v. Weter st + r X + = ( X + ) = ( X + ) ( X + ) = P Deshalb fr 6 6 = + X = K, d. h. I desem Berech ( 6 6 ) glt also ( Idukto ach ) ( ) ( mod ), was fr

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1 5. De Stze vo Sylow Im gaze Abschtt st G ee edlche Grue, 4 #( G). 5.. Problem: Gbt es zu jedem Teler t vo ( tj ) ee Utergrue H mt #( H) = t? We ja, wevele? Gegebesel: 9 Utergrue H vo G = A 5 mt #( H) = 3: Lemma: Ist K e Krer ud X ; Y Ubestmmte, so glt X m Polyomrg K[ X ; Y] de Idettt: ( X + Y) = X 6 6 Y ; wobe fr K + K + + K 2 K - m al steht. Ist char K = 2 P, so st also e Elemet vo Z/ Z K m K + K + + K Idukto ach Lemma: Se 2 N; = r, 2 P, 2 N. Da gelte ( mod ) r ( mod ) ; ( mod ). ( mod ), falls = ; 6 6. I K[ X ; Y] glt: ( X + Y) = X + Y, falls K e Krer der Charakterstk st;. Bereche K[ X] : ( X + ) = ( ( X + ) ) r = ( + X ) r = ( + X ) r = + r ( ) 5. 2 : ( X + ) = + X + 2 K o e z et everglech = r X X + K, d. h. r ( mod ). X r + 2 X 2 +

2 v. Weter st + r X + = ( X + ) = ( X + ) ( X + ) = P Deshalb fr 6 6 = + X = K, d. h. I desem Berech ( 6 6 ) glt also ( Idukto ach ) ( ) ( mod ), was fr = ergbt: ( ) ( mod ) ( + X) Lemma: Ist H G Utergrue ud N 4 N G ( H), so glt: #f H G j H kojugert zu Hg = [ G : N] G oerert auf X = f Utergrue H G X X vo G g durch Kojugato ( g; H ) g H g Bah vo H st de Mege aller H, de kojugert sd zu H, de Fxgrue st N. Wede de Bahglechug a:. De #fh G j H kojugert zu Hg = # G # N = [ G : N] ( 5. 5) Stuato: # ( G) = = r, 2 P ; 2 N a = a ( G) 4 Zahl der Utergrue vo G der Ordug. X 4 f T j T G ; ord( T) = g, #( X) = ( =Azahl der Telmege vo G mt Ordug ) G oerert auf X durch Lksmultlkato: Zerlege X =S X Bahe uter G. G X X ( g; T) g T. Jede der Bahe X hat ee Gre #( X ) = r mt 6 Se T 2 X, G T 4 Fxgrue vo T G = f g 2 G j g T = Tg. Ist t 2 T, so glt: G T t T, mt adere Worte: S T = G T t j Zerlegug Lksebeklasse modulo G T. j 2 J Da st: = #( T) = #( G T ) #( J) 2

3 #( X ) = # ( G) # ( G T) = # ( G) # ( T) #( J) = r =. Ist X ee der Bahe, de ee Utergrue H ethlt ( d. h. H 2 X ), so st #( X ) = r Es st G H = f g 2 G j g H = H g = H. Also #( X ) = # ( G) = = r = r # ( G H ) # ( H). Ist umgekehrt #( X ) = r, so ethlt X geau ee Utergrue H. a) Se T 2 X mt 2 T ( e derartges T exstert: Ist S 2 X ; s 2 S, so st auch 2 s S = : T 2 X ). b) Se H 4 G T = f g 2 G j g T = Tg : Es st #( H) = # ( G) = = # ( X ) r = #( T). Wege H = H 2 T T st also H = T, da #( H) = #( T) : c) Es st X = f g H j g 2 G g = f Hg[ f g Hj g H g der Utergrue H 2 X. kee G ru e; d a 2 H. Des zegt de Edeutgket v. Aus ( ) ud ( ) : v. Abzhle vo #( X) =P #( X ) ergbt: = #( X) = r a P ( G) + r a ( G) = r 5. 3 : a ( G) = #fbahe X vo G auf X mt #( X ) = rg P > X B ah m t # ( X ) = r m t > #( X ) r ( mod ), sbesodere a. Ab jetzt setze wr voraus: st maxmaler -Teler vo, d. h. j ; + - ( = : k ) v. Se S ee Utergrue der Ordug vo G ( exstert ach ( v) ). S het -Sylow- Grue vo G. Ist H ee Utergrue vo G mt #( H) = ( 6 ), so st H kojugert zu eer Utergrue vo S. S lege der Bah X X uter G, d. h. S 2 X = f gs g 2 G g X. #( X ) = r ( mod ) : Wege ( ) hat de -Grue H auf X ee Fxukt g S, d. h. H g S = g S: Weter st HgS = gs, g H g S = S, g H g S: Folgerug: 3

4 Alle -Sylow-Grue S vo G sd zu S kojugert ud daher auch somorh. v. Es st a ( G) # ( S y low G rue vog ) ( mod ) ud a ( G) j r: Se S -Sylow-Grue, N 4 N G ( S) : Nach st a ( G) = [ G : N] = Teler vo [ G: S] : Satz: (Zusammefassug) G edlche Grue, #( G) = = r, k. 9 Utergrue H vo G mt #( H) =. Solche Utergrue hete -Sylow-Grue vo G.. Ist H Utergrue vo G mt #( H) = ( 6 ), so st H kojugert zu eer Utergrue eer -Sylow-Grue. Isbesodere sd alle -Sylow-Grue vo G kojugert.. a ( G) ( = : Zahl der -Sylow-Grue) erfllt: a ( G) ( mod ) ud a ( G) j r v. 8 6 st a ( G) ( mod ). Bemerkug: Bewes ursrglch vo Sylow ( 87 ) ( ), ( ), ( ) Frobeus ( v). User Bewes vo Weladt ( 954) Korollar: Ist 2 P e Teler vo, so 9 g 2 G mt ord( g) = : Korollar: Bezechuge we De folgede Bedguge sd quvalet:. Jede -Sylow-Grue G st ormal. a a( G) =. 9 ormale -Sylow-Grue vo G v. 9! -Sylow-Grue vo G v. De Elemete vo -Potezordug G blde ee Grue. 4

5 5. 9. Besel:. #( G) = 35 = 5 7. Da st G abelsch, C 3 5 a 5 ( G) ; a 7 ( G) =. Also sd de Sylow-Grue 2 S 5 ; S 7 wohlbestmmt ud ormal. Also [ S 5 ; S 7 ] S 5 \ S 7 = f g. Also kommutere S 5 ; S 7 elemetwese, also st S 5 S C ch : R es t sat C 7 C 3 5 :. #( G) = 45 = Dasselbe Argumet we ( ) lefert: G st abelsch, also st C 9 C ch : R est s at z C 4 5, oder C 3 C 3 C 5.. Se 2 < 2 P; D 2 de Dedergrue. Es st ( G) =. Fr 2 D 2 f ; g st 2-Sylow-Grue. a 2 ( D 2 ) =. v. G = S 4 = Sym( f ; 2; 3; 4g ), = 4! = 24 = a 2 3( G) ( mod 2), a 2 3( G) j 3 a 2 3( G) = 3 a 3 ( G) ( mod 3) ; a 3 ( G) j 8 a 3 ( G) = 4 Elemete der Ordug: Ty # 2 ( a b) 6 ( a b) ( c d) 3 3 ( a b c) 8 4 ( a b c d) 6 24 Ee Utergrue der Ordug 8 st ord ( ) = 4; ord( ) = 2, = v. G = GL( r; Z/ Z), 2 P, = #( G) =! ( r ) ( r ) : S alt e r * 2 2 : S alt e 3 : S alt e = ( r ) ( r ) ( ) r ( r ) 2. ( 2 3 4) ; ( 3) = : We seht ee -Sylow-Grue vo G aus? r = : r r t e S alt e Mt de folgede Bedguge st U( r; Z/ Z) ee -Sylow-Grue. Ererug: Ist K e Krer, so st: + h glt: 2 =, d. h.. C st de zyklsche G ru e mt Elemete 2. Achtug, her st cht de symmetrsche G ru e S gemet. 5

6 B( r; K) 4 U( r; K) 4 T( r; K) 4 8< : B@ CA 8< : B@ CA 8< : B@ CA v. = 3; r = 2; G = GL( 2; Z/3 Z) ; #( G) = = 8 6 = 48. 9= ; = Grue der verterbare obere Dreecksmatrze 9= ; = 9= ; = Grue der strkte obere Dreecksmatrze Grue der verterbare Dagoalmatrze Wr kee ee 3-Sylow-Grue, was st mt 2-Sylow-Grue? z. B. st H = h ; ee 2-Sylow-Grue mt = 2 ord( ) = 8; ord( ) = 2, = 3. v. G = S 5 = Sym( f ; 2; 3; 4; 5g ) ; = 2 = Ty # 2 ( a b) 5 2 = ( a b) ( c d) 5 3 = 5 3 ( a b c) 2 = 2 = = ( a b c d) 3 5 ( a b c d e) 24 6 ( a b c) ( d e) 2 2 a 2 3( G) = 5; a 3 ( G) = ; a 5 ( G) = 6, =, Beobachtug: Sd ; 2 S ; = ( a a 2 a k ) ( b b 2 b l ) So st = = ( ( a ) ( a 2 ) ( a k ) ) ( ( b ) ( b 2 ) ( b l ) ) ( folgt aus ). 5.. Proosto: Zwe Elemete ; vo S sd geau da kojugert, we se deselbe Zyklusstruktur bestze, d. h. gleche Azahl vo Zykle gegebeer Lge. Isbesodere glt: #( Kojugatosklasse vo S ) = #( Parttoe vo ) = : ( ) 5.. Klee Grue: Zahl der Isomorheklasse vo Grue der Ordug : 6

7 abelsche Grue ( ) cht abelsche Grue ( ) Azahl der Grue G = f g 2 C 2 3 C 3 4 C 4 ; C 2 C C 5 6 C C 2 C 3 D S GL( 2; Z/2 Z) 2 7 C 7 8 C 8 ; C 4 C 2 ; C 2 C 2 C 2 D 8 ; Q 5 9 C 9 ; C 3 C 3 2 C 2 C 5 D 2 5 = D 2 C 2 C 4 C 3 ; C 2 C 2 C 3 A 4 S 4 ; D 2 ;???? 5 3 C 3 4 C 2 C 7 D 2 7 = D C C 3 C 5 6!!! Bemerkuge: ( Z/ Z), we 2 P Q = f ; ; j; k g mt 2 = j 2 = k 2 =, Fr = 2 sehe Aufgabe j = j = k Proosto: Gegebe se ee Grue G mt zwe Utergrue H E G ud L G. Da sd quvalet:. De Komosto L G G/ H st e Isomorhsmus. De Produktabbldug ': L H G ( l ; h) l h = l h st bjektv. 3. De Produktabbldug ': H L G st bjektv. ( h ; l) h l = h l Sd dese Bedguge erfllt, so exstert e Homomorhsmus : L Aut( H) mt: 8l 2 L ; h 2 H st l h l = ( l) ( h) I desem Fall schrebe wr G = L H, ud ee des das semdrekte Produkt 4 vo L ud H vermttels : ( ) ) ( ) : Ist '( l ; h) = '( l ; h ), so ( l) = ( ') ( l ; h) = ( ') ( l ; h ) = ( l) l = l, also auch h = h. d. h. ' jektv. Surjektvtt: dto. 3. ' st m allgemee ke H omomorhsmus 4. Das semdrekte P rodukt gbt ee M glchket, grere G rue mthlfe vo kleere G ru e zu beschreb e. 7

8 ( ) ) ( ) : Zu jedem g 2 G: 9! l 2 L mt g l ( mod H). Lege dese Voraussetzuge vor, so st fr jedes l 2 L: '( l) : H H h l h l e Automorhsmus. Weter st ( l l ) = ( l) ( l ), l ; l 2 L, de 8h 2 H st ( l l ) ( h) = l l h ( l l ) = l l h l l = ( l) ( ( l ) ( h) ) = ( ( l) ( l ) ) ( h). = ( l ) ( h) Also st : l ( l) e Homomorhsmus vo L ach Aut( H) : Sd ur L; H ud gegebe, so lsst sch G beschrebe als mt der Multlkato: ( l h) ( l h ) = l h l h = l l ( l G = L H = L H = f ( l ; h) j l 2 L ; h 2 Hg = h l ) h = l l ( l ) ( h) h ; d: h: ( l ; h) ( l ; h ) 4 l l ; ( l ) ( h) h Besel: (fr semdrekte Produkte). D 2 = C 2 C : C 2 Aut( C ) x ( ). K Krer: B( ; K) = T( ; K) U( ; K) B = T U. ; q 2 P; < q ; #( G) = q. Da st ee q-sylow-grue H ormal, jede -Sylow- Grue L rojzert somorh auf G/ H. Da st G = L H. 8