, ,5 735, cm N Pa = 0-5, , ,0097 m Torr, , ,34 3,595 kp m 0, , ,

7 Grundlagen thermischer VT 3 thermal process engineering Bei Bezugnahme auf eine Phase eines Stoffes sind stets zwei intensive Zustandsgrößen unabhängig veränderlich, so daß die thermische Zustandsgleichung die expliziten Formen annehmen: p = f(v, T) (3.7) v = f(p, T) (3.8) T = f(p,v) (3.9) 57 Grundlagen der Transportgleichungen Grundlagen der Transportgleichungen Bilanzen balances 3.3. Bilanzen (balance) Jedes Verfahren erfordert: - Materie (matter) - Energie (energy) - Impuls (impulse) (Bewegungsgröße) (motion quantity) Für Stoff, Energie und Impuls gelten im Rahmen technischer Arbeitsgänge getrennte Erhaltungssätze (conservation laws). 58

8 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Bilanzen balances Stoff-, Energie- und Impulstransport sind weitgehend analog. Es gilt die allgemeine Transportgleichung der Nichtgleichgewichts-Thermodynamik (non-equilibrium-thermodynamic). Strom- = Intensität x Aktiv- x Triebkraftstärke fläche differenz (flow intensity) = (intensity) x (area of activity) x (difference in driving force) (Zeitliche Änderung der entsprechenden Größe = Stromstärke!) 59 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Bilanzen balances Stoffbilanz (mass balance): Gesetz der Masseerhaltung: Durch chemische Reaktion oder Stoffbearbeitungsvorgänge kann Materie weder geschaffen noch vernichtet werden. Σ m Z = Σ m A + Σ m V = const (3.6) m Z = Masse des zugeführten Stoffes m A = Masse des abgeführten Stoffes m V = Stoffverluste Ausbeute (yield): Verhältnis der Menge Endprodukt zur Menge Ausgangsstoff Durchsatz (output): Menge pro Zeiteinheit 60

9 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Bilanzen balances Energiebilanz (energy balance): Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden, sondern nur in andere Energieformen umgewandelt werden: Σ W Z = ΣW A + Σ W V = const. (3.7) W= Arbeit Leistung P: Stellt die in der Zeiteinheit gewonnene oder benötigte Energie der Apparate und Maschinen dar. Nutzleistung P e : Die Nutzleistung P e ist stets kleiner als die tatsächlich zugeführte Leistung P. 6 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Bilanzen balances energetischer Wirkungsgrad (energetic efficiency) η = P e / P (0...<) (3.8) oder unter Nutzung der oberen Gleichung W < (3.9) V η = W W A = W Z Z 6

10 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Bilanzen balances Impulsbilanz momentum balance Impulserhaltungssatz: In einem geschlossenem System bleibt der Gesamtimpuls während der Bewegung nach Größe und Richtung konstant. Σ I Z = Σ I A + Σ I V = const (3.0) Verweilzeit, mittlere im Apparat time of direct contact Verhältnis Volumenstrom zu Volumen in der Prozeßeinheit V& gesamt V Pr ozeßeinheit 63 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Bilanzen balances Diese Größen können im System bilanziert werden. Die Bilanzen resultieren aus den Erhaltungssätzen für Masse, Energie und Impuls, siehe Gleichung. bis.4 64

11 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3 Phänomenologische Transportansätze beschreiben Energietransporte Analogie Wärme/ Stoff/ Impuls/ Ladung Stromdichten und Gradienten sind gerichtete Grössen (Vektoren) und können von Zeit und Ort abhängig sein Stromdichte = Leitwert Gradient Q d q& ϑ = & = λ A dx m& A F dv τ = = η A dx du I = κ dx = D dc dx Wärmeleitung, Fourier heat conductivity Diffusion, Fick diffusion Impuls, Newton impulse Elektrische Ladung, Ohm electrical charge 65 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie theory of similarity 3.3. Ähnlichkeitstheorie (theory of similarity) Die allgemeinen Differentialgleichungen (general differencial equation) der Transportvorgänge sind oft zu kompliziert oder unlösbar, so daß empirische Beschreibungen notwendig werden. Die Ähnlichkeitstheorie besagt, dass physikalische Vorgänge zueinander ähnlich sind, wenn die die Vorgänge beschreibenden Kenngrößen gleich groß sind. Diese Ähnlichkeitskenngrößen (characteristic number of similarity) oder Ähnlichkeitskriterien (criteria of similarity) stellen multiplikative Verknüpfungen von Stoffwerten (Wärmeleitfähigkeit (thermal conductivity), Zähigkeit (viscosity),...) und prozessbeschreibenden Größen (Strömungsgeschwindigkeit (velocity of flow), Temperaturdifferenz,...) dar und können als solche aus den prozessbeschreibenden Differentialgleichungen (process characterizing differential equation) bestimmt werden. 66

12 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie Physikalische Ähnlichkeit (physical similarity) erfordert: - geometrische Ähnlichkeit (geometric similarity) (z.b. Längenverhältnis) - gleiche physikalische Gesetze (physical law) (z.b. Reibungs- oder Schwerkrafteinflüsse (influences of friction or gravity)) - gleiche Randbedingungen (limiting condition). Übertragungsmaßstäbe (scale up) sind jeweils konstant für: - einzelne geometrische Größen (geometric quantities) (A, V,...) - Grundeinheiten, zusammengesetzte Einheiten (fundamental units) - dimensionslose Größen (dimensionless quantities) (Identität) 67 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie Grenzen der Übertragbarkeit (limits of scale-up) werden bestimmt durch den physikalischen Zustand z.b. - Temperatur überkritischer Zustand von Gasen, supraleitender Zustand von Festkörpern - Druck Verflüssigung von Gasen - Geschwindigkeit Effekte im Überschallbereich/nahe der Lichtgeschwindigkeit - Abmessungen laminare turbulente Strömung (dimensions) Technische Modellvorstellungen (Formeln) sind daher stets zu überprüfen auf -physikalische Gültigkeit d.h. der Vorgang wird durch das gleiche Grundgesetz beschrieben, das dem Formelmodell zugrunde liegt. - Überschreitungen der Gültigkeitsgrenzen (limits of validity). Ist eines der Kriterien nicht erfüllt, so ist die Formel für den Anwendungsfall unzulässig! 68

13 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie Dimensionslose Kenngrößen (dimensionless quantities) werden für die Beschreibung ähnlicher Vorgänge bevorzugt, da der Übertragungsmaßstab = x/ ist. Nach dem Guckmann- Kirpitschew-Theorem sind einander ähnliche Vorgänge durch gleiche Werte der dimensionslosen Kennzahlen (dimensionless numbers)gekennzeichnet. Aus geometrischen Größen und Stoffwerten (physical characteristics) kann eine Vielzahl dimensionsloser Ausdrücke gebildet werden. Die Kennzahlen können entsprechend ihres Aufbaus unterteilt werden in: -Simplexe, als dimensionslose Quotienten zweier gleicher Meßgrößen (z.b. Temperatur-, Zeit-, Masseverhältnis) -Komplexe, als dimensionslose Kombinationen mehrerer unterschiedlicher Meßgrößen unterschiedlicher Dimension. -Gütegrad (degree of quality) als Quotienten zweier dimensionsloser Komplexe und unabhängig von der Systemabmessung (z.b. Prandtl-Zahl). 69 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie Dimensionslose Kennzahlen und ihre Bedeutung I: Die folgende Tabelle enthält die wichtigsten in der VT genutzten dimensionslosen Kennzahlen Biot (Bi) Fourier (Fo) Geometriezahl (Γ) Prandtl (Pr) Reynolds (Re) Pe Re α r λ α t d l l c = p v d ρ η η λ v d ν Wärmeübergang am Feststoff/ Wärmeleitung im Feststoff Geleitete Wärme/ Gespeicherte Wärme Verhältnis zweier Abmessungen Reibungswärme/ Geleitete Wärme Trägheitskraft/ Innere Reibungskraft 70

14 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie Dimensionslose Kennzahlen und ihre Bedeutung II: KNUDSEN-Zahl (Kn) Zähigkeitszahl (H) MACH-Zahl (Ma) ARCHIMEDES-Zahl (Ar) BODENSTEIN-Zahl (Bo) Peclet (Pe ) EULER-Zahl (Eu) Λ Kn = mittlere freie Weglänge / Rohrdurchmesser d η H = Zähigkeitsverhältnis η w Ma = c gl ρ v ρ wl v l Bo = Sc Re = Konvektionsstrom /Diffusionsstrom D p Eu = Druckkraft/ Trägheitskraft ρw Strömungsgeschwindigkeit/ Schallgeschwindigkeit 3 Ar = Dichte-Antriebskraft/ innere Trägheitskraft 7 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie Dimensionslose Kennzahlen und ihre Bedeutung III: FROUDE- Zahl (Fr) GALILEI-Zahl (Ga) GRASHOF-Zahl (Gr) NEWTON-Zahl (Ne) NUSSELT-Zahl (Nu) PECLET-Zahl (Pe) v w Fr = = Trägheitskraft/Schwerkraft Fa g d gl 3 Re gl Ga = Fr v 3 gl Gr = γ T v Ne = Fr m wv Antriebskraft/ Trägheitskraft αlα d Nu = Wärmeübergangsstrom /Wärmeleitstrom λ Re vwl l Pe = = Konvektionsstrom / Wärmeleitstrom Pr a = Schwere Antriebskraft/ innere Trägheitskraft thermische Antriebskraft /innere Trägheitskraft 7

15 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie SHERWOOD- Zahl (Sh) WEBER-Zahl (We) LEWIS-Zahl (Le) SCHMIDT-Zahl (Sc) STANTON Zahl (St) Sh We βl D = Stoffübergangsstrom/ Diffusionsstrom ρ w l σ v l = Trägheitskraft / Oberflächenkraft Sc a Le = = Wärmeleitstrom / Diffusionsstrom Pr D Bo v Sc = = innere Reibung / Diffusionsstrom Re D α vst ρ c Nu Pr Sh= β = Re Bo P w = Stoffübergangsstrom / Konvektionsstrom 73 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie Stofftransport Analog zu Nu Analog zu Pr Analog zu Fo Analogien Wärme- zu Stofftransport α β Wärme- zu Stoffübergangszahl λ D Wärmeleitzahl zu Diff.koeffizient α d Nu = λ Fluid β d Sh = D ν ν Pr = Sc = αa D αa t D t Fo = Fi = X d Verbindung Wärmeund Stofftransport Le = a D = λ cp ρ = D Sh Pr 74

16 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie Kanal-Strömung (Rohr, Spalt,..) Wärmeübergang und Strömung 0, Re > 0000; Kanallänge L > 00*d 0 η f,04 Re Pr Nu = ηw 0,054 Kanallänge L > 00*d 0 L 0, η f,03 Re Pr Nu = d ηw Laminare Strömung Re < < Re < 000 0,33 0,33 L η f,86 ( Re Pr) Nu = d ηw 0,37 Nu = Re Pr Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie Wärmeübergang und Strömung Quer angeströmte Rohrbündel (3000<Re<40000) Nu d 0,6 0,3 Re Pr 0,33 Längs angeströmte Wand Re < 0 5 Nu = 0,5 0,664 Re Pr 0, < Re < 5*0 5 Re > 5*0 5 Nu 0,00 Re 0,8 0, 33 ( Re 300) Pr Nu = 0,037 76

17 Grundlagen der Transportgleichungen 3.3. Ähnlichkeitstheorie Wärmeübergang und Strömung Umströmter Einzelkörper 0 < Re < 00 Nu = 0,5 + 0,6 Re Pr 0,33 0 < Re < Doppelwandiger Behälter mit Rührwerk Nu = 0,6 0,37 Re d Pr 0,33 6 π = 3 V n d Re = ν α d Nu = λ Nu = η 0 0,66 0,33 f,36 Re Pr η w 0,4 77 Wärmeübertragung Wärmeübertragung (heat transfer) heat transfer Eine Wärmeübertragung kann erfolgen durch: - Leitung (conduction): hat Bedeutung für Festkörper, ruhende Flüssigkeiten und Gase. q = - λ dt/dx (3.5) mit λ = Wärmeleitzahl (coefficient of thermal conductivity) - Konvektion (convection): erfolgt durch Strömung in Flüssigkeiten oder Gasen. Unterscheidung: freie Konvektion / erzwungene Konvektion. q = - α T (3.6) mit α = Wärmeübergangszahl (heat transfer coefficient) - Strahlung (radiation): von Gas, Flüssigkeit und Festkörper möglich. (T 4 - T 4 ) q = - α Str T (3.7) α Str = ε σ S (3.7a) (T - T ) Bei Wärmetransport durch Phasengrenzflächen (interfaces) spricht man von Wärmeübergang! 78

18 Wärmeübertragung 3.4 Unterscheidung zwischen stationären und nichtstationären Wärmetransport. - Für stationären Wärmetransport (heat transport) gilt: T = const. Dabei bleibt T in jedem Punkt des betrachteten Prozeßraumes zeitlich unverändert (ortskonstant). - Für den nichtstationären Wärmetransport (heat transport) gilt: T = f (t). T ändert sich zeitabhängig in einem Punkt des Prozessraumes (process space). 79 Wärmeübertragung Wärmetransport (heat transport) durch Leitung (conduction) Jeder Stoff leitet bei Vorhandensein eines Temperaturgefälles Wärme. Energieträger sind Moleküle oder Elektronen. Die Energieweiterleitung erfolgt durch Zusammenstöße. Es gilt das Fourier'sche Gesetz: Q& = λ A T x (3.8) Q &, die je Zeiteinheit transportierte Wärmemenge, ist proportional der Temperaturdifferenz T und der Fläche A sowie umgekehrt proportional der Länge des Transportweges x. Proportionalitätsfaktor ist die Wärmeleitfähigkeit λ (stoffspezifische Größe). Die Tabelle gibt einige Beispiele. 80

19 Wärmeübertragung 3.4 Wärmeleitfähigkeit λ/ J smk für einige Stoffe: Stoff Wärmeleitfähigkeit λ / Silber Kupfer copper Blei lead Eis Glas Ziegelmauerwerk Isolierstoffe insulating material Wasser Luft , 0,75 0,4, 0,03 0, 0,59 0,05 0,0 0, Gase, geschäumte Stoffe 0,- 0,8 Flüssigkeiten, wasserhaltige LM, Kunststoffe, Gummi - 5 Kristalle, Gesteine, Eis Metalle 8 Wärmeübertragung einschichtig-mehrschichtig 3.4 8

20 Wärmeübertragung 3.4 Die allgemeine Beschreibung (general description) Differentialquotient möglich. Es gilt: Q & = λ A dt / dx oder der Vorgänge ist durch den Q& = λ A dt /( dx t) (3.9) Bezogen auf die Fläche A wird die durchströmende Wärme als Wärmestromdichte q& (heat flux density) bezeichnet. q& = Q& / A = ( λ / x)( T T ) (3.30) 83 Wärmeübertragung 3.4 Mehrschichtige ebene Wand (even multi-layer wall) Bei einer mehrschichtigen ebenen Wand geht durch jede Schicht der gleiche Wärmestrom Q &. 3 Q& λ λ λ = A ( T T ) = A ( T T3 ) = A ( T3 T4 ) =... x x x 3 (3.3) oder Q& = A( T0 Tn 0) x / λ + x / λ x / λ n n (3.3) 84

21 Wärmeübertragung 3.4 Wärmetransport durch Leitung 85 Wärmeübertragung 3.4 Zylindrische Wand (cylindrical wall): Q & = - λ A dt/dr (3.33) mit A = π rl (l = Rohrlänge) r Q & = - λ π rl dt/dr (3.34) λ T r. Q T Abb. 3.4: Zylindrische Wand mehrschichtige, zylindrische Wand 86

22 Wärmeübertragung 3.4 Umstellen und integrieren: dt Q& = dr λ π l r (3.35) T Q& r λ π l r T = ln (3.36) 87 Wärmeübertragung 3.4 Der Wärmestrom (heat flux) durch die einschichtige Zylinderwand (one-layer cylindric wall) ist: Q& = λ π l ( T T ) ln( r / r ) (3.37) Wärmestrom durch dreischichtige Zylinderwand (three-layer cylindric wall): Q& = / λ ln r / r π l ( T + / λ ln r 3 T4 ) / r + / λ ln r 3 4 / r 3 (3.38) 88

23 Wärmeübertragung 3.4 Hohlkugelwand (hollow sphere wall): Kugelfläche: A = 4 πr Q & = - λ 4π r dt/dr (3.39) (spherical surface) Umstellen und integrieren: dt Q& = dr λ 4π r (3.40) T T Q& = + λ 4π r r (3.4) 89 Wärmeübertragung 3.4 Einschichtige Hohlkugelwand (one-layer hollow sphere wall): Q& = λ 4 π ( T (/ r / T r ) ) (3.4) 90

24 Wärmeübertragung 3.4 Wärmeaustauscher (heat exchanger): Zwei Massenströme (mass flows) unterschiedlicher Temperatur, die durch eine Wand getrennt sind, tauschen ihre Wärme aus. Die Apparate, in denen dies geschieht, nennt man Wärmeaustauscher. Die Ströme der meisten Wärmeaustauscher werden im Gleichstrom oder Gegenstrom (parallel flow or counterflow) geführt. Die Temperatur ändert sich längs des Strömungsweges. Für die Wärmemengen (quantity of heat) gilt: Q = m c (T E - T A ) (3.43) = m c (T A - T E ) (c = spez. Wärme (specific heat)) Q = A k T m (3.44) ( T m = mittlere log. Temperaturdifferenz) 9 Wärmeübertragung 3.4 Wir führen den Begriff der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz ein, da sich die Temperaturen während des Austauschvorganges stetig ändert. Wie aus Gl und 3.44 und der folgenden Abbildung zu sehen ist, ergibt sich für T m : Wärme abgebender Strom Wärme aufnehmender Strom Wärme abgebender Strom Wärme aufnehmender Strom T gr T gr T kl T kl Gleichstrom (parallel flow) Gegenstrom (counter current) 9

25 Wärmeübertragung 3.4 T gr T gr T kl T kl Abb. 3.5: Strömungs- und Temperaturverlauf (flow and heating pattern) im Gleich- und Gegenstromwärmeaustauscher 93 Wärmeübertragung 3.4 Gleichstrom (parallel flow): [(T E - T E ) - (T A - T A )] T m = (3.45) ln [(T E - T E )/(T A - T A )] Gegenstrom (counter flow): [(T E - T A ) - (T A - T E )] T m = (3.45) ln [(T E - T A )/(T A - T E )] Diese Grundlagen haben für die thermischen Grundprozesse (thermal basic process) und die Gestaltung und Nutzung von Wärmetauschern große Bedeutung (s. Abschnitt 4). 94

26 Wärmeübertragung 3.4 ϑ m = ϑgroß ϑ ϑgroß ln ϑ klein klein 95 Wärmeübertragung 3.4 Wärmetransport durch Konvektion convection 3.4. Wärmetransport Energieträger durch ist ein flüssiger Konvektion oder gasförmiger (heat transport Massestrom; by convection) dieser streicht an ruhender, fester Oberfläche vorbei und tauscht Wärme aus Unter Konvektion ist der Transport thermischer Energie mit Hilfe eines bewegten fluiden Mediums zu verstehen. Handelt es sich um den Transport der thermischen Energie zwischen einem Fluid (Gas oder Flüssigkeit) und einem von diesem benetzten Festkörper, spricht man von Wärmeübergang (heat transfer). An Berührungszone liegt reine Wärmeleitung vor. Der Wärmeübergang ist daher als Zusammenwirken von Wärmeleitung und Konvektion zu verstehen (Abb.). Die Be- und Entladung des Fluids mit der transportierten Wärmemenge ist der geschwindigkeitsbestimmende Schritt. Grenzschicht 96

27 Wärmeübertragung 3.4 Wärmetransport durch Konvektion convection Abb. : Wärmeübergang an einer Wand α-werte [W/(m *K)] kondensierender Dampf siedendes Wasser strömendes Wasser nahezu ruhendes Wasser 3 0 nahezu ruhende Luft 0 30 mittlere Luftgeschwindigkeiten 97 Wärmeübertragung 3.4 Beim konvektiven Energietransport lassen sich hinsichtlich der Aufrechterhaltung der Strömung zwei Arten der Fluidbewegung unterscheiden: Die erzwungene Konvektion (forced convection)und die freie Konvektion. (free convection) Für den Wärmeübergang gilt: Q& = A α ( T T ) (3.46) mit α = Wärmeübergangszahl [W/m K = J/s m K] Besonderen Einfluss auf die Wärmeübergangsverhältnisse haben die hydrodynamischen Vorgänge im strömenden Medium. Es ist zwischen laminaren und turbulenten Verhalten zu unterscheiden, was durch die Reynolds-Zahl, Re gekennzeichnet ist. Sie ist definiert als das Verhältnis von Trägheitskraft (inertial force) zu innerer Reibungskraft (frictional force). Re = d ρ w η /π (3.47) Dabei ist d ein Maß für die Grenzschichtdicke (boundary layer thickness), w die Strömungsgeschwindigkeit (flow viscosity), velocity) η die Zähigkeit (viscosity), ρ die Dichte (density). 98

28 Wärmeübertragung 3.4 Wärmetransport durch Konvektion convection Der physikalische Vorgang, der dem Wärmeübergang an eine Festkörperoberfläche zugrunde liegt, wird gleichzeitig durch das hydrodynamische und thermodynamische Verhalten der wandnahen Fluidschichten bestimmt. Eine charakteristischer Größe ist für Wärmeübergangsvorgänge die Nusselt-Zahl, Nu. Sie kann als dimensionsloser Wärmeübergangskoeffizient betrachtet werden und kennzeichnet das Verhältnis zwischen dem Wärmetransport durch Konvektion und demjenigen durch Leitung. Es gilt: Nu = α d / λ (3.48) Die Prandtl-Zahl, Pr enthält nur Stoffeigenschaften und ist damit eine reine Zustandsgröße. Sie charaktersisiert das Verhältnis aus Reibungswärme zu geleiteter Wärme (Wärmeleitstrom). Pr = η c / λ (3.49) 99 Wärmeübertragung 3.4 Wärmetransport durch Konvektion convection Als Ähnlichkeitskriterium (criteria of similarity) für eine durch Temperaturunterschiede verursachte Auftriebsströmung (lift flow)dient die Grashof-Zahl, Gr. Dabei definiert man als Triebkraft (driving force) die Temperaturdifferenz zwischen Heizfläche und Kernströmung (core flow) des Fluids. Gr ist definiert als Verhältnis der thermischen Antriebskraft zur inneren Trägheitskraft. Unter Nutzung der Ähnlichkeitstheorie (theory of similarity) ist eine funktionelle Zuordnung der Ähnlichkeitskriterien für die Beschreibung des Wärmeübergangs durch die Gleichung der Form φ (Nu, Re, Pr, Gr) = 0 (3.50) d³ g ϑ βv ν² möglich. β v oder γ = kubischer Ausdehnungskoeffizient, ν = kinematische Viskosität 00 möglich.

29 Wärmeübertragung 3.4 Wärmetransport durch Strahlung radiation Wärmetransport durch Strahlung (heat transfer by radiation) Bei der Temperatur- oder Wärmestrahlung handelt es sich um einen elektromagnetischen Schwingungsvorgang (process of oscillation), der von festen, flüssigen und gasförmigen Körpern ausgehen kann und an keinen stofflichen Träger gebunden ist. Das Energiepotential der strahlenden Körper ist ihre innere Energie. Zur Kennzeichnung des Schwingungsspektrums dient die Frequenz ν (frequency)oder die Wellenlänge λ (wavelength). Beide Größen sind über die Lichtgeschwindigkeit c (light velocity) über die Beziehung ν = c/λ (3.5) verbunden. Üblicherweise liegt liegen der elektromagnetische Wellenlängen im Bereich Wellen von im λ Bereich > 0,8. 0 von -6 m. λ > 0,8 0-6 m Nach dem Energieerhaltungssatz gilt für den Strahlungsenergiestrom (flow of radiation energy) die Bilanz: f r + f a + f d = (3.5) mit: f r = reflektierter Teil (reflected part), f a = absorbierter Teil K(absorbed part), f d = durchgelassener Teil (passed part) der Wärmestrahlung. 0 Wärmeübertragung 3.4 Wärmetransport durch Strahlung radiation Reflektiert ein Körper keine Strahlung, so handelt es sich um einen "schwarzen Körper" (black body). Es gilt das Stefan-Boltzmann'sche Gesetz: ε S (T) = σ S T 4 (3.53) Danach ist der vor einer Oberfläche abgestrahlte Wärmestrom proportional der 4. Potenz der Temperatur und der Strahlungszahl σ S des schwarzen Körpers. Q& = Aσ T S 4 (3.54) mit σ S = 5, W / m K 4 = J / s m K 4 (Stefan-Boltzmann-Konstante). Alle realen Körper strahlen weniger Energie ab als der schwarze Körper. σ S wird deshalb real kleiner sein. Der Emissionsgrad ε = σ/σ S drückt die Reduktion aus. 0