Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt

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1 Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2008/09

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3 Einführung Der Vektorraum der Als erstes wollen wir den Vektorraum fr die definieren. Wir betrachten im weiteren den Vektorraum der reellen n-tupel (geschrieben als Spaltenvektoren) mit der komponentenweisen Addition und der komponentenweise Multiplikation mit einem reellen Skalar: v + w = v x v y v z + λ v = λ v x v y v z w x w y w z = = λv x λv y λv z v x + w x v y + w y v z + w z (1) (2)

4 Einführung Dabei arbeiten wir normalerweise (ohne weitere Angaben) mit der kanonischen Basis. Darunter versteht man in einem reellen n-dimensionalen Raum die Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen ( e x, e y,...). Ein Vektor beschreibt somit eine Linearkombination der Basisvektoren. Die Einträge im Vektor nennt man dann die Komponenten des Vektors. v = v x v y v z = v x e x + v y e y + v z e z (3) z ex e z vx v = vy = vxe x + vye y + vz ez vz e y y x

5 Einführung Punkte des n-dimensionalen reellen Raumes werden im Gegensatz zu den Vektoren als Zeilenvektoren geschrieben. Z.B. A = (1, 2, 3) (oder kurz A(1, 2, 3)) bezeichnet den Punkt A im dreidimensionalen Raum mit den Koordinaten x = 1, y = 2 und z = 3 (Punkte werden normalerweise mit Grossbuchstaben bezeichnet!). Bei den Vektoren benötigen wir zweierlei Vektoren: Ortsvektoren: Unter einem Ortsvektor versteht man einen Vektor der vom Ursprung des Koordinatensystems auf einen Punkt (Ort) zeigt: r A = OA = x A y A z A (4) Bemerkung: Beim Punkt spricht man von Koordinaten und beim Vektor von Komponenten!

6 Einführung Verbindungsvektoren: Ein Vektor welcher zwei Punkte verbindet: v = AB x B x A = r B r A = y B y A z B z A (5) Bemerkung: Vektoren sind im Gegensatz zu den Punkten im Raum nicht absolut. D.h. eine vektorielle Grösse ist nur in Bezug auf Länge und Richtung jedoch nicht bezüglich seiner Position im reellen Raum definiert. Sei ABCD ein Quadrat mit den vier Punkten A, B, C und D, so gilt: D A C B AB = DC BC= AD

7 Rechenoperationen Skalarprodukt Im weiteren betrachten wir noch einige Vektormultiplikationen. Dies sind das Skalarprodukt (n-dimensionaler Raum), das Vektorprodukt (nur im dreidimensionalen Raum) und das Spatprodukt (ebenfalls nur im dreidimensionalen Raum). Definition Unter dem Skalarprodukt zweier n-dimensionaler Vektoren versteht man: a b = a 1 a 2. a n b 1 b 2. b n = a 1b a n b n = n a k b k (6) k=1

8 Rechenoperationen Die geometrische Interpretation des Skalarproduktes lsst sich mittels Projektion sehr einfach geben: b b a r 1 r r = b cos ( α ) = r ab a α ba a ab r r r r = a b cos( α ) Mit dem Skalarprodukt kann die Längen- und Winkelmessung im R n definiert werden: Der Betrag eines Vektors a R n ist gleich: a = a a = a a a2 n = n ak 2 (7) k=1

9 Rechenoperationen Im R 2 und R 3 ergeben sich die Formeln: ( x y ) = x 2 + y 2, x y z = x 2 + y 2 + z 2 (8)

10 Rechenoperationen Der Winkel zwischen den beiden Vektoren a und b im R n ist gleich: cos(α) = a b a b (9) Insbesondere gilt: Das Skalarprodukt zweier normal (senkrecht) zueinander stehender Vektoren ist Null. Die Winkel eines Einheitsvektors gegenber den Koordinatenachsen ist durch die Komponenten des Vektors definiert:

11 Rechenoperationen Beispiel Eine Masse m befindet sich auf einer um den Winkel α geneigten Ebene. Wir wollen die Gewichtskraft G so in zwei Summanden zerlegen, dass der eine Summand senkrecht und der zweite Summand tangential zur Oberfläche steht. Dazu projezieren wir den Vektor der Gewichtskraft einerseits in tangentiale und normale Richtung zur Oberfläche:

12 Rechenoperationen Fortsetzung G = G n n 2 n = G = G t t 2 t = ( 0 mg ) ( sin (α) cos (α) 1 ) ( ) mg cos (α) sin (α) = mg cos 2 (α) ( ) ( ) 0 cos (α) mg sin (α) = 1 ( mg cos (α) sin (α) mg sin 2 (α) ) ( sin (α) cos (α) ( cos (α) sin (α) ) )

13 Rechenoperationen Vektorprodukt (Kreuzprodukt) Definition Unter dem Vektorprodukt a b der beiden dreidimensionalen Vektoren a und b versteht man den Vektor: a y b y a x b x a y b z a z b y a z b z a y b y = a z b x a x b z = a x b x a z b z a x b y a y b x a z b z a x b x a y b y (10)

14 Rechenoperationen Das Vektorprodukt besitzt die folgenden drei Eigenschaften: Das Vektorprodukt steht normal (senkrecht) auf den Faktoren: ( a b) a = 0, ( a b) b = 0 Der Betrag des Vektorproduktes entspricht der Fläche des von den beiden Faktoren aufgespannten Parallelogramms: a b = ± a b sin(ϕ)

15 Rechenoperationen Die drei Vektoren a, b und a b bilden ein Rechtssystem (führt man die Vektoren in dieser Reihenfolge ineinander über, führen sie eine Drehung im gegenuhrzeigersinn durch).

16 Rechenoperationen Beispiel Wir suchen einen Einheitsvektor dernormal zu den beiden 1 1 Vektoren v = 2, w = 1 R 3 steht. Mit dem 3 0 Vektorprodukt finden wir einen orthogonalen Vektor: n = v w = = Nun noch auf die Lnge Eins normieren: e n = 1 n n = =

17 Rechenoperationen Beispiel Wir suchen den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A (1, 1), B (3, 0) und C (5, 4). Da das Vektorprodukt nur im R 3 definiert ist, fügen wir bei den drei Punkten noch die z-koordinate 0 hinzu. Es gilt nun: F = 1 AB 2 AC = 1 2 ( r B r A ) ( r C r A ) = = = = 10 2 = 5

18 Rechenoperationen Spatprodukt Als letztes Produkt führen wir noch das Spatprodukt ein (nur im R 3 definiert): Definition Unter dem Spatprodukt der drei Vektoren a, b und c versteht man die reelle Zahl: [ a, ] ( b, c := a ) b c (11) Führt man dieses Produkt komponentenweise durch, erhält man: a x b x c x [ a, b, c] = a y a z, b y b z, c y c z

19 Rechenoperationen = a x a y a z b x b y b z c x c y c z = a y b z a z b y (a x b z a z b x ) a x b y a y b x = a x b y c z +a y b z c x +a z b x c y a x b z c y a y b x c z a z b y c x = Theorem c x c y c z a x b x c x a y b y c y a z b z c z Das Spatprodukt der drei Vektoren a, b und c entspricht der Determinante der 3 3 Matrix mit den drei Vektoren als Spalten: [ a, b, c] = det( a, b, c) (12)

20 Rechenoperationen Das Spatprodukt bestimmt (bis auf das Vorzeichen) den Inhalt des Spats (Parallelepiped): n= a b c b ±h=c n a Dabei ist das Vektorprodukt n = a b ein Vektor der normal auf der Grundfläche des Spats steht. Dabei entspricht die Länge dieses Vektors gerade der Fäche des Parallelogramms (A G = n = a b ).

21 Rechenoperationen Um den Inhalt des Spats zu bestimmen braucht man noch die Höhe des Spats. Dies entspricht jedoch der Projektionslänge des Vektors c auf den berechneten Normalenvektor - also: h = ± 1 n n c. Für den Inhalt erhält man somit: V = A G h = ± n 1 ( n n c = ± a ) b c Das Resultat wird positiv, wenn die drei Vektoren in der gegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, andernfalls wird das Resultat negativ! Beispiel Gesucht sei das Volumen des Tetraeders mit den vier Eckpunkten A(1, 1, 1), B(2, 0, 2), C(0, 3, 1) und D(5, 1, 5).

22 Rechenoperationen Fortsetzung: Die drei Verbindungsvektoren: 1 AB = 1, AC = , AD = spannen ein Parallelepiped auf, welches ein 6 mal grösseres Volumen als der Tetraeder besitzt. D AD AC C B A AB

23 Rechenoperationen Fortsetzung: Also gilt: V = 1 6 [ AB, AC, AD ] = = = 11 3 Neben der Volumenberechnung kann mittels dem Spatprodukt geprüft werden, ob drei Vektoren im R 3 linear unabhängig sind, ein Rechts- oder ein Linkssystem bilden!

24 Rechenoperationen Gesetze für die Multiplikation Für die Vektormultiplikationen gelten die folgenden Gesetze: Kommutativgesetz für das Skalarprodukt: Das Vektorprodukt ist antikommutativ: a b = b a (13) a b = b a (14) Das Skalarprodukt ist bilinear: (λ 1 a + λ 2 b ) c = λ 1 a c + λ 2 b c (15) ( ) a λ 1 b + λ2 c = λ 1 a b + λ 2 a c (16)

25 Rechenoperationen Das Vektorprodukt ist bilinear: (λ 1 a + λ 2 b ) c = λ 1 a c + λ 2 b c (17) ( ) a λ 1 b + λ2 c = λ 1 a b + λ 2 a c (18) Vertauschen der Faktoren verändert das Vorzeichen: [ a, ] [ b, c = a, c, ] [ b = c, a, ] b =... (19) Das Spatprodukt ist linear in den Faktoren: ] [ [λ 1 a + λ 2 b, c, d = λ 1 a, c, ] [ ] d + λ 2 b, c, d (20)

26 Rechenoperationen Es gilt der Entwicklungssatz: ( ) a b c = ( a c) b ( a ) b c (21) Lagrange sche Identität: ( a ) ( b c ) ( ) ( ) ( d = ( a c) b d b c a ) d Diese Gesetze können verwendet werden, um Vektorterme umzuformen und zu vereinfachen. Wir wollen einige Terme vereinfachen: Beispiel (( a 2 ) ) (( ) ) ( b c b a 5 c (3 c a) ) b =? (22)

27 Rechenoperationen Fortsetzung: ( [ = 2 a, ]) ( [ ]) ( [ b, c 5 b, a, c 3 c, a, ]) b ( [ = 2 a, ]) ( [ b, c 5 a, ]) ( [ b, c 3 a, ]) b, c [ = 30 a, ] 3 (( b, c = 30 a ) ) 3 b c Beispiel ( ) ( b a a 2 ) b + 3 c =? ( ) ( ) = b a a 2 b a b +3 } {{ } } {{ } =0 =0 = 3 ( b a ) c = 3 [ a, ] b, c ( a ) b c

28 Rechenoperationen Beispiel ( ( a c) a ) ( ) b + b c ( ) b c =? = ( a c) a ( a c) }{{} ( ) b + b c ( ) b b c c }{{}}{{} =0 =0 =0 = ( a c) [ b = a, c, ] [ b = a, ] b, c

29 Die Gerade - Parametergleichung Unter einer Geraden versteht man die Menge aller Punkte, welche die Gleichung r = r 0 + t a (23) erfüllen. Dabei bezeichnet r einen variablen Ortsvektor auf die Gerade, r 0 einen festen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden, a einen Richtungsvektor der Geraden und t ist der Parameter. z a r g : r= r 0 t a r 0 y x

30 Wenn für den Parameter ein Wert eingesetzt wird, erhält man einen bestimmten Ortsvektor, der zu einem Punkt auf der Geraden zeigt. Im dreidimensionalen Raum gibt es (eigentlich) nur diese Möglichkeit eine Gerade zu beschreiben. Wir werden sehen, dass im zweidimensionalen Raum auch eine parameterfreie Beschreibung existiert. Die Beschreibung von Raumkurven mit Parametern findet man häufig in der Physik mit der Zeit als Parameter. Beispiel Wir suchen die Gerade durch die beiden Punkte A(1, 1, 2) und B(4, 2, 0). Den Richtungsvektor entspricht dem Verbindungsvektor der beiden Punkte: a = r B r A = = 3 3 2

31 Fortsetzung: Als festen Punkt kann man den Punkt B wählen und erhält somit: x t r = y = r B + t a = 2 + t 3 = 2 3t z 0 2 2t Da der Richtungsvektor bei der Parametergleichung beliebig mit einer reellen Zahl ungleich 0 gestreckt werden kann und ein beliebiger Punkt auf der Geraden für den festen Punkt gewählt werden kann, ist die im Beispiel gefundene Parametergleichung eine von unendlich vielen Beschreibungsmöglichkeiten der Geraden mittels Parametergleichung. Es gilt: Es gibt unendlich viele Parametergleichungen für eine Gerade!

32 Beispiel Bestimme die Punkte auf der Geraden des vorigen Beispiels für die Parameterwerte 1, 2 und 3: 4 3t 1 1 t 1 = 1 r 1 = 2 3t 1 2t 1 = 5 P 1 (1, 5, 2) 2 t 2 = 2 r 2 = t 3 = 3 r 3 = 4 3t 2 2 3t 2 2t 2 4 3t 3 2 3t 3 2t 3 = = P 2 ( 2, 8, 4) P 3 ( 5, 11, 6)

33 Mit einer Parametergleichung lassen sich durch das Einsetzen von Werten für den Parameter einfach Punkte berechnen. Das Prüfen, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden liegt oder ob zwei gegebene Parametergleichungen die gleiche Gerade beschreiben ist jedoch aufwendiger: Beispiel Liegen die Punkte C(1, 2, 3) und D(10, 4, 4) auf der Geraden des Einführungsbeispiels? Dazu setzt man den zu prüfenden Punkt in der Gleichung ein und prüft ob es einen entsprechenden Parameterwert gibt. Zuerst für den Punkt C: r C = = 4 3t 2 3t 2t 3t = 5 3t = 4 2t = 3 Der Punkt C liegt nicht auf der gegebenen Geraden! L t = {}

34 Fortsetzung: Analog für den Punkt D: t r D = 4 4 = 2 3t 2t Der Punkt D liegt also auf der Geraden. Beispiel 3t = 6 3t = 6 2t = 4 Beschreiben die beiden Gleichungen die selbe Gerade? 2 + t 6 2t g : r g = 2 3t 2t, h : r h = t 8 4t L t = { 2}

35 Fortsetzung: Als erstes prüfen wir, ob die beiden Geraden linear abhängige Richtungsvektoren besitzen, also ob die Geraden parallel sind: 1 2 a g = 3, a h = a h = 2 a g a g a h Die beiden Geraden haben somit die gleiche Richtung! Nun muss noch geprüft werden, ob die Geraden identisch sind. Also ob der Punkt P g (2, 2, 0) auf der Geraden h bzw. P h (6, 10, 8) auf g liegt. Wir sehen P h liegt auf g und die Geraden sind identisch: r H = = 2 + t 2 3t 2t t = 4 3t = 12 2t = 8 L t = {4}

36 Gerade - Koordinatengleichung Im zweidimensionalen Raum lässt sich eine Gerade auch durch eine Koordinatengleichung beschreiben. Wir leiten diese Koordinatengleichung allgemein aus der Parametergleichung her: Herleitung Gesucht sei die Gerade durch die beiden Punkte P 1 (x 1 (, y 1 ) und ) x2 x P 2 (x 2, y 2 ). Mit dem Verbindungsvektor a = r 2 r 1 = 1 y 2 y 1 lautet die Parametergleichung wie folgt: ( ) ( ) ( ) ( ) x x1 x2 x r = = t 1 x1 + t(x = 2 x 1 ) y y 1 y 2 y 1 y 1 + t(y 2 y 1 ) Diese Vektorgleichung kann als lineares Gleichungssystem mit zwei

37 Fortsetzung: Gleichungen und den drei Unbekannten x, y und t aufgefasst werden: x (x 2 x 1 )t = x 1 y (y 2 y 1 )t = y 1 In diesem System kann die Unbekannte t eliminiert werden: t = x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 In dieser letzten Gleichung kommt nun der Parameter nicht mehr vor. Es werden die Punkte auf der Geraden nur durch die entsprechenden Variablen in der Gleichung beschrieben. Stellt man diese letzte Gleichung noch um, erhält man die Koordinatengleichung der Geraden in Normalform:

38 Fortsetzung: Also: 1 x + 1 x 2 x }{{ 1 y } 2 y }{{ 1 } A B x ) 1 = 0 y 2 y 1 x 2 x 1 }{{} C ( y1 y + Ax + By + C = 0 (24) Unter der Voraussetzung, dass der Koeffizient B ungleich Null ist, kann nach y aufgelöst werden und man erhält die lineare Funktion: y = A B + C B = mx + b Dabei bezeichnet m die Steigung und b den y-achsenabschnitt der Geraden.

39 Beispiel Bestimme von der Geraden g die Koordinatengleichung. ( ) 1 + t g : r = 2 3t Das entsprechende Gleichungssystem lautet: x = 1 + t y = 2 3t t = x 1 = 2 y 3 Nach der Elimination des Parameters erhält man: x 1 = 2 y 3 3x + y 5 = 0 y = 3x + 5 Die Gerade schneidet also die y-achse bei b = 5 und hat eine Steigung von m = 3.

40 Für die Gerade gibt es weitere Darstellungsformen der Koordinatengleichung: Zweipunkt-Form y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) (25) Punkt-Steigungs-Form y y P = m (x x P ) (26) Achsenabschnitts-Form x x A + y y A = 1 (27)

41 Die Ebene - Parametergleichung Unter einer Ebene versteht man die Menge aller Punkte, die die Gleichung r = r 0 + t a + s b (28) erfüllen. Dabei bezeichnet r einen variablen Ortsvektor auf die Ebene, r 0 einen festen Ortsvektor zu einem Punkt auf der Ebene, die linear unabhängigen Vektoren a, b sind Richtungsvektoren der Ebene und t, s die Parameter. z : r= r 0 t a s b r 0 b a r y x

42 Der Aufbau der Ebenengleichung ist analog demjenigen der Geradengleichung. Es kommt einfach ein zweiter Richtungsvektor hinzu, um die Ausdehnung der Ebene in ihren zwei Dimensionen zu beschreiben. Um eine Ebenengleichung aufzustellen braucht es dann eben drei Punkte und nicht nur zwei wie bei der Geraden: Beispiel Wir suchen die Ebene durch die drei Punkte A(x A, y A, z A ), B(x B, y B, z B ) und C(x C, y C, z C ). Die beiden Richtungsvektoren: a = r B r A = x B x A y B y A z B z A, b = r C r A = x C x A y C y A z C z A

43 Fortsetzung: Als festen Punkt wälen wir den Punkt A. Somit finden wir: x A x B x A x C x A r = r A + t a + s b = y A z A + t y B y A z B z A + s y C y A z C z A = x A + t(x B x A ) + s(x C x A ) y A + t(y B y A ) + s(y C y A ) z A + t(z B z A ) + s(z C z A ) Analog zur Parametergleichung der Geraden gilt: Es gibt unendlich viele Parametergleichungen für eine Ebene!

44 Beispiel Bestimme die Punkte auf der Ebene ɛ für die Parameterpaare t 1 = 1, s 1 = 4 und t 2 = 3, s 2 = 5: 4 t + 3s ɛ : r = 2 + 3t s 1 t + 3s Werte einsetzen: r 1 = r 2 = 4 t 1 + 3s t 1 s + 1 t 1 + 3s 1 4 t 2 + 3s t 2 s 2 1 t 2 + 3s 2 = = P 1 (15, 1, 12) P 2 (22, 14, 19)

45 Beispiel Liegen die Punkte C(1, 2, 3) und D(10, 8, 7) auf der Ebene des letzten Beispiels? Dazu setzt man den zu prüfenden Punkt in der Gleichung ein und prüft ob es entsprechende Parameterwerte gibt: = 4 t + 3s 2 + 3t s 1 t + 3s t + 3s = 3 3t s = 0 t + 3s = 2 L t,s = {} Der Punkt C liegt nicht auf der gegebenen Ebene! 10 4 t + 3s t + 3s = 6 8 = 2 + 3t s 3t s = t + 3s t + 3s = 6 L t,s = {(3, 3)} Der Punkt D liegt auf der gegebenen Ebene!

46 Ebene - Koordinatengleichung Die Ebene im dreidimensionalen Raum lässt sich wie die Gerade im R 2 auch durch eine Koordinatengleichung beschreiben. Wir leiten diese Koordinatengleichung bei einem Beispiel aus der Parametergleichung her: Herleitung Gesucht sei die Ebene durch die drei Punkte P 1 (1, 1, 1), P 2 (2, 2, 0) und P 3 (3, 0, 5). Mit den Verbindungsvektoren 1 a = r 2 r 1 = 3 und 2 b = r 3 r 1 = 1 lautet die 1 4 Parametergleichung wie folgt:

47 Fortsetzung: r = x y z = 1 + t + 2s 1 3t s 1 t + 4s Diese Vektorgleichung kann als lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und fünf Unbekannten interpretiert werden: x t 2s = 1 y +3t +s = 1 z +t 4s = 1 In der dritten Gleichung kann nach s aufgelöst werden und dieses s wird dann in den beiden anderen Gleichungen eingesetzt:

48 Fortsetzung: s = z + t 1 4 Das selbe Prinzip für den Parameter t: 2x z 3t = 1 4y +z +13t = 5 t = 5 4y z 13 13x + 6y 5z 14 = 0 Dies lässt sich nun allgemein schreiben: Die Ebene im R 3 kann als Koordinatengleichung Ax + By + Cz + D = 0 (29) geschrieben werden.

49 Normalformen Sei n ein Vektor der normal zur einer Geraden (im R 2 ) bzw. einer Ebene (im R 3 ) steht. Nun steht dieser Vektor natürlich auch normal zu jedem Vektor der parallel zur Geraden bzw. Ebene liegt. Sei weiter ein Ortsvektor r 0 zu einem Punkt auf der Geraden bzw. der Ebene und ein (variabler) Ortsvektor r auf einen beliebigen Punkt auf der Geraden bzw. der Ebene gegeben, so ist der Verbindungsvektor r r 0 dieser beiden Punkte sicher parallel zur Geraden bzw. Ebene. Dies führt nun auf die Normalengleichung: Normalengleichung Eine Gerade im zweidimensionalen Raum und eine Ebene im dreidimensionalen Raum lässt sich mit Hilfe eines Punktes und einem Normalenvektor mittels der Normalengleichung beschreiben: n ( r r 0 ) = 0 (30)

50 r r r 0 n n : n r r 0 =0 r r 0 r r 0 0 g : n r r 0 =0 0 0 r Sei nun (für eine Ebene): n = n x n y n z, r = x y z, r 0 = x 0 y 0 z 0

51 Wir finden somit: n x }{{} A n x n y n z n ( r r 0 ) = 0 x y z x 0 y 0 z 0 = 0 n x (x x 0 ) + n y (y y 0 ) + n z (z z 0 ) = 0 x + n y }{{} B y + n z }{{} C z + ( n x x 0 n y y 0 n z z 0 ) = 0 }{{} D Ax + By + Cz + D = 0

52 Beispiel Wir suchen die Ebene durch die drei Punkte A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) und C(0, 1, 5). Wir bestimmen die beiden Verbindungsvektoren: a = AB = 1 2 3, b = AC = Das Vektorprodukt dieser beiden Verbindungsvektoren liefert einen Normalenvektor der Ebene (steht normal auf der Ebene): n = a b = =

53 Fortsetzung: Die Ebenengleichung lautet somit: n ( r r 0 ) = 0 x 1 y 1 z 1 = 0 14x 7y 7 = 0 2x y 1 = 0 Beispiel Gesucht sei eine zur Ebene ɛ : 5x 3y + 2z 4 = 0 parallele Ebene durch den Punkt P 0 (1, 3, 2). Um mit der Normalform zu arbeiten, benötigt man neben dem gegebenen Punkt noch den Normalenvektor. Parallele Ebenene haben parallele

54 Fortsetzung: Normalenvektoren. Für die gesuchte Ebene kann also der Normalenvektor der gegebenenen Ebene verwendet werden. Die Komponenten des Normalenvektors sind nun aber gerade die Koeffizienten der Normalengleichung: n = Die gesuchte Ebenengleichung lautet somit: 5 x y 3 z ( 2) = 0 5x 3y + 2z + 8 = 0 2x y 1 = 0

55 Schnittprobleme In diesem Abschnitt wollen wir die im letzten Abschnitt beschriebenen Objekte miteinander schneiden. Wir suchen also die Menge der Punkte die auf allen zu schneidenden Objekten liegen. Da es verschiedene Möglichkeiten gibt die Objekte zu beschreiben, gibt es auch verschieden Möglichkeiten das Schnittobjekt zu bestimmen. Wir betrachten drei mögliche Fälle: Beispiel Wir suchen den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebenen ɛ: x 2 1 g : y = 1 + t 1 z 3 2

56 Fortsetzung: ɛ : x y z = u v Schnittprobleme löst man dadurch, dass ein gesuchter Schnittpunkt auf allen zu schneidenden Objekten liegen muss, d.h. die Koordinaten des gesuchten Schnittpunktes erfüllen alle gegebenen Gleichungen. Da hier also die Koordinaten gleich sein müssen, können wir sie gleichsetzen: 2 + t 1 t 3 + 2t = 1 u + 4v 1 + 3u u + 2v 4 0 2

57 Fortsetzung: Die beiden Vektoren sind genau dann gleich, wenn die jeweiligen Komponenten übereinstimmen: t + u 4v = 2 t 3u = 2 2t u 2v = 3 In diesem linearen Gleichungssystem kann man nun nach den Parametern auflösen, welche in den gegebenen Gleichungen eingesetzt den gesuchten Schnittpunkt ergeben: t = 7 4, u = 1 12, v = 5 24

58 Fortsetzung: r S = = Beispiel Wir suchen den Schnittpunkt der Geraden r = = + t x y z mit der Ebene ɛ : 2x y + 3z + 5 = 0. Hier haben wir nun für das eine Objekt eine Beschreibung mittels Parametern und für das zweite Objekt eine Beschreibung mittels Koordinatengleichung

59 Fortsetzung: Hier bestimmen wir das Schnittobjekt durch das Einsetzen der Komponenten der Parametergleichung in die Koordinatengleichung: 2 (1 + 4t) (2 + t) + 3 (1 + 0t) + 5 = 0 7t + 8 = 0 t = 8 7 Mit dem berchneten Parameter erhalten wir nun den Schnittpunkt: x 1 r = y = = z Beispiel Wir suchen die Schnittgerade der beiden Ebenen ɛ 1 : x + y + z + 1 = 0 und ɛ 2 : x y + 2z 3 = 0.

60 Fortsetzung: Hier sind beide Objekte mittels Koordinatengleichung gegeben. Wir erhalten somit ein (lineares) Gleichungssystem: x + y + z + 1 = 0 x y + 2z 3 = 0 Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystem beschreibt nun das Schnittobjekt (Gerade im R 3 ): { ( 2 3z L = (x, y, z) R 3 :, z 4 )} 2 2, z x y z = 2 3z 2 z 4 2 z = z

61 Abstandsprobleme Nun betrachten wir Abstandsprobleme. Bei einem Abstandsproblem sucht man in der Regel die kürzeste Entfernung zwischen zwei Objekten (Punkte, Geraden und Ebenen). Denken wir uns als Beispiel eine Gerade und einen Punkt der nicht auf dieser Geraden liegt. Verbinden wir nun einzelne Punkte der Geraden mit dem festen Punkt so haben diese Verbindungsvektoren eine bestimmte Länge. Wir suchen nun den Punkt auf der Geraden, so dass der entstehende Verbindungsvektor minimale Länge aufweist. Diesen Punkt mit kürzester Entfernung bezeichnet man meist als den Fusspunkt. Neben dem Fusspunkt intressiert oft auch die kürzeste Entfernung. Es gibt unterschiedliche Vorgehensweisen um solche Abstandsprobleme zu lösen. Anhand von drei Beispielen betrachten wir die häufigsten Ansätze:

62 g : r= r 0 t a P r P r F F a r 0 0 Beispiel Gegeben sei die Gerade g und der Punkt P(1, 2, 3). Wir suchen den Fusspunkt und die kürzeste Entfernung der beiden Objekte. 0 1 g : r = 1 + t 1 1 1

63 Fortsetzung: Da der gesuchte Punkt auf der Geraden liegt machen wir folgenden Ansatz: 0 1 r F = 1 + t F Nun finden wir den folgenden Verbindungsvektor: 1 t F FP = r P r F = 1 + t F 2 t F Damit der Verbindungsvektor minimale Länge aufweist, muss er senkrecht zur Geraden stehen. Wenden wir das Skalarprodukt an: FP a = 0

64 Fortsetzung: 1 t F 1 + t F 2 t F = 0 3t F + 2 = 0 t F = 2 3 Und somit lautet der gesuchte Fusspunkt: 0 r F = = Und für die Distanz: d = FP (1 ) 2 = + 3 ( ) ( ) = = 2 3 3

65 Beispiel Bestimme die kürzeste Entfernung zwischen der Geraden g und dem Punkt P (1, 1, 1). g : r = x y z = t Wenn nur die kürzeste Entfernung gesucht ist, gibt es eine einfache Berechnungsformel. Zur Herleitung: P d g : r= r 0 t a r P QP F 0 r 0= r Q Q S QS= a

66 Fortsetzung: Wir verwenden dazu zwei verschiedene Möglichkeiten die Fläche des Dreiecks PQS zu berechnen: Die Fläche des Dreiecks lässt sich einerseits mit dem Vektorprodukt berechnen: A = 1 QS 2 QP Andererseits lässt sich die Fläche mit der Formel Grundlinie mal Höhe durch 2 bestimmen: A = 1 QS 2 d Durch das Gleichsetzen der beiden Formeln finden wir eine Gleichung in der wir nach der Distanz d auflösen können:

67 Fortsetzung: QS QP d = QS = a ( r P r 0 ) a Nun müssen wir nur noch einsetzen: 1 d = a ( r 1 P r 0 ) 1 = a = 14

68 Auch für den Abstand eines Punktes zu einer Ebene in Parameterdarstellung gibt es die beiden eben besprochenen Verfahren. Beispiel Wir suchen den (kürzesten) Abstand des Punktes P(0, 1, 2) zur Ebene ε: ε : r = r 0 + t a + s b = 1 + t 1 + s In einer ersten Variante wird ein Ansatz für den Fusspunkt gemacht und der Verbindungsvektor des Punktes zu diesem Fusspunkt bestimmt:

69 Fortsetzung: FP = r P r F = 1 2t + s t 3s 1 + 4s Da dieser Vektor normal zur Ebene steht, muss er auch normal zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene stehen (Skalarprodukt wird Null): a FP = 0 5t + 5s = 2, b FP = 0 5t 26s = 3 Aus dem entstehenden linearen Gleichungssystem können die Parameterwerte für den Fusspunkt bestimmt werden: 5t + 5s = 2 5t 26s = 3 t = 5 21, s =

70 Fortsetzung: Für den Fusspunkt und den Abstand gilt somit: r F =, d = FP = = In einer zweiten Variante wird untenstehendes Spatvolumen auf zwei verschiedene Varianten beschrieben: P r P 0 r P r 0 b F : r= r 0 t a s b r 0 a P 0

71 Fortsetzung: Volumenberechnung mittels Spatprodukt: V = [ a, ] b, r P r 0 Volumenberechnung mittels Grundfläche (Vektorprodukt) und Spathöhe: V = a b d Formeln gleichsetzen und nach der gesuchten Distanz aufösen liefert eine direkte Berechnungsformel: [ a, ] ( b, r P r 0 a ) b ( r P r 0 ) d = a = b a b

72 Hesse sche Normalform Eine weitere Möglichkeit Abstände zu bestimmen basiert auf dem Prinzip der Projektion: n r r 0 =0 P 0 r 0 0 v= r P r 0 n d=v n r P P

73 Die Projektionslänge des Verbindungsvektors zwischen einem beliebigen Punkt auf der Gerade bzw. der Ebene zum gegebenen Punkt auf den Normalenvektor lässt sich mit dem Skalarprodukt beschreiben: n v d = v n = = n ( r P r 0 ) n n Der Zähler des letzten Terms entspricht fast der Normalform der Geraden bzw. der Ebene. Anstelle des variablen Vektors auf einen beliebigen Punkt auf der Geraden bzw. der Ebene ist nun der Punkt in der Normalform eingesetzt, von welchem man den Abstand bestimmen möchte. Betrachten wir daher nocheinmal die Normalform n ( r r 0 ) = 0. Diese Gleichung können wir beidseitig durch die Länge des Normalenvektors dividieren: n ( r r 0 ) n = 0

74 Diese neue Gleichung beschreibt immer noch das gleiche Objekt. D.h. wenn wir einen Punkt der Geraden bzw. der Ebene einsetzen, so ist die Gleichung erfüllt (0 = 0). Wird nun aber in dieser Gleichung ein Punkt eingesetzt, welcher nicht auf der Geraden bzw. der Ebene liegt, so ist die Gleichung nicht erfüllt, doch der Wert auf der linken Seite liefert (bis auf das Vorzeichen) gerade die kürzeste Entfernung des eingesetzten Punktes zum Objekt! Hesse sche Normalform Sei n Normalenvektor einer Geraden (im R 2 ) bzw. einer Ebene (im R 3 ) und r 0 ein Ortsvektor auf einen Punkt der Geraden bzw. Ebene, so beschreibt die Hesse sche Normalform n ( r r 0 ) n = 0 (31) alle Punkte ( r) der Geraden bzw. der Ebene.

75 Fortsetzung: Wird anstelle eines Punktes der Geraden bzw. der Ebene ein beliebiger anderer Punkt ( r P ) eingesetzt, so liefert die linke Seite der Hesse schen Normalform die kürzeste Distanz des Punktes zur Geraden bzw. zur Ebene: d = ± n ( r P r 0 ) n (32) Das Vorzeichen dieses letzten Ausdrucks ist positiv, wenn der Normalenvektor zum eingesetzten Punkt hinzeigt, andernfalls ist das Resultat negativ! d 0 n d 0

76 Es gibt viele verschiedene Anwendungen für die Hesse sche Normalform. Wir betrachten einige Beispiele. Beispiel Bestimme die kürzeste Entfernung des Ursprungs zur Ebene ε : 3x 12y + 4z + 39 = 0. Die gegebene Normalform wird in die entsprechende Hesse sche Normalform umgewandelt. Dazu benötigen wir den Normalenvektor: n = n = ( 12) = 169 = 13 Beidseitiges dividieren der Normalform durch den Betrag des Normalenvektors liefert die Hesse sche Normalform: 3x 12y + 4z = 0

77 Fortsetzung: Setzen wir nun den Ursprung in der Gleichung ein erhalten wir die gesuchte (kürzeste) Distanz: d = 3(0) 12(0) + 4(0) = 3 Es ergeben sich die folgenden Koordinatengleichungen: Koordinatengleichung der Hesse schen Normalform Ax + By + C A 2 + B 2 = 0, Ax + By + Cz + D A 2 + B 2 + C 2 = 0 (33) Die Abstände einer Geraden bzw. einer Ebene zum Ursprung ergeben sich also zu d g = ± C bzw. d D A 2 +B 2 ε = ± A 2 +B 2 +C 2.

78 Beispiel Bestimme die Schnittwinkel einer Ebene mit den drei Koordinatenachsen. z : n x n x n y n y n z n z D n =0 n y x

79 Fortsetzung: Dabei kann der Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor einer Geraden (z.b. die Koordinatenachsen) mittels Skalarprodukt bestimmt werden. Um den gesuchten Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade zu erhalten, muss dann der Ergänzungswinkel auf 90 berechnet werden. Also für das gegebene Problem: ( ) ( ) n α = 90 ex acos = 90 nx acos n n Durch umstellen findet man: ( ) nx acos = 90 α n

80 Fortsetzung n x n = cos (90 α) n x n = cos (90 ) cos (α) + sin (90 ) sin (α) n x = sin (α) n Die Koeffizienten in der Hesse schen Normalform sind also gerade die Sinuswerte der Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen (oder die Kosinuswerte der Winkel gegen den Normalenvektor): n x n x + n y n y + n z n z + D D = 0 sin(α)x +sin(β)y +sin(γ)z + n n = 0

81 Beispiel Wir suchen den Inkreismittelpunkt des Dreiecks mit den Punkten A(x A, y A ),B(x B, y B ) und C(x C, y C ). Dieses Problem lösen wir mit zwei verschidenen Varianten. Bei der ersten Variante werden wir zwei Winkelhalbierende bestimmen und diese schneiden. Bei der zweiten Variante werden wir den Radius mit der Distanzmessung mittels Hesseschen Normalform berechnen. Bei beiden Varianten braucht man die Seitengeraden des Dreiecks. Für die Gerade durch A und B finden wir (Zweipunktform): g c : y = y B y A x B x A (x x A ) + y A (y B y A ) x + ( (x }{{} B x A )) y + (x }{{} B y A x A y B ) }{{} n x n y c = 0

82 Fortsetznung: Für die drei Punkte A(1, 4), B(5, 2) und C(6, 6) ergeben sich die drei Geraden also zu (HNF): a : (y C y B )x (x C x B )y +(x C y B x B y C ) = 0 4x y 18 = 0 4x y = 0 b : (y C y A )x (x C x A )y +(x C y A x A y C ) = 0 2x 5y +18 = 0 2x 5y = 0 c : (y B y A )x (x B x A )y +(x B y A x B y A ) = 0 2x 4y +18 = 0 x 2y = 0

83 Fortsetzung: Um nun zwei Winkelhalbierende zu bestimmen, nützen wir die Eigenschaft, dass jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden gleiche Entfernung von den beiden Geraden aufweist: g 1 w i w a d d n 1 n 2 g 2 Eine Winkelhalbierende erhält man somit durch das Gleichsetzen der Hesse schen Normalformen der Geraden. Dabei muss jedoch auf die Richtung der Normalenvektoren geachtet werden (innere und äussere Winkelhalbierende). Für das Dreieckproblem legt man am besten alle Normalenvektoren so, dass sie ins innere des Dreiecks zeigen - wenn ein gegenüberliegender Eckpunkt in die

84 Fortsetzung: Hesse sche Normalform eingesetzt wird erhält man ein positives Resultat, andernfalls muss die Hesse sche Normalform mit minus Eins multipliziert werden!: A HNF (a) : 4(1) (4) 18 4x + y + 18 < 0 = B HNF (b) : 2(5) 5(2) > 0 C HNF (c) : (6) 2(6) < 0 x + 2y 9 5 = 0 Winkelhalbierende zwischen a und b (HNF (a) = HNF (b)):

85 Fortsetzung: 4x + y x 5y + 18 = = ( )x + ( )y = 0 Winkelhalbierende zwischen a und c (HNF (a) = HNF (c)): 4x + y + 18 = x + 2y ( )x + (2 17 5)y = 0 Den Inkreismittelpunkt ist nun gleich dem Schnittpunkt der beiden Winkelhalbierenden: M (4.14, 3.87)

86 Fortsetzung: Wäre auch noch der Inkreisradius gesucht, kann der gefundene Inkreismittelpunkt in einer der drei Hesse schen Normalformen der Seitengeraden eingesetzt werden. Diese Tatsache nutzen wir nun in der zweiten, viel einfacheren Variante. Wenn der gesuchte Inkreismittelpunkt M(x m, y m ) in den Hesse schen Normalformen der drei Seitengeraden eingesetzt wird, erhält man jeweils den noch nicht bekannten Inkreisradius r i. Es ergibt sich also ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den drei Unbekannten x m, y m und r i : = r i 4x m+y m x m 5y m x m+2y m 9 5 = r i = r i

87 Fortsetzung: x m y m r i = x m y m r i =

88 Beispiel Im Punkt Q(1, 1, 1) sei eine Lichtquelle angebracht. Gesucht ist die Richtung des Lichtstrahls, welcher gespiegelt an der Ebene ε : x + 2y 2z + 7 = 0 den Punkt P(3, 3, 1) trifft. In der nachstehenden Skizze sieht man, dass der Punkt P an der Ebene ε gespiegelt werden muss: P d 0 Q F d r 0 S n

89 Fortsetzung: Um den Spiegelpunkt zu erhalten, addieren wir zum Ortsvektor von P den Verbindungsvektor von P nach S. Dieser Verbindungsvektor ist gleich dem Einheitsnormalenvektor multipliziert mit der (negativen) zweifachen Entfernung des Punktes P zur Ebene: r S = r P + 2d n n = r P 2 n ( r P r 0 ) n n n = r P 2 n ( r P r 0 ) n 2 n Für die gegebenen Daten erhält man den folgenden Spiegelpunkt: r S = 3 (3) + 2(3) 2( 1) = Die Richtung des gesuchten Richtstrahls ist nun gleich dem Verbindungsvektor QS.

90 Kreis und Kugel Als weitere Ortskurven betrachten wir Kreise und Kugeln. Wir wollen also alle Punkte beschreiben, welche von einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) konstanten Abstand (Radius) aufweisen. Der Kreis bzw. die Kugel mit Mittelpunkt r M und Radius R ist gegeben durch die Vektorgleichung: r r M = R (34) y r r M R y M r M x M, y M r M x x M

91 Die Koordinatengleichung erhalten wir durch einfaches ausrechnen (hier für den Kreis): ( ) ( ) x xm = R y y M (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = R (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = R 2 Koordinatengleichung Kreis und Kugel (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = R 2 (35) (x x M ) 2 + (y y M ) 2 + (z z M ) 2 = R 2 (36)

92 Die Binome können jetzt noch ausmultipliziert werden: x 2 + ( 2x M )x + y 2 + ( 2y M ) + (x 2 M + y 2 M R2 ) = 0 Oder dann allgemeiner: Kegelschnittgleichung Ein Kegelschnitt (Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel) lässt sich durch die Gleichung: Ax 2 + Bx + Cy 2 + Dy + E = 0 (37) beschreiben. Für einen Kreis muss A = C gelten. Analog gilt die Gleichung im R 3 : Ax 2 + Bx + Cy 2 + Dy + Ez 2 + Fz + G = 0 (38)

93 Beispiel Bestimme von der Kugel k den Mittelpunkt und den Radius. k : 3x 2 24x + 3y 2 6y + 3z z 12 = 0 Damit die Gleichung überhaupt eine Kugel beschreibt, müssen die Koeffizienten vor den quadratischen Termen gleich sein! Hier finden wir den Faktor 3 und durch diesen kann die gegebene Gleichung dividiert werden: x 2 8x + y 2 2y + z 2 + 4z 4 = 0 Nun wendet man die Methode der quadratischen Ergänzung an, um wieder die Binome zu erhalten (x 2 8x = x x + ( 4) 2 ( 4) 2 = (x 4) 2 16): (x 4) (y 1) (z + 2) = 0

94 Fortsetzung: (x 4) 2 + (y 1) 2 + (z ( 2)) 2 = 5 2 Der gesuchte Mittelpunkt liegt also bei M(4, 1, 2) und die Kugel hat den Radius R = 5. Beispiel Gesucht ist die Kreisgleichung des Kreises durch die drei Punkte A(4, 1), B(7, 2) und C(2, 6). C r C R m AC M m BC r M 0 R A r B R B m AB

95 Fortsetzung: Wir wenden hier zwei verschiedene Varianten an. In einem ersten Verfahren schneiden wir zwei Mittelsenkrechten um den Mittelpunkt des gesuchten Kreises zu erhalten. Von einer Mittelsenkrechten kennen wir einen Punkt und den Normalenvektor: m AB : n ( r r 0 ) = 0 AB ( 3x + 3y 18 = 0 r r A + r B 2 Analog für die beiden anderen Mittelsenkrechten: ) = 0 m AC : 2x + 7y 23 2 = 0, m BC : 5x + 4y = 0

96 Fortsetzung: Schneiden zweier Mittelsenkrechten (m AB m AC ): ( 3x + 3y 18 = 0 2x + 7y 23 2 = 0 61 M 18, 47 ) 18 Den Radius erhalten wir als Länge eines Verbindungsvektors vom Mittelpunkt zu einem der gegebenen Eckpunkte (z.b. zum Punkt A): R = MA ( ) = 11 = = 3.66 In einer zweiten Variante wird für die Kreisgleichung ein allgemeiner Ansatz gemacht. Damit ein lineares Gleichungssystem entsteht, wählt man am besten den Kegelschnittansatz: x 2 + Bx + y 2 + Dy + E = 0.

97 Fortsetzung: Im Ansatz die drei gegebenen Punkte einsetzen: 4B D + E = 17 7B + 2D + E = 53 2B + 6D + E = 40 x x + y y = 0 Gleichung mit quadratischer Ergänzung in Mittelpunktsform umwandeln: ( x 61 ) 2 ( + y 47 ) 2 = Aus der letzten Gleichung können die gesuchten Grössen herausgelesen werden!

98 Beispiel Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kreise: k 1 : (x 4) 2 + (y 3) 2 = 5 2 k 2 : (x 12) 2 + (y 5) 2 = 6 2 Um die beiden Schnittpunkte zu bestimmen, muss das nicht lineare Gleichungssystem x 2 8x + y 2 6y = 0 x 2 24x + y 2 10y = 133 gelöst werden! Dies kann z.b. durch Auflösen der einen Gleichung nach der einen Variablen und anschliessendem Einsetzen in der verbleibenden Gleichung erfolgen!

99 Fortsetzung: Einfacher geht es, indem wir die beiden Kreisgleichungen voneinander subtrahieren, so dass in der neuen Gleichung keine quadratischen Terme mehr auftreten: k 1 k 2 : 16x + 4y = 133. Diese neue Gleichung beschreibt eine Gerade. Stellen wir die Gleichungen graphisch dar, so sehen wir, dass diese Gerade die beiden gesuchten Schnittpunkte beinhaltet:

100 Fortsetzung: Dieses Verfahren funktioniert immer und die Geradengleichung beinhaltet die gesuchten Schnittpunkte. Wir erhalten also ein neues Gleichungssystem: x 2 8x + y 2 6y = 0 16x + 4y = 133 y = x 4 ( ) x 2 ( ) x x 2 8x + 6 = Wir erhalten eine quadratische Gleichung: 272x x = 0 x 1 = 6.48, x 2 = 8.23 Nun können die dazugehörigen y-werte und somit die Schnittpunkte bestimmt werden: S 1 (6.48, 7.34), S 2 (8.23, 0.33).

101 Beispiel Gegeben seien die Punkte A(4, 1) und B(8, 2) und die Gerade g : x + y = 1. Gesucht sei der Punkt C auf der Geraden, so dass das Dreieck ABC in C rechtwinklig ist. Um den gesuchten Punkt zu bestimmen, bilden wir über der Strecke AB den Thaleskreis und schneiden diesen mit der Geraden g.

102 Beispiel Mittelpunkt und Radius des Thaleskreis: r M = 1 ( ) 6 2 ( r A + r B ) =, R = AM = Die Gleichung des Thaleskreis lautet somit: ( (x 6) 2 + y + 1 ) 2 = x 2 12x + y 2 + y = Thaleskreis mit der Geraden schneiden: x 2 12x + y 2 + y = 123 ( ) 4 7 x + y = 1 C 1 (8, 1), C 2 2, 1 2

103 6 Einführung Rechenoperationen Skalarprodukt Vektorprodukt Spatprodukt Gesetzte Die Gerade Die Ebene Normalformen Schnittprobleme Abstandsprobleme Hesse sche Normalform Kreis und Kugel