Vorangegangen: Euklids Elemente (VII IX) Grundlegende Sätze über Teilbarkeit und Primzahlen:

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1 Zur Geschichte von Primzahlen I. Bemerkungen 1. Arithmetik => Pythagoreer: Zahlen als Weltbild 2. Beispiel für Eigenschaft eines mathematischen Begriffes 3. Beispiel für unterschiedliche Klärungsmöglichkeiten: - mit einer Definition (siehe Euklid: alte Definition; neue) - durch eine geometrische Anordnung (Rechtecke) 4. Finden solche Elemente: Sieb Vorangegangen: Euklids Elemente (VII IX) Grundlegende Sätze über Teilbarkeit und Primzahlen: [VII, 30(gekürzt)]: Wenn eine Primzahl ein Produkt misst, muss sie auch einen der Faktoren messen. [VII, 32]: Jede Zahl ist entweder Primzahl oder wird von irgendeiner Primzahl gemessen. [IX, 14]: Die kleinste Zahl, die von gewissen Primzahlen gemessen wird, lässt sich durch keine andere Primzahl messen außer den ursprünglich messenden. [IX, 20]: Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen. 1

2 II. Zum Begriff der Primzahl 1. Aspekt: Primzahlen sind natürliche Zahlen mit möglichst wenigen Teilern. Bem.: Jede ganze Zahl n hat wenigstens +1, -1 und + n und n als Teiler. Definition: Diejenigen natürlichen und von 1 verschiedenen Zahlen, die nur 1 und sich selbst als natürliche Teiler haben, heißen Primzahlen. Bemerkung: Diese Form der Definition hat unmittelbare handlungsmäßige oder auch geometrische Ausdeutung Gegeben eine beliebige Zahl: 1. Auslegen in Form eines Rechtecks strukturiertes Zählen Beispiel: 12 => mehrere Formen 2

3 Beispiel: 13 => eine Form (Rechteck der Breite 1) 2. Prüfen der Eigenschaft Primzahl zu sein Beispiele: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 III. Effektives Verfahren für die Bestimmung von Primzahlen Frage: Wie viele Primzahlen gibt es? Ziel: Lückenlose Liste

4 Frage: wann kann man aufhören zu zählen? IV. Ergänzungen 1. Beispiel für den Aufbau von Mathematik: a) Klärung (Definition) eines Begriffes Zahl, natürliche Zahl, Primzahl, Primzahlzwillinge.. b) Finden von Beispielen/Gegenbeispielen c) Finden von Eigenschaften des Begriffs - Zahl Primzahl - Zahl- gerade und ungerade Zahl => Grundschule Finden auf Grundschulebene: jede zweite Zahl Begründen auf Schulebene: algebraische Darstellung 4

5 Folgerungen 5

6 Didaktische Prinzipien sind Postulate bzw. Forderungen, die meist aus Lerntheorien abgeleitet bzw. durch diese begründet werden. Sie enthalten Hinweise und Regeln, wie im unterricht geeignete Lernbedingungen hergestellt und wie optimale Erfolge erreicht werden können. Beispiele Spiralprinzip: Die Idee eines Lehrplanes, bei dem Lehrgebiete in verschiedenen Altersstufen unter wechselnden Aspekten mehrfach auftreten; findet sich schon bei Plato. Heute bezieht man sich mit der Vorstellung einer Curriculumspirale stets auf Bruner. Das entscheidende Unterrichtsprinzip in jedem Fach ist für Bruner die Vermittlung der fundamentalen Ideen dieses Faches. Sie sind der zentrale Lerngegenstand auf jeder Stufe der kognitiven Entwicklung. 6

7 Beispiel Zahlbegriff 0.Stufe: Vorschulische Erfahrungen mit Zahlen 1. Stufe: Zahlbegriff in der Primarstufe; Aspekte: Kardinal- Ordinal-Maßzahl-Rechenzahl- und Codierungsaspekt; aber auch: gerade und ungerade Zahlen, Primzahlen 2. Sekundarstufe I: Erweiterung von N auf Z und von N auf Q.: Permanenzprinzip; Regeln, Symbolische Fassung von Regeln 3. Sekundarstufe II: Die Menge der reellen Zahlen; irrationale Zahlen; Probleme des Unendlichen; Approximation; 4. Studium: Überblick über die Stufen 1-3; Charakteristika 5.Fachdidaktik und Lehre: Konkretisierung vom Unterrichtsaufbau 7

8 Weitere Beispiele für didaktische Prinzipien Exemplarisches Prinzip Heraklit: Viel Wissen bedeutet noch nicht Verstand. Wagenschein: Gegen Stofffülle der Lehrpläne Anwendungsprinzip 1. Angewandte Mathematik als Lehrstoff: Rechnen mit Größen (Länge, Gewicht, Zeitspanne, Geldwerte, Hohlmaße); Elementare Stochastik, Darstellende Geometrie; angewandte Analysis 2. Sachbezogenheit als Lernprinzip Umweltphänomene als Einstiege in Lernprozesse Angewandte Aufgaben zum Üben 3. Wirklichkeitserschließung als Lernziel Befähigung zum besseren Verständnis der aktuellen Lebenswelt der Schüler: anspruchsvoll: Vorgehen: Ausgehen außermathematische Problemsituation, analysieren unter mathematischem Blickwinkel, Entwerfen eines Beschreibungsmodells, dabei neue Begriffe entwickeln, im Modell arbeiten (d.h. rechnen), deuten von Ergebnissen und mit realen Befunden konfrontieren 8