1. Grundlagen. 2. Summenzeichen, Produktzeichen. 3. Fakultät, Binomialkoeffizient. 4. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 5. Elementare Funktionen
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- Judith Grosse
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1 Inhlte Brückenkurs Mthemtik Fchhochschule Hnnover SS 00 Dipl.-Mth. Corneli Reiterger. Grundlgen. Summenzeichen, Produktzeichen. Fkultät, Binomilkoeffizient. Potenzen, Wurzeln, Logrithmen. Elementre Funktionen 6. Trigonometrische Funktionen 7. Lösen von Gleichungen 8. Vektorrechnung 9. Mtrizen 0. Differentilrechnung Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger. Zhlenräume. Grundlgen N,,,,... N 0 0,,,,,... Menge der ntürlichen Zhlen (positive gnze Zhlen) Menge der ntürlichen Zhlen und 0 Z Z Z...,,,,0,,,,... z z N z N z 0 n, n n N 0 Menge der gnzen Zhlen Q, Z Menge der rtionlenzhlen (Brüche) Menge der reellen Zhlen (rtionle + irrtionle Zhlen) R Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger. Grundrechenrten Elementre Verknüpfungen Addition + "Summnd + Summnd ildet Summe Sutrktion - Minuend Sutrhend ildet Differenz Multipliktion. Fktor. Fktor ildet Produkt Division Dividend Divisor ildet Quotient. Eigenschften von Verknüpfungen Eine Verknüpfung heißt kommuttiv, wenn für lle, R gilt = Eine Verknüpfung heißt ssozitiv, wenn für lle,, c R gilt ( ) c = ( c) Es gilt ds Distiutivgesetz zwischen zwei Verknüpfungen und, wenn für lle,,c R gilt ( c)=( ) ( c) Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger 6
2 . Beispiele Für lle,, c R gilt Kommuttiv -gesetz Distriutivgesetz Assozitivgesetz Addition Multipliktion ( ) ( ) (6) (6) ( 7) Klmmerregeln Für die Verknüpfungen Sutrktion und Division gelten Kommuttivgesetz, Assozitivgesetz und Distriutivgesetz NICHT! Wir wenden einen TRICK n ( ). Klmmerregel Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger 7 Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger 8. Klmmerregeln. Klmmerregeln Vereinrungen. Punkt vor Strichrechnung. Klmmern geen n, welcher Teil der Rechnung zuerst usgeführt werden soll.. Aneinndergereihte (Klmmer)usdrücke sind durch Multipliktion miteinnder verknüpft. Es gilt +( c)=+ c und ( + c)= -c (-c)= + c (Vorzeichen eiehlten ei Plus) (Vorzeichen ändern ei Minus) ( ) ( ) ( y ) y 7 y Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger 9 Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger 0. Fktorisieren und Ausmultiplizieren Allgemein Komplee Terme lssen sich durch Ausmultiplizieren vereinfchen ( )(+)+(+)(² +) =³+ Mnchml ist es sinnvoll, längere Terme zu fktorisieren. Fktorisieren und Ausmultiplizieren. Binomische Formeln Für lle, R gilt (+)² = ² + + ² (-)² = ² - + ² (+)(-) = ² -² z²++y+yz² = z²(+y)+(+y) = (z²+)(+y) ² 8 6 ( ) ² 6 ( )( ) 9 (60 ) Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger
3 . Fktorisieren und Ausmultiplizieren. Stzes von Viet Für lle p, q R gilt ² + p + q = (- )(- ) p = - ( + ) q = Geeignet für gnzzhlige Lösungen und einfche Brüche. Fktorisieren und Ausmultiplizieren. p,q-formel Jede qudrtische Gleichung geschrieen in Normlform ² + p + q lässt sich fktorisieren in der Form Woei ² p q ( )( ), p p q ² 0 9 p 0 ( ), q 9 9, ² p, q,,,9,79,,9 0, Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger. Fktorisieren und Ausmultiplizieren. c-formel Jede qudrtische Gleichung geschrieen in Form ² + + c = 0 mit,, c R lässt sich fktorisieren in der Form woei ² c ( )( ), ² 0 c, 0, c, 0 0,79 0,.6 Brüche Alle rtionlen Zhlen lssen sich schreien ls ) Bruch mit dem Zähler Z und dem Nenner Z ) Quotient c) Dezimlruch, Dezimlzhl mit dem Dividenden Z und dem Divisor Z z dem Ergenis der Division Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger 6.6 Brüche.6 Brüche. Negtive Brüche. Erweitern und Kürzen von Brüchen Negtive Brüche hen die Form Alle Formen sind äquivlent. Erinnerung Teilen mit negtiven Zhlen Erweitern von Brüchen c c für lle,, c Z Kürzen von Brüchen ( ) c ( c) c Erweitern und Kürzen verändert den Wert eines Bruches nicht! 0,7 denn ( ) ( ) 0, , 80 und 80% 0, 8 00 Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger 7 Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger 8
4 .6 Brüche. Addition und Sutrktion von Brüchen ) Brüche mit gleichem Nenner werden ddiert, indem die Zähler ddiert und die Nenner eiehlten werden. (Sutrktion nlog) c c.6 Brüche. Addition und Sutrktion von Brüchen ) Brüche mit unterschiedlichem Nenner werden zunächst uf einen gemeinsmen Nenner (Huptnenner) gercht. (Sutrktion nlog) c d c d c d d d d 6 0 er 6? 6 6 Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger 9 Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger 0.6 Brüche. Gemischte Zhlen Eine gemischte Zhl ist eine Summe (!) us einer gnzen Zhl und einem Bruch. Gemischte Zhlen lssen sich in unechte Brüche (=Zähler größer ls Nenner) umwndeln..6 Brüche. Multipliktion von Brüchen Zwei Brüche werden miteinnder multipliziert, indem Zähler und Nenner getrennt miteinnder multipliziert werden. c c c d d d Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger.6 Brüche 6. Division von Brüchen Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem er mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert wird. 7 c d d d c c Brüche 7. Doppelrüche Bei der Berechnung von Doppelrüchen geht mn üer zur Quotienten-Schreiweise und ersetzt schrittweise die Bruchstriche ( von groß nch klein ) 8 c d c d c d 8 8 ( ) 8 0 Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger
5 Brückenkurs Mthemtik Dipl.-Mth. C.Reiterger.6 Brüche 8. Kürzen von Summen Durch Summen kürzen nur die Dummen y y
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Ihlte Brüceurs Mthemti Fchhochschule Hover SS 0 Dipl.-Mth. Coreli Reiterger. Grudlge. Poteze, Wurzel, Logrithme. Vetorrechug 4. Trigoometrische Futioe. Differetilrechug. Itegrlrechug 7. Mtrize, Liere Gleichugssysteme
Grundlagen der Algebra
PH Bern, Vorbereitungskurs MATHEMATIK Vorkenntnisse 0 Grundlgen der Algebr Einleitung Auf den nchfolgenden Seiten werden grundlegende Begriffe und Ttschen der Algebr erläutert: Zhlenmengen, Rechenopertionen,
3.1 Multiplikation Die Multiplikation von algebraischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt:
.1 Multipliktion Die Multipliktion von lgerischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt: c Multipliktor Multipliknd Produkt Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz)
RESULTATE UND LÖSUNGEN
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthemtik Kpitel 3.2 Alger Grundrechenrten RESULTATE UND LÖSUNGEN Verfsser: Hns-Rudolf Niedererger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausge:
3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl
Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b
Grundlgen 0.0. Zhlbereiche ntürliche Zhlen: N = {0; ; 2;...} (nch DIN 547) N = N \ {0} gnze Zhlen: Z = {... 2; ; 0; ; 2;...} rtionle Zhlen: Q = { p p, q Z, q 0} q Q besteht us llen Bruchzhlen. reelle Zhlen:
2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
Kleine Algebra-Formelsammlung
Immnuel-Knt-Gymnsium Heiligenhus Gierhrt Kleine Alger-Formelsmmlung Mittelstufe (is Klsse 0) Drgestellt sin ie wichtigsten Fkten un Gesetze, woei iverse Ausnhmeregeln wie z.b. s Verot er Division urch
Brüche gleichnamig machen
Brüche gleichnmig mchen L Ds Erweitern von Brüchen (siehe L ) ist lediglich ein Instrument, ds vorwiegend eingesetzt wird, um Brüche mit unterschiedlichem Divisor gleichnmig zu mchen. Brüche gleichnmig
2 Rechnen mit Termen. 2.1 Grundrechenarten mit Termen
9 Rechnen mit Termen Rechnen mit Termen Die Einführung von Buchsten ls Vrile und deren Verknüpfung durch Rechenzeichen führt zu dem Begriff des Terms (von lt. terminre estimmen).. Grundrechenrten mit Termen.
2 Elementare Rechenoperationen
0 Elementre Rechenopertionen Die Einführung von Buchsten ls Vrile und deren Verknüpfung durch Rechenzeichen führt zu dem Begriff des Terms (von lt. terminre estimmen).. Grundrechenrten mit Termen Addition
6. Quadratische Gleichungen
6. Qudrtische Gleichungen 6. Vorbemerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Opertionen. Sie heben sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel
Vorkurs Mathematik. Vorlesung 3. Die rationalen Zahlen
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5 5. Einführung Die Gleichung x 9 ht die Lösung. x 9 Z 9 x Die Gleichung x ht die Lösung. x Z x Definition Die Gleichung x, mit, Z und 0, ht die Lösung: x x Ist kein Vielfches von, so entsteht eine neue
6. Quadratische Gleichungen
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wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
qwertyuiopsdfghjklzxcvnmqwerty uiopsdfghjklzxcvnmqwertyuiopsd fghjklzxcvnmqwertyuiopsdfghjklzx Aufgen M-Beispielen cvnmqwertyuiopsdfghjklzxcvnmq Vorereitung uf die. Schulreit wertyuiopsdfghjklzxcvnmqwertyui
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{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen
Themen Ntürliche und gnze gerde Eigenschften Besonderheiten - Beispiele { } Menge der ntürlichen { } Menge der ntürlichen mit Null { } Menge der gnzen IN = 1;2;3;4;... IN 0 = 0;1;2;3;4;... Z =...; 3; 2;
c) 75x 14x+33y 100a+26b 77a 80r 35r 45r 97t 97+3t 120x+116y +203z c) 4ab 3ab 5a 2 7ab 9xy 4x 3 y 2x 2 y 5 3x 3 y 2 4x 3xy 5y 8xy 2x 2 3y 2
Aufgbe : Vereinfche so weit wie möglich! 5+7 +3y z 8u 3u+6v r +r 7r s 5t+ +y +5+y 8 +3b c 5u+v 6r +t 8+9 5+b 75 +33y 00+6b 77 80r 35r 5r 97t 97+3t 0+6y +03z u+57v 8v 75w 83z 53w 6c+5d 6c 59g 00+g 00h 33h
Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches
Größter gemeinsmer Teiler un kleinstes gemeinsmes Vielfhes 1 Der größte gemeinsme Teiler (ggt) Zu jeer Zhl knn mn ihre Teilermenge ngeen. Τ0 {1; 2; ; 5; 6; 10; 15; 0} Τ {1; 2; ; ; 6; } Die gemeinsmen Teiler
V O R K U R S M A T H E M A T I K
Fchbereich - Informtik und Ingenieurwissenschften V O R K U R S M A T H E M A T I K 100 = 16765060089401496700576 u v u v u v u v uv /(u v) u v u v ( + b ) 5 = 5 + 5 4 b + 10 b +10 b + 5 b 4 + b 5 Die
M Umformen von Termen
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Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme
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A.Nenner rtionl mchen: Nenner ist Qudrtwurzel: 5 bc 1.).).).) 5.) 1 15 9 bc.).) 8.) 9.) 10.) 5 5 B.Nenner rtionl mchen: Nenner ist höhere Wurzel: 1 1 9 5 1 1.).).).) 5.).) 5 C.Nenner rtionl mchen: Nenner
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a) Potenzieren ausgesprochen als Beispiel a b = c a = Basis a hoch b = c 4 3 = 64 b = Exponent c = Potenzwert
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Die Formelsammlung: Meine Mathematische Werkzeugkiste Formel, Skizze Formel, Skizze Beispiel(e)
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13. Quadratische Reste
ChrNelius: Zhlentheorie (SS 007) 3 Qudrtische Reste Wir ehndeln jetzt ei den Potenzresten den Sezilfll m und führen die folgende Begriffsildung ein: (3) DEF: Seien n und teilerfremd heißt qudrtischer Rest
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Formelsammlung für berufliche Gymnasien Mathematik
Mit zugelssener Merkhilfe ohner Ott Deush Formelsmmlung für eruflihe Gymnsien Mthemtik Ds Werk und seine Teile sind urheerrehtlih geshützt. Jede Nutzung in nderen ls den gesetzlih zugelssenen Fällen edrf
6c 4b 5a. 6c 4b + 5a.
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