Reaktionskinetik. Maximilian Erlacher. Quelle: Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition J.D. Murray Springer

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1 Reaktionskinetik Maximilian Erlacher Quelle: Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition J.D. Murray Springer

2 Themen: 1 Basisenzymreaktion 2 Michaelis-Menten-Analyse 3 Selbstauslöschende Kinetik 4 Kooperatives Auftreten 5 Autokatalyse, Aktivierung und Inhibition 6 Mehrfache Gleichgewichtszustände, Mushrooms und Isolas

4 Basisenzymreaktion Enzym: Protein mit katalytischen Effekt wirkt nur auf genau einen Stoff wirkt hemmend oder aktivierend liegt in niedriger Konzentration vor

5 Basisenzymreaktion S ˆ= # Ausgangsstoff E ˆ= # Enzym SE ˆ= # Zwischenzustand P ˆ= # Produkt k i Reaktionsraten S + E k 1 SE k 2 P + E k 1

6 Basisenzymreaktion Folgende Differentialgleichungen lassen sich aus den Änderungsraten herauslesen, wenn wir die Konzentrationen s = [S], e = [E], c = [SE], p = [P] betrachten: Anfangswerte ds dt de dt dc dt dp dt = k 1 es + k 1 c, = k 1 es + (k 1 + k 2 )c, = k 1 es (k 1 + k 2 )c, = k 2 c, s(0) = s 0, e(0) = e 0, c(0) = 0, p(0) = 0.

7 Basisenzymreaktion p entkoppelt verkürzen mit e(t) + c(t) = e 0 System auf ds dt dc dt = k 1 e 0 s + (k 1 s + k 1 )c, = k 1 e 0 s (k 1 s + k 1 + k 2 )c,

8 Basisenzymreaktion Vergleich s und c nicht anschaulich! s 0 s 0 c t

9 Basisenzymreaktion: Entdimensionalisierung s und c Entdimensionalisierung klar: Betrachte u im Verhältnis zu s/s 0, v im Verhältnis zu c/e 0 Entdimensionalisierung von t nicht trivial, t c, Entwicklung von c t s, Entwicklung von s

10 Basisenzymreaktion: Entdimensionalisierung s und c Entdimensionalisierung klar: Betrachte u im Verhältnis zu s/s 0, v im Verhältnis zu c/e 0 Entdimensionalisierung von t nicht trivial, t c, Entwicklung von c t s, Entwicklung von s Setze K = k 1 + k 2 k 1 s 0 = K m s 0 K m nennt man die Michaelis-Konstante

11 Basisenzymreaktion: Entdimensionalisierung Standard Entdimensionalisierung τ = k 1 e 0 t, u(τ) = s(t) s 0, v(τ) = c(t) e 0, ε = c 0 s 0, wir erhalten du dτ ε dv dτ = u + (u + K λ)v, = u (u + K )v, u(0) = 1, v(0) = 0.

12 Basisenzymreaktion: Entdimensionalisierung [C] 1 steigt in wenigen Sekunden sehr stark 2 bis Ausgleichszustand 3 danach gemäßigtes abklingen Aus dc dt wähle Zeitskalierung = k 1 e 0 s 0 k 1 (s 0 + K m )c t c = 1 k 1 (s 0 + K m )

13 Basisenzymreaktion: Entdimensionalisierung Annahme, e s dc/dt 0 c(t) = e 0s s + K m, somit weshalb wir wählen. ds dt = k 2e 0 s s + K m, t s s 0 s 0 + K m, k max 2 e 0 ds dt

14 Basisenzymreaktion: Entdimensionalisierung Zeitskalierung liefert mit du dτ dv dτ τ = t t c, [ = ε u + σ ] 1 + σ uv + ρ (1 + σ)(1 + ρ) v, = u σ 1 + σ uv v 1 + σ, u(0) = 1, v(0) = 0.

15 Basisenzymreaktion: Entdimensionalisierung Zeitskalierung T = (1 + ρ)t/t s = ε(1 + ρ)k 2 t. Dadurch du dt ε dv dt = (1 + σ)u + σuv + ρ 1 + ρ v, = (1 + σ)u σuv v.

16 Basisenzymreaktion: Veranschaulichung Schemenhafter Verlauf des entdimensionalisierten Systems, wenn ε 1 1 e/e 0 = 1 v 0 v u τ Abbildung : Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition J.D. Murray Springer

18 Michaelis-Menten-Analyse Ansatz zum Lösen der Differentialgleichungen durch Taylorentwicklung u(τ, ε) = n=0 ε n u n (τ), v(τ, ε) = n=0 ε n v n (τ). Einsetzen in die bisherigen Differentialgleichungen liefert Sequenz von Differentialgleichungen für u n (τ) und v n (τ).

19 Michaelis-Menten-Analyse Die Gleichungen der Ordnung 1: du 0 dτ = u 0 + (u 0 ) + K λ)v 0, 0 = u 0 (u 0 + K )v 0, u 0 (0) = 1, v 0 (0) = 0. Anfangsbedingungen nicht erfüllt. Lösungen für die weitere Entwicklung von u und v interessant.

20 Michaelis-Menten-Analyse Lösung ist: v 0 = u 0 u 0 + K du 0 dτ = λ u 0 u 0 + K und damit u 0 (τ) + K ln(u 0 (τ)) = A λτ.

21 Michaelis-Menten-Analyse gute Lösung für kleine τ substituiere σ = τ, u(τ, ε) = U(σ, ε), v(τ, ε) = V (σ, ε). ε Dies führt zu du dσ dv dσ = εu + ε(u + K λ)v, = U (U + K )V, U(0) = 1, V (0) = 0.

22 Michaelis-Menten-Analyse Gleichungen der Ordnung 1: Lösungen sind du 0 dσ = 0, dv 0 dσ = U 0 (U 0 + K )V 0. U 0 (σ) = 1, V 0 (σ) = 1 (1 exp[ (1 + K )σ]) 1 + K Gleichungen höherer Ordnungen liefern keine weiteren Informationen.

23 Michaelis-Menten-Analyse Mit den Lösungen aus den O(1)-Gleichungen erhalten wir somit u(τ; ɛ) = u 0 (τ) + O(ε), u 0 (τ) + K log(u 0 (τ)) = 1 λτ, 1 ( [ v(τ; ε) = 1 exp (1 + K ) τ ]) + O(ε), für 0 < τ K ε u 0 (τ) = + O(ɛ), für 0 < ε τ. u 0 (τ) + K Die Lösungen gelten demnach nur für kleine ε, was in der Reaktionskinetik aber üblich ist.

24 Michaelis-Menten-Analyse Anfangsgeschwindigkeit r 0 der Reaktion, zur Abschätzung wie schnell innere in die äußere Lösung umschlägt: [ ] du0 (τ) u 0 (0) r 0 = = λ = λ dτ u 0 (0) + K m 1 + K. Rücksubstitution r 0 v τ=0 v = k 2e 0 s 0 s 0 + K = V maxs 0 s 0 + K m.

25 Michaelis-Menten-Analyse Michaelis-Konstante K m ˆ= Halbwertszeit Abbildung : Wikipedia

27 Selbstauslöschende Kinetik S ˆ= # Ausgangsstoff E ˆ= # Enzym E i ˆ= # inaktives Enzym X, Y ˆ= # Zwischenzustand P ˆ= # Produkt Anfangsbedingungen E + S k 1 X k 2 Y k 3 E + P, k 1 Y k 4 E i. E(0) = e 0, S(0) = s 0, X(0) = Y (0) = E i (0) = P(0) = 0.

28 Selbstauslöschende Kinetik [E] gegeben durch [E] = e 0 [X] [Y ] [E i ]

29 Selbstauslöschende Kinetik [E] gegeben durch [E] = e 0 [X] [Y ] [E i ] [P] ist entkoppelt

30 Selbstauslöschende Kinetik [E] gegeben durch [E] = e 0 [X] [Y ] [E i ] [P] ist entkoppelt Dies führt zu: d[s] dt d[x] dt d[y ] dt d[e i ] dt = k 1 (e 0 [X] [Y ] [E i ])[S] + k 1 [X], = k 1 (e 0 [X] [Y ] [E i ])[S] (k 1 + k 2 )[X], = k 2 [X] (k 3 + k 4 )[Y ], = k 4 [Y ].

31 Selbstauslöschende Kinetik Innere Lösungen werden wie bei Michaelis-Menten bestimmt: 1 Mit t c entdimensionalisieren 2 Potenzreihenansatz so weit entwickeln, bis man keine konstanten Lösungen erhält. Äußere Lösungen entdimensionalisierte mit t s für e i ergibt sich insbesondere de i dt = φ y

32 Selbstauslöschende Kinetik Entwicklung kann zwei Formen annehmen 1 Enzym wird vollständig inaktiviert. 2 Ausgangsstoff wird vollständig abgebaut. Modellierungsannahmen 1 φ = O(1). 2 φ = O(ε).

33 Selbstauslöschende Kinetik Lösungen für s und e i sind 1 im Fall φ = O(1): s (0) (T ) = 1 β 1 βe T [1 (1/β)]/(1+ρ), e i(0)(t ) = 1 s (0). β 2 im Fall φ = O(ε): s (0) (T ) = e T /(1+ρ), e i(0) = 0, εe i(1) (T ) = 1 e T /(1+ρ). β

34 Selbstauslöschende Kinetik Abbildung : Mathematical Biology:I. An Introduction,Third Edition J.D. Murray Springer

36 Kooperatives Auftreten Viele Enzyme haben mehr als eine Bindungsmöglichkeit Erythrozyten können bis zu 4 O 2 binden. Eine solche Bindung nennt man kooperativ Ausgangsstoffe, die die Aktivität eines Enzyms erhöhen nennt man Aktivator und im anderen Fall Inhibitor

37 Kooperatives Auftreten S ˆ= # Ausgangsstoff E ˆ= # Enzym mit zwei bindenden Seiten C 1, C 2 ˆ= # Zwischenzustand P ˆ= # Produkt mit Anfangswerten S + E k 1 k C 1 2 E + P, k 1 k 3 k S + C 1 C 2 4 C1 + P, k 3 [S](0) = s 0, [E](0) = e 0, [C 1 ](0) = [C 2 ](0) = [P](0) = 0.

38 Kooperatives Auftreten p ist entkoppelt von dem System, e = e 0 c 1 c 2, Für den Rest ergibt sich ds dt dc 1 dt dc 2 dt = k 1 e 0 s + (k 1 + k 1 s k 3 s)c 2 + (k 1 + k 3 )c 2, = k 1 e 0 s (k 1 + k 2 + k 1 s + k 3 s)c 1 +(k 3 + k 4 k 1 s)c 2, = k 3 sc 1 (k 3 + k 4 )c 2.

39 Kooperatives Auftreten Standardentdimensionalisierung mit u s, v 1 c 1 und v 2 c 2 und gehen Michaelis-Menten-Verfahren durch. O(1)-Gleichungen liefern nichtkonstante Lösungen v 2 = a 3uv 1 a 4 + a 5, v 1 = u a 1 + a 2 + u + a 3 u 2 (a 4 + a 5 ) 1 Demnach v 1 = v 1 (u), v 2 = v 2 (u) und somit du dτ = f (u, v 1 (u), v 2 (u)) a 2 + a 3 a 5 u(a 4 + a 5 ) 1 = u a 1 + a 2 + u + a 3 (a 4 + a 5 ) 1 u 2 = r(u) < 0

40 Kooperatives Auftreten Damit ergibt sich für die anfängliche Rektionsgeschwindigkeit R 0 R 0 (s 0 ) = ds k 2 K m + k 4 s 0 dt = e 0 s 0 t=0 K m K m + K ms 0 + s0 2 mit K m = k 4 + k 3 k 3.

41 Kooperatives Auftreten Abbildung : Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition J.D. Murray Springer

43 Autokatalyse, Aktivierung und Inhibition Autokatalyse ist ein Prozess, bei dem ein Stoff bei seiner eigenen Produktion beteiligt ist. Beispielsweise hat A + X k 1 k 1 2X den Gleichgewichtszustand x S = k 1a k 1 Konzentration [A]. bei konstanter Mit diesem Modell hat man eine dynamische Regulierung des Stoffes X.

44 Autokatalyse, Aktivierung und Inhibition Nun wird X zum Bilden eines anderen Stoffes benötigt A + X k 1 2X, B + X k 2 C k 1 Unter der Annahme, dass [A] und [B] konstant sind ist x S = 0 stabil, wenn k 1 a k 2 b 0 ist x S = (k 1 a k 2 b)/k 1 stabil, wenn k 1 a k 2 b > 0

45 Autokatalyse, Aktivierung und Inhibition Betrachten wir nun A + X k 1 2X, X + Y k 2 2Y, Y k 3 B, wobei wir erneut annehmen, dass [A] konstant ist. Wir erhalten die DGLen dx dt = k 1 ax k 2 xy, dy dt = k 2 xy k 3 y, von denen wir aber keine stabilen Gleichgewichtspunkte bekommen.

46 Autokatalyse, Aktivierung und Inhibition Modellierungsänderung! Wir wollen u aktiviert v. Umso größer v, desto kleiner die u-produktion. Das ist rückwirkende Inhibition. betrachte du dτ dv dτ = a, b, c, d, e > 0 konstant a b + v c u = f (u, v), = d u e v = g(u, v).

47 Autokatalyse, Aktivierung und Inhibition Modellierungsänderung! Wir wollen u aktiviert v. Umso größer v, desto kleiner die u-produktion. Das ist rückwirkende Inhibition. betrachte du dτ dv dτ = a, b, c, d, e > 0 konstant a b + v c u = f (u, v), = d u e v = g(u, v).

48 Autokatalyse, Aktivierung und Inhibition Gleichgewichtspunkte (u 0, v 0 ): f (u 0, v 0 ) = g(u 0, v 0 ) = 0, v 0 = du 0 e, u2 0 + ebu 0 ae d cd = 0. Die Punkte stabil nach Analyse der Jacobi-Matrix von ( f g).

49 Autokatalyse, Aktivierung und Inhibition Thomas-Mechanismus Reaktion von Sauerstoff v mit Harnstoff u unter dem Enyzm Uricase. entdimensionalisierte Gestalt: du dt dv dt R(u, v) = a, b, α, ρ, K > 0 konstant. = a u ρr(u, v) = f (u, v), = α(b v) ρr(u, v) = g(u, v), uv 1 + u + Ku 2,

50 Autokatalyse, Aktivierung und Inhibition R ist ein Substratinhibitor u klein, R hemmend u groß, R aktivierend Abbildung : Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition J.D. Murray Springer

51 Autokatalyse, Aktivierung und Inhibition Abbildung : Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition J.D. Murray Springer Abhängig von den Parametern können wir mehrere Gleichgewichtszustände bekommen: P 1 und P 3 linear stabil, wenn die Parameter nicht zu extrem. P 2 instabil. S erfordert eine genauere Analyse.

53 Mehrfache Gleichgewichtszustände, Mushrooms und Isolas a) Mehrfache Gleichgewichtszustände b) Mushroom: Ein pilzähnlicher Körper c) Isolas: Ein isolierter Bereich Abbildung : Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition J.D. Murray Springer

54 Mehrfache Gleichgewichtszustände, Mushrooms und Isolas Modell von Gray und Scott entdimensionalisierte System: du dt dv dt a, b, c, d > 0 konstant. X + 2Y 3Y. = a(1 u) uv 2 bu = f (u, v), = a(c v) + uv 2 + bu dv = g(u, v),

55 Mehrfache Gleichgewichtszustände, Mushrooms und Isolas f (u, v) = g(u, v) = 0 liefert ( u s (1 + c u s ) 2 = a 1 + d ) 2 (a + d) 2 (1 u s ) bu s a a 2. Je nach Parameterwahl erhählt man für u s einen der folgenden Plots: Abbildung : Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition J.D. Murray Springer

56 Enzymreaktionen haben in der Regel zwei wichtige Phasen, eine, in der das Enzym einsetzt, eine, in der der Stoff abgebaut wird. Fazit

57 Fazit Enzymreaktionen haben in der Regel zwei wichtige Phasen, eine, in der das Enzym einsetzt, eine, in der der Stoff abgebaut wird. Analytische Näherungen durch Taylorentwicklung und Vergleich der beiden Phasen.

58 Fazit Enzymreaktionen haben in der Regel zwei wichtige Phasen, eine, in der das Enzym einsetzt, eine, in der der Stoff abgebaut wird. Analytische Näherungen durch Taylorentwicklung und Vergleich der beiden Phasen. Modellieren von Reaktionsgleichungen in unterschiedlichen Situationen, selbstauslöschend, kooperativ/kontrollierend anderen Enzymen gegenüber, selbsterzeugend. Verhalten von Gleichgewichtszuständen.

59 Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit!