Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Thema: Definition von Gebietsintegralen, Mehrfachintegration

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1 Vorlesung: Anlysis II für Ingenieure Wintersemester 7/8 Michel Krow Them: Definition von Gebietsintegrlen, Mehrfchintegrtion

2 Treppenfunktionen uf Intervllen Eine Funktion f : [, b] heisst Treppenfunktion, flls es eine Intervllunterteilung = x < x 2 <... < x n < x N = b gibt, so dss f uf jedem der offenen Intervlle ]x k, x k+ [ konstnt ist. (Die Werte von f n den Teilungspunkten x k sind dbei egl.) f =x x x x x x x b=x

3 Ds Integrl einer Treppenfunktion Sei f : [, b] eine Treppenfunktion mit zugehörigen Teilungspunkten x k [, b]. Ds Integrl von f ist folgendermßen definiert: b f(x) dx = = N k= N k= (Funktionswert uf ]x k, x k+ [ ) (Intervllänge von ]x k, x k+ [ ) f(ξ k ) (x k+ x k ), ξ k ]x k, x k+ [. f =x x x x x x x b=x _ + + +

4 Definition des Integrls einer Funktion f : [, b] Sei f : [, b] eine beschränkte Funktion, so dss gilt: Zu jedem k N existieren Treppenfunktionen f k, f k : [, b] mit und f k (x) f(x) f k (x), für lle x [, b] b b f k(x) dx f k(x) dx < k. Dnn definiert mn ds Integrl von f folgendermßen b b b f(x) dx := lim k f k(x) dx = lim k f k(x) dx f k f f k b

5 Treppenfunktionen uf echtecken Eine uf einem echteck = [, b] [c, d] definierte Funktion f : heisst Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung von in endlich viele offene echtecke k (und deren änder) gibt, so dss f uf jedem der echtecke k konstnt ist. Ds Integrl einer Treppenfunktion ist f(x, y) dx dy = N = k= N k= (Funktionswert uf k ) (Flächeninhlt von k ) f(ξ k, η k ) x k y k (ξ k, η k ) k, x k, y k = Kntenlängen von k f d 6 8 c d b c b

6 Definition des Integrls einer Funktion, die uf einem echteck definiert ist Sei ein echteck und sei f : eine beschränkte Funktion, so dss gilt: Zu jedem k N existieren Treppenfunktionen f k, f k : [, b] mit f k (x, y) f(x, y) f k (x, y), für lle (x.y) und f k(x, y) dx dy f k(x, y) dx dy < k. Dnn definiert mn ds Integrl von f folgendermßen: f(x, y) dx dy := lim k f k(x, y) dx dy = lim k f k(x, y) dx dy

7 Die Bilder zeigen den Grphen der Funktion f : [;] 2, f(x, y) = cos(x)cos(y) (links) und von unten bzw. oben pproximierende Treppenfunktionen Integrl=.6688 Integrl=.746

8 Definition des Integrls einer Funktion, die uf einer beschränkten Menge definiert ist Sei B 2 eine beschränkte Menge und sei f : B eine beschränkte Funktion. Weil B beschränkt ist, gibt es ein echteck, so dss B. Wir definieren B f(x, y) dx dy := ˆf(x, y) dx dy, wobei ˆf(x, y) = f(x, y) flls (x, y) B, sonst. Vorussetzung dbei ist ntürlich, dss ds Integrl über existiert.

9 Die Bilder zeigen den Grphen der Funktion ˆf : [;] 2, ˆf(x, y) = cos(x)cos(y) flls x 2 + y 2. sonst. (links) und von oben bzw. unten pproximierende Treppenfunktionen Integrl=6.759 Integrl=5.3

10 Hinreichende Bedingung für Integrierbrkeit Nicht jede beschränkte Funktion f : B ist integrierbr. Es gilt jedoch folgendes: Wenn B kompkt ist und stückweise gltten nd ht, und wenn die Menge der Unstetigkeitsstellen von f in der Vereinigungsmenge der Bilder endlich vieler gltten Kurven enthlten ist, dnn existiert f(x, y) dx dy. B Ds Integrl knn dnn numerisch durch iemnnsche Summen pproximiert werden (siehe Skript). Ausserdem gelten einige sehr einleuchtende echenregeln (siehe Skript). Erläuterung: Mn sgt, dss der nd einer Menge stückweise gltt ist, wenn er us den Bildern endlich vieler differenzierbrer Kurven besteht; so wie hier:

11 Berechnung von Gebietsintegrlen durch Mehrfchintegrtion Seien α, β : [, b] stetige Funktionen, so dss α(x) β(x), x [, b]. Sei f : B stetig, wobei B = { (x, y) 2 ; x [, b], α(x) y β(x) } Dnn gilt: B f(x, y) dxdy = b ( β(x) α(x) f(x, y) dy ) dx y β B α b x In der Vorlesung werden hierzu die Beispiele 6 und 8 us dem Skript vorgerechnet.

12 Nebenrechnung: Der Flächeninhlt eines Kreises Für Beispiel 8 us dem Skript brucht mn den Flächeninhlt eines Kreises vom dius r. Hier ist die echnung dzu: Kreisfläche = 2 = 2 r r [ 2 r 2 x 2 dx ( x )] r r 2 x 2 + r 2 rcsin(x/r) r = r 2 (rcsin() rcsin( )) (siehe Bronstein) = π r 2.

13 Volumen eines ottionskörpers ottionskörper (ottionschse ist die x-achse): = {(x, y, z) 3 ; x [, b], y 2 + z 2 r(x) 2 } = {(x, y, z) 3 ; x [, b], r(x) y r(x), r(x) 2 y 2 z r(x) 2 y 2 } r(x) x b Berechnung des Volumens: Vol() = b r(x) 2 r(x) r(x) 2 y 2 dy } {{ } Hlbkreisfläche dx = π b r(x)2 dx Spezilfälle: Zylinder vom dius : r(x) = Kegel vom dius und Höhe h: =, b = h, r(x) = x/h Kugel vom dius : =, b =, r(x) = 2 x 2.

14 Physiklische Anwendungsbeispiele für Gebietsintegrle Sei M eine extensive physiklische Größe, z.b. Msse, elektrische Ldung, Energie, Entropie, Stoffmenge. Sei M(B) die Gesmtmenge einer solchen Grösse, die im Gebiet B 3 enthlten ist. Dnn knn mn M(B) häufig ls Integrl einer Dichtefunktion f schreiben: M(B) = B f(x, y, z) dxdydz Für 2-dimensionle Bereiche gilt entsprechend M(B) = B f(x, y) dxdy Im Fll f = bekommt mn so ds Volumen bzw. den Flächeninhlt von B.

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