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1 W 4 Wärmeleitfähigkeit. Aufgabenstellung. Bestimmen Sie aus der zeitlichen Änderung der Wassertemperatur des Kalorimeters den Wärmeaustausch mit der Umgebung.. Stellen Sie die durch Wärmeleitung hervorgerufene Änderung der Wassertemperatur in Abhängigkeit von der Zeit dar. Ermitteln Sie daraus für 5 emperaturintervalle den Wärmestrom durch den Probestab und berechnen Sie unter Berücksichtigung des Wärmeaustausches mit der Umgebung die zugehörige Wärmeleitfähigkeit λ von Kupfer..3 Führen Sie eine Größtfehlerberechnung zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit durch.. heoretische Grundlagen Stichworte zur Vorbereitung: Wärmetransport (Leitung, Strahlung, Konvektion), Wärmeübergang, emperaturgradient, Wärmeleitfähigkeit, allgemeine Wärmeleitungsgleichung, Wärmekapazität, Wärmereservoir, Kalorimeter, emperaturmessung, hermoelement Literatur: W. Ilberg, M. Krötzsch Physikalisches Praktikum, 0. Auflage Kap. W5, eubner Verlag 994 E. Grimsehl Lehrbuch d. Physik, Bd. Kap...,.5.,.., eubner Verlag 99 W. Demtröder Experimentalphysik I, Mechanik und Wärme Kap...,.., Springer Verlag 994 Bergmann-Schäfer Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. Kap. 9, 95-99, W. de Gruyter 970

2 Besteht zwischen verschiedenen Orten ein emperaturgradient, so findet ein emperaturausgleich, d. h. ein Wärmetransport statt. Dieser kann durch Konvektion, Wärmeleitung und Strahlung erfolgen. Bei der Konvektion bewegt sich ein die Wärme tragender Stoff von einem Ort zum anderen, d. h., es wird gleichzeitig Energie und Materie transportiert. In Flüssigkeiten und Gasen erfolgt der Wärmetransport vorwiegend auf diese Weise. Bei der Wärmestrahlung findet die Wärmeübertragung von einem Körper zu einem anderen ohne Mitwirkung von Materie statt (z. B. Strahlung der Sonne). Bei der Wärmeleitung erfolgt ebenfalls kein ransport von Materie, sondern nur Energietransport, der jedoch an das Vorhandensein von Materie gebunden ist. Erfolgt der Wärmetransport ausschließlich durch Wärmeleitung, dann gilt die allgemeine Wärmeleitungsgleichung λ = + + t ρ c x y z, wobei ρ die Dichte, λ die Wärmeleitfähigkeit und c die spezifische Wärme des betrachteten Stoffes sind. Die Lösung dieser Differentialgleichung ergibt unter der Voraussetzung, dass λ nicht selbst von der emperatur abhängt, eine vom Ort und der Zeit abhängige emperaturverteilung ( x, y, z, t ). Wird diese Verteilung experimentell ermittelt, so ist entsprechend Gl.() eine Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit möglich. Zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit wird experimentell jedoch die atsache genutzt, dass sich in vielen Fällen ein zeitlich konstantes emperaturfeld ( = 0) ausbildet. So stellt sich z. B. im stationären Zustand ein lineares emperaturgefälle entsprechend Gl.() ein, wenn ein Stab (Länge, Querschnitt A ) zwischen zwei Wärmereservoire der konstanten emperaturen und gebracht wird (eine seitliche Wärmeabgabe sei durch eine isolierende Umhüllung verhindert): () ( x) = x+. ()

3 < Metallstab Querschnitt A Wärmeisolation 0 x Abb. : Metallstab zwischen zwei Wärmereservoiren Wird die pro Zeiteinheit ( dt ) von der höheren ( ) zur niederen emperatur ( ) durch die Querschnittfläche ( A ) geflossene Wärmemenge ( dq ) experimentell bestimmt, so kann mit Hilfe des Fourier schen Ansatzes dq A Q = = λ Δ dt (3) die Wärmeleitfähigkeit des Stabes berechnet werden. Will man die von der Δ = emperatur abhängige Wärmeleitfähigkeit λ ( ) exakt bestimmen, müsste einerseits der emperaturgradient infinitesimal klein und anderseits die emperaturen und zeitlich konstant sein. Beide Voraussetzungen sind aber bei diesem Versuch nicht erfüllt. Um realitätsnahe Messzeiten zu erreichen wird bei diesem Experiment ein emperaturgefälle von ca. 70 K bis 90 K aufrecht gehalten. Außerdem kann aus Gründen des experimentellen Aufbaus die emperatur des 3

4 unteren Wärmereservoirs nicht exakt konstant gehalten werden, d. h. Δ wird auf Grund der ständig zugeführten Wärme immer kleiner. Deshalb kann aus den Rechnungen nur eine mittlere Wärmeleitfähigkeit für das Intervall Δ ermittelt werden. Besondere Verhältnisse liegen für den Wärmeübergang an solchen Stellen vor, wo zwei verschiedene Stoffe mit unterschiedlicher emperatur (, ) aneinander stoßen. Die in der Zeit ( dt ) durch eine rennfläche ( ) Wärmemenge ( dq ) wird durch die Beziehung ( ) a i a A fließende dq= α A dt (4) beschrieben, wobei α die Wärmeübergangszahl [ α ] = W m - K - ist. Sie hängt nicht nur von den beiden Medien ab, sondern auch von der speziellen Art der Grenzfläche (Rauhigkeit, Fremdeinschlüsse) oder vom Bewegungszustand an der Grenzfläche, wenn eines der beiden Medien ein Gas oder eine Flüssigkeit ist. Beim Übergang zu einer Eisenplatte treten z. B. folgende Wärmeübergangszahlen auf: bei ruhender Luft oder freier Konvektion [ α ] = 5,8 W m - K - bei langsam strömendem, siedendem Wasser [ α ] = 5800 W m - K - bei Wasserdampf, der an der Wand kondensiert [ α ] = 600 W m - K - echnische Bedeutung z. B. Wärmetauscher hat der Wärmeübergang vor allem zwischen strömenden Medien, die durch eine feste Wand (z. B. metallische Rohrwand) getrennt sind (Abb. ). Im stationären Zustand ist der Wärmestrom Q gleich groß, so dass die einzelnen emperaturdifferenzen durch folgende Gleichungen beschrieben werden: Durch Addition der Gln.(5) und in Analogie zu Gl.(4) wird per Definition i Q = α A a Q = λ A Q = α A b (5) die so genannte Wärmedurchgangszahl k Gl.(6) eingeführt 4

5 = + + k α λ α (6) α und α sind dabei die beiderseitigen Wärmeübergangszahlen, Dicke und λ die Wärmeleitfähigkeit des Wandmaterials. Medium Medium Medium 3 a α λ α b x Abb. : emperaturverlauf beim Wärmedurchgang (schematisch) 5

6 3. Versuchsaufbau Abb. 3 zeigt schematisch den Versuchsaufbau. Der obere Geräteteil, der das siedende Wasser aufnimmt, sowie das Kalorimeter stellen Wärmereservoire dar. hermoelement auchsieder Wasser Isolation Metallstab hermoelement Wasser Magnetrührer Kalorimeter Abb. 3 : Versuchsaufbau (schematisch) 4. Versuchsdurchführung 4. Da das Kalorimeter während der späteren Messzeit Wärme mit der Umgebung austauscht, muss in einem Vorversuch der dadurch verursachte Wärmestrom Δ Δ = ( + ) Q / t c m W Δ/ Δ t u W 6

7 ermittelt werden. Dazu wird Wasser (ohne Eis) mit einer emperatur kleiner 5 C (hergestellt durch ein Eis-Wasser-Gemisch) in das Kalorimeter gegeben und die zeitliche Änderung (5 min) der Wassertemperatur im Kalorimeter aufgenommen. Um vergleichbare Messbedingungen zu realisieren, muss bereits in diesen Versuchsteil ein intensives Rühren des Wassers mit dem Magnetrührer erfolgen. Ermitteln Sie die Masse des verwendeten Wassers durch Differenzmessung der Masse des Kalorimeters mit und ohne Wasser. 4. In dem Metallstab wird durch zwei Wärmereservoire, oben kochendes Wasser (auchsieder) und unten Eiswasser, zunächst ein konstantes emperaturgefälle hergestellt. Im oberen Wärmereservoir muss sich möglichst viel Wasser befinden, um den auchsieder sicher zu benetzen. Achtung Vor dem Einschalten des auchsieders den Wasserstand im Messinggefäß kontrollieren Nach Beendigung des Experiments auchsieder ausschalten Die erstmalige Erwärmung des Wassers erfolgt mit Hilfe eines bereitstehenden Kochwasserbereiters. Aus diesem wird die benötigte Menge Wasser in das obere Reservoir gegossen. Erwärmen Sie dieses Wasser mit dem auchsieder weiter bis es kocht (U~0 V). Reduzieren Sie dann die Spannung auf ca.50 V, so dass das Wasser nur noch leicht weiter kocht. Schließen Sie das Gefäß mit dem Messingdeckel ab und stecken Sie das hermoelement (Messstelle ) in die Öffnung, so dass die emperatur im Kupferstab gemessen wird. Stellen Sie in einem separaten Gefäß ca.300 ml Eiswasser her. Füllen Sie damit das Kalorimeter bis ca. 3 cm unter den Rand. Um einen gleichmäßigen Wärmeübergang zwischen Kupferstab und Wasser zu gewährleisten, ist während der gesamten Messzeit ein intensives Rühren erforderlich. Stellen Sie den Magnetrührer so ein, dass sich der Magnet im Wasser stabil dreht. Geben Sie noch bis 3 kleine Eisstücke in das Kalorimeter und positionieren Sie es so auf dem Stativtisch, dass der Kupferstab durch die vorgesehene Öffnung abgesenkt werden kann. Das hermoelement (Messstelle ) wird durch die dafür vorgesehene Bohrung im Deckel des Kalorimeters gesteckt. Nehmen Sie die zeitliche Änderung der emperaturen an den Messstellen und über eine Zeit von 5 Minuten auf. 7

8 Die verwendete Wassermenge ist wiederum aus einer Differenzmessung zu bestimmen. Ermitteln Sie die für den Wärmetransport wirksame Stablänge, in einem Voroder Nachversuch durch Eintauchen des Stabes in das Kalorimeter ohne Abdeckung. Bestimmen Sie den Querschnitt des Probestabes. 5. Kontrollfragen 5. Warum stellt Eiswasser ein Wärmereservoir dar, Wasser derselben emperatur ohne Eis jedoch nicht? 5. Leiten Sie das emperaturprofil ( x ) (Gl.) her. 5.3 Zeigen Sie die Gültigkeit von Gl.(5) und erläutern Sie Beispiele für die technische Nutzung eines Wärmetauschers. 5.4 Welche Analogie besteht zwischen Wärmeleitung und Diffusion? 5.5 Was versteht man unter dem SEEBECK-Effekt (hermoelement)? 8

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