Dichtefunktionalberechnungen. Seltenerd- und Übergangsmetall- Verbindungen

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1 Dichtefunktionalberechnungen für Seltenerd- und Übergangsmetall- Verbindungen D I S S E R T A T I O N zur Erlangung des akademischen Grades Doctor rerum naturalium (Dr rer nat) vorgelegt der Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften der Technischen Universität Dresden von Ingo Opahle geboren am in Mosbach technische universität dresden 2001

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Dichtefunktionaltheorie 5 21 Dichtefunktionaltheorie in der Formulierung von Lieb 5 22 Lokale Dichtenäherung (LDA) Relativistische Dichtefunktionaltheorie Lokale Spindichtenäherung (LSDA) 15 3 Lösung der Kohn-Sham-Dirac-Gleichung Der Selbstkonsistenzzyklus Lokale Basiszustände Nichtspinpolarisierte Basiszustände Spinpolarisierte Basiszustände Berechnung der Überlapp- und Hamiltonmatrix Zerlegung der Eins Berechnung der Dichte Berechnung des Potentials Berechnung der Gesamtenergie Skalarrelativistische Näherung 38 4 DFT-Berechnungen für elementare Metalle DFT-Berechnungen für nichtmagnetische Metalle DFT-Berechnungen für magnetische Metalle 54 5 Pyrit Strukturoptimierung Berechnung der A g -Phononenmode Einfluß von Druck auf die elektronische Struktur 61 6 Seltenerd-Übergangsmetall-Borkarbide Struktur und Gesamtenergierechnungen Einfluß der Übergangsmetalle auf die elektronische Struktur Diskussion 79 7 Zusammenfassung 85 i

4 ii INHALTSVERZEICHNIS A Definitionen 87 A1 Kugelflächenfunktionen 87 A2 Definition der im Text verwendeten Operatoren 88 Literaturverzeichnis 89 Abkürzungsverzeichnis 95

5 Abbildungsverzeichnis 21 Einfluß des XC-Potentials auf die Gitterkonstante von Li Einfluß des XC-Potentials auf die Gitterkonstante von Al Eindimensionale Shapefunktionen Gesamtenergie von fcc-cu in Abhängigkeit von der Gitterkonstanten Bandstruktur von Cu Zustandsdichten von Cu, Ag und Au Gesamtenergie von fcc-ag in Abhängigkeit von der Gitterkonstanten Bandstruktur von Ag Gesamtenergie von fcc-ag in Abhängigkeit von der Gitterkonstanten Vergleich zwischen SRFPLO und dem skalarrelativistischen WIEN-Code Bandstruktur von Au Gesamtenergie von fcc-au in Abhängigkeit von der Gitterkonstanten Gesamtenergie von bcc-fe in Abhängigkeit von der Gitterkonstante Magnetokristalline Anisotropieenergie von Fe Magnetokristalline Anisotropieenergie von Ni Struktur von Eisenpyrit FeS FeS 2 : Gesamtenergie in Abhängigkeit von der Gitterkonstanten FeS 2 : Gesamtenergie in Abhängigkeit von der Schwefelposition Bandstruktur von FeS 2, berechnet mit den experimentellen Gitterparametern Zustandsdichte von FeS 2 für die experimentellen Gitterparameter Bandstruktur von FeS 2, berechnet mit dem theoretischen Wert für die Gitterkonstante FeS 2 : Gesamtenergie in Abhängigkeit des Schwefelparameters für verschiedene Gitterkonstanten FeS 2 : Vergleich der Zustandsdichten für die Gitterkonstanten a = 100 au und a = 98 au mit optimierter Schwefelposition Struktur von LaNi 2 B 2 C Gesamtenergie in Abhängigkeit von V für LaNi 2 B 2 C 69 iii

6 iv ABBILDUNGSVERZEICHNIS 63 Gesamtenergie in Abhängigkeit von (c/a) für LaNi 2 B 2 C Gesamtenergie in Abhängigkeit von z B für LaNi 2 B 2 C Bandstruktur und Zustandsdichte von LuNi 2 B 2 C Zustandsdichte von LuNi 2 B 2 C in der Nähe der Fermienergie für verschiedene k-punktzahlen Zustandsdichte von LuNi 2 B 2 C, LaNi 2 B 2 C und ThNi 2 B 2 C Zustandsdichte von LaPd 2 B 2 C, ThPd 2 B 2 C und LaPt 2 B 2 C Zustandsdichte von LaRh 2 B 2 C, YCo 2 B 2 C und YRu 2 B 2 C Experimentelle Sommerfeldkonstanten γ (oben) und Sprungtemperatur T c für Seltenerd-Übergangsmetall-Borkarbide als Funktion der berechneten Zustandsdichte Schnitte durch die Fermifläche von LuNi 2 B 2 C Schnitte durch die Fermifläche von LaNi 2 B 2 C Schnitte durch die Fermifläche von YRu 2 B 2 C Schnitte durch die Fermifläche von LaPt 2 B 2 C 82

7 Tabellenverzeichnis 41 Gesamtenergie E, Gleichgewichtsgitterkonstante a und Kompressionsmodul B von fcc-cu Gesamtenergie E, Gleichgewichtsgitterkonstante a und Kompressionsmodul B von fcc-ag Gesamtenergie E, Gleichgewichtsgitterkonstante a und Kompressionsmodul B von fcc-au FeS 2 : Vergleich zwischen experimentellen und theoretischen Ergebnissen Wyckoff-Parameter der Raumgruppe I4/mmm für RT 2 B 2 C RT 2 B 2 C: Berechnete und experimentelle Gitterparameter 72 v

8 vi TABELLENVERZEICHNIS

9 Kapitel 1 Einleitung Die exakte Berechnung des quantenmechanischen Vielteilchenproblems in einem Festkörper stellt bei einer Teilchenzahl der Größenordnung (und dreimal so vielen gekoppelten partiellen Differentialgleichungen) auch mit modernster Computertechnik ein aussichtsloses Unterfangen dar Durch die adiabatische Näherung, die auf den unterschiedlichen Massen von Elektronen und Atomkernen beruht, lassen sich die Bewegungsgleichungen von Elektronen und Kernen entkoppeln, so daß sich der Festkörper als starres Gefüge von Atomkernen betrachten läßt, in deren Potential sich die Elektronen bewegen Eine weitere Vereinfachung des Problems ergibt sich durch die Annahme idealer Kristalle mit periodischen Randbedingungen, so daß sich das Blochtheorem verwenden läßt und die Berechnung im wesentlichen auf eine Elementarzelle reduziert wird Doch selbst mit diesen Näherungen ist die Berechnung der elektronischen Eigenschaften immer noch weit davon entfernt, trivial zu sein Erste quantitative Erfolge in der theoretischen (mikroskopischen) Beschreibung der elektronischen Eigenschaften von Festkörpern kamen durch Hartree-Fock-basierte Näherungen wie Slaters X α -Methode zustande Der entscheidende Durchbruch bei der mikroskopischen Beschreibung von Festkörpern kam jedoch mit der Entwicklung der Dichtefunktionaltheorie durch Hohenberg, Kohn und Sham in der Mitte der 60er Jahre Durch diese Theorie wird das Vielteilchenproblem für den Grundzustand auf die selbstkonsistente Lösung einer Einteilchengleichung in einem effektiven Potential, der Kohn- Sham-Gleichung, zurückgeführt Für das in dieser Gleichung auftretende unbekannte Austausch- und Korrelationspotential existieren explizite Näherungsausdrücke, die die Berechnung der Grundzustandseigenschaften von Atomen, Molekülen und Festkörpern mit hoher Genauigkeit ermöglichen Die Bedeutung der Dichtefunktionaltheorie für die Naturwissenschaften manifestiert sich nicht zuletzt in der Verleihung des Nobelpreises für Chemie an W Kohn im Jahr 1998 Die Theorie, in deren Rahmen auch die Berechnungen dieser Arbeit durchgeführt wurden, wird im nächsten Kapitel skizziert Die enormen Fortschritte bei der Berechnung von Festkörpereigenschaften in den letzten Jahrzehnten beruhen auf der Entwicklung höchst unterschiedlicher, effizienter Bandstrukturverfahren zur Lösung der Kohn-Sham-Gleichung, wie 1

10 2 KAPITEL 1 EINLEITUNG zb KKR-, ASW-, LMTO-, LCAO und LAPW-Verfahren (vgl Abkürzungsverzeichnis) Die ursprünglichen Varianten dieser Verfahren benutzten Näherungen wie die Atomic Sphere Approximation (ASA), bei denen das Potential innerhalb von Atomkugeln sphärisch genähert wurde und im übrigen Bereich als konstant angenommen wurde Diese recht groben Näherungen erlaubten zumindest für dicht gepackte Strukturen realistische und schnelle Berechnungen Die rasante Entwicklung in der Computertechnik ermöglichte es, diese Näherungen aufzugeben und Full-Potential-Bandstrukturverfahren zu entwickeln, bei denen das Potential im gesamten Kristall realistisch dargestellt wird Mit diesen hochgenauen Verfahren lassen sich auch für offene Strukturen Gitterkonstanten und etwa seit den 90er Jahren die Plätze von Atomen innerhalb der Elementarzelle durch Minimierung der Gesamtenergie in (im allgemeinen) guter Übereinstimmung mit dem Experiment berechnen Als einzige Eingabegrößen werden dazu die Naturkonstanten und die Kernladungszahlen der unterschiedlichen Atome benötigt Aus den Berechnungen ergeben sich neben der Gesamtenergie und der Gittergeometrie lokale (Magnetisierungs-) Dichten, Phononenspektren, Fermiflächen, Bandstrukturen und weitere Größen, mit deren Hilfe Experimente interpretiert oder auch experimentell schwer zugängliche Größen vorhergesagt werden können Einige dieser Bandstrukturverfahren, wie beispielsweise das in dieser Arbeitsgruppe verwendete FPLO-Programm und der WIEN-Code haben mittlerweile eine so hohe Genauigkeit erreicht, daß die mit ihnen berechneten Gesamtenergien bis auf 1-2 Millihartree bei einem Absolutwert von einigen bis einigen tausend Hartree pro Atom übereinstimmen Relativistische Effekte haben in Festkörpern ungefähr ab der Kernladungszahl 30 einen merklichen Einflußauf alle elektronischen Eigenschaften Da einige der in dieser Arbeit berechneten Verbindungen schwere Elemente wie Platin und Thorium enthalten, ist eine Berücksichtigung dieser Effekte unerläßlich Um die Berechnung dieser Verbindungen zu ermöglichen, wurde das nichtrelativistische FPLO-Programmpaket mit dieser Arbeit für skalarrelativistische und relativistische Rechnungen erweitert Das skalarrelativistischen Verfahren (SRFPLO), bei dem die Spin-Bahn-Wechselwirkung vernachlässigt wird, bietet den Vorteil, daß mit Wellenfunktionen nichtrelativistischer Symmetrie gerechnet werden kann Der numerische Aufwand ist damit dem von nichtrelativistischen Rechnungen vergleichbar In der relativistischen Programmerweiterung (RFPLO) wird die vierkomponentige Kohn-Sham-Dirac-Gleichung im Gegensatz zu einigen in der Literatur verbreiteten Verfahren direkt gelöst Es erlaubt somit zuverlässige Gesamtenergieberechnungen sowohl für magnetische als auch für nichtmagnetische Kristalle mit einer der nichtrelativistischen Version vergleichbaren Genauigkeit Für die Berücksichtigung relativistischer Effekte gibt es in der Literatur eine Vielzahl unterschiedlicher Ansätze, wie beispielsweise skalarrelativistische Näherungen, Zweikomponentenformalismen, die auf einer Foldy-Wouthuysenoder einer Douglas-Kroll-Hess-Transformation beruhen und Verfahren, die mit Viererspinoren arbeiten

11 Für alle oben genannten Bandstrukturverfahren sind skalarrelativistische Full- Potential-Varianten verfügbar Eine direkte Lösung der vierkomponentigen Kohn-Sham-Dirac-Gleichung wird jedoch nur in sehr wenigen Full-Potential- Verfahren durchgeführt, erwähnenswerte Ausnahmen sind FP-RLCAO- [1], FP-KKR- [2, 3] und FP-LMTO-Verfahren [4] In vielen Verfahren wird die Spin-Bahn-Wechselwirkung mittels der sogenannten second variation berücksichtigt, bei der zunächst ein skalarrelativistischer Hamiltonoperator diagonalisiert wird und anschließend die skalarrelativistischen Lösungen mit einem verkleinerten Basissatz zur Diagonalisierung des vollen Hamiltonoperators benutzt werden Eine Entwicklung nach nichtrelativistischen ebenen Wellen im zwischenatomaren Bereich ist ebenfalls gebräuchlich Für tieferliegende p-zustände kann die Beschreibung mittels skalarrelativistischer Zustände jedoch zu Konvergenzproblemen führen, und es wurde eine große Abhängigkeit der Gesamtenergie vom Muffin-Tin-Radius festgestellt [5], die es bei Full-Potential-Verfahren nicht geben sollte Die in Kapitel 4 durchgeführten Vergleichsrechnungen zwischen dem RFPLO-Verfahren und dem relativitistischen WIEN-Code, der ebenfalls die second variation verwendet, bestätigen diese Tendenz Somit setzt das in dieser Arbeit entwickelte RFPLO- Programm einen Standard für die derzeit erreichbare Genauigkeit von relativistischen Gesamtenergieberechnungen Das Full-Potential-Verfahren wird in den Kapiteln 5 und 6 zur Berechnung der elektronischen Eigenschaften des Halbleiters Pyrit und der Seltenerd-Übergangsmetall-Borkarbide angewandt Pyrit, das wegen seiner guten Verfügbarkeit als eines der aussichtsreichsten Materialien für Anwendungen in der Solartechnik gilt, stellt aufgrund seiner offenen Struktur sehr hohe Anforderungen an die Genauigkeit von Bandstrukturprogrammen Mittels der durchgeführten Gesamtenergieberechnungen konnte eine Erklärung für das bislang nur unvollständig verstandene optische Verhalten dieses Halbleiters unter Druck gegeben werden Die Entdeckung der supraleitenden Eigenschaften einiger Seltenerd-Übergangsmetall-Borkarbid-Verbindungen löste in den letzten Jahren ein bis heute anhaltendes intensives Forschungsinteresse aus, und es stellte sich bald heraus, daß die Borkarbide eine Vielzahl interessanter Eigenschaften aufweisen Die Klassifikation dieser Verbindungen wird in der Literatur nach wie vor kontrovers diskutiert und Bandstrukturberechnungen im Rahmen der Dichtefunktionaltheorie können ein wichtiger Baustein zum Verständnis ihrer Eigenschaften sein 3

12 4 KAPITEL 1 EINLEITUNG

13 Kapitel 2 Dichtefunktionaltheorie Die Dichtefunktionaltheorie (DFT) bildet die theoretische Grundlage der im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Berechnungen zur Elektronenstruktur von Kristallen Es handelt sich hierbei um eine mathematisch exakte Theorie, die die Lösung des quantenmechanischen Vielteilchenproblems für den Grundzustand auf die selbstkonsistente Lösung einer effektiven Einteilchengleichung zurückführt Hohenberg und Kohn [6] hatten in den 60er Jahren mit der Formulierung ihres Variationsprinzips gezeigt, daß die Grundzustandsenergie eines Systems aus N wechselwirkenden Elektronen in einem äußeren Potential ein Funktional der Dichte ist, das sein Minimum bei der tatsächlichen Grundzustandsdichte annimmt Kurze Zeit später gaben Kohn und Sham [7] einen effektiven Einteilchenformalismus sowie mit der Lokalen Dichtenäherung (LDA) eine explizite Näherung zur praktischen Lösung des Problems an Während es in der ursprünglichen Formulierung von Hohenberg und Kohn noch einige formale Einschränkungen gab, entwickelte sich die Dichtefunkionaltheorie im Laufe der Zeit vor allem durch die Arbeiten von Levy [8] und Lieb [9] zu einer mathematisch fundierten Theorie weiter In den folgenden Abschnitten soll kurz auf die formalen Aspekte der Theorie sowie auf die für die praktischen Anwendungen wichtigen lokalen Näherungen eingegangen werden Für eine ausführliche Diskussion sei auf die entsprechenden Lehrbücher [10, 11] und Übersichtsartikel [12] verwiesen 21 Dichtefunktionaltheorie in der Formulierung von Lieb Aufgrund des geringen Verhältnisses 1 der Elektronenmasse m zur Kernmasse M lassen sich die Bewegungsgleichungen beider Subsysteme in einem Kristall voneinander entkoppeln (adiabatische Näherung) [13] Die Elektronen bewegen sich zu jedem Zeitpunkt im statischen äußeren Potential der an ihren Gitterplätzen lokalisierten Atomkerne Im folgenden soll die Ableitung des Hohenberg-Kohnschen Variationsprinzips und der Kohn-Sham-Gleichungen für ein System von N wechselwirkenden 1 Es gilt m M

14 6 KAPITEL 2 DICHTEFUNKTIONALTHEORIE Elektronen in einem äußeren Potential skizziert werden Alle Gleichungen in dieser Arbeit beziehen sich sofern nicht anders vermerkt auf atomare Einheiten In adiabatischer Näherung lautet der Hamiltonoperator für ein System von N wechselwirkenden Elektronen in einem äußeren Potential mit dem Operator für die kinetische Energie Ĥ = ˆT + Ŵ + ˆV (21) dem Wechselwirkungsoperator ˆT = N i=1 2 i 2, (22) Ŵ = N i,j=1 i j r i r j (23) und dem externen Potential ˆV = N V ( r i ) (24) i Wir definieren die Grundzustandsenergie des Systems in Abhängigkeit des äußeren Potentials V und der Teilchenzahl N durch { E[V, N] = inf tr(ˆρĥ) tr(ˆρ ˆN) } = N, (25) ˆρ wobei wir für die Variation gemischte Zustände mit einem statistischen Operator ˆρ = Ψ k p k Ψ k ; 0 p k 1 ; p k = 1 (26) k k zulassen Die Zustände Ψ k sind dabei normierte reine Zustände mit Teilchenzahl N k, die p k haben die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten An dieser Stelle soll für den späteren Gebrauch noch einmal kurz an einige Eigenschaften der gemischten Zustände (26) erinnert werden Zunächst läßt sich ein beliebiger reiner Zustand Ψ k nach einem vollständigen Satz orthonormaler N k -Determinantenzustände Φ Lk entwickeln: Ψ k = L k c Lk Φ Lk ; L k c Lk 2 = 1 (27) r 1,, r Nk Φ Lk = 1 Nk! det φ li ( r j ), (28) wobei φ i ein vollständiger Satz von orthonormalen Einteilchenorbitalen ist und L k = {l 1,, l Nk } bedeutet Die Dichte des Zustandes (26) ist n( r) = tr(ˆρˆn( r)) = l,m φ l ( r)n lm φ m ( r) (29)

15 21 DFT IN DER FORMULIERUNG VON LIEB 7 mit n lm := k p k L k l,m k m L k \l=m k \m c Lk ( 1) l m c M k = n ml (210) Die hermitesche Besetzungszahlmatrix läßt sich durch eine unitäre Transformation auf Orbitale φ (Löwdins natural orbitals) diagonalisieren, so daß die Dichte in dieser Basis die Form n( r) = l φ l ( r) n l φ l ( r) ; 0 n l 1 (211) annimmt Die Teilchenzahl N ergibt sich schließlich als Erwartungswert des Teilchenzahloperators ˆN N = tr(ˆρ ˆN) = k p k N k (212) und kann reelle nichtnegative Zahlen annehmen Im folgenden beschränken wir uns auf Systeme, die in einem endlichen Torus T 3 mit periodischen Randbedingungen eingeschlossen sind, so daß Gleichung (25) ihr Infimum annimmt und wir das Infimum durch ein Minimum ersetzen können: { E[V, N] = min tr(ˆρĥ) tr(ˆρ ˆN) } = N (213) ˆρ Es läßt sich leicht zeigen, daß E[V, N] die Eichinvarianz E[V + c, N] = E[V, N] + Nc (214) gegenüber einer konstanten Potentialverschiebung c besitzt und da wir gemischte Zustände zulassen konvex in der Teilchenzahl N und konkav im äußeren Potential V ist: E[V, cn 1 + (1 c)n 2 ] ce[v, N 1 ] + (1 c)e[v, N 2 ] (215) E[cV 1 + (1 c)v 2, N] ce[v 1, N] + (1 c)e[v 2, N] (216) Damit läßt sich unter Ausnutzung der Eichinvarianz (214) ein Funktional G[V µ] := sup {µn E[V, N]} = inf {E[V µ, N]} (217) N N als Legendretransformierte der Grundzustandsenergie bezüglich der Teilchenzahl N definieren, so daß µ ein chemisches Potential darstellt Das so definierte G[V ] ist ebenso wie E[V, N] konvex in V Mit der Definition des Dichtefunktionals H[n] als der Legendretransformierten von G[V ] mit der dualen Variablen n { H[n] = sup V X } V ( r) n( r) d 3 r G[V ] (218)

16 8 KAPITEL 2 DICHTEFUNKTIONALTHEORIE erhält man durch Rücktransformation von G[V µ] die Ungleichung E[V, N] = sup µ = sup µ = sup µ = sup µ inf n X = inf n X {Nµ G[V µ]} { { }} Nµ sup (V ( r) µ) n( r) d 3 r H[n] n X { { }} Nµ + inf (V ( r) µ) n( r) d 3 r + H[n] n X { { ( ) }} inf µ N n( r) d 3 r + V ( r) n( r) d 3 r + H[n] n X { { ( ) }} sup µ N n( r) d 3 r + V ( r) n( r) d 3 r + H[n] µ { } V ( r) n( r) d 3 r + H[n] n( r) d 3 r = N (219) Eine genauere Analyse verschärft die Ungleichung zwischen der vierten und fünften Zeile 2 in eine Gleichung, so daß sich das bekannte Variationsprinzip von Hohenberg und Kohn (2 Theorem von Hohenberg und Kohn 3 ) ergibt: { E[V, N] = inf n X V ( r) n( r) d 3 r + H[n] } n( r) d 3 r = N (220) Ein Vergleich mit (213) ergibt für die Einschränkung von H[n] auf Grundzustandsdichten: { } H[n] = min p k Ψ k ˆT Nk + ˆρ n ŴN k Ψ k (221) k Der Raum X, in dem die Dichte variiert wird, ist der Raum der p-integrablen Funktionen mit p = 3 { } X = L 3 (T 3 ) = x( r) x( r) 3 <, (222) T 3 und der duale Raum, dem die Potentiale entstammen, ist X = L 3/2 (T 3 ) Es gilt X = X, dh X ist reflexiv Der Gewinn, der sich aus dem Hohenberg-Kohnschen Variationsprinzip ergibt, scheint zunächst nur formaler Natur zu sein Zwar hat man die Variation bezüglich der Zustände ˆρ durch eine Variation der Dichte ersetzt, dafür tritt in (220) ein unbekanntes Dichtefunktional H auf, dessen exakte Berechnung ähnlich aufwendig sein dürfte, wie die Lösung des ursprünglichen Problems Der entscheidende Nutzen des Hohenberg-Kohn-Theorems ergibt sich durch eine geschickte Zerlegung des Dichtefunktionals H[n] in einen explizit gegebenen 2 Die Ungleichung sup inf inf sup gilt immer 3 Das 1 Theorem besagt, daß es eine eindeutige Abbildung der Grundzustansdichten auf äußere Potentiale n V mod const gibt Für nichtentartete Grundzustände ist diese Abbildung eineindeutig

17 21 DFT IN DER FORMULIERUNG VON LIEB 9 nichtlokalen Teil und einen fast lokalen Rest, die auf Kohn und Sham zurückgeht und zu einem Formalismus führt, der das Problem auf die selbstkonsistente Lösung von Einteilchen-Schrödinger-Gleichungen reduziert Die Herleitung dieser Gleichungen der sogenannten Kohn-Sham-Gleichungen soll im folgenden noch gezeigt werden Zur Herleitung der Kohn-Sham-Gleichungen wird das N-Teilchen-System mit einem fiktiven System von N nichtwechselwirkenden Elektronen verglichen, so daß sich das unbekannte Dichtefuntional H[n] in drei Beiträge 4 min n i,φ i i n i φ i 2 =n H[n] = T [n] + E H [n] + E xc [n] (223) zerlegen läßt, wobei { } T [n] = 1 n i φ i 2 φ i 2 φ i φ j = δ ij ; 0 n i 1 i (224) die kinetische Energie des fiktiven nichtwechselwirkenden N-Elektronensystems im Grundzustand ist und E H [n] = 1 d 3 r d 3 r n( r ) n( r) (225) 2 r r die Hartree-Energie, die einen Selbstwechselwirkungsanteil enthält Die (unbekannte) Austausch- und Korrelationsenergie E xc [n] wird durch Gleichung (223) definiert und enthält alle Anteile, die in den ersten beiden Termen nicht enthalten sind Die Variation der Grundzustandsenergie E[N, V ] nach den Orbitalen φ i unter den Nebenbedingung von (224) ergibt mit 0 = φ E[n] = φ i + E H n E H n( r) = 1 2 = d 3 r n φ i + E xc n n φ i [ ] d 3 r n( r ) n( r ) n( r) r r ɛ i φ i (226) d 3 r n( r ) r r =: V H( r) (227) und E xc n( r) =: V xc( r) (228) Mit den Definitionen für das Hartreepotential V H und das Austausch- und Korrelationspotential V xc hat sich somit die Lösung des N-Teilchenproblems auf die selbstkonsistente Lösung der Kohn-Sham-Gleichung [ 1 ] V H + V xc + V φ i = ɛ i φ i (229) 4 Diese Zerlegung führt direkt auf die Lokale Dichtenäherung E xc [n] E LDA xc [n] Eine andere Zerlegung von (223) führt beispielsweise auf die Thomas-Fermi-Gleichung als einfache Näherung der DFT

18 10 KAPITEL 2 DICHTEFUNKTIONALTHEORIE reduziert Durch die Variation nach den Besetzungszahlen n m ergibt sich Janaks Theorem E[n] n l = ɛ l (230) Mit den Nebenbedingungen für die n i aus (224) erhält man das Aufbauprinzip, das besagt, daß die Kohn-Sham-Orbitale mit den niedrigsten Einteilchenenergien besetzt werden: n( r) = l φ l (r)n l φ l ( r) n l = 1, ɛ l < ɛ N 0 n l 1, ɛ l = ɛ N n l = 0, ɛ l > ɛ N (231) Den elektronischen Teil der Grundzustandsenergie erhält man damit als E[V, N] = H[n] + V ( r) n( r) d 3 r = = bes ɛ i i bes ɛ i E H i (V H ( r) + V xc ( r)) n( r) d 3 r + E H + E xc V xc ( r) n( r) d 3 r + E xc, (232) wobei für n die Dichte einzusetzen ist, die (220) minimiert 22 Lokale Dichtenäherung (LDA) Die Lösung der Kohn-Sham-Gleichung (229) würde eine exakte Lösung des Vielteilchenproblems (25) erlauben, wenn das Funktional für die Austauschund Korrelationsenergie E xc [n] bekannt wäre Da jedoch wenig Aussicht besteht, daß man E xc [n] in nächster Zeit exakt kennt, ist man einstweilen auf Näherungen angewiesen Eine trotz ihrer Einfachheit überraschend erfolgreiche Näherung ist die Lokale Dichtenäherung (LDA 5 ) Dabei nähert man die unbekannte Austauschund Korrelationsenergie des inhomogenen Elektronengases durch ein Funktional E xc [n] Exc LDA [n] = d 3 r n( r)ɛ xc (n( r)), (233) wobei ɛ xc (n( r)) die Austausch- und Korrelationsenergie pro Elektron des homogenen Elektronengases mit der räumlich konstanten Dichte n gleich dem Wert der inhomogenen Dichte n( r) am Ort r ist Gleichung (233) ist für das homo- 5 Local Density Approximation

19 22 LOKALE DICHTENÄHERUNG (LDA) bcc-li 0004 Perdew Zunger X-only no XC E [Hartree] E [Hartree] Gitterkonstante a[au] Gitterkonstante a [au] Abbildung 21: Einfluß des XC-Potentials auf die Gitterkonstante von Li Alle Energien sind relativ zum jeweiligen Minimum gene Elektronengas exakt Das Austausch- und Korrelationspotential (228) ergibt sich daraus als V xc := E xc[n] n( r) = ɛ xc (n( r)) + n( r) ɛ xc(n( r)) (234) n( r) Für das homogene Elektronengas, das eines der wenigen Modellsysteme ist, für die sich E xc [n] mit beliebiger Genauigkeit berechnen läßt, wurden hochgenaue numerische Rechnungen für unterschiedliche Dichten durchgeführt [14] An diese Ergebnisse wurden unterschiedliche Interpolationsfunktionen angepaßt [15, 16, 17] In dieser Arbeit wird, soweit nicht anders vermerkt, die Parametrisierung von Perdew und Zunger [17] verwendet Der Einfluß der Austausch- und Korrelationsenergie E xc [n] auf die numerischen Gesamtenergierechnungen soll durch die Abbildungen 21 und 22 verdeutlicht werden Die Abbildungen zeigen die Gesamtenergien von bcc-lithium und fcc-aluminium in Abhängigkeit von der Gitterkonstanten für verschiedene Näherungen des Austausch- und Korrelationspotentials: Vernachlässigt man das Austausch- und Korrelationspotential vollständig (no XC), so ergibt die Rechnung für Lithium noch ein schwaches Minimum in der Gesamtenergie, allerdings bei einer viel zu großen Gitterkonstanten Aluminium hat in dieser Näherung im untersuchten Bereich kein Minimum Berücksichtigt man nur die Austauschwechselwirkung in lokaler Näherung (Xonly), die den größten Beitrag der Austausch- und Korrelationsenergie stellt, so liegen die Minima der Gesamtenergiekurven schon sehr nahe bei den experimentellen Werten, die berechnete Gitterkonstante von Aluminium ist al-

20 12 KAPITEL 2 DICHTEFUNKTIONALTHEORIE fcc-al 0004 Perdew Zunger X-only no XC E [Hartree] E [Hartree] Gitterkonstante a[au] Gitterkonstante a [au] Abbildung 22: Einfluß des XC-Potentials auf die Gitterkonstante von Al Die Energien sind auf das jeweilige Minimum normiert lerdings etwas zu groß Die LDA-Ergebnisse (Perdew-Zunger) sind in hervorragender Übereinstimmung mit dem Experiment Es zeigt sich jedoch auch hier schon eine typische Tendenz der Lokalen Dichtenäherung: Üblicherweise werden in LDA-Berechnungen die Bindungsstärken überschätzt, so daß die Gleichgewichtsgitterkonstanten etwas kleiner ( 1-2%) als im Experiment sind 23 Relativistische Dichtefunktionaltheorie Kurze Zeit nach der Veröffentlichung seiner relativistischen Wellengleichung für Spin- 1 -Teilchen äußerte Dirac noch die Vermutung, daß relativistische Effekte 2 für die atomare und molekulare Struktur wegen der geringen Durchschnittsgeschwindigkeit der Valenzelektronen nicht von Bedeutung sein würden [18] Heute weiß man jedoch, daß relativistische Effekte sehr wohl eine große Rolle spielen können: Als eines der bekanntesten Beispiele sei hier nur erwähnt, daß Gold in einer nichtrelativistischen Welt (dh mit unendlicher Lichtgeschwindigkeit c = ) eine ähnliche Farbe wie Silber hätte Der Einfluß relativistischer Effekte beruht im wesentlichen darauf, daß Valenzelektronen in den s- und p-schalen eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit und hohe Geschwindigkeit in Kernnähe haben, so daß sie energetisch stabilisiert werden und sich näher an den Kernen aufhalten Dadurch werden wiederum d- und f-elektronen besser vom Kernpotential abgeschirmt und somit energetisch destabilisiert [19] Außerdem führt die Spin-Bahn-Wechselwirkung, die bei 4f-Zuständen eine Aufspaltung in der Größenordnung von 1 ev be-

21 23 RELATIVISTISCHE DICHTEFUNKTIONALTHEORIE 13 wirkt, zu einer Kopplung von Spin- und Ortsraum und ist somit beispielsweise für die magnetokristalline Anisotropie verantwortlich Da in dieser Arbeit Verbindungen mit Seltenerdatomen und schweren Übergangsmetallen wie Gold und Platin untersucht werden sollen, ist die Berücksichtigung relativistischer Effekte unabdingbar Die Ableitung der Kohn-Sham- Dirac-Gleichung im Rahmen der Stromdichtefunktionaltheorie soll hier nur grob skizziert werden, für eine ausführliche Diskussion sei auf Ref [10] verwiesen Zur Formulierung der relativistischen Dichtefuntionaltheorie ersetzt man alle Größen der nichtrelativistischen Theorie durch die entsprechenden viererinvarianten Größen: n J µ = (cn, J) = (cn, c ˆψ α ˆψ ) (235) ( ) V V (A µ ) = c, A (236) Hierbei ist J µ die Viererstromdichte und (A µ ) das Viererpotential Die Grundzustandsenergie für ein System mit Gesamtladung Q in einem gegebenen Viererpotential A µ ergibt sich durch { } E[A, Q] := min Ψ Ĥeff A,J Ψ Ψ Ĵ µ Ψ = 0, (237) Ψ wobei die Existenz des Minimums wie im nichtrelativistischen Fall durch die Beschränkung auf einen endlichen Torus gesichert wird Der effektive Hamiltonoperator in Gleichung (237) wird durch Ĥ eff A,J = d 3 r (: ˆ ψ( i γ + c) ˆψ : : (ɛ 0ê 2 + µ 0 ĥ 2 ) : Ĵ µ â µ 1 2 J µ a µ J µ A µ ) Q = 1 d 3 rj 0 ( r) (238) c definiert Hierbei ist a µ das Hartree-Viererpotential, γ = (γ 1, γ 2, γ 3 ) sind Dirac- Matrizen, â µ und Ĵ µ beschreiben Quantenfluktuationen um die jeweiligen Mittelwerte, ê und ĥ beziehen sich auf â µ Die Ausdrücke zwischen Doppelpunkten stehen für normal geordnete Produkte Es läßt sich zeigen, daß E[A, Q] ein konvexes Funktional bezüglich Q und ein konkaves Funktional bezüglich des externen Viererpotentials A µ für gegebenes Q ist Somit läßt sich in Analogie zur nichtrelativistischen Theorie ein Vierer- Strom-Dichtefunktional H[J] := sup A X inf Q 0 { E[A, Q] + d 3 rj µ A µ } (239) als zweimalige Legendretransformierte der Grundzustandsenergie definieren Durch Rücktransformation ergibt sich die relativistische Verallgemeinerung des Hohenberg-Kohn-Theorems E[A, Q] = inf { H[J] d 3 rj µ A µ J X, 1 c } d 3 rj 0 = Q (240)

22 14 KAPITEL 2 DICHTEFUNKTIONALTHEORIE Der Raum X, in dem die Viererstromdichte variiert wird, ist und der duale Raum X ist X = L 3 (T 3 ) L 3 (T 3 ) L 3 (T 3 ) L 3 (T 3 ), (241) X = L 3/2 (T 3 ) L 3/2 (T 3 ) L 3/2 (T 3 ) L 3/2 (T 3 ) (242) Eine analog zur nichtrelativistischen Theorie durchgeführte Zerlegung des Dichtefunktionals H[J] H[J] = T [J] 1 d 3 rj µ a µ + E xc [J] (243) 2 führt auf die Kohn-Sham-Dirac-Gleichung in ihrer allgemeinsten Form [ ic α ] + βmc 2 cβγ µ (A µ + a µ + a xc µ ) φ i = ɛ i φ i, (244) mit dem Vierer-Austausch-und-Korrelationspotential a xc µ := E xc[j] J µ (245) Die Lösung der Kohn-Sham-Dirac-Gleichung (244) ist problematisch, da keine lokale Näherung für die Austausch-und-Korrelationsenergie E xc [J] existiert und das Auftreten eines Vektorpotentials die Translationsinvarianz der Gleichung zerstört Zur Vereinfachung der Gleichung wendet man eine Gordon-Zerlegung auf den räumlichen Anteil J der Viererstromdichte J µ an: J = I + Σ + G t, (246) wobei I die Orbitalstromdichte und Σ die Spinstromdichte ist Die zeitliche Ableitung des relativistischen Korrekturterms G verschwindet im stationären Fall Da die Stromdichte J im stationären Fall divergenzfrei ist, läßt sich die Orbitalstromdichte nach (246) als Rotation einer Orbitalmagnetisierungsdichte L schreiben, und es gilt: J = ( Σ + L) =: M (247) mit einer Magnetisierungsdichte M Vernachlässigt man die Orbitalstromdichte I, so erhält man eine Abhängigkeit der Austausch- und Korrelationsenergie von der Dichte und der Spindichte wie man sie auch in der lokalen Spindichtenäherung (LSDA, siehe nächster Abschnitt) findet: E xc [J µ ] E xc [n, Σ] (248) Mit dieser Näherung erhält die Kohn-Sham-Dirac-Gleichung die Form [ ic α + βc 2 + V + V H [n] + V xc + βσ( B + B H + B ] xc ) φ i = ɛ i φ i (249)

23 24 LOKALE SPINDICHTENÄHERUNG (LSDA) 15 Berücksichtigt man außerdem, daß das Hartreemagnetfeld B H und das äußere Magnetfeld B um zwei bis drei Größenordnungen kleiner sind als das Austauschund Korrelationsfeld B xc, weshalb diese vernachlässigt werden können, so ergibt sich die endgültige, in dieser Arbeit verwendete Form der Kohn-Sham- Dirac-Gleichung als [ ic α + βc 2 + V + V H [n] + V xc [n] + β Σ B xc ] φ i = ɛ i φ i (250) 24 Lokale Spindichtenäherung (LSDA) Bei der Herleitung des Hohenberg Kohnschen Variationsprinzips (220) sowie der daraus abgeleiteten Kohn-Sham-Gleichungen (229) wurden keinerlei Annahmen über die spezielle Natur des Grundzustandes (magnetisch/ nichtmagnetisch, lokalisiert/ delokalisiert, usw) gemacht Folglich erhält man die korrekte Grundzustandsenergie und -dichte sowohl für magnetische als auch für nichtmagnetische Elektronensysteme als Lösung der Kohn-Sham-Gleichung (229) Jedoch ließen sich selbst bei exakter Kenntnis der Austausch- und Korrelationsenergie E xc [n] mittels des in Abschnitt 21 beschriebenen spinunabhängigen Kohn-Sham-Formalismus keine Informationen über die Spindichte und damit über den magnetischen Zustand des Systems gewinnen Für die Beschreibung magnetischer Systeme ist deswegen die durch v Barth und Hedin [16] eingeführte Spindichtefunktionaltheorie geeigneter Dabei werden die Dichte n durch eine Spindichtematrix n σσ und das Potential durch ein spinabhängiges Potential V σσ ersetzt Die nichtrelativistische Näherung für die kinetischen Energie in (250) führt dann auf eine spinabhängige Kohn-Sham- Gleichung [ δ σσ ( 12 ) ] 2 + V H + V xc,σσ + V σσ φ iσ = ɛ i φ iσ (251) σ Für das vollständig polarisierte homogene Elektronengas wurde die Austauschund Korrelationsenergie pro Teilchen ɛ xc (n, 1) ebenso wie für den nichtpolarisierten Fall ɛ xc (n, 0) berechnet [14] Die Austausch- und Korrelationsenergie in Abhängigkeit von der Spinpolarisation ξ = (n n )/n wird dann zwischen dem paramagnetischen und dem gesättigten ferromagnetischen Fall interpoliert: ɛ xc (n, ξ) = ɛ xc (n, 0) + f(ξ)[ɛ xc (n, 1) ɛ xc (n, 0)] f(ξ) = (1 + ξ)4/3 + (1 ξ) 4/3 2 (252) 2 4/3 2 Trotz der äußerst erfolgreichen Beschreibung elektronischer Systeme mittels L(S)DA in den letzten Jahren, hat diese Näherung natürlich auch ihre Schwächen: So sind beispielsweise die LDA-Funktionale für die Beschreibung der Valenzzustände in Halbleitern, aber nicht für die Zustände der Leitungsbänder geeignet: Das Austausch- und Korrelationspotential springt um einen ortsunabhängigen Wert als Funktion der Elektronenzahl N vom Wert, der vollgefüllten Valenzbändern entspricht, auf N + 1 Die in LDA berechneten Bandlücken

24 16 KAPITEL 2 DICHTEFUNKTIONALTHEORIE von Halbleitern sind meistens nur halb so groß wie im Experiment Lokalisierte f-zustände werden nicht beschrieben, die geringfügige Unterschätzung der Gleichgewichtsvolumen wurde bereits erwähnt Es ist naheliegend, sich darüber Gedanken zu machen, wie diese Näherung verbessert werden kann Hierzu gibt es in der Literatur unterschiedliche Ansätze, von denen einige hier noch kurz erwähnt seien: Die Hartree-Energie E H [n] enthält einen Selbstwechselwirkungsanteil, der durch das exakte E xc [n] wieder aufgehoben wird In der LDA wird diese Selbstwechselwirkung jedoch nur teilweise kompensiert Mit der von Perdew und Zunger [17] vorgeschlagenen Selbstwechselwirkungskorrektur (SIC 6 ) wird insbesondere eine verbesserte Beschreibung lokalisierter 4f-Elektronen erreicht Die Generalisierte Gradientenäherung [20] (GGA 7 ) berücksichtigt bei der Näherung von E xc [n] auch den Gradienten der Dichte Die zunächst vielversprechende Idee, noch weitere Ableitungen in der Taylorentwicklung hinzuzufügen, führt jedoch leider auf divergente Terme Schließlich sei noch LDA+U [21] erwähnt, womit die Beschreibung stark korrelierter Systeme durch eine zusätzliche, orbitalabhängige Onsite-Coulomb- Wechselwirkung verbessert wird Die erwähnten Korrekturen der LDA verbessern die Übereinstimmung zwischen Experiment und Theorie für eine jeweils bestimmte Klasse von Materialien, insbesondere für stark korrelierte Systeme Sie werden in dieser Arbeit, die auf numerisch exakte L(S)DA-Rechnungen für schwach korrelierte Systeme ausgerichtet ist, nicht verwendet 6 Self Interaction Correction 7 Generalized Gradient Approximation

25 Kapitel 3 Lösung der Kohn-Sham-Dirac-Gleichung Zur Lösung der Kohn-Sham-Dirac-Gleichung im Kristall wurde das bereits bestehende nichtrelativistische FPLO 1 -Programm-Paket [22] auf relativistische Rechnungen erweitert Das nichtrelativistische FPLO-Programm ist ein numerisch effizientes Minimumbasisverfahren, das hochgenaue Gesamtenergierechnungen sowohl für dicht gepackte als auch für offene Strukturen erlaubt (siehe zb [22, 23]) Ein Vergleich mit einem anderen Full-Potential-Verfahren, dem populären WIEN- Code [24], ergab eine Übereinstimmung in den Gesamtenergien für Al, Cu, Ni, Fe sowie Diamant bis auf 1-2 mhartree, so daß diese Verfahren als derzeitiger Standard für die Genauigkeit von Gesamtenergierechnungen betrachtet werden können Ziel der relativistischen Programmerweiterung war es, sowohl die Effizienz als auch die Genauigkeit auf relativistische Rechnungen im Rahmen der im Kapitel 2 beschriebenen Näherungen zu übertragen In diesem Kapitel soll der relativistische FPLO-Formalismus (RFPLO) beschrieben werden In Abschnitt 31 wird zunächst der Selbstkonsistenzzyklus in relativ allgemeiner Form dargestellt, bevor in den folgenden Abschnitten genauer auf die Realisierung der einzelnen Teilschritte eingegangen wird Im letzten Abschnitt dieses Kapitels sollen schließlich die skalarrelativistischen Näherungen erläutert werden, die zwar formal schwer zu rechtfertigen sind, aber eine sehr effiziente Methode zur Berechnung relativistischer Effekte unter Vernachlässigung der Spinbahnkopplung darstellen Die Lösungen der Kohn-Sham-Dirac-Gleichung sind im feldfreien Fall ebene Wellen mit Energien ɛ( k) = ±c k2 + c 2 Der Teil des Spektrums mit positiver Energie wird durch Elektronen gebildet, Zustände mit negativer Energie lassen sich als Positronen interpretieren Das Vorhandensein negativer Energien führt zu einem Problem, das in der nichtrelativistischen Theorie nicht auftritt: Der Dirac-Operator besitzt im Gegensatz zum Schrödinger-Operator keine untere Schranke für die Energie, so daß ein Variationsansatz zum Auffinden der elektronischen Lösungen nicht ohne weiteres möglich ist 1 Full-potential nonorthogonal local-orbital minimum-basis band-structure scheme 17

26 18 KAPITEL 3 LÖSUNG DER KOHN-SHAM-DIRAC-GLEICHUNG Dieses Problem läßt sich durch unterschiedliche Techniken wie die Einführung eines quadrierten Dirac-Operators oder eine Projektion auf elektronische Zustände lösen In dieser Arbeit wird ein eingeschränkter Variationsansatz verwendet, bei dem die Lösungen auf (atomähnliche) elektronische Zustände projeziert werden 31 Der Selbstkonsistenzzyklus Ausgangspunkt für die Lösung der Kohn-Sham-Dirac-Gleichung für eine kristalline Struktur Ĥ φ = [ ic α + βc 2 + V cr + βσ B ] cr φ = ɛ φ (31) ist eine Startdichte n( r) und -magnetisierungsdichte m( r) n( r) = n sl ( r R s) Y L ( r R s) (32) R sl m( r) = R sl m sl ( r R s) Y L ( r R s), (33) die als Summe sich überlappender, an den Gitterplätzen lokalisierter, nichtsphärischer Beiträge dargestellt wird Hierbei sind Y L die in Anhang A definierten reellen Kugelflächenfunktionen mit dem Multiindex L = (l, m), R sind Bravais-Vektoren des Gitters und s bezeichnet die Atomplätze in der Elementarzelle für ein Gitter mit Basis Die Kohn-Sham-Dirac-Gleichung (31) muß iterativ gelöst werden, da der darin auftretende Hamiltonoperator über die Dichte n und die Magnetisierungsdichte m von seinen Lösungen abhängt Formal unterscheidet sich der hier beschriebene Selbstkonsistenzzyklus von der nichtrelativistischen Variante lediglich durch den relativistischen Hamiltonoperator sowie durch die Verwendung von Viererspinoren anstelle der nichtrelativistischen Wellenfunktionen Im folgenden wird angenommen, daß das Austausch- und Korrelationsfeld in ẑ-richtung orientiert ist, dh B cr = B z ẑ, so daß der magnetische Term in Gleichung (31) die Form β Σ B cr = B z B z B z B z (34) annimmt Ebenso werden die Magnetisierungsdichten m( r) = m( r) ẑ kollinear genähert Für nichtmagnetische Kristalle gilt B cr 0 und m 0, mit den offensichtlichen Vereinfachungen für die nachfolgenden Formeln Als Startwert für die Dichte eignet sich beispielsweise die Lösung selbstkonsistenter Atomrechnungen oder einer skalarrelativistischen Kristallrechnung Verwendet man die selbstkonsistente Dichte des in Abschnitt 38 beschriebenen skalarrelativistischen Formalismus, so hat man in der Regel schon einen

27 31 DER SELBSTKONSISTENZZYKLUS 19 sehr guten Startwert für die Dichte und die Anzahl der Iterationen bis zur Selbstkonsistenz verringert sich erheblich Aus den Dichten (32) und (33) wird das Kristallpotential V cr ( r) = n( r ) r r d3 r R s sowie das Austausch- und Korrelationsfeld Z s r R s + V xc[n( r)], (35) B cr ( r) = B xc [n( r), m( r)] (36) berechnet Die elektrostatischen Terme des Kristallpotentials (35) ließen sich zwar aufgrund der Linearität des Hartreepotentials mit Hilfe der Dichte (32) problemlos in der Form V ( r) = R sl V sl ( r R s ) Y L ( r R s) (37) darstellen, die Funktionen V sl würden jedoch im Falle von nicht kompensierten Multipolmomenten der Ladungsdichten n sl nur langsam abfallen Dies hätte zur Folge, daß eine sehr große Anzahl an (numerisch aufwendigen) Mehrzentrenintegralen berechnet werden müßte Für die Austausch- und Korrelationsterme in (35) und (36), die nichtlinear von der Dichte abhängen, gibt es keine natürliche Darstellung in Form von (37), so daß die Berechnung von Matrixelementen, die diese Terme enthalten, ohne weitere Umformung sehr aufwendig wäre Eine Darstellung des gesamten Kristallpotentials und XC-Felds in der Form von (37) mit gut lokalisierten Funktionen V sl wird wie in den nichtrelativistischen Rechnungen durch Anwendung der Ewaldtechnik auf die nicht durch die Kernladung kompensierten Multipolmomente der lokalen Ladungsdichten und die Anwendung des in [22, 23] beschriebenen Shape-Formalismus auf das XC-Potential, XC-Feld und das fouriertransformierte Ewaldpotential erreicht Die Berechnung des Potentials aus der Dichte und der angewandte Shape- Formalismus werden in den Abschnitten 36 und 34 genauer beschrieben Für die Eigenvektoren φ des gitterperiodischen Hamiltonoperators der Kohn- Sham-Dirac-Gleichung (31) setzen wir eine Blochsumme lokalisierter atomähnlicher Basiszustände an: kn = R sν 1 N c kn sν R sν e i k( R+ s) (38) Hierbei steht ν = (ρ, κ, µ) für einen vollständigen Satz atomarer Quantenzahlen, k ist ein Vektor des reziproken Raumes und n ist der Bandindex Um effiziente, hochgenaue Rechnungen durchzuführen, müssen die lokalen Basiszustände R sν dem Problem möglichst angepaßt sein, da der Rechenaufwand ungefähr mit der dritten Potenz der Anzahl der Basiszustände ansteigt Dies bedeutet in unserem Fall, daß die Basiszustände in Kernnähe die Eigenschaften von atomaren Zuständen bei eventuell verschobenen Energien aufweisen sollten und im zwischenatomaren Bereich ausreichend flexibel sein sollten,

28 20 KAPITEL 3 LÖSUNG DER KOHN-SHAM-DIRAC-GLEICHUNG um ausgedehnte Zustände zu beschreiben Außerdem sollten die Basiszustände gut lokalisert sein, da sonst die Anzahl der relevanten Mehrzentrenintegrale stark anwächst Deshalb werden die atomähnlichen Basiszustände R sν wie im nichtrelativistischen Formalismus als Lösungen einer Einteilchengleichung im sphärisch gemittelten Kristallpotential und -magnetfeld berechnet Auf Valenzzustände wird zusätzlich noch ein r 4 -Potential angewandt, das zu einer stärkeren Lokalisierung der Basisfunktionen sowie einer Verschiebung ihrer Energien führt und einen variablen Parameter zur Optimierung der Basis enthält (siehe zb [25]) Die Berechnung der lokalen Basiszustände für spinpolarisierte und nichtspinpolarisierte Zustände wird in Abschnitt 32 näher beschrieben Die allgemein übliche Unterscheidung zwischen Core- und Valenzzuständen führt zu einer erheblichen Verringerung des numerischen Aufwandes: Wir definieren Core-Zustände R sc dadurch, daß sie Eigenfunktionen des sphärisch um den Gitterplatz gemittelten Kristallhamiltonoperators sind Ĥ R sc = ɛ sc R sc (39) und der Überlapp zwischen unterschiedlichen Core-Zuständen verschwindet: R s c R sc = δ cc δ R R δ s s (310) Für Semi-Core-Zustände, bei denen die Relationen (39) und (310) mehr oder wenig gut erfüllt sind, hängt die Entscheidung, ob diese als Core- oder Valenzzustände gerechnet werden, von der gewünschten Genauigkeit ab Es ist klar, daß sowohl die Genauigkeit des LDA-Ergebnisses als auch der Rechenaufwand mit der Anzahl der Valenzzustände ansteigt Einsetzen des Ansatzes (38) in die Kohn-Sham-Dirac-Gleichung (31) und Projektion auf die lokalen Basiszustände führt zu einer Matrixgleichung 0 = 0 s ν H ɛ kn kn (311) = R sν { 0 s ν H R sν c kn sν e i k( R+ s s ) ɛ kn 0 s ν R sν c kn sν e i k( R+ s s ) }, oder kurz mit der Hamiltonmatrix HC SCE = 0 (312) H s ν, sν ( k) = R 0 s ν H R sν e i k( R+ s s ) (313) und der Überlappmatrix S s ν, sν ( k) = R 0 s ν R sν e i k( R+ s s ) (314) Aufgrund der Relationen (39) und (310) erhalten die Hamilton- und Überlappmatrix eine spezielle Blockgestalt ( ) ( ) Scc S S = cv Hcc H und H = cv (315) S vc S vv H vc H vv

29 31 DER SELBSTKONSISTENZZYKLUS 21 mit diagonalen Core-Core-Blöcken S cc = δ cc und H cc = ɛ c δ cc sowie zueinander komplex konjugierten Blöcken H cv = H vc und S cv = S vc, so daß sich die Dimension des Eigenwertproblems (312) mittels der in [22] angegebenen Choleski-Zerlegung auf ein Eigenwertproblem der Dimension der Valenzzustände reduzieren läßt Dies verringert insbesondere für relativistische Berechnungen den numerischen Aufwand erheblich, da für schwere Atome die Zahl der Corezustände die der Valenzzustände normalerweise deutlich übersteigt Durch Lösen der Gleichung (312) für jeden (irreduziblen) k-punkt erhält man die Koeffizientenmatrizen C sν,n ( k) = c kn sν, (316) sowie die diagonalen Eigenwertmatrizen E n,n ( k) = ɛ kn δ n,n, (317) mit deren Hilfe die Fermienergie ɛ F gemäß dem Aufbauprinzip der Kohn-Sham- Theorie so bestimmt wird, daß die Summe über die besetzten Zustände gleich der Anzahl der Elektronen im Kristall N e ist: N e = bes kn 1 = V (2π) 3 n Θ(ɛ kn ɛ F ) d 3 k (318) Für die k-raum-integration wird die in [25, 26] beschriebene Tetraedermethode verwendet Nicht vollgefüllte, lokalisierte f-schalen werden wie Core-Zustände behandelt und unabhängig vom Wert der Fermienergie mit einer vorgegebenen Besetzungszahl besetzt Dies entspricht formal einer LDA+U-Näherung mit sehr großer Onsite-Coulombwechselwirkung U Nachdem die Fermienergie ɛ F und die Koeffizienten c kn sν bestimmt sind, lassen sich die Dichte bes n( r) = tr r kn kn r = kn und die Magnetisierungsdichte bes m( r) = µ B tr βσ z r kn kn r = µ B kn bes kn kn r r kn (319) bes kn kn r βσ z r kn (320) berechnen, wobei die Spur bezüglich der Spinorindizes zu nehmen ist Setzt man den Ansatz für die Blochzustände (38) in die Gleichungen (319) und (320) ein, sieht man, daß sich die Dichte und die Magnetisierungsdichte jeweils in einen Netto- und einen Überlappanteil aufspalten lassen, so daß gilt: n( r) = n net ( r) + n ovl ( r) (321) m( r) = m net ( r) + m ovl ( r),

30 22 KAPITEL 3 LÖSUNG DER KOHN-SHAM-DIRAC-GLEICHUNG wobei n net ( r) = 1 N m net ( r) = µ B N die Nettodichten und n ovl ( r) = 1 N m ovl ( r) = µ B N kn R s R + s R+ s bes kn R s bes kn bes bes kn R s R + s R+ s R s νν R sν r r R sν c kn sν c kn sν (322) R sν r βσ z r R sν c kn sν c kn sν νν νν R s ν r r R sν e i k( R+ s R s ) c kn s ν c kn sν (323) νν R s ν r βσ z r R sν e i k( R+ s R s ) c kn s ν c kn sν die Überlappdichten sind Die Nettodichten (322), die sich aus den am Atomplatz R + s zentrierten Basiszuständen ergeben, lassen sich problemlos in Form von (32) und (33) darstellen Für die Überlappdichten (323) wäre dies zwar ebenfalls ohne weitere Umformungen möglich, jedoch sind die darin vorkommenden Ausdrücke der Form r R sν R s ν r in der Region zwischen den beiden beteiligten Gitterplätzen stark von Null verschieden Um zu gut lokalisierten Ausdrücken zu gelangen, werden die Überlappanteile ähnlich wie im nichtrelativstischen Formalismus umgeformt und durch die Methode der Zerlegung der Eins (Partion of Unity) lokalisiert Damit wird eine Darstellung der gesamten Dichte als Summe sich überlappender, nichtsphärischer, an Gitterplätzen lokalisierter Beiträge n( r) = R sl n sl ( r R s)y L ( r R s) (324) und m( r) = R sl m sl ( r R s)y L ( r R s) (325) erreicht (siehe Abschnitt 35), so daß der Selbstkonsistenzzyklus geschlossen ist Um zu einer selbstkonsisten Lösung zu gelangen, müssen die neu ausgerechneten Dichten in geeigneter Weise mit den Dichten der vorausgehenden Iterationsschritte gemischt werden, wobei in dieser Arbeit der in [25] beschriebene Algorithmus verwendet wird Selbstkonsistenz ist dann erreicht, wenn sich die neu ausgerechnete Dichte nicht mehr von der des vorherigen Iterationsschritts unterscheidet In den folgenden Abschnitten sollen die einzelnen Teilschritte des hier in allgemeiner Form dargestellten Selbstkonsistenzzyklus detaillierter beschrieben werden

31 32 LOKALE BASISZUSTÄNDE Lokale Basiszustände Die Wahl der Basiszustände hat einen erheblichen Einfluß auf die Geschwindigkeit und die Genauigkeit von Bandstrukturberechnungen, da zum einen der numerische Aufwand mit der Zahl der Basiszustände stark anwächst und zum anderen in praktischen Rechnungen immer nur eine endliche Basis verwendet werden kann Insbesondere für ein Minimumbasisverfahren ist es deswegen wichtig, dem Problem möglichst angepaßte Basiszustände zu verwenden, weswegen hier zwischen den Basiszuständen für nichtmagnetische Rechnungen (Abschnitt 321) und magnetische Rechnungen (Abschnitt 322) unterschieden werden muß Die allgemeinen Anforderungen an die Basiszustände wurden bereits im vorangehenden Abschnitt erwähnt und sollen an dieser Stelle nicht noch einmal wiederholt werden Die Spinbahnwechselwirkung führt zu einer Aufspaltung der atomaren p, d, und f Niveaus in (l ± 1 )-Zustände Durch das Zusammenspiel zwischen 2 Magnetismus und Spinbahnwechselwirkung kommt es zu einer weiteren Aufspaltung, so daß sich der numerische Aufwand (insbesondere für die in Abschnitt 33 beschriebene Berechnung der Mehrzentrenintegrale) erheblich erhöht 321 Nichtspinpolarisierte Basiszustände Die atomaren Basisfunktionen R sν für nichtmagnetische Rechnungen werden als Lösungen einer Einteilchen-Dirac-Gleichung in einem sphärischen Potential berechnet: Ĥ at R sν = [ ic( α ) ] + βc 2 + V at R sν = ɛ R sν (326) Dabei ist das atomare Potential V at ebenso wie im nichtrelativistischen Fall die Summe aus dem sphärisch gemittelten Kristallpotential und einem orbitalabhängigen anziehenden r 4 -Potential V sν at (r) = V 0 (r) + V conf (r) = 1 4π mit einem Parameter r 0 = dω V cr ( r) + δ νv 1 + β 2 ( ) 4 r (327) ( x0 r ) 3 NN 2, (328) 2 der zur Optimierung der Basis so variiert wird, daß die Gesamtenergie minimal wird Der optimale Parametersatz für die x 0 -Werte ist dabei näherungsweise unabhängig von der Gitterkonstanten [25] Die Funktionen in (327) sind alle am Gitterplatz R + s zentriert, r NN ist der Abstand zum nächsten Nachbarn, und die symbolische Schreibweise δ νv bedeutet, daß der zusätzliche r 4 -Potentialterm nur für Valenzzustände benutzt wird Die spezielle Form des r 4 -Zusatzpotentials, das auf die kleine Komponente wirkt, spielt für die praktischen numerischen Berechnungen keine Rolle (siehe Kapitel 4) Der Hamiltonoperator aus (326) vertauscht mit den Operatoren J z, J 2 und r 0

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