MP6. Wärmeleitung, Konvektion Version vom 4. November 2010

Transkript

1 Wärmeleitung, Konvektion Version vom 4. November 2010

2 Inhaltsverzeichnis 0 Allgemeine Grundlagen Was ist Wärme? Hauptsätze der Wärmelehre Wärmeübertragung und Wärmetransport Grundlagen Begriffe Wärmeleitung und Wärmediffusion Stationäre Wärmeleitung und Wärmeübergang Zweiplattenmessverfahren Temperaturmessung mit einem NiCr-Ni Thermoelement Wärmeleitung in festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen Aufgabenstellung Versuchsaufbau und Durchführung Aufbau der Wärmemesskammer Experimentelle Durchführung Auswertung Fehlerrechnung Literaturangaben Konvektion Grundlagen Allgemeines zur Konvektion Natürliche Konvektion Rayleigh-Zahl Aufgabenstellung Versuchsaufbau und Durchführung Berechnung der Rayleigh-Zahl

3 Inhaltsverzeichnis Lehr/Lernziele Kennenlernen von Wärmetransportmechanismen. Begriffe zur Wärmeleitung und Wärmeübergang kennenlernen und ihre charakteristischen Größen verstehen und berechnen lernen. Konvektion als komplexen Wärmetransportmechanismus begreifen und ein Modell zu seiner Charakterisierung anwenden lernen. Experimentelle Zugänge zum Wärmetransport kennenlernen Meteorologischer Bezug Wärmeleitung in der Meteorologie Wärmeleitung ist in der Meteorologie ein wichtiges Phänomen, wenn es darum geht, zu verstehen, wie der Boden Wärme aufnimmt und wieder abgibt. Dies wirkt sich letztendlich darauf aus, wie stark und wie gleichmäßig die Luft direkt über dem Boden erwärmt wird. Die oberste Schicht des Bodens wird durch die Sonneneinstrahlung erwärmt. Im Detail bedeutet das, dass die kurzwellige Sonnenstrahlung in langwellige Wärmestrahlung umgewandelt wird. Ein Teil dieser Strahlung wird sofort von der obersten Bodenschicht wieder abgestrahlt. Ein weiterer Teil wird im Boden nach unten abgeleitet. Wie groß dieser zweite Teil ist, hängt von der Wärmeleitfähigkeit des Bodens ab. Allgemein kann man sagen, dass mineralische Böden (Lehm, Stein, Sand) besser leiten als organische Böden (Moor, Torf). (Dies kann man übrigens auch leicht daran erkennen, dass sich zum Beispiel ein Holzfußboden wärmer anfühlt, als ein Steinfußboden.) Außerdem leiten auch feuchte Böden besser, als trockene und kompakte Böden besser, als lockere. Bei einem gut leitenden Boden passiert nun folgendes: Am Tag wird die oberste Schicht durch die Sonnenstrahlung erwärmt. Da der Boden gut leitet, wird ein großer Teil dieser Wärme schnell in tiefere Schichten abgeleitet. Dadurch erwärmt sich die Luftschicht über dem Boden nicht so stark. In der Nacht wird die Wärme aus den tieferen Bodenschichten wieder nach oben geleitet, wo in der Grenzschicht zwischen Luft und Boden auch wieder die Luft erwärmt wird. Bei einem schlecht leitenden Boden fällt dieser Ausgleich zwischen Tag und Nacht weg. Am Tag bleibt die ganze Wärme in der obersten Schicht und erhitzt somit die Luft stark. In den tieferen Bodenschichten kann außerdem nur schlecht Wärme gespeichert werden, weswegen die Luft in der Nacht stärker abkühlt. Die Folge dieses Phänomens ist, dass der Tagesgang (=Temperaturschwankung über 24 Stunden) über schlecht leitenden Böden mehr schwankt, als über gut leitenden. Im Boden selbst verhält es sich genau umgekehrt. In 50 cm Tiefe bleiben die Temperaturen bei einem schlecht leitenden Boden relativ konstant. Bei einem gut leitenden Boden schwanken sie. Dies hat natürlich auch Auswirkungen auf - 1 -

4 Inhaltsverzeichnis die Tiefe, in die im Winter der Frost eindringen kann. Ein Detail am Rande: In entwässerten Mooren kann es am Tag sehr heiß werden. Der Grund dafür ist, dass der Boden sehr schlecht leitet. Er besteht ja fast ausschließlich aus organischem Material. Ist er zudem noch trocken, kann kaum Wärme in tiefere Schichten abgeführt werden. Sie staut sich in der obersten Schicht und erhitzt die angrenzende Luft. In der Nacht kühlt die Luft über entwässerten Mooren entsprechend stark ab. So werden leicht Temperaturen unter dem Taupunkt erreicht. Die Folge sind starke, für Moore typische Nebelbildungen. 1 Konvektion in der Meteorologie Konvektion spielt in der Meteorologie eine wichtige Rolle. Großräumig führt sie dazu, dass die warme Luft aus Äquatornähe in die Polargebiete transportiert wird, wodurch die Passatwinde entstehen. Auch lokale Windströmungen werden durch Konvektion verursacht. Außerdem bewirkt Konvektion die Bildung von Wolken: feuchte Luftpakete werden in höhere Lagen gehoben. Aufgrund des vertikalen Temperaturgefälles in der Atmosphäre kann es dort unter Umständen kalt genug sein, dass der enthaltene Wasserdampf kondensiert (vgl. Abb. 1). Abbildung 1: Atmosphärischer Hydrozyklus als Beispiel freier Konvektion 1 Vgl. Häckel, Hans: Meteorologie. 5. Auflage: S. 225 ff - 2 -

5 Inhaltsverzeichnis Dies ist auch ein Grund, warum Konvektion in der Atmosphäre nicht eins zu eins auf die oft zitierte Konvektion im Kochtopf übertragen werden kann. In der Atmosphäre hat man es mit feuchter Luft bzw. auch mit kondensiertem Wasser zu tun. In meteorologischen Betrachtungen der Konvektion muss daher auch immer das Auskondensieren bzw. Verdampfen berücksichtigt werden, wenn von sich hebenden oder senkenden Luftpaketen die Rede ist. In einem Experiment mit Flüssigkeit, wie im Praktikum durchgeführt, muss dieser Faktor natürlich nicht berücksichtigt werden. Das ganze vorhandene Wasser bleibt flüssig, egal auf welcher Höhe es sich befindet. Bei einer von unten erwärmten Flüssigkeit bilden sich regelmäßig angeordnete Konvektionszellen (sogenannte Benard-Zellen). In der Atmosphäre kann es unter gewissen Umständen auch zur Ausbildung von solchen Benard-Zellen kommen. Falls die Konvektion erzeugenden erwärmten Gebiete nur klein sind, wird sich die Organisation der Auf- und Abströmungen danach richten. Über dem erwärmten Gebiet steigt die Luft auf, an einer anderen Stelle, die gerade nicht erwärmt wird, kann die Luft wieder ungehindert nach unten strömen. Es gibt somit keinen Grund regelmäßige Strukturen zu bilden. Benardzellen entstehen in der Atmosphäre dann, wenn Luftmassen über größere Flächen hinweg gleichmäßig erwärmt werden, und sich somit kein Platz für Abwinde ergibt. Wenn zusätzlich über dem erwärmten Gebiet eine Inversionslage vorherrscht, sich also eine wärmere Luftschicht über einer kälteren befindet, gibt es eine Grenze, an der die aufsteigende Luft nicht vorbei kann. Die erwärmten Luftmassen können nicht weiter aufsteigen als bis zu dieser bestimmten Grenze. Das heißt, irgendwo muss die kühlere Luft der oberen Schicht wieder nach unten transportiert werden. Da es keinen von vornherein ausgezeichneten Weg gibt (es steigt ja von überall her Luft auf) organisiert sich das Konvektionsgebiet selbst und es bilden sich sogenannte Benard-Zellen aus. Sie können die Form von Sechsecken, aber auch von langgezogenen Walzen haben. Die Beschreibung und das Zustandekommen ihrer Form fällt in den Bereich der nichtlinearen Dynamik (vgl. Chaostheorie). Sichtbar werden solche Konvektionszellen zum Beispiel dann, wenn eine ausgedehnte Stratusschicht von unten erwärmt wird und gleichzeitig auf der oberen Seite Wärme ins Weltall abstrahlt. Die Auf-und Abströme beginnen, sich selbst zu organisieren. In den nach unten sinkenden Luftpaketen (das wären die Linien der Sechsecke) kommen die Wolkentröpfchen in eine wärmere Schicht und verdunsten. Die Wolkendecke reißt auf und bildet sechseckige Flecken, in manchen Fällen auch eine walzenähnliche Struktur

6 0 Allgemeine Grundlagen Abbildung 2: Altocumuli mit teilweise sechseckiger Struktur. Quelle: 0 Allgemeine Grundlagen 0.1 Was ist Wärme? Wärme ist eine spezielle Form von Energie. Sie strömt von einem Körper auf einen anderen, sobald eine Temperaturdifferenz zwischen beiden besteht. In der Wärmelehre werden zwei Betrachtungsweisen unterschieden, die Thermodynamik und die statistische Mechanik. Die Thermodynamik untersucht Beziehungen zwischen makroskopischen Zustandsgrößen, wie z.b. Volumen, Druck, Temperatur oder Gesamtenergie zur Charakterisierung des Gesamtsystems. Die statistische Physik macht Annahmen über den Aufbau der Materie und untersucht mikroskopische Größen (Mikroobservable wie z.b. Freiheitsgrade oder Spin) eines Systems. Die physikalische Grundlage zur Thermodynamik sind die Hauptsätze der Wärmelehre. 0.2 Hauptsätze der Wärmelehre 1. Wärme ist als thermische Energie in der ungeordneten Bewegung von Atomen und Molekülen gespeichert. Führt man einem abgeschlossenen System Wärme und Arbeit von außen zu, so ist deren Summe gleich der Zunahme der inneren Energie. Der erste - 4 -

7 0 Allgemeine Grundlagen Hauptsatz ist ein Energieerhaltungssatz (Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art). Diese Aussage ist nicht beweisbar, sondern eine reine Erfahrungstatsache. 2. Wärme geht von selbst immer nur von einem Körper höherer Temperatur auf einen Körper niederer Temperatur über. Dies bedeutet, dass die Entropiezunahme in einem abgeschlossenen System immer größer oder gleich Null ist. Eine weitere Formulierung: Es gibt keine periodisch wirkende Maschine, die ohne äußere Energiezufuhr ein Wärmereservoir abkühlt und die dabei gewonnene Wärmeenergie vollständig in mechanische Energie umwandelt. So eine Maschine wäre ein Perpetuum mobile zweiter Art. 3. Es ist prinzipiell unmöglich den absoluten Nullpunkt zu erreichen. In der statistischen Deutung ist der thermodynamische Gleichgewichtszustand am absoluten Nullpunkt ein Zustand maximaler Ordnung mit nur einer Realisierungsmöglichkeit. Die Entropie strebt gegen Null, wenn die Temperatur sich dem Nullpunkt annähert. Der dritte Hauptsatz wird auch als Nernst sches Theorem bezeichnet. 0.3 Wärmeübertragung und Wärmetransport Zum Begriff der Wärmeübertragung gehören alle Erscheinungen und Effekte, die mit einem räumlichen Transport von Wärme in Zusammenhang stehen. Der Wärmeübergang erfolgt immer vom Zustand höherer Temperatur zu einem niederer Temperatur (siehe 2. Hauptsatz der Wärmelehre). Grundsätzlich existieren drei Möglichkeiten zur Wärmeübertragung (siehe Abbildung 3): Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung. Der direkte Energietransport erfolgt über die Wärmeleitung. Bei der Konvektion wird Energie über den Transport von Masse übertragen. Abbildung 3: Möglichkeiten zur Wärmeübertragung - 5 -

8 Abbildung 4: Stab zwischen zwei Wärmereservoiren 1.1 Grundlagen Begriffe Temperatur, Wärmemenge, Hauptsätze der Wärmelehre, Wärmekapazität, Wärmestrom, Wärmeleitung, Wärmeübergang, Wärmewiderstand, stationärer und nichtstationärer Zustand, Wärmeleitzahl, Wärmeübergangszahl, Wärmedurchgangskoeffizient Wärmeleitung und Wärmediffusion Der Transport von Wärme bzw. Energie in einem Medium durch Wärmeleitung hängt von der räumlichen (x) und zeitlichen (t) Verteilung der Temperatur (bzw. dem Temperaturfeld T(x,t)) im Medium ab. Wärme strömt immer entlang eines Temperaturgefälles von Orten höherer Temperatur zu jenen niedrigerer Temperatur (zweiter Wärmehauptsatz). Ist nach Einstellung eines Gleichgewichtes die räumliche Temperaturverteilung zeitunabhängig, so ist die Wärmeströmung stationär. Auf dem Weg zum stationären Gleichgewicht durchläuft das System zeitabhängige, also nichtstationäre Bedingungen (Temperaturen). Nichtstationär sind auch Zustände, die durch sehr schnell variierende Temperaturen charakterisiert sind. Ist der Wärmestrom stationär geht er durch ein Volumselement durch, ist er nichtstationär, erwärmt er das Volumen. Ändert sich die Temperatur nur in einer Raumrichtung so spricht man von eindimensionaler Wärmeleitung. Eindimensionale Wärmeleitung ist realisiert in einem Stab (siehe Abbildung 4), der an einer Seite geheizt (Temperatur T 1 ) und an der anderen Seite gekühlt (Temperatur T 2 ) wird. Die Mantelfläche ist wärmeisoliert, so dass keine Wärmeverluste auftreten. Die Länge des Stabes L ist groß gegen die Ausdehnungen der Querschnittsflä

9 che A. Der Wärmetransport wird durch das phänomenologische Gesetz der Wärmeleitung definiert: Q = λ A (T 1 T 2 ) L t (1) Die entlang der Länge L transportierte Wärmemenge Q ist proportional zur Querschnittsfläche A, zur Temperaturdifferenz T 1 T 2 und zur Zeit t bzw. umgekehrt proportional zur Länge L des Stabes. Der Proportionalitätsfaktor ist die Wärmeleitfähigkeit λ. Das Minuszeichen beschreibt den Wärmefluss von höherer zu tieferer Temperatur. In der Literatur wird die Wärmeleitfähigkeit λ auch Wärmeleitzahl oder Wärmeleitkoeffizient genannt. Die Wärmeleitfähigkeit λ ist i.a. temperaturabhängig. Zur genauen Bestimmung ist es daher notwendig zu kleinen Messgrößen (mit bezeichnet) überzugehen. Aus Gleichung 1 wird duch einfaches Umformen Q t = λ A T x (2) Die pro Zeiteinheit t transportierte Wärmemenge Q ist proportional zum Temperaturgradienten T Q. In Differentialschreibweise mit der Einführung des Wärmestromes = Φ x t folgt das Fourier sche Gesetz der Wärmeleitung: Φ(x, t) = Q(x, t) t = λ A T (x, t) x (3) Der auf den Querschnitt bezogene Wärmestrom ist die Wärmestromdichte q. q(x, t) = 1 A Q(x, t) t = λ T (x, t) x (4) Formelzeichen Einheit Bezeichnung Q J Wärmemenge T K Temperatur λ J m 1 s 1 K 1 = W m 1 K 1 Wärmeleitfähigkeit x m Ortskoordinate t s Zeit A m 2 Fläche L m Länge Φ J s 1 = W Wärmestrom q J m 2 s 1 = W m 2 Wärmestromdichte - 7 -

10 Abbildung 5: Schema zur Ableitung der Wärmediffusiongleichung Die Wärmeleitfähigkeit λ gibt die Wärmemenge Q an, die pro Zeitintervall t durch eine Querschnittsfläche A entlang einer Distanz x mit Temperaturdifferenz T transportiert wird. Die Temperaturänderung in einem Massenelement dm = ρ A dx (der Dichte ρ) ergibt sich aus der Differenz der Wärmeströme, die am Ort x zufließen und bei x+dx abfließen (siehe Abbildung 5). Wärmestrom am Ort x: Φ(x, t) = Q(x, t) t = λ A T (x, t) x (5) Wärmestrom am Ort x+dx: Φ(x + dx, t) = Q(x + dx, t) t T (x+dx,t) { }} { T (x, t) [ T (x, t) + dx] = λ A x x (6) Die Wärmemenge, die aus der Differenz der Wärmeströme (Φ(x, t) Φ(x + dx, t), also pro Zeiteinheit zufließender minus abfließender Wärme) verfügbar ist, wird vom Massenelemt dm aufgenommen. Über die spezifische Wärmekapazität c 2 ändert sich die Temperatur des Massenelements, daher folgt: 2 Die spezifische Wärmekapazität oder kurz spezifische Wärme c gibt bezogen auf die Masse m an, wieviel thermische Energie Q ein Stoff pro Temperaturänderung T speichern kann: c = Q m T - 8 -

11 Formelzeichen Einheit Bezeichnung Q J Wärmemenge T K Temperatur λ J m 1 s 1 K 1 = W m 1 K 1 Wärmeleitfähigkeit A m 2 Fläche m kg Masse ρ kg m 3 Dichte c J kg 1 K 1 spezifische Wärmekapazität χ m 2 s 1 Temperaturleitfähigkeit c dm T (x, t) = c ρ A dx T (x, t) = Q(x, t) Q(x + dx, t) (7) Durch Einsetzen der Gleichungungen 5 und 6 in Gleichung 7 folgt: c ρ A dx T (x, t) = λ A 2 T (x, t) x 2 dx t (8) Weiteres Umformen resultiert in der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung (Wärmediffusionsgleichung): T (x, t) t = λ ρ c 2 T (x, t) x 2 = χ 2 T (x, t) x 2 (9) χ = λ ρ c ist die Temperaturleitzahl oder Temperaturleitfähigkeit. Ergänzender Einschub: Allgemein dreidimensional ist die Ortskoordinate x durch den Vektor x(x,y,z) zu ersetzen und die zweite Ableitung nach der x Koordinate wird durch den Laplace-Operator = ersetzt (Achtung nicht verwechseln mit Differenzen), so dass die Laplace- x 2 y 2 z 2 Gleichung folgt: T ( x, t) t = χ T ( x, t) = χ ( 2 x y + 2 )T ( x, t) (10) 2 z2 Für den Wärmestrom in einem dreidimensionalen Medium gilt: Q( x, t) t = λ A T ( x, t) (11) - 9 -

12 mit dem Nabla-Operator = ( x, y, z ). T ( x, t) ist der Temperaturgradient Stationäre Wärmeleitung und Wärmeübergang Befindet sich ein System im stationären Zustand, ändert sich die Temperatur nicht mit der Zeit ( dt Q = 0) und folglich ist auch der Wärmestrom (Φ = ) konstant. dt t In einer Platte der Dicke d mit den Oberflächentemperaturen (Wandtemperaturen) T W 1, T W 2 (siehe Abbildung 6) hängt der Temperaturverlauf in der eindimensionalen Betrachtung nur von der Ortskoordinate x im Bereich (0 x d) ab. Jetzt ist die Temperatur stationär, also nicht mehr von der Zeit abhängig, daher vereinfacht sich die Gleichung 9 zu d 2 T (x) dx 2 = 0. (12) Als Lösung dieser Gleichung folgt für 0 x d ein linearer Temperaturverlauf T (x) = T W 1 + (T W 2 T W 1 ) x d. (13) Abbildung 6: Ebene Platte mit Wärmeleitfähigkeit λ. Weiters resultiert ein konstanter Wärmestrom

13 Φ = dq dt dt = λ A dx = λ A (T W 1 T W 2 ) d (14) mit der Wärmestromdichte (auf die Querschnittsfläche A bezogener Wärmestrom): q = 1 A dq dt = λ (T W 1 T W 2 ) d (15) In der Formulierung Φ = dq dt = T W 1 T W 2 R λ (16) lässt sich der Wärmewiderstand R λ = 1 λ d A (17) herleiten. 1 λ wird als spezifischer Wärmewiderstand bezeichnet. Man beachte die Analogie zwischen Wärme- und Ladungstransport. In der Elektrizitätslehre gilt das Ohmsche Gesetz I = U (vgl. Analogie in Gleichung 16), wobei I die elektrische R Stromstärke, R den elektrischen Widerstand und U eine Potentialdifferenz symbolisiert. Für den elektrischen Widerstand R eines Drahtes der Länge d mit Querschnittsfläche A und elektrischer Leitfähigkeit σ gilt der Zusammenhang R = 1 d (vgl. Analogie in Gleichung 17). Die folgende Tabelle stellt die entsprechenden elektrischen und thermischen σ A Größen einander gegenüber. Thermodynamik Wärmewiderstand R λ Temperaturdifferenz T Wärmestrom Φ Wärmeleitfähigkei λ Elektrizität elektrischer Widerstand R elektrische Spannung (potentialdifferenz) U elektrischer Strom I elektrische Leitfähigkeit σ Tabelle 1 Es ist physikalisch sinnvoll und einsichtig, dass der Wärmewiderstand R λ mit zunehmender Plattendicke d zunimmt und mit größer werdender Plattenquerschnittsfläche A abnimmt. Der Übergang von den Wänden der Platte zum angrenzenden Luftvolumen stellt einen Widerstand für den Wärmefluss dar. Es entstehen Konvektionsströme in den Grenzschichten jeweils zwischen der Plattenwand und der angrenzenden erwärmten Luft wegen der

14 Temperaturunterschiede T 1 T W 1 und T W 2 T 2. Die Beschaffenheit der Oberfläche, wie z.b Rauhigkeit, Reflexionsvermögen, usw ist dabei von Bedeutung. Aufgrund der Energieerhaltung im stationären Gleichgewicht ist der Wärmestrom Φ = dq in der Platte dt gleich der jeweils über die Oberfläche zu- und abströmenden Wärmemenge pro Zeiteinheit. Entsprechend dem Ansatz nach Newton bzw. Fourier ist der Wärmestrom durch eine Oberfläche in ein angrenzendes Medium proportional zur Größe der Oberfläche, zur Temperaturdifferenz und aus Dimensionsgründen zum Wärmeübergangskoeffizienten α (auch Wärmeübergangszahl). In Abbildung 6 gilt daher für den Wärmeübergang an der Wand W1 und an der Wand W2 Φ = dq dt = α 1 A (T 1 T W 1 ) (18) Gleichungen 14, 18 und 19 werden zusammengefasst zu: Φ = dq dt = α 2 A (T W 2 T 2 ) (19) Φ = dq dt = α 1 A (T 1 T W 1 ) = λ A (T W 1 T W 2 ) d wobei α 1 und α 2 die Wärmeübergangskoeffizienten sind. = α 2 A (T W 2 T 2 ) (20) Die Gesamttemperaturdifferenz T 1 T 2 wird durch eine Summe von drei Temperaturdifferenzen dargestellt, so dass gilt: T 1 T 2 = T 1 T } {{ W} 1 + T W 1 T W 2 + T } {{ } W 2 T } {{ } 2 Φ α 1 A Φ d λ A Φ α 2 A (21) Diese Temperaturdifferenzen sind jeweils dem Wärmestrom Φ proportional (siehe Gleichung 20). Die daraus folgenden Terme (unter den geschweiften Klammern) in die Gleichung 21 eingesetzt definiert die Péclet-Gleichung: Φ = dq dt = T 1 T d + 1 α 1 A λ A α 2 A = T 1 T 2 R α1 + R λ + R α2 = T 1 T 2 R k (22) In Analogie zur Elektrotechnik wird der Wärmedurchgang durch eine Reihenschaltung thermischer Widerstände modelliert. Die Summe der Einzelwiderstände ist der Gesamtwiderstand oder Wärmedurchgangswiderstand

15 R k = R α1 + R λ + R α2 = 1 α 1 A + d λ A + 1 α 2 A (23) R α1 = 1 α 1 A und R α2 = 1 α 2 A sind die Wärmeübergangswiderstände. Bei Berechnungen zur Wärmedämmung wird der k-wert (Wärmedurchgangskoeffizient) verwendet, mit der Definition Φ = dq dt = k A (T 1 T 2 ) (24) Der Vergleich mit den obigen Gleichungen ergibt für den Wärmedurchgangswiderstand R k = 1 k A (25) und weiters folgt 1 k = 1 α 1 + d λ + 1 α 2 (26) Der Wärmedurchgangswiderstand einer Probe, die aus mehreren Schichten (unterschiedliche Materialien) besteht setzt sich zusammen aus den Wärmewiderständen in den einzelnen Schichten und den Wärmeübergangswiderständen zu den beidseitig angrenzenden Luftschichten (oder Fluiden) Zweiplattenmessverfahren Zur Untersuchung der Wärmeleitfähigkeit eines wärmeisolierenden Materials wird häufig eine relative Messmethode verwendet, bei der zwei aus verschiedenen Materialien bestehende Platten übereinander gelegt werden, wobei die Wärmeleitfähigkeit eines Materials bekannt ist. Für eine aus zwei aneinander gereihten Platten (Wärmeleitzahlen λ a und λ b ) aufgebaute Probe (siehe Abbildung 7) mit unterschiedlichen Querschnittsflächen A a und A b und unterschiedlichen Plattendicken d a und d b gilt daher Φ = dq dt = α a A a (T 1 T W 1 ) = λ a A a (T W 1 T W 2 ) d a = λ b A b (T W 2 T W 3 ) d b = α b A b (T W 3 T 2 ) (27)

16 Abbildung 7: Schema zum Wärmedurchgang durch zwei ebene Platten Ist eine der beiden Wärmeleitzahlen bekannt (z.b λ b ) kann die zweite (λ a ) berechnet werden. Für dieses Zweiplatten-Messverfahren lautet die zugehörige Bestimmungsgleichung für die unbekannte Wärmeleitzahl λ a = λ b Ab da (T W 2 T W 3 ) A a d b (T W 1 T W 2 ) (28) Bei gleich großen Querschnittsflächen (A a = A b ) und gleichen Dicken (d a = d b ) gilt λ a = λ b (T W 2 T W 3 ) (T W 1 T W 2 ) (29) Aus dem Wärmestrom Φ lassen sich auch die Wärmeübergangszahlen berechnen α a = α b = Φ A a (T 1 T W 1 ) Φ A b (T W 3 T 2 ) (30) (31) Für den Wärmedurchgangskoeffizienten gilt

17 1 k = 1 α a + d a λ a + d b λ b + 1 α b (32) Formelzeichen Einheit Bezeichnung Q J Wärmemenge T K Temperatur Φ J s 1 = W Wärmestrom q J m 2 s 1 = W m 2 Wärmestromdichte d m Plattendicke A m 2 Plattenquerschnittsfläche λ J m 1 s 1 K 1 = W m 1 K 1 Wärmeleitfähigkeit α J m 2 s 1 K 1 = W m 2 K 1 Wärmeübergangskoeffizient k J m 2 s 1 K 1 = W m 2 K 1 Wärmedurchgangskoeffizient R λ J 1 s K = W 1 K Wärmewiderstand R α J 1 s K = W 1 K Wärmeübergangswiderstand R k J 1 s K = W 1 K Wärmedurchgangswiderstand Tabelle Temperaturmessung mit einem NiCr-Ni Thermoelement Ein Themoelement (siehe schematisch in Abbildung 8) besteht aus zwei Drähten verschiedener Metalle oder metallischer Legierungen (z.b. NiCr und Ni). Die beiden Enden (A und B) sind verlötet. Aufgrund der unterschiedlichen Energien (Fermi-Energie) der Elektronen in den Metallen entsteht an den Lötstellen eine Kontaktspannung die temperaturabhängig ist. Befinden sich die beiden Löstellen auf gleicher Temperatur kompensieren einander die Kontaktspannungen. Sind die Temperaturen der Lötstellen verschieden, so zeigt das Voltmeter eine Potentialdifferenz, die sogenannte Thermospannung an. Dieser Effekt wird nach dem Entdecker als Seebeck-Effekt bezeichnet. Die Größenordnung dieser Potentialdifferenz liegt im mv-bereich. Abbildung 8: Schema zum Aufbau eines Thermoelementes

18 Abbildung 9: NiCr-Ni Thermoelement Zur genauen Messung der Temperatur an einer Lötstelle (z.b. A) muss die Temperatur an der anderen Lötstelle (B) konstant gehalten werden. Die Kontaktstellen mit dem Messgerät bzw. Geräte interne Drahtverbindungen verursachen zusätzliche Spannungsdifferenzen, die ebenfalls zu berücksichtigen sind. In der Praxis schaut daher ein Thermoelement Messkreis aus, wie in Abbildung 9 dargestellt. Neben der Kontaktstelle A sind die Anschlusskontakte (B1 und B2) an das Messgerät (im Experiment wird ein Fluke 179 verwendet) eingezeichnet. Die Anschlusskontakte befinden sich auf Raumtemperatur und erzeugen ebenfalls eine Thermospannung. Die Temperatur der beiden Kontakte (B1 und B2) wird vom Messgerät selbst über einen temperaturabhängigen Metallwiderstand (PT-100) gemessen und in ein Kontaktpotential umgewandelt. Ein integrierter Schaltkreis mit einen Differenzen- Operationsverstärker rechnet die kompensierte Kontaktspannung in die Messtemperatur an der Lötstelle A um. Eine Temperaturmessung mit einem PT-100 Metallwiderstand ist eine sehr genaue Temperaturbestimmung. Hochpräzise gefertigte und geeichte Platindrähte werden z.b. in Keramik eingebettet und ermöglichen so stabile Messungen in einem Bereich von -200 C bis 850 C. Ihr Widerstand beträgt bei 0 C exakt 100 Ω der Widerstand ist über einen großen Bereich linear von der Temperatur abhängig und kann mit geeigneten Messgeräten bis zu einigen ±mk genau bestimmt werden Wärmeleitung in festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen Hier soll der Vollständigkeit halber ein Überblick über die Mechanismen der Wärmeleitung in festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen gegeben werden. Metalle: Der Energietransport in Metallen erfolgt einerseits durch aneinander gekoppelte Gitterschwingungen (sogenannter Phononen) der Atome, andererseits durch Stöße der quasifreien Metall-Elektronen. Elektronenstöße sind wegen der kleinen Masse der Elektronen wesentlich effizienter. Die hohe Wärmeleitfähigkeit in Metallen ist daher neben dem Beitrag der Gitterschwingungen (Phononen) auf einen weit größeren Anteil der freien Metallelektronen zurückzuführen. Die hohe Beweglichkeit der Metallelektronen bedingt eine große elektrische Leitfähigkeit. Das Verhältnis thermischer zu elektrischer Leitfähigkeit ist nach dem Wiedemann-Franz-Gesetz konstant

19 Isolatoren: Die Wärmeleitfähigkeit beruht auf Phononen. Flüssigkeiten: Durch die schwache Kopplung zu den Nachbarmolekülen folgt eine geringe Wärmeleitung. Gase: Die Wärmeleitfähigkeit ist proportional zur Zahl der Teilchen die pro Sekunde einen Querschnitt senkrecht zur Richtung des Temperaturgradienten durchströmen und zur freien Weglänge der Gasteilchen. Aus der kinetischen Gastheorie folgt eine zur Wurzel aus der Temperatur proportionale Wärmeleitfähigkeit. Erst bei sehr niedrigen Drücken wird die Wärmeleitfähigkeit druckabhängig; dieser Effekt wird auch zur Druckmessung in Vakuummessröhren verwendet. Die folgende Tabelle vergleicht die Wärmeleitfähigkeit λ[w m 1 K 1 ] von Feststoffen, Flüssigkeiten und Gasen: Feststoffe λ[w m 1 K 1 ] Flüssigkeiten und Gase λ[w m 1 K 1 ] Silber 458 Wasser 0,59 Kupfer 393 Quecksilber 83,4 Aluminium 221 Ammoniak 0,52 Eisen 67 org.flüssigkeiten 0,1-0,3 Blei 35 Graphit Wasserstoff 0,17 Eis (0 C) 2,2 Luft 0,025 Normalbeton 2,1 Wasserdampf (100 C) 0,023 Ziegelmauerwerk 0,4-1,2 Kohlendioxid 0,017 Glas 0,75 Helium 0,015 Holz 0,13 Xenon 0,005 Isolierstoffe 0,03-0,1 Tabelle Aufgabenstellung 1. Berechnen Sie mit dem Zweiplatten-Messverfahren den Wärmestrom Φ und die Wärmestromdichte q. 2. Bestimmen Sie die Wärmeleitfähigkeit λ einer Probe und die Wärmeübergangskoeffizienten α 1, α Berechnen Sie den Wärmewiderstand R λ und Wärmeübergangswiderstände R α1, R α2. 4. Berechnen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten k und den Wärmedurchgangswiderstand R k

20 Abbildung 10: Versuchsaufbau zur Wärmeleitfähigkeit 1.3 Versuchsaufbau und Durchführung Aufbau der Wärmemesskammer Die Abbildung 10 zeigt den experimentellen Aufbau. Das Gehäuse der Wärmemesskammer besteht aus einem thermisch isolierten Material mit quadratischer Öffnung nach oben. Dadurch werden die Wärmeverluste über die Seitenwände vernachlässigbar. Im unteren Bereich der Messkammer unterhalb der Proben befindet sich eine elektrische Heizung (Plattenheizer), mit der ein konstanter Wärmestrom eingeregelt werden kann. Kanäle in der Gehäusewand ermöglichen die Montage von Messfühlern (Thermoelemente) zur Temperaturmessung oberhalb und unterhalb der Zweiplattenprobe bzw an deren Ausswänden und an der Zwischenwand. Zusätzlich benötigen Sie eine Spannungsquelle (Power-Supply) und Voltmeter zur Messung der Thermospannungen. Die Abbildung 11 illustriert den Aufbau einer Zweiplatten-Probe. Eine Eichplatte und die unbekannte Probe sind jeweils getrennt durch dünne Metallplatten (Bleche) aneinandergereiht. Die Metallplatten sind an der Außenseite schwarz lackiert und ermöglichen damit einen besseren Wärmeübergang (siehe Beispiel Wärmestrahlung MP7). Die Platten sind mit zwei dünnen Nuten ausgestattet (an jeder Oberfläche eine Nut), wobei sich am Ende jeweils eine kreisförmige Aussparung zum Einlegen eines Kontaktplättchens befindet. Das Thermoelement, das in die Nut eingelegt wird, hat somit optimalen Wärmekontakt mit der Platte

21 Abbildung 11: Aufbau einer Probe Experimentelle Durchführung 1. Bauen Sie eine Probe aus der Eichplatte und einer vom Betreuer zu erfragenden Probe (Platte) auf. Messen Sie zunächst jeweils die Dicken und die Querschnittsflächen der beiden Platten. 2. Sie können die Probe direkt in der Wärmemesskammer zusammenbauen. Beginnen Sie mit dem Einsetzen des untersten Thermoelements zur Messung der Ofentemperatur. Dazu verwenden Sie einen Gummistöpsel (ohne Abb.), den Sie zusammen mit dem Thermoelement in den Wandkanal richtig einsetzen. Legen Sie dann die erste einseitig schwarz gefärbte dünne Metallplatte (schwarze Fläche nach unten) ein. Der weitere Aufbau erfolgt nach der Darstellung in Abbildung 11. Auf die oberste Metallplatte (schwarze Fläche nach oben) legen Sie dann die Steinplatte (ohne Abb). 3. Schließen Sie die Heizung an und wählen Sie 6 V Versorgungsspannung. Notieren Sie in Zeitintervallen von 30 Minuten die Temperaturen. Auf Ihrem Arbeitsplatz befinden sich nur zwei Fluke 179 Multimeter, aber fünf Thermoelemente. Sie können daher die Thermoelement nacheinander an- und ausstecken und daher mur ein Multimeter benutzen. Vorsicht, sie sollen möglichst nicht in der Wärmekammer verrutschen und auch nicht geknickt werden. Warten Sie bis sich ein stationärer Wärmestrom einstellt, d.h. die Temperaturen bleiben konstant. Achtung: Setzen sie die Kontaktplättchen so ein, dass die Thermoelemente geeignet kontaktieren! Achten Sie darauf, dass Sie die Thermoelemente nicht knicken! Herausnehmen der Platten nur mit dem Montagehaken, dabei besonders auf die Thermoelemente achten!

22 1.3.3 Auswertung 1. Dokumentieren Sie den Temperaturanstieg während des Aufheizens im nichtstationären Bereich. 2. Messen Sie die stationären Temperaturen. Danach berechnen Sie aus den beiden Wandtemperaturen der Eichplatte (Polystrol: Wärmeleitfähigkeit λ = 0,16 W ) den m K Wärmestrom. Verwenden Sie dazu den geeigneten Ausdruck in der Gleichung 27. Berechnen sie auch die Wärmestromdichte. 3. Berechnen Sie die Wärmeleitfähigkeit der unbekannten Proben und die beiden Wärmeübergangskoeffizienten (siehe Gleichungen 27, 28, 30 und 31). 4. Berechnen Sie die Wärmewiderstände und die Wärmeübergangswiderstände (siehe Gleichungen 17 und 23). 5. Berechnen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten k der Zweiplattenprobe (siehe Gleichung 32). 6. Leiten Sie die Formel für den Wärmedurchgangswiderstand ab (analog zu Gleichung 23) und berechnen Sie diesen Fehlerrechnung Zur Bestimmung der Abmessungen der Platten und deren Fehler sind mit einer Schublehre an mehreren Stellen der Platten Messungen durchzuführen. Für die Wärmeleitfähigkeit der Polystrol-Eichplatte verwenden sie λ = 0,16 W ± 0.5%. Die Fehler zu den benötigten m K Temperaturdifferenzen schätzen sind angpasst ab. Zur Bestimmung der Fehlerwerte der restlichen Größen verwenden Sie die Gaußsche Fehlerrechnung. Überlegen Sie sinnvoll welche Messfehler sind besonders deutlich im Fehler des Endergebnisses auswirken und welche wenig beitragen. 1.4 Literaturangaben Wärmeübertragung (Physikalische Grundlagen), Heinz Herwig und Andreas Moschallski, Vieweg und Teubner, Wärmeübertragung (Grundlagen, analytische und numerische Methoden), Wolfgang Polifke und Jan Kopitz

23 2 Konvektion 2 Konvektion 2.1 Grundlagen Allgemeines zur Konvektion Neben Wärmeleitung und Wärmestrahlung ist Konvektion (lat. convehere = mittragen, mitnehmen) ein konkurrierender Mechanismus zur Übertragung von thermischer Energie. Konvektion wird durch Strömung hervorgerufen und ist stets mit dem Transport von energiegeladenen (thermisch) Teilchen verknüpft. Im Vakuum und in Festkörpern gibt es folglich keine Konvektion. Flüssigkeiten und Gase zeichnen sich meist durch schlechte Wärmeleitung aus, zeigen aber einen guten Wärmetransport durch Konvektion infolge leicht beweglicher Teilchen. Die Ursache für die transportierende Strömung können Kräfte sein, die von Druck-, Dichte-, Temperatur- oder Konzentrationsunterschieden herrühren. Ein wichtiges Beispiel für die treibende Kraft der Konvektion ist die Schwerkraft. Wird ein Teilvolumen einer flüssigen oder gasförmigen Phase erwärmt, erfährt es einen Auftrieb, da mit steigender Temperatur die Dichte sinkt. Die von einem Heizkörper erwärmte Luft steigt nach oben, wodurch ein Unterdruck entsteht, der sofort durch das Zuströmen kälterer Luft von unten kompensiert wird. Es entsteht ein Kreislauf, der die Wärme im Zimmer verteilt. Konvektion ist auch wichtig für den Energie- und Wassertransport in der Atmosphäre. Luft ist durchsichtig und wird daher kaum von der Sonnenstrahlung erwärmt. Die unteren Luftschichten erwärmen sich durch Kontakt (Wärmeleitung) mit dem Boden, steigen in Folge auf und kühlen sich wegen der adiabatischen Ausdehnung ab. Das in der Luft enthaltene Wasser kondensiert daraufhin, was zur Wolkenbildung führt. Es wird unterschieden zwischen: freier oder natürlicher Konvektion. Der Teilchentransport wird durch Dichteunterschiede z.b in Folge von Temperaturgradienten bewirkt. erzwungener Konvektion. Äußere Einwirkungen von z.b einer Pumpe oder einem Gebläse führen zum Teilchentransport. Man unterscheidet auch zwischen: Konvektion ohne Stoffaustausch: Sie findet statt an den festen Grenzschichten einer Wand mit beidseitigem konvektiven Wärmeübergang zu einem Fluid (Gas oder Flüssigkeit). Konvektion mit Stoffaustausch: Dabei ist das andere Volumen selbst auch ein Fluid. Die Grenzflächen gehen daher fließend ineinander über. Es findet zusätzlich zum

24 2 Konvektion Wärmeaustausch noch ein Stoffaustausch statt. Beispiele für Konvektion: Golfstrom Erdatmosphäre, Ozeane Wasserschichten in Seen Erdkern Energietransport in Sternen Warmwasserheizung Kamin u.v.m Natürliche Konvektion Im Falle des folgenden Experiments handelt es sich um die Natürliche Konvektion (Abb. 12, vgl. [1]). Unter natürlicher Konvektion oder Schwerkraftzirkulation versteht man den physikalischen Effekt, nach dem in einem geschlossenen Kreislauf ein Fluid aufgrund des Dichteunterschiedes zwischen einer warmen und einer kalten Säule zirkuliert. Der Dichteunterschied wird durch Beheizen/Erwärmen auf der einen Seite und Abkühlen auf der anderen Seite des Kreislaufes aufrechterhalten. Der daraus resultierende Differenzdruck wird treibender Druck oder auch wirksamer Druck genannt. Der Differenzdruck p ist vom Dichteunterschied ρ und der wirksamen Höhe h abhängig nach der Formel: p = p 2 p 1 (33) und damit p = h g (ρ 2 ρ 1 ) (34) In der technischen Gebäudeausrüstung ist die Konvektion Prinzip jeder Schwerkraftheizung, die allerdings fast vollständig durch die Pumpenheizung ersetzt wurde. Dieses Prinzip wird auch im so genannten Badestrang angewendet, der ohne Pumpe parallel zur Warmwasserleitung verläuft und ganzjährig ein warmes Badezimmer bereitstellt

25 2 Konvektion Abbildung 12: Natürliche Konvektion [1]. Formelzeichen Einheit Bezeichnung h m wirksame Höhe ρ 1, ρ 2 kg m 3 geringere bzw. höhere Dichte p 1, p 2 P a = N m 2 = kg m 1 s 2 geringerer bzw. höherer Druck Rayleigh-Zahl Zur Bestimmung der Art der Wärmeübertragung (Wärmeleitung vs. Konvektion) in einem Fluid wird unter anderem die Rayleigh-Zahl (Ra, benannt nach Lord Rayleigh) verwendet. Sie ist eine dimensionslose Größe, und dient der Orientierung ob und in welcher Form Konvektion einsetzen kann. Die Rayleigh-Zahl ist der Quotient aus Konvektionsfördernden Größen, welche die Auftriebskräfte beeinflussen, und Konvektionsbehindernden Größen, welche die Energieverluste durch innere Reibung der Flüssigkeitsschichten (Viskosität) und durch Wärmeabfluss (Temperaturleitfähigkeit) bestimmen. Auftriebskräfte destabilisieren das Fluid und fördern Mechanismen der Konvektion zum Wärmetransport. Die Temperaturleitfähigkeit und Viskosität stabilisieren und bevorzugen daher die Wärmeleitung. Mit zunehmender Rayleigh-Zahl findet ein Übergang von Wärmeleitung über laminare Konvektion bis zur turbulenten Konvektion statt. Die Rayleigh-Zahl ist daher definiert:

26 2 Konvektion Ra = ρ g L3 χ η (35) Mit dem Dichteunterschied ρ = ρ α T, der dynamischen Viskosität η und der Temperaturleitfähigkeit χ = (siehe Abschnitt: Wärmeleitung) wird die Rayleigh-Zahl zu: λ ρ c p Ra = ρ g α T L3 χ η (36) Formelzeichen Einheit Bezeichnung Ra dimensionslos Rayleigh-Zahl ρ kg m 3 Dichtedifferenz g m s 2 Schwerebeschleunigung g = 9,81 m s 2 L m charakteristische Länge η P a s = kg m 1 s 1 dynamische Viskosität ρ kg m 3 Dichte α K 1 Wärmeausdehnungskoeffizient T K Temperaturdifferenz im Medium χ m 2 s 1 Temperaturleitfähigkeit λ W K 1 m 1 Wärmeleitfähigkeit c p J kg 1 K 1 spezifische Wärmekapazität L ist eine charakteristische Länge in Strömungsrichtung. Rayleigh ließ außer Acht, dass sich zum Beispiel die Reibung in Abhängigkeit von der Auftriebsgeschwindigkeit und von der Temperatur der Umgebung ändert. Eine derart umfassende Beschreibung wäre äußerst komplex. 2.2 Aufgabenstellung 1. Berechnen Sie die Rayleigh-Zahl von Wasser. 2. Diskutieren und beschreiben Sie Ihre Beobachtungen zur Wärmeübertragung unter Einbeziehung der berechneten Rayleigh-Zahl

27 2 Konvektion 2.3 Versuchsaufbau und Durchführung Abbildung 13: Experimenteller Aufbau. 1. Füllen Sie ausreichend kaltes Wasser in den Aufbau ein (das heißt, dass auch die obere horizontale Röhre vollständig mit Wasser gefüllt sein muss); 2. Falls sich größere Luftblasen gebildet haben, versuchen Sie sie durch vorsichtiges Kippen und Klopfen aufsteigen zu lassen;

28 2 Konvektion 3. Schließen Sie die Absperr-Klemme (dadurch beschränken Sie die Wärmeübertragung auf den Effekt der Wärmeleitung und schließen die Konvektion aus); 4. Heizen Sie an der Stelle, an welcher der Gasbrenner in Abbildung 13 steht, solange, bis am Temperatur-Messpunkt 2 ca. 50 C angezeigt werden; 5. Melden Sie sich beim Betreuer für die Ausgabe von KMnO 4 (Kaliumpermanganat), mit welchem Sie Strömungen (durch Färbung des Wassers sichtbar machen können. (Winzige Mengen, z.b. durch Adhäsion am Kunststofflöffel kleben gebliebene Kristalle reichen dazu völlig aus); 6. Gleich nach dem Einbringen des KMnO 4 messen Sie die Temperaturen. Diese benötigen Sie für die Berechnung der Rayleigh-Zahl; 7. Nun öffnen Sie die Absperrklemme und ermöglichen somit die Konvektion. 8. Machen Sie ein Foto vom strömenden Wasser (falls Sie keine eigene (Handy-)Kamera besitzen, steht Ihnen die Praktikumskamera zur Verfügung) und beurteilen Sie selbst die Art der Strömung; 9. Nach dem Temperaturausgleich stellt sich wenige Minuten später wieder ein (kleinerer) Temperaturgradient ein. Durch erneutes Einbringen von KMnO 4 können Sie die Konvektionsströmung sichtbar machen und beurteilen. 2.4 Berechnung der Rayleigh-Zahl Bestimmen Sie zunächst den Wert der in Strömungsrichtung liegenden charakteristischen Länge L in der Versuchsanordnung als die Distanz zwischen den beiden Temperaturmesspunkten. Dokumentieren Sie die experimentell bestimmten Temperaturdifferenzen sowohl mit mit geschlossener als auch mit offener Absperrklemme. Berechnen Sie anschließend den Wert für die Temperaturleitfähigkeit χ = λ ρ c p. Die Rayleigh- Zahl können Sie mit der Gleichung 36 berechnen. Die notwendigen physikalischen Größen für Wasser finden Sie in der Tabelle 4. Diskutieren Sie Ihren berechneten Wert der Rayleigh-Zahl Ra mit den beobachteten Strömungsverhältnissen. In der Literatur weitgehend akzeptiert sind die folgenden Relationen: Ra < 10 4 keine Strömung 10 4 < Ra < 10 7 laminare Strömung 10 7 < Ra < turbulente Strömung

29 Literatur Physikalische Eigenschaften von Wasser bei Atmosphärendruck p = 1013 mbar Temp. Dichte Therm. Ausd. Spez. Wärme Dyn. Visk. Wärmeleitf. T ρ α c p η λ [ C] [kg m 3 ] [10 6 K 1 ] [J kg 1 K 1 ] [10 3 Pa s] [W K 1 m 1 ] 0 999,839-68, ,4 1,787 0, ,964 15, ,5 1,519 0, ,700 87, ,9 1,307 0, , , ,1 1,139 0, , , ,6 1,002 0, , , ,7 0,890 0, , ,2 0,797 0, , ,4 0,719 0, , ,3 0,653 0, , ,4 0,596 0, , ,4 0,546 0, , ,1 0,467 0, , ,3 0,404 0, , ,1 0,355 0, , ,8 0,315 0, , ,7 0,282 0,6778 Tabelle 4: Eigenschaften von Wasser. Literatur [1] de.wikipedia.org ( ): Artikel Natürliche Konvektion ;