FRIEDRICH-ALEXANDER-UNIVERSITÄT ERLANGEN-NÜRNBERG INSTITUT FÜR INFORMATIK (MATHEMATISCHE MASCHINEN UND DATENVERARBEITUNG)

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1 FRIEDRICH-ALEXANDER-UNIVERSITÄT ERLANGEN-NÜRNBERG INSTITUT FÜR INFORMATIK (MATHEMATISCHE MASCHINEN UND DATENVERARBEITUNG) Lehrstuhl für Informatik 10 (Systemsimulation) Thermische Simulation von temperaturkritischen Systemen Katrin Nusser Bachelorarbeit

2 Thermische Simulation von temperaturkritischen Systemen Katrin Nusser Bachelorarbeit Aufgabensteller: Prof. Dr. U. Rüde Betreuer: M.Sc. K. Iglberger Bearbeitungszeitraum:

3 Erklärung: Ich versichere, daÿ ich die Arbeit ohne fremde Hilfe und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Quellen angefertigt habe und daÿ die Arbeit in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegen hat und von dieser als Teil einer Prüfungsleistung angenommen wurde. Alle Ausführungen, die wörtlich oder sinngemäÿ übernommen wurden, sind als solche gekennzeichnet. Erlangen, den 18. November

4 Abstract In the development of electronic components, designing an eective cooling concept plays a mayor role. Therefore, the temperature distribution inside the device must be known. In this thesis, the program 'Comsol Multiphysics' is tested with several problems and models. In the process emphasis is laid on compatibility with other programs, handling and performance of the program. Furthermore, a number of experiments on a real model are conducted. For simple idealizations, the temperatures are calculated by using empirical formulas. Afterwards, the results are compared to the ones of the simulations in order to be able to evaluate their quality and accuracy. Zusammenfassung Bei der Entwicklung von Baugruppen für elektronischen Geräte spielt die Ausarbeitung eines eektiven Kühlkonzeptes eine groÿe Rolle. Dafür müssen die Temperaturverteilungen innerhalb der Bauteile bekannt sein. In dieser Arbeit wird deshalb das Programm Comsol Multiphysics mit verschiedenen Problemstellungen getestet. Dabei wird vor allem Wert auf die Kompatibilität mit anderen Programmen und auf die Bedienbarkeit und Leistung des Programms gelegt. Darüber hinaus werden verschiedene Messungen an einem realen Modell durchgeführt. Für einfache Idealisierungen werden auÿerdem die auftretenden Temperaturen mit Hilfe von empirischen Formeln berechnet. Diese Ergebnisse werden anschlieÿend mit denen der Simulation verglichen um die Qualität und Genauigkeit besser beurteilen zu können.

5 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Simulationen Durchgeführte Simulationen Ebene Platte Platte mit Transistor Platte mit Transistor und Kühlkörper Theorie Grundlagen der freien Konvektion Freie Konvektion an vertikalen, ebenen Wänden Freie Konvektion an horizontalen, ebenen Flächen Strahlung Berechnungen Versuche Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Senkrechte Platte, metall Waagrechte Platte, metall Schwarze Platte, senkrecht/waagrecht Ergebnisse Simulation Ebene Platte Platte mit Transistor Transistor mit Kühlkörper Berechnungen Versuche Auswertung Vergleich der Ergebnisse Bewertung der Ergebnisse Simulationen Versuche Zusammenfassung 23 Literatur 24 Anhang 25 A Ergebnisse Platte mit Transistor 25 B Ergebnisse Platte mit Transitor und Kühlkörper 32 C Versuche 35 II

6 1 EINLEITUNG 1 1 Einleitung Der aktuelle Trend bei der Entwicklung von elektronischen Geräten geht hin zu immer leistungsfähigeren Schaltungen auf immer kleinerem Raum. Dies zeigt sich in allen Bereichen, von Mobiltelefonen bis hin zu Foto- und Videokameras. Die Geräte werden immer portabler und haben immer mehr Funktionen. Diese Entwicklung stellt aber auch immer wieder neue Herausforderungen an die Entwickler. Die Konzentration der Verlustleistung auf Leiterplatten und Bauelementen ist in den letzten Jahren stark gestiegen. Auch das Verhältnis von zum Rechnen eingesetzter aktiver Energie zu passiver Energie in Form von Wärme wird immer ungünstiger. Trotz dieses Umstandes müssen die Komponenten einer Schaltung oder eines Bauteils jedoch einen gewissen Temperaturbereich einhalten, um hitzebedingte Ausfälle und Fehler vermeiden zu können. Die Kühlung der Bauteile bekommt so eine immer gröÿere Bedeutung, da auch neue Kühlmethoden entwickelt werden müssen, um den gröÿeren Verlustleistungen und höheren Packungsdichten gerecht werden zu können. Ein passendes Kühlkonzept muss bereits in einer frühen Phase des Designprozesses entwickelt werden, um später eventuell anfallende, höhere Kosten für ein Redesign des Bauteils zu vermeiden. Darüber hinaus können durch sog. Virtual Prototyping bereits früh die mechanischen und thermischen Konzepte eines Bauteils getestet und optimiert werden. Dies kann den Entwicklungsprozess bis zum fertigen Prototyp beschleunigen und die anfallenden Kosten senken [1]. Die Berechnung von thermischen Zuständen in Bauteilen und Schaltungen ist sehr komplex, vor allem auf Grund von verschiedenen Materialien und Wärmequellen, unterschiedlichen Strömungsarten und komplexen Geometrien innerhalb eines Bauteils. Um diese Vielzahl von Parametern in die Berechnung einbeziehen zu können, müssen numerische Simulationen verwendet werden, da nur so neben den reinen Wärmeleitungsrechnungen ebenfalls die Strömungen innerhalb des Modells aufgelöst werden können. Auf diese Weise kann das mathematisch aufwändigere gekoppelte Temperatur-Geschwindigkeitsproblem bei komplexeren Geometrien gelöst werden, vorausgesetzt die entsprechende Rechenleistung steht zur Verfügung. Bei den zu lösenden Gleichungen handelt es sich um die Energietransportgleichung für die Temperatur, die Navier-Stokes Gleichung für die Berechnung der Strömungsgeschwindigkeiten und um die Kontinutiätsgleichung, um die Massenerhaltung der Luft darzustellen. Um diese partiellen Dierenzialgleichungen im Dreidimensionalen zu lösen, gibt es mehrere unterschiedliche Ansätze. Die am meisten verbreiteten sind u.a. die Finite-Volumen-Methode (FVM), die Finite-Elemente-Methode (FEM), das Lösen mit Hilfe der Lattice-Boltzmann-Methode (LBM) und Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) [10]. Bei jeder numerischen Simulation ist es notwendig, dass das zu untersuchende Gebiet mit Hilfe eines Gitters in, je nach Methode unterschiedliche, Teilgebiete unterteilt wird. Die durch diese Diskretisierung entstandenen (Gleichungs-) Systeme können je nach Komplexität des Problems einige Tausend bis hin zu einigen Millionen Unbekannte beinhalten. Die Gröÿe der einzelnen Gitterzellen hat also sowohl Auswirkungen auf die Rechenleistung, als auch auf die Genauigkeit der gefundenen Ergebnisse. Den besten Mittelweg zwischen Ezienz und Genauigkeit der Berechnung zu nden, ist ein weiteres Problem bei der Durchführung von Simulationen [8, 11]. Bei der Entscheidung für numerische Simulation stellt sich vor allem die Frage, welches CFD-Tool für die gewünschte Anwendung am besten geeignet ist und ob die gewünschte Genauigkeit in den Simulationen erreicht wird. In dieser Arbeit soll diese Frage am Beispiel der Software Comsol Multiphysics untersucht werden. Dabei wird vor allem Wert auf die Kompatibilität mit anderen breits genutzen Programmen und auf die Bedienbarkeit und Leistung des Programms gelegt. Darüber hin-

7 2 SIMULATIONEN 2 aus werden die Ergebnisse aus der numerischen Simulation mit Ergebnissen aus Handrechnungen und Versuchen verglichen, um die Qualität der Ergebnisse besser beurteilen zu können. 2 Simulationen In dieser Arbeit soll das Programm Comsol Multiphysics (Version 4.0) mit verschiedenen Problemstellungen getestet werden. Dabei werden mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode die auftretenden gekoppelten Dierenzialgleichungen, wie die Navier-Stokes-Gleichung, die Kontinuitätsgleichung und die Energietransportgleichung, gelöst [1, 3, 6]. Simuliert werden soll unter anderem die Wärmeleitung innerhalb eines Modells, sowie die Wärmeabgabe durch freie Konvektion an der Oberäche mit der entsprechenden Wärmeübergangszahl α und das daraus resultierende Strömungsprol. Auÿerdem soll der Wärmeaustausch durch Strahlung zwischen Modelloberäche und Umgebung berechnet werden. Die zu untersuchenden Modelle werden mit Hilfe der CAD-Software Autodesk Inventor erstellt und dann in Comsol Multiphyics importiert. 2.1 Durchgeführte Simulationen Ebene Platte Um die gewonnenen Ergebnisse gut mit berechneten Werten vergleichen zu können, wird zunächst eine einfache Simulation einer ebenen Platte durchgeführt. Dabei wird ein dreidimensionales Modell einer 10x10 cm groÿen und 0.2 cm dicken Aluminiumplatte verwendet. Die Materialeigenschaften werden mit Hilfe der in der Software integrierten Materialbibliothek festgelegt. Alle Simulationen wurden stationär gelöst. Zunächst soll die Platte ohne umgebendes Medium simuliert werden. Dabei wird die eingebaute Idealisierung für natürliche Konvektion an einer vertikalen Wand und an der Ober- und Unterseite einer horizontalen Platte genutzt. Hierzu werden vordenierte empirische Formeln genutzt. Als Wärmequelle werden die Ober- und Unterseite der Platte mit Leistungen von 1 Watt, 5 Watt und 10 Watt deniert. Die daraus resultierenden Wärmestromdichten benden sich in Tabelle 2.1. Tabelle 2.1: Freiwerdender Wärmestrom an der ebenen Platte Leistung [W ] Wärmestrom [W/m 2 ] Die Simulationen werden auch unter Berücksichtigung des Wärmeaustauschs durch Strahlung durchgeführt. Dabei wird von Leistungen von 5 Watt und 10 Watt ausgegangen. Darüber hinaus werden vier verschiedene Materialien der Platte angenommen, was sich in unterschiedlichen Emissionskoezienten ɛ ausdrücken lässt. Die benutzen Emissionskoezienten benden sich in Tabelle 2.2. Als nächstes soll die ebene Platte mit einer Umgebung aus Luft versehen werden, um die auftretenden Strömungen simulieren zu können. Dazu wird, wie in Abbildung 2.1 gezeigt, um das 3D Modell der Platte ein Quader gelegt, dessen Medium als Luft und ideales Gas deniert wird. Als Wärmequelle dient weiterhin die Platte. Auÿerdem werden die gleichen Versuche wie bei der ebenen

8 2 SIMULATIONEN 3 Tabelle 2.2: Benutzte Emissionskoezienten in den Simulationen 0.06 für glänzendes Aluminium 0.3 für eloxiertes Aluminium 0.6 als Vergleichswert 0.9 für schwarz eingefärbte Platte Abbildung 2.1: Ebene Platte mit umgebendem Medium Abbildung 2.2: Markierte Flächen zeigen Randbedingungen Outow, bzw. Outlet bei senkrechter Platte Platte ohne Luft durchgeführt. Bei allen Berechnungen von Wärmeübertragung mit umgebenden Medium wird von einer laminaren Strömung ausgegangen. Die Berechnung basiert auf der Navier-Stokes-Gleichung für kompressible Fluide. Die freie Konvektion kann nun nicht mehr mit Hilfe der eingebauten Idealisierungen berechnet werden, sondern wird mit verschiedenen Randbedingungen beschrieben [5]: Surface-to-Ambient-Radiation Die Umgebung mit der konstanten Temperatur T 0 wird als schwarzer Strahler angesehen, d.h. Emissions- und Absorptionsfaktor sind gleich Eins und es tritt keine Reexion auf. Outflow Wärmeaustausch über die gewählte Fläche wird ausschlieÿlich durch Konvektion hervorgerufen. Der Temperaturgradient in Normalen-Richtung ist gleich Null und es tritt keine Strahlung auf. Volume force Beschreibt den Einuss von externen Kräften, wie z.b. der Schwerkraft, auf das simulierte Fluid. Wall mit slip boundary condition Die ausgewählte Fläche wird als Wand angenommen, wobei keine Eekte der Viskosität an der Wand auftreten, d.h. es entsteht keine Grenzschicht. Wall mit no-slip boundary condition Die Geschwindigkeit an der Wand ist gleich Null. Outlet Der Druck am Auslass wird festgelegt und es treten keine viskosen Kräfte auf. Dabei wird angenommen, dass das Fluid in einen groÿen Raum abieÿt.

9 2 SIMULATIONEN 4 Open Boundary Bezeichnet Grenzen, die einen Fluidaustausch in beide Richtungen zulassen und besonders für groÿe Fluidvolumen geeignet sind. Im berechneten Beispiel wurden die vorhandenen Einstellmöglichkeiten folgendermaÿen genutzt (siehe 2.2): Outow an zwei gegenüberliegenden Flächen Outlet, ohne Druckdierenz zur Umgebung an den gleichen gegenüberliegenden Flächen Temperatur an restlichen Flächen gleich T 0 Volume force g ρ in z-richtung bei waagrechter Platte und in y-richtung bei senkrechter Platte Platte mit Transistor Für die Simulation eines Transistors wird auf die ebene Platte aus dem vorherigen Versuch ein Transistor mit Hilfe einer Schraube befestigt. Das Modell wird mit Hilfe des CAD-Programmes Autodesk Inventor erstellt und in Comsol Multiphysics importiert. Die Plattengröÿe wird bei den Simulationen mit umgebender Luft verkleinert. Damit wird der Berechnungsaufwand verringert, sodass das Problem mit der vorhandenen Hardware besser gelöst werden kann. Abbildung 2.3: Platte mit Transistor, Wärmequelle markiert Der Transistor hat eine Gröÿe von ca. 15 x 10 x 1.5 mm. Für den freiwerdenden Wärmestrom werden die Werte in Tabelle 2.3 berechnet. Als Wärmequelle wurde die Metallplatte an der Unterseite des Transistors gewählt, wie in Abbildung 2.3 dargestellt. Da diese als Volumenkörper angesehen wird, muss der Wärmestrom im Gegensatz zur ebenen Platte ebenfalls auf das Volumen bezogen werden. Für das Modell mit Transistor werden die gleichen Simulationen wie für die ebene Platte durchgeführt: Als erstes erfolgt eine Berechnung der Temperaturverteilung des Modells ohne umgebendes Medium, wobei hier die eingebaute Idealisierung für die vertikale Wand bzw. die horizontale Ebene benutzt wird. Dabei wird die Simulation sowohl mit, als auch ohne Wärmeabgabe durch Strahlung an die Umgebenung durchgeführt. Als zweite Simulation wird wieder das umgebende Medium Luft

10 2 SIMULATIONEN 5 Tabelle 2.3: Freiwerdender Wärmestrom an Transistor Leistung [W ] Wärmestrom [W/m 3 ] mit einbezogen um die auftretenden Strömungen zu bestimmen. Dies wird mit den gleichen Einstellungen für Randbedingungen wie bei der ebenen Platte durchgeführt und mit Berücksichtigung der Strahlung durchgeführt. Dabei wurden ebenfalls wieder die verschiedenen Emissionskoezienten getestet Platte mit Transistor und Kühlkörper Auf dem bereits vorhandenen Modell der Platte mit Transistor, wird ein Kühlkörper in verschiedenen Gröÿen unterhalb des Transistors auf der Unterseite der Platte eingefügt. Die genauen Anordnungen der Kühlkörper sind in Abbildung 2.4 zu sehen. Die Simulationen werden wie bereits bei den vorhergehenden Modellen jeweils für die senkrechte und waagrechte Platte, sowie mit den eingebauten Idealisierungen ohne umgebendes Medium und mit umgebender Luft berechnet. Alle Simulationen wurden unter Einbeziehung der Strahlung mit den verschiedenen Emissionskoezienten aus Tabelle 2.2 durchgeführt. (a) Kleiner Kühlkörper auf Abdeckung des Transistors (b) Kühlkörper an Unterseite der Platte unter Transistor (c) Drei Kühlkörper an der Unterseite der Platte unter Transistor Abbildung 2.4: Anordnung der Kühlkörper bei den Simulationen

11 3 THEORIE 6 3 Theorie Um die Wärmeübertragung in Systemen zu untersuchen, müssen die verschiedenen auftretenden Transportmechanismen beachtet werden, also Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung. Da in dieser Arbeit die Wärmeleitung in der Platte vernachlässigt wird und die Temperatur an jeder Stelle als konstant angenommen wird, ist hier nur der Wärmeübergang durch Konvektion und Strahlung von Bedeutung [7, 2]. 3.1 Grundlagen der freien Konvektion Unter Konvektion versteht man den Wärmeübergang zwischen einem Körper und einem vorbeiströmenden Fluid. Dabei unterscheidet man zwischen erzwungener und freier Konvektion. Der Unterschied zwischen den zwei Formen besteht darin, wie die Strömung und damit der Teilchentransport darin hervorgerufen wird. Bei der erzwungenen Konvektion, die vor allem in technischen Anwendungen verbreitet ist, wird die Strömung durch äuÿere Druckdierenz erzeugt, die z.b. durch ein Gebläse oder eine Pumpe erzeugt wird. Bei der freien Konvektion entsteht die Strömung hingegen durch Temperaturdierenzen im Fluid, die Dichtedierenzen verursachen. Durch diese Dichteunterschiede und äuÿere Volumenkräfte wie Gravitation, steigen Fluidschichten geringerer Dichte auf, wohingegen Fluidschichten mit höherer Dichte absinken. An dieser Stelle sei angemerkt, dass in dieser Arbeit nur auf das Phänomen der freien Konvektion eingegangen wird. Nach Newton gilt für den Wärmeuss bei konvektivem Wärmeübergang folgende Gleichung: q W = α (T W T ) (3.1) Hierbei stellen T W und T die Wand- bzw. die Fluidtemperatur dar, α bezeichnet den Wärmeübertragungskoezienten mit der Einheit [α] = W/m 2 K [7]. α hängt hierbei stark von der Geometrie des umströmten Körpers und den Bedingungen in der Strömung ab und muss deshalb für jedes Problem neu berechnet werden. Die Bestimmung von α für verschiedene Geometrien stellt auch ein Hauptziel dieser Arbeit dar. Um dieses Problem exakt lösen zu können, muss sowohl die Geschwindigkeits- als auch die Temperaturverteilung im strömenden Fluid bekannt sein, welches nur für wenige, einfache Sonderfälle möglich ist. Um die Wärmeübergangszahl trotzdem berechnen zu können, existieren empirische Ansätze, welche u.a. auf der nach Wilhelm Nuÿelt benannten, dimensionslosen Kennzahl Nu basieren. Nu αl λ = f(gr, P r, Geometrie) (3.2) Hierbei entspricht L der charakteristischen Länge des Körpers und λ der Wärmeleitfähigkeit des Fluids. Bei der freien Konvektion ist die Nuÿeltzahl eine Funktion der Grashofzahl Gr, der Prandltzahl Pr und der Geometrie. Die charakteristische Länge ist das Verhältnis zwischen der Austauschäche eines Körpers und dem in Strömungsrichtung projizierten Umfang. L = A U proj (3.3)

12 3 THEORIE 7 Für die gängigsten Geometrien existieren auÿerdem Tabellenwerte. Die Grashofzahl beschreibt das Verhältnis der Auftriebskräfte zu den Reibungskräften: Gr = g L3 (ρ W ρ 0 ) ν 2 ρ W (3.4) ρ W bezeichnet dabei die Dichte an der Wand, ρ 0 die Dichte im ruhenden Fluid, ν die kinematische Viskosität des Fluids und g die Fallbeschleunigung. Mit Einführung des räumlichen Wärmeausdehnungskoezienten β und der Relation kann die Grashofzahl folgendermaÿen ausgedrückt werden: (ρ W ρ 0 ) ρ W = β (ϑ W ϑ 0 ) (3.5) Gr = g L3 β (ϑ W ϑ 0 ) ν 2 (3.6) Der Wärmeausdehnungskoezient β wird bei idealen Gasen folgendermaÿen deniert: β = 1 T 0 (3.7) Er ist also nur von der Absoluttemperatur T 0 des Fluids abhängig. Als weitere dimensionslose Kennzahl wird die Prandtlzahl benötigt, die das Verhältnis von kinematischer Viskosität zur Temperaturleitfähigkeit im Fluid beschreibt. P r = η c p λ (3.8) Hierbei ist η die dynamische Viskosität des Fluids, c p die spezische Wärmekapazität bei konstantem Druck und λ die Wärmeleitfähigkeit. Für die Berechnung wurde eine konstante Prandtlzahl von P r = angenommen [4]. Eine dritte dimensionslose Kennzahl, die für die Berechnungen notwendig ist, ist die Rayleightzahl, welche das Produkt aus Grashof- und Prandtlzahl ist [7, 2] Freie Konvektion an vertikalen, ebenen Wänden Ra = Gr P r (3.9) An einer beheizten senkrechten Wand wird die Dichte der Fluidelemente in der Nähe der Wand kleiner, sodass durch die Auftriebskraft eine nach oben gerichtete Strömung entsteht. Diese Strömung kann sowohl laminar, als auch turbulent sein [1]. Der Wärmeübergang an vertikalen, ebenen Flächen wird mit Hilfe von empirischen Formeln folgendermaÿen beschrieben: { } 2 Nu L = [Ra f 1 (P r)] 1 6 (3.10) f 1 (P r) = [ 1 + ( ) 9 ] P r (3.11) Diese Beziehungen gelten für laminare und turbulente Strömungen im Bereich von 10 1 < Ra < und < P r < [4].

13 3 THEORIE Freie Konvektion an horizontalen, ebenen Flächen Für horizontale Flächen können zwei Fälle auftreten: Flächen, die Wärme nach oben abgeben und von unten gekühlt werden und Flächen, die Wärme nach unten abgeben und von oben gekühlt werden. Hierbei wird jeweils eine unendlich ausgedehnte Fläche angenommen, sodass keine Randeekte berücksichtigt werden müssen. Bei der Wärmeabgabe auf der Oberseite gelten folgende Beziehungen: Nu L = [Ra f 2 (P r)] 1 5 (3.12) f 2 (P r) = [ 1 + ( P r ) 11 ] (3.13) Im Falle einer laminaren Strömung mit Ra f 2 (P r) ist die Berechnung der Nuÿeltzahl gültig. Die Funktion f 2 (P r) besitzt für den gesamten Bereich 0 < P r < Gültigkeit. Im Falle einer Wärmeabgabe auf der Unterseite der Platte gilt folgende Gleichung für die Berechnung der Nuÿeltzahl für die laminare Strömung bei 10 3 < Ra f 1 (P r) < : Es gilt f 1 (P r) nach Gleichung (3.11) [4]. Nu = 0.6 [Ra f 1 (P r)] 1 5 (3.14) 3.2 Strahlung Neben dem Wärmeübergang durch freie Konvektion, tritt auch Wärmeübergang durch Strahlung auf. Wärmeübertragung durch Strahlung erfolgt durch elektromagnetische Wellen und kann deshalb im Gegensatz zu anderen Formen des Wärmeübergangs auch ohne Trägermedium, also auch im Vakuum, erfolgen. Bei Temperaturen über 0 K absorbieren und emittieren alle Festkörper, Flüssigkeiten und manche Gase elektromagnetische Wellen durch thermische Anregung. Auf diese Weise kann Wärme von einem wärmeren auf einen kälteren Körper übertragen werden. Die elektromagnetischen Wellen liegen im Wellenlängenbereich von 100nm < λ < 1mm, und decken somit den breiten Spektralbereich des sichtbaren Lichts und der Infrarotstrahlung ab. Treen elektromagnetische Wellen auf einen Körper, werden diese teilweise absorbiert, reektiert und transmittiert. Es gilt folgende Beziehung: α + ρ + τ = 1 (3.15) α bezeichnet hierbei den absorbierten Anteil bzw. das Absorptionsverhältnis, ρ den reektierten und τ den transmittierten Anteil. Ein schwarzer Körper sendet bei einer bestimmten Temperatur Strahlen mit maximaler Intensität aus und absorbiert alle auftreende Strahlung. Aus diesem Grund wird er als Bezugsgröÿe bei der Berechnung der Wärmestrahlung genutzt. Das Verhältnis der Strahlungsintensität eines Körpers bei einer bestimmten Temperatur zu der Strahlungsintensität eines schwarzen Körpers bei gleicher Temperatur wird als Emissionsverhältnis ɛ bezeichnet. Das Kirchho'sche Strahlungsgesetz beschreibt, dass Strahlungsemission und -absorption einander entsprechen: ɛ = α (3.16)

14 3 THEORIE 9 Als Grundgesetz der Temperaturstrahlung wird das Plank'sche Strahlungsgesetz verstanden. Dies beschreibt die spektrale Verteilung der von einem schwarzen Körper ausgehenden Wärmestrahlung: i λ,s (T, λ) = λ 5 C 1 [ exp C2 λ T 1] (3.17) Die Konstanten C 1 und C 2 sind folgendermaÿen deniert: C 1 = 2 π c 2 h = W m 2 (3.18) C 2 = c h k = K m (3.19) Hierbei nden die Lichtgeschwindigkeit c, die Boltzmankonstante k und das Plank'sche Wirkungsquantum h Verwendung. Um den Wärmestrom zu berechnen, der von einem schwarzen Körper ausgesandt wird, muss die Intensität der Strahlung pro Meter Wellenlänge i λ,s über den gesamten Wellenlängenbereich integriert werden: q S = i λ,s dλ = 2 π5 k 4 15 h 4 c 2 T 4 = σ T 4 (3.20) 0 σ ist dabei die Stefan-Boltzmann-Konstante mit dem Wert σ = Für den schwarzen Körper gilt demnach mit C S = 10 8 σ = 5.67 W m 2 K : W m 2 K. 4 ( ) 4 T q S = C S (3.21) 100 Für nicht-schwarze Körper muss darüber hinaus noch das Emissionsverhältnis berücksichtigt werden [2, 4, 7]: ( ) 4 T q S = ɛ C S (3.22) Berechnungen In diesem Abschnitt sollen die Problemstellungen aus Simulation und Versuchen mit Hilfe der theoretischen Formeln berechnet werden. Um die Berechnungen damit möglich zu machen, wird zur Vereinfachung eine quadratische Platte mit 0.1 m Seitenlänge angenommen, wobei die Dicke der Platte vernachlässigt wird. Der Wärmestrom der in die Platte eingebracht wird, wird als konstant und als bekannt angenommen. Gesucht wird die Temperatur der Platte im thermischen Gleichgewicht, die ebenfalls an jedem Punkt der Platte als konstant vorausgesetzt wird. Für die Berechnungen werden auÿerdem folgende Werte für Luft bei einem Druck von p = 1bar und einer Temperatur von T = K zu Grunde gelegt: [4] Wärmeleitfähigkeit λ = W/mK Kinematische Viskosität ν = m 2 /s Temperaturleitfähigkeit a = m 2 /s Prandtlzahl P r = Weitere Konstanten: Umgebungstemperatur T 0 = K Fallbeschleunigung g = 9.81m/s 2 Fläche Platte A = 0.01m 2

15 4 VERSUCHE 10 Die Berechnungen werden jeweils für folgende zugeführten Wärmestromdichten für die jeweiligen Leistungen ausgeführt: q 1 = 500W/m 2 für P 1 = 10W q 2 = 250W/m 2 für P 2 = 5W q 3 = 50W/m 2 für P 3 = 1W Für die Berechnung wird davon ausgegangen, dass der zugeführte Wärmestrom Q zu gleich dem durch Konvektion bzw. Konvektion und Strahlung abgeführten Wärmestrom sein muss: Q zu = Q Konvektion + Q Strahlung (3.23) Durch Einsetzen der Gleichungen (3.1) und (3.22) und unter Verwendung der Wärmestromdichten ergibt sich folgende Beziehung: q zu = α (T w T 0 ) + ɛ C S [ ( ) 4 ( ) ] 4 Tw T (3.24) Da α und T w beide unbekannt sind, wird zunächst α iterativ durch Einsetzen von Gleichung (3.23) in die Grashofzahl (3.4) anstelle der Temperaturdierenz T w T 0 berechnet. Anschlieÿend wird der gefundene Wert für den Wärmeübergangskoezienten α wieder in Gleichung (3.23) eingesetzt und die Wandtemperatur T w iterativ berechnet. 4 Versuche 4.1 Versuchsaufbau Im Folgenden sollen die Ergebnisse die in Simulationen und Berechnungen gefunden wurden, in der Praxis überprüft werden. Dazu wird eine 10 cm mal 10 cm groÿe und 0.2 cm dicke Aluminiumplatte mit Bohrungen (Abbildung 4.1) versehen. Am Rand wird ein Transistor mit Hilfe einer Schraube befestigt. Die Platte wird mit zwei Drähten senkrecht bzw. mit vier Drähten waagrecht am Stativ befestigt. Der Versuchsaufbau ist in Abbildung 4.2 zu sehen. Zum Messen der Temperatur wird ein Temperaturfühler (Nickel-Chrom-Nickel) mit einer Schraube an den vorgesehenen Messpunkten befestigt. Die Messpunkte benden sich wie in Abbildung 4.1 gezeigt direkt unter dem Transistor auf der Rückseite der Platte, in der Mitte der Platte und in einer Ecke auf der dem Transistor gegenüberliegenden Seite der Platte. Der Messfühler wird mit einem Multimeter verbunden, um die Temperatur auslesen zu können. Die Genauigkeit der Messung schlieÿt keine Nachkommastellen mit ein. Der Transistor wird an eine Stromquelle angeschlossen, an die verschiedene Spannungen und Stromstärken angelegt werden können.

16 4 VERSUCHE 11 Abbildung 4.1: Abmessungen der Platte und Messpunkte Abbildung 4.2: Versuchsaufbau

17 4 VERSUCHE Versuchsdurchführung Senkrechte Platte, metall Für die Temperaturmessungen wird die Platte mit Hilfe von zwei Drähten senkrecht aufgehängt (sieht Abbildung 4.2). Der Transistor bendet sich dabei am oberen Ende der Platte. Die Messungen des Versuches werden jeweils zweimal durchgeführt. Für den ersten Teil des Versuchs wird eine Leistung von 5 Watt an den Transistor angelegt. Um das Aufheizverhalten des Transistors zu beobachten, wird zunächst alle 15 Sekunden, nach drei Minuten alle 30 Sekunden die Temperatur abgelesen. Dies wird an allen drei Messpunkten durchgeführt. Die Endtemperatur wird nach ca. 15 Minuten erreicht. Ab diesem Zeitpunkt ändert sich die Temperatur nicht mehr. Die Umgebungstemperatur beträgt bei beiden Messungen 24 C. Für den zweiten Teil des Versuches wurde die oben genannte Vorgehensweise für eine Leistung von 10 Watt am Transistor wiederholt. Das Aufheizverhalten wird für die Punkte 1 und 3 beobachtet. Bei Punkt 2 wird die Endtemperatur festgehalten. Die Versuche werden bei einer Umgebungstemperatur von 24 C durchgeführt Waagrechte Platte, metall Um den zweiten Fall bei der Berechnung einer ebenen Platte darstellen zu können, wird diese an vier Ecken mit Hilfe von Drähten am Stativ befestigt. Der Transistor bendet sich auf der Oberseite der Platte. Wie bei der senkrechten Platte werden die Versuche jeweils zweimal durchgeführt. Hier wird wie bei der senkrechten Platte zunächst eine Leistung von 5 Watt an den Transistor angelegt. Zusätzlich wird hier die Temperatur in der Mitte der Platte sowohl auf der Oberseite, als auch auf der Unterseite gemessen. Ein Temperaturverlauf beim Aufheizen wurde nach der gleichen Methode für die Punkte 2 (oben und unten) und 3 erstellt. Für Punkt 1 wurde nur die Endtemperatur aufgezeichnet. Die Umgebungstemperatur beträgt bei beiden Durchführungen 24 C. Im zweiten Teil des Versuches wird auch hier die Leistung auf 10 Watt erhöht und von allen vier Messpunkten die Endtemperatur nach 15 Minuten festgehalten. Dies geschieht bei einer Umgebungstemperatur von 24 C Schwarze Platte, senkrecht/waagrecht Um den Einuss der Farbe der Platte auf die Wärmeabgabe zu beobachten, wird diese mit schwarzem Lack bis auf eine Aussparung für den Transistor komplett eingefärbt. Die Platte wird senkrecht aufgehängt und die Messungen wie bei der blanken Platte für fünf und zehn Watt durchgeführt. Es wird an allen drei Messpunkten jeweils die Endtemperatur nach 15 Minuten festgehalten. Die Versuche werden bei einer Umgebungstemperatur von 23 C jeweils zweimal durchgeführt. Bei der waagrechten Platte werden nach dem gleichen Vorgehen an den drei Punkten Messungen durchgeführt. Als weiterer Teil des Versuches wird gemessen, welche Leistung bei der schwarzen Platte nötig ist, um die gleiche Temperatur wie die blanke Platte bei 5 Watt zu erreichen. Dazu wird die Messung bei einer Ausgangsleistung von 5 Watt gestartet und diese dann langsam erhöht, wobei gewartet wird, bis die Temperatur konstant bleibt. Die Leistung wird so lange erhöht, bis die gewünschte Temperatur erreicht ist. Dies wird sowohl auf die senkrechte, als auch auf die waagrechte Platte angewandt, wobei nur die Temperatur an Messpunkt 3, also direkt unter dem Transistor gemessen wird. Die Umgebungstemperatur beträgt 23 C. Um die Abhängigkeit der Temperatur von der angelegten Leistung besser einschätzen zu können,

18 5 ERGEBNISSE 13 wird die Leistung beginnend von 1 Watt ganzzahlig bis auf 10 Watt erhöht. Die daraus resultierenden Temperaturen werden an Punkt 3 jeweils nach ca. 10 Minuten gemessen. Die Umgebungstemperatur beträgt 21 C. 5 Ergebnisse 5.1 Simulation Ebene Platte Die Simulationen der ebenen Platte wurden sowohl mit, als auch ohne umgebende Luft durchgeführt. Des Weiteren werden die angelegten Leistungen, die Art der Aufhängung und die auftretende Strahlung variiert. Die Ergebnisse für die Simulationen ohne umgebende Luft benden sich in Tabelle 5.1 und 5.2. Tabelle 5.1: Ebene Platte, ohne Luft, ohne Strahlung Leistung [W ] Aufhängung Temperatur [K] senkrecht waagrecht senkrecht waagrecht senkrecht waagrecht Tabelle 5.2: Maximaltemperaturen ebene Platte, ohne Luft, mit Strahlung Leistung [W ] Emissionskoezient ɛ [ ] Temperatur senkrecht [K] Temperatur waagrecht [K] Bei den Simulationen der senkrechten Platte mit umgebender Luft und ohne Strahlung zeigen sich die Maximaltemperaturen in Tabelle 5.3 und Strömungen wie in Abbildung 5.1. Für die waagrechte Platte konnten keine Lösungen berechnet werden. Auf die Gründe hierfür wird näher in Kapitel 6 eingegangen. Für die Simulationen mit berücksichtigtem Einuss der Strahlung benden sich die Maximaltemperaturen in Tabelle 5.4. Das resultierende Geschwindigkeitsprol ist gleich dem ohne Strahlung in Abbildung 5.1. Auch hier konnten für die waagrechte Aufhängung keine Ergebnisse berechnet werden.

19 5 ERGEBNISSE 14 Tabelle 5.3: Ebene senkrechte Platte, mit Luft, ohne Strahlung Leistung [W ] Temperatur [K] (a) Strömung über senkrechte Platte (b) Längsschnitt der Platte mit Geschwindigkeitsfeld Abbildung 5.1: Geschwindigkeitsprol senkrechte Platte, ohne Strahlung bei 10 W Leistung Tabelle 5.4: Maximaltemperaturen ebene Platte, mit Luft, mit Strahlung Leistung [W ] Emissionskoezient ɛ [ ] Temperatur senkrecht [K] Platte mit Transistor Die Ergebnisse für die Platte mit Transistor, sowohl mit als auch ohne umgebende Luft, benden sich im Anhang (A). Es wurden zwar Simulationen mit unterschiedlichen Werten für den Emissionskoezienten durchgeführt, allerdings konnte dabei keine Veränderung im Ergebnis festgestellt werden. Deshalb werden diese Versuche im Anhang nicht aufgeführt Transistor mit Kühlkörper Zunächst werden an den verschiedenen Modellen Simulationen ohne umgebende Luft mit Hilfe der Idealisierungen durchgeführt. Da diese nicht das gewünschte Ergebnis liefern, werden pro Modell

20 5 ERGEBNISSE 15 nur zwei Simulationen durchgeführt: senkrechte und waagrechte Platte mit einem Emissionsfaktor von ɛ = Die Ergebnisse benden sich im Anhang (B). Die durchgeführten Simulationen mit umgebender Luft kamen zu keinen Ergebnissen und brachen mit Fehlermeldung ab. Trotz verschiedenen Einstellungen und Hilfe des Kundensupports konnte keine Lösung gefunden werden. 5.2 Berechnungen Um die Korrektheit der Ergebnisse aus den Simulationen besser einschätzen zu können, werden diese mit Hilfe der empirischen Formeln aus Abschnitt 3 für die senkrechte Wand und die waagrechte Ebene unter den dort genannten Annahmen per Hand berechnet. Für die senkrechte Platte nden sich nur unter Berücksichtigung der freien Konvektion die Ergebnisse in Tabelle 5.5. Die Ergebnisse unter Einbeziehung der Strahlung sind in Tabelle 5.6 zu sehen. Die gleichen Berechnungen werden auÿerdem für die Idealisierung der horizontalen Ebene durchgeführt. Dabei nden sich mit Vernachlässigung der Strahlung die Ergebnisse in Tabelle 5.7, mit Berücksichtigung der Strahlung in Tabelle 5.8. Eine Bewertung dieser Ergebnisse wird in Kapitel 6 vorgenommen. Tabelle 5.5: Ergebnisse senkrechte Platte mit freier Konvektion Leistung [W ] Wärmeübergangskoezient α [W/m 2 K] Temperatur [K] Tabelle 5.6: Ergebnisse senkrechte Wand mit freier Konvektion und Strahlung Leistung [W ] Emissionskoezient ɛ [ ] Wärmeübergangskoezient α [W/m 2 K] Temperatur [K] Tabelle 5.7: Ergebnisse waagrechte Ebene mit freier Konvektion Leistung [W ] Wärmeübergangskoezient α [W/m 2 K] Temperatur [K]

21 5 ERGEBNISSE 16 Tabelle 5.8: Ergebnisse horizontale Ebene mit freier Konvektion und Strahlung Leistung [W ] Emissionskoezient ɛ [ ] Wärmeübergangskoezient α [W/m 2 K] Temperatur [K] Versuche Um die Ergebnisse aus Simulationen und Berechnungen besser vergleichen zu können, werden desweiteren Versuche durchgeführt. Diese sollen Vergleichswerte unter realen Bedingungen darstellen. Bei den Versuchen wurde die Temperatur jeweils zweimal gemessen. In den nachfolgenden Tabellen wurden die Messergebnisse aus beiden Messungen gemittelt. Alle Ergebnisse sind im Anhang C zu nden. Die Ergebnisse aus den Versuchen mit der durch einen Transistor beheizten Platte benden sich in Tabelle 5.9. Die folgenden Diagramme (Abbildung 5.2) zeigen den Temperaturverlauf beim Aufheizen der Platte bis zum Endzustand in verschiedenen Punkten. Im zweiten Teil der Versuche mit der schwarzen Platte soll herausgefunden werden, welche Leistung an den Transistor angelegt werden muss, um auf die gleiche Temperatur wie bei der metallenen Platte zu kommen. Die Ergebnisse dazu benden sich in Tabelle Als weiterer Versuch wurde die Endtemperatur bei verschiedenen Leistungen von 1 bis 10 Watt gemessen. Die Ergebnisse benden sich in Abbildung 5.3. Tabelle 5.9: Gemittelte Messwerte von metallener Platte Leistung [W ] (a) Senkrecht Temperatur [ C] in Messpunkt Leistung [W ] (b) Waagrecht Temperatur [ C] in Messpunkt 1 2 oben 2 unten Tabelle 5.10: Gemittelte Messwerte von schwarzer Platte Leistung [W ] (a) Senkrecht Temperatur [ C] in Messpunkt Leistung [W ] (b) Waagrecht Temperatur [ C] in Messpunkt 1 2 oben 2 unten

22 5 ERGEBNISSE 17 (a) Punkt 1, senkrecht bei 5 und 10 W (b) Punkt 3, senkrecht bei 5 und 10 W (c) Punkt 2, senkrecht und waagrecht bei 5 W (d) Punkt 3, senkrecht und waagrecht bei 5 W Abbildung 5.2: Temperaturverlauf beim Aufheizen der Platte Tabelle 5.11: Leistung, um bei unterschiedlicher Farbe gleiche Temperatur zu erreichen Senkrechte Platte Waagrechte Platte Farbe Platte Temperatur [ C] Leistung [W ] metall 60 5 schwarz metall 65 5 schwarz Abbildung 5.3: Temperatur bei unterschiedlichen Leistungen

23 6 AUSWERTUNG 18 6 Auswertung 6.1 Vergleich der Ergebnisse Im Anschluss sollen die Ergebnisse aus Simulationen, Berechnung und Versuchen miteinander verglichen werden. Bei den Werten aus den Versuchen wurde die Maximaltemperatur in Messpunkt 3 direkt unterhalb des Transistors für den Vergleich benutzt. Unter der Voraussetzung der senkrechten und waagrechten ebenen Platte mit Vernachlässigung der Strahlung, wie in Tabelle 6.1 zu sehen, zeigt sich vor allem bei den Werten der waagrechten Aufhängung eine groÿe Diskrepanz zwischen den simulierten und berechneten Werten. Während im senkrechten Fall der Wert der Simulation höchstens 3.5 % gröÿer als der berechnete ist, sind es im waagrechten Fall bis zu 10.5 %. Bei der senkrechten Platte kann diese Abweichung durch die Verwendung von unterschiedlichen Faustformeln, z.b. für die Nuÿeltzahl oder die Funktionen der Prandtl-Zahl erklärt werden, da hier in der Literatur eine Vielzahl verschiedener Werte existiert. Ebenso kann es durch die Annahme von verschiedenen Materialeigenschaften, vor allem für die Wärmeleitfähigkeit, zu anderen Ergebnissen kommen. Eine weitere mögliche Fehlerquelle stellen auÿerdem die numerischen Fehler und Rundungsfehler bei der iterativen Berechnung der Simulation dar [8]. Bei den Simulationen wurde je nach Komplexität der Geometrie die Einstellung normal, coarse oder coarser für die Elementgröÿe verwendet. Dementsprechend variieren auch die auftretenden Fehler je nach Modell. Bei der waagrechten Platte kommen die gleichen Fehlerquellen wie bei der senkrechten Platte in Betracht, allerdings ist hier die Abweichung der Werte gröÿer. Da diese ohne Berücksichtigung der Strahlung berechnet wurden, ist ein Vergleich mit den realen Werten schwierig. Die Diskrepanz der Werte kann also entweder auf eine fehlerhaft durchgeführte Simulation, z.b. bei der Einstellung der Randbedingungen, oder auf einen Fehler bei der Anwendung der empirischen Formeln zurückzuführen sein. Tabelle 6.1: Vergleich Temperaturen ebene Platte, ohne Luft, ohne Strahlung Leistung Aufhängung Temp. Simulation Temp. Berechnung Abweichung Simulation [W ] [K] [K] von Berechnung [%] senkrecht waagrecht senkrecht waagrecht senkrecht waagrecht In Tabelle 6.2 sind die Ergebnisse für die Temperatur im Vergleich für Simulation, Berechnung und Versuche für die senkrechte Platte aufgeführt. Hierbei zeigt sich eine gute Übereinstimmung der Werte aus Berechnung und Versuchen für die blanke Platte mit angenommenem Emissionsfaktor von ɛ = Wenn die höhere Umgebungstemperatur von 4 C bei der blanken Platte und 3 C bei der schwarzen Platte bei den Versuchen berücksichtigt wird, zeigt sich eine gute Übereinstimmung die Ergebnisse aus Berechnung und Versuchen bei der blanken Platte. Lediglich die Ergebnisse aus der Simulation zeigen eine gröÿere Abweichung, was auf oben bereits genannte Gründe zurückzuführen ist. Auch bei den Messungen aus den Versuchen müssen potentielle Fehlerquellen bei der Bewertung der Ergebnisse berücksichtigt werden. Dabei handelt es sich vor allem um die wechselnden Be-

24 6 AUSWERTUNG 19 dingungen während der Versuchsdurchführung. Hier können sowohl Temperaturschwankungen, als auch Luftverwirbelungen auftreten die die Messungen verfälschen können. Desweiteren ist auch das verwendete Messgerät durch eine beschränkte Messgenauigkeit fehlerbehaftet. Darüber hinaus wird in den verwendeten empirischen Formeln von einer Idealisierung der Platte ausgegangen, die unter realen Bedingungen nicht erfüllt war. Dadurch können Randeekte und Einüsse der Grenzschicht über der Platte mehr Einuss auf die Messung haben. Desweiteren sind bei den Versuchen auch menschliche Fehler und Ungenauigkeiten beim Einstellen der Stromquelle und bei der unterschiedlichen Anbringung des Messfühlers zu berücksichtigen. Auÿerdem kann es durch Inhomogenitäten innerhalb der Platte und des Transistors zu unterschiedlichem Verhalten bei der Wärmeleitung kommen. Aus Tabelle 6.2 und 6.3 wird ersichtlich, dass man bei der schwarz gefärbten Platte nicht von einem Emissionsfaktor von 0.9 ausgehen sollte. Bei einem Vergleich mit den anderen Werten sollte ein Wert zwischen 0.3 und 0.6 angenommen werden. Der Emissionsgrad der Oberäche ist von vielen Faktoren, wie z.b. Rauheit, Staub, Kratzer etc. abhängig, sodass eine genaue Bestimmung schwierig ist [8]. In Tabelle 6.3 zeigt sich wie bei dem Fall ohne Strahlung wieder ein Unterschied zwischen den Ergebnissen aus Simulation und Berechnung. Durch die Messungen aus den Versuchen kann jedoch auf Grund der geringen Anzahl von vergleichbaren Werten und der Anzahl von möglichen Fehlerquellen nicht abgeleitet werden, welche Ergebnisse eher der Realität entsprechen. Bei der senkrechten Platte scheinen die Werte aus Berechnungen und Versuchen besser übereinzustimmen, bei der waagrechten Platte ist dies nur noch bei 10 Watt Leistung der Fall, bei 5 Watt ist dies nicht mehr eindeutig bestimmbar. Zusammenfassend scheinen die Ergebnisse aus den Berechnungen näher an der Realität zu liegen als die aus den Simulationen, allerdings kann auf Grund der geringen Anzahl von Vergleichswerten und der Anzahl der möglichen Fehlerquellen bei Simulationen und Experimenten keine eindeutige Aussage über die Qualität der Simulationen getroen werden. Tabelle 6.2: Vergleich Temperaturen senkrechte ebene Platte, ohne Luft, mit Strahlung Leistung[W ] Emissionskoezient Temperatur Temperatur Temperatur ɛ [ ] Simulation [K] Berechnung [K] Versuch [K] (metall) (schwarz) (metall) (schwarz) 6.2 Bewertung der Ergebnisse Simulationen Ebene Platte Bei den Ergebnissen der Simulationen der ebenen Platte zeigt sich, dass wie erwartet und in der Realität bestätigt, die Temperaturen der waagrechten Platte höher als die der senkrechten sind. Bei Einbeziehung der Strahlung sieht man darüber hinaus schon bei niedrigen Emissionskoezienten

25 6 AUSWERTUNG 20 Tabelle 6.3: Vergleich Temperaturen waagrechte ebene Platte, ohne Luft, mit Strahlung Leistung [W ] Emissionskoezient Temperatur Temperatur Temperatur ɛ [ ] Simulation [K] Berechnung [K] Versuch [K] (metall) (schwarz) (metall) (schwarz) eine Senkung der Temperatur. Dies ist darauf zurückzuführen, dass durch die groÿe Temperaturabhängigkeit mit T 4 (siehe Formel 3.24) eine gröÿere Wärmemenge in Form von Strahlung abgegeben wird und so die Plattentemperatur sinkt. Bei einem höheren Emissionskoezient verstärkt sich dieser Eekt entsprechend. Bei den Simulationen mit umgebender Luft zeigt sich, dass die gefundenen Ergebnisse (Tabelle 5.3) weit unter denen ohne Luft (Tabelle 5.1) liegen. Bei 10 Watt Leistung liegt der Unterschied z.b. bei 58.4 C. Aus diesem Grund kann davon ausgegangen werden, dass die Ergebnisse nicht korrekt sind und es einen Fehler bei der Einstellung der Randbedingungen oder anderer Eigenschaften des Modells bei der Simulation gab. Es wurden dabei verschiedene Einstellungen getestet, von denen jedoch keine zu einem besseren Ergebnis führte. Bei den Ergebnissen mit Luft und Strahlung zeigt sich ein ähnliches Bild wie bei den Ergebnissen oben, da auch hier die Plattentemperaturen zu niedrig sind. Für die waagrechte Platte konnten keine Ergebnisse für die Simulationen mit Luft gefunden werden. Auch hier wurden verschiedene Einstellungen getestet, allerdings konvergierte die Berechnung nicht oder sie wurde bereits vorher auf Grund von fehlendem Arbeitsspeicher abgebrochen. Dieses Problem ist wahrscheinlich auf die gröÿere Önung der Auslässe bei der waagrechten Platte zurückzuführen, sodass weniger feststehende Randbedingungen bei der Berechnung genutzt werden konnten. Platte mit Transistor Die Simulationen der Platte mit darauf befestigtem Transistor zeigen ähnliche Ergebnisse wie die der einfachen Platte. Die Temperaturen sind vor allem bei einer Leistung von 5 und 10 Watt deutlich niedriger, vermutlich weil die Wärmequelle punktueller wirkt und die Wärme deswegen besser abgeleitet wird. Bei den Simulationen ohne Luft muss desweiteren bedacht werden, dass hier mit den Idealisierungen für die ebene Platte gerechnet wurde und die genauen Strömungsverhältnisse um die veränderte Geometrie nicht eingerechnet wurden. Die bestehenden Unterschiede sind somit vor allem der unterschiedlichen Wärmeleitung anzurechnen. Aussagekräftige Ergebnisse konnten deshalb durch die Idealisierung nicht erlangt werden. Diese Beobachtungen sind sowohl bei der senkrechten, als auch bei der waagrechten Platte zu machen. Die Temperatur der waagrechten Platte ist wie erwartet immer höher, allerdings reicht auch diese nicht an die realen Temperaturen heran. Bei Betrachtung der Temperaturverteilung zeigt sich, dass bei einem höheren Emissionsfaktor die Temperatur mit der Entfernung von der Wärmequelle schneller abnimmt. Dies ist durch den gröÿeren Anteil der Wärmeabgabe durch Strahlung zu erklären.

26 6 AUSWERTUNG 21 Bei den Simulationen mit Luft als umgebendes Medium (Abbildung A7) zeigt sich, dass sich hier auf Grund der gewählten Volumenkraft Strömungen ausbilden. Diese Kraft wurde bei der senkrechten Platte in y-richtung und bei der waagrechten Platte entgegen der z-richtung deniert. Es zeigt sich, dass die auftretende Strömung in die gleiche Richtung gerichtet ist und nicht wie erwartet ein entgegengesetzter Auftrieb stattndet. Die freie Konvektion konnte also mit den in Abschnitt denierten Randbedingungen nicht korrekt simuliert werden, obwohl auch hier darüber hinaus noch weitere Einstellungen getestet wurden. Die Temperatur ist wie bei den vorherigen Simulationen dieser Art zu niedrig. Auÿerdem tritt kein groÿer Temperaturunterschied zwischen der senkrechten und waagrechten Platte auf, was auch für eine falsche Simulation der freien Konvektion spricht. Ein Einuss der Strahlung konnte nicht mit eingerechnet werden, da trotz der Auswahl der entsprechenden Randbedingung mit verschiedenen Emissionskoezienten keine Änderungen im Ergebnis sichtbar waren. Platte mit Transistor und Kühlkörper Bei den Simulationen des Transistors mit Kühlkörpern zeigt sich wie schon beim einfachen Transistor, dass durch die Idealisierungen keine aussagekräftigen Ergebnisse erzielt werden können, da die jeweilige Geometrie nicht berücksichtigt werden kann. Die Unterschiede in der Temperaturverteilung der verschiedenen Modelle sind nur auf die unterschiedliche Wärmeleitung innerhalb der Kühlkörper und den gesteigerten Einuss der Strahlung auf Grund der unterschiedlich hohen Temperaturen auf dem Modell zurückzuführen. Ebenso zeigt sich genau wie bei der Platte mit Transistor kaum ein Unterschied zwischen einer senkrechten und waagrechten Aufhängung. Eine Simulation mit umgebender Luft konnte nicht durchgeführt werden, da die Berechnung entweder nicht konvergierte, oder wie bereits oben erwähnt der Arbeitsspeicher für eine weitere Berechnung nicht ausreichte. Auch hier wurde mit verschiedenen Einstellungen für Randbedingungen und auch für den Löser getestet, allerdings konnte trotzdem kein Ergebnis gewonnen werden. Probleme bei der Simulation Bei komplexeren Simulationen unter Einbeziehung der auftretenden Strömungen konnten in den meisten Fällen keine Ergebnisse gefunden werden, da der vorhandene Arbeitsspeicher von vier Gigabyte zusammen mit dem 32-Bit Betriebssystem nicht ausreichend für die Berechnung war. Dies wurde auch vom Comsol Kundensupport bestätigt. Um dieses Problem zu umgehen, wurden mehrere Lösungsansätze ausprobiert, u.a. eine Verkleinerung bzw. Halbierung des Modells, um Symmetrien ausnutzen zu können. Bei einfachen Modellen, wie der Platte mit umgebender Luft war dies erfolgreich. Allerdings ist die Halbierung des Modells recht aufwändig und nicht auf komplexere Modelle anwendbar. Auÿerdem muss dazu innerhalb des Modells bereits Symmetrie vorhanden sein. Als weiterer Lösungsansatz wurde das Problem für mehrere Variablen unabhängig gelöst, d.h. die Temperatur wurde unabhängig von der Geschwindigkeit und dem Druck in der Strömung berechnet. Diese Entkoppelung war jedoch nur für kleine Probleme erfolgreich. Ein weiterer Ansatz war eine Vergröberung des Netzes über dem Modell, von der Einstellung normal auf coarse oder noch gröber. Je nach Geometrie wurde dabei die Anzahl der Elemente des Gitters mindestens halbiert. Dies führt zwar zu weniger Freiheitsgraden und einer schnelleren Berechnung, allerdings waren die daraus gewonnen Ergebnisse ungenau. Durch die geringere Anzahl an Gitterpunkten kam es zur Artefaktbildung bei der Ausgabe und die Temperaturverläufe konnten nicht mehr durchgehend nachvollzogen werden. Bei einem zu groben Netz konnte auÿerdem in den meisten Fällen keine Lö-

27 6 AUSWERTUNG 22 sung mehr gefunden werden. Um bessere Ergebnisse zu erhalten, hätte das Gitter über dem Modell feiner gewählt werden müssen, allerdings wäre dann der Rechenaufwand zu groÿ gewesen. Insgesamt wäre für die Strömungssimulation leistungsfähigere Hardware nötig gewesen, um gute Ergebnisse zu erzielen. Durch eine längere Einarbeitungszeit in die Software und einen längeren Testzeitraum hätten vermutlich einige Probleme gelöst und bessere Ergebnisse erzielt werden können, was so in dem zur Verfügung stehenden Zeitraum von vier Wochen nicht möglich war. Ein weiteres Problem, das bei der Simulation auftrat, waren Abstürze während der Berechnung oder beim Plotten der Ergebnisse. Das Fehlen von log-dateien lies es auÿerdem nicht zu, weiter auf die auftretenden Probleme einzugehen und deren Ursachen besser nachvollziehen zu können. Import von Modelldateien aus Autodesk Inventor Der Import des CAD-Modells in Comsol Multiphysics gestaltet sich komfortabel, da ein sog. Livelink verfügbar ist. Damit kann ein Modell das in Inventor bearbeitet wird sofort in Comsol importiert werden, vorausgesetzt beide Programme sind geönet. Die jeweiligen Bauteile und Baugruppen können auÿerdem auch über die Importfunktion des Programmes eingebunden werden. Bei einem Import wird nur die jeweilige Geometrie importiert, nicht aber die zugewiesenen Materialeigenschaften. Diese müssen in Comsol Multiphysics mit Hilfe der eingebauten oder selbstdenierten Materialdatenbank erneut zugewiesen werden. Die zugehörige Materialdatenbank kann nicht aus Inventor übernommen werden, sondern muss neu angelegt werden. Bei einem Importversuch von zu kleinen Bestandteilen einer Geometrie kann es dazu kommen, dass die Programme einfrieren und der Vorgang nicht beendet werden kann, sodass solche kleinen Teile möglichst vermieden werden sollten, oder von der eingebauten Funktion eine gewisse Gröÿenuntergrenze zu denieren Gebrauch gemacht werden sollte. Comsol Multiphysics verfügt auÿerdem noch über andere Funktionen um einen Import zu erleichtern, diese wurden allerdings nicht getestet Versuche Bei den Temperaturen aus den Versuchen (Tabelle 5.9, 5.10) zeigen sich Temperaturunterschiede zwischen senkrechter und waagrechter Platte an allen Messpunkten. An den Messpunkten 2 an der Ober- und Unterseite der waagrechten Platte wurde die gleiche Temperatur gemessen, da wahrscheinlich die Temperaturunterschiede zwischen beiden Seiten durch die Wärmeleitung innerhalb der Platte wieder ausgeglichen wurden, sodass die Messwerte identisch sind. Ein geringer Temperaturunterschied hätte vermutlich mit einer genaueren Messung und konstanteren Bedingungen gemessen werden können. Bei dem Vergleich zwischen der metallenen und der schwarzen Platte zeigt sich eine deutliche Temperaturdierenz. Die Temperaturen der schwarzen Platte sind dabei 13.4 bis 19.5 % geringer als die der metallenen Platte. Der durch die schwarze Farbe höhere Emissionskoezient bewirkt so eine höhere Wärmeabgabe mittels Strahlung an die Umgebung. In Tabelle 5.11 ist zu sehen, welche Leistung jeweils benötigt wird, um bei der schwarzen Platte auf die gleiche Temperatur wie die der metallenen zu kommen. Bei der senkrechten Platte kann 31.4 %, bei der waagrechten sogar 47.2% mehr Leistung angelegt werden, um die gleiche Endtemperatur zu erreichen. Hierbei wird deutlich, dass die Farbe der Platte eine entscheidende Rolle beim Wärmeübergang durch Strahlung spielt. Durch eine matte, farbige Beschichtung steigt der Abtransport

28 7 ZUSAMMENFASSUNG 23 von Wärme durch Strahlung. Diese Tatsache wird auch bei Kühlkörpern genutzt, die meist schwarz eloxiert wurden, um die Menge der abgestrahlten Wärme zu erhöhen [9]. In Abbildung 5.2 ist der Temperaturverlauf beim Aufheizen der Platte dargestellt. Die jeweiligen Ausgleichskurven wurden in die Abbildungen übernommen. In einigem Abstand von der Wärmequelle erfolgt der Temperaturanstieg wie in Abbildung 5.2c sowohl für die senkrechte, als auch für die waagrechte Platte biquadratisch. In Punkt 1 (Abbildung 5.2a) setzt dieser biquadratische Anstieg der Temperatur unabhängig von der Leistung ebenfalls mit kurzer Verzögerung ein. Der gleiche Verlauf ist sowohl bei 10 Watt, als auch bei 5 Watt Leistung zu beobachten. Der biquadratische Anstieg der Temperatur kann durch die Abhängigkeit der Wärmeabgabe durch Strahlung an die Umgebung von der Temperaturdierenz T 4 erklärt werden. An allen Punkten wird nach einiger Zeit keine weitere Steigerung der Temperatur mehr beobachtet, da sich ein Gleichgewicht zwischen der zugeführten Wärme in Form von elektrischer Leistung und der abgegebenen Wärme durch Konvektion und Strahlung eingestellt hat. Diese Zeit variiert je nach Messpunkt zwischen 12 und 16 Minuten. Zuletzt wurde noch der Temperaturverlauf bei verschiedenen Leistungen gemessen. Hier zeigt sich ein nahezu linearer Verlauf der Maximaltemperaturen zwischen 1 Watt und 10 Watt. Die Plattentemperatur ist also in diesem Bereich linear von der angelegten Leistung abhängig. Dies kann im getesteten Leistungsbereich erklärt werden, da die Strahlung bei den eher geringen Temperaturdifferenzen von ca. 50 C noch eine untergeordnete Rolle spielt. Da bei höheren Temperaturdierenzen der Anteil der Strahlung am Wärmeübergang steigt, kann sich diese Beziehung bei höheren Leistungen und Temperaturen verändern. [2] 7 Zusammenfassung Thema dieser Arbeit war die Durchführung von Simulationen mit der Software Comsol Multiphysics und deren Vergleich mit berechneten und aus Versuchen gewonnenen Ergebnissen. Insgesamt konnten wenig Ergebnisse aus den Simulationen gewonnen werden, auÿer den Berechnungen für die idealisierten Fälle der senkrechten Wand und horizontalen Ebene. Ein Vergleich dieser Ergebnisse mit Berechnungen und Versuchen zeigt eine deutliche Übereinstimmung. Dies zeigt auÿerdem, dass die empirischen Formeln in einfachen Fällen gute Ergebnisse zu den thermischen Verhältnissen liefern können. Die Gründe für die wenigen Ergebnisse liegen vermutlich auch an dem kurzen Testzeitraum von vier Wochen, in denen eine gründliche Einarbeitung in die Software nur schwer möglich war. Desweiteren konnten auf Grund der Hardware und einigen Softwareproblemen nicht alle Simulationen zu Ende geführt werden. Für eine weitere aussagekräftigere Tests wäre deswegen mehr Zeit und Zugang zu leistungsfähigerer Hardware von Vorteil. Simulationen von komplexeren Modellen und Geometrien wären wünschenswert gewesen, allerdings waren diese auf Grund der auftauchenden Probleme nicht mehr möglich.

29 LITERATUR 24 Literatur [1] J. Adam. Thermische Simulation elektronischer Systeme, [2] P. Böckh and T. Wetzel. Wärmeübertragung: Grundlagen und Praxis. Springer, [3] D. Braess. Finite Elemente: Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. Springer-Lehrbuch Masterclass. Springer, [4] V.-G. V. U. Chemieingenieurwesen. VDI-Wärmeatlas. Number Bd. 1 in VDI-Buch. Springer, [5] Comsol. Comsol Multiphysics 4.0, User's Guide Heat Transfer Module, April [6] F. Durst. Grundlagen der Stromungsmechanik: Eine Einführung in die Theorie der Strömung von Fluiden. Springer, [7] J. Kopitz and W. Polifke. Wärmeübertragung: Grundlagen, analytische und numerische Methoden. Pearson Studium, [8] C. Lasance. The conceivable accuracy of experimental and numerical thermal analyses of electronic systems, [9] J. Specovius. Grundkurs Leistungselektronik: Bauelemente, Schaltungen und Systeme. Studium Technik. Vieweg+Teubner Verlag, [10] S. Wünsche, C. Clauÿ, and P. Schwarz. Electro-thermal circuit simulation using simulator coupling. IEEE Transactions on VLSI Systems, Vol. 5, No.3:277282, [11] Z. Yu, D. Yergeau, and R. W. Dutten. Full chip thermal simulation, 2000.

30 A ERGEBNISSE PLATTE MIT TRANSISTOR 25 A Ergebnisse Platte mit Transistor (a) ɛ = 0.06 (b) ɛ = 0.3 (c) ɛ = 0.6 (d) ɛ = 0.9 Abbildung A1: Temperaturverteilung senkrechte Platte mit Transistor, ohne Luft, mit Strahlung bei 1 W Leistung

31 A ERGEBNISSE PLATTE MIT TRANSISTOR 26 (a) Leistung: 5 W, ɛ = 0.06 (b) ɛ = 0.3 (c) ɛ = 0.6 (d) ɛ = 0.9 Abbildung A2: Temperaturverteilung senkrechte Platte mit Transistor, ohne Luft, mit Strahlung bei 5 W Leistung

32 A ERGEBNISSE PLATTE MIT TRANSISTOR 27 (a) ɛ = 0.06 (b) ɛ = 0.3 (c) ɛ = 0.6 (d) ɛ = 0.9 Abbildung A3: Temperaturverteilung senkrechte Platte mit Transistor, ohne Luft, mit Strahlung bei 10 W Leistung

33 A ERGEBNISSE PLATTE MIT TRANSISTOR 28 (a) ɛ = 0.06 (b) ɛ = 0.3 (c) ɛ = 0.6 (d) ɛ = 0.9 Abbildung A4: Temperaturverteilung waagrechte Platte mit Transistor, ohne Luft, mit Strahlung bei 1 W Leistung

34 A ERGEBNISSE PLATTE MIT TRANSISTOR 29 (a) ɛ = 0.06 (b) ɛ = 0.3 (c) ɛ = 0.6 (d) ɛ = 0.9 Abbildung A5: Temperaturverteilung waagrechte Platte mit Transistor, ohne Luft, mit Strahlung bei 5 W Leistung

35 A ERGEBNISSE PLATTE MIT TRANSISTOR 30 (a) ɛ = 0.06 (b) ɛ = 0.3 (c) ɛ = 0.6 (d) ɛ = 0.9 Abbildung A6: Temperaturverteilung waagrechte Platte mit Transistor, ohne Luft, mit Strahlung bei 10 W Leistung

36 A ERGEBNISSE PLATTE MIT TRANSISTOR 31 (a) Leistung: 1 W, senkrecht (b) Leistung: 1W, waagrecht (c) Leistung: 5 W, senkrecht (d) Leistung: 5 W, waagrecht (e) Leistung: 10 W, senkrecht (f) Leistung: 10 W, waagrecht Abbildung A7: Temperaturverteilung Platte mit Transitor, mit Luft

37 B ERGEBNISSE PLATTE MIT TRANSITOR UND KÜHLKÖRPER 32 B Ergebnisse Platte mit Transitor und Kühlkörper (a) Leistung: 1W, senkrecht (b) Leistung: 1W, waagrecht (c) Leistung: 5W, senkrecht (d) Leistung: 5W, waagrecht (e) Leistung: 10W, senkrecht (f) Leistung: 10W, waagrecht Abbildung B1: Temperaturverteilung Platte mit Transistor, Modell 1