Leseprobe. Ines Rennert, Bernhard Bundschuh. Signale und Systeme. Einführung in die Systemtheorie. ISBN (Buch):

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1 Leseprobe Ines Renner, Bernhard Bundschuh Signale und Syseme Einführung in die Sysemheorie ISBN (Buch): ISBN (E-Book): Weiere Informaionen oder Besellungen uner hp:// sowie im Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München

2 3 Deerminisische koninuierliche Signale im Zeibereich 3. Wie kann man Signale im Zeibereich darsellen? Die Darsellung des simulieren Spannungsverlaufs u( ) im Bild 3. is dem Kurvenverlauf auf dem Bildschirm eines Oszilloskops nachempfunden. u() Bild 3. Koninuierlicher Spannungsverlauf Aus dem Kurvenverlauf lassen sich einige Informaionen über das Signal gewinnen, z. B. die zeiliche Dauer (falls endlich), der Werebereich, die Lage der Nulldurchgänge und der Exremwere. Eine genauere Analyse ermöglich evl. auch eine Ermilung der Frequenzzusammensezung des Signals. Die komplee Informaion is im Kurvenverlauf u( ) (physikalisch z. B. V cos(2p f P ) bzw. x( ) sysemheoreisch z. B. cos(2p f P )) enhalen. 3.2 Elemenarsignale Elemenarsignale sellen einfache und idealisiere Signale dar, die jedoch den großen Voreil einfacher mahemaischer Handhabbarkei besizen. Man denke an die Berechnung von Inegralen, wie sie im Zusammenhang mi Signaloperaionen vorkommen. Bei Verwendung von Elemenarsignalen verringer sich der Aufwand für die Inegraion ganz erheblich.

3 3.2 Elemenarsignale 2 Wenn man analyisch rechnen will, verwende man Elemenarsignale einzeln oder in Kombinaion zur vereinfachen Nachbildung prakisch aufreender Signale. Dabei is immer zu beachen, dass durch die Idealisierungen bei Verwendung von Elemenarsignalen keine zu großen Fehler ensehen dürfen. Bild 3.2 illusrier die Problemaik. x() x() a) b) Bild 3.2 Gemessene Signalverläufe; a) gue Approximaion durch Recheck, b) ungenaue Approximaion durch Recheck Berache man den gemessenen Signalverlauf im Bild 3.2a, so erkenn man, dass ein Ersezen der Messkurve durch eine idealisiere Recheckfunkion unkriisch sein solle. Das Signal im Bild 3.2b würde durch eine Recheckfunkion jedoch nur grob angenäher. Konsanes Signal Gleichspannung oder Gleichsrom lassen sich beispielsweise als konsane Signale darsellen. Ohne Beschränkung der Allgemeinhei kann man den Wer des einheienlosen Signals x( ) zu annehmen. x() Bild 3.3 Konsanes Signal x() = Einheissprung 3() Der Einheissprung läss sich sehr gu verwenden, um Ein- bzw. Ausschalvorgänge zu modellieren. Bild 3.4 zeig eine mögliche Anwendung. = 0 V Vε () Bild 3.4 Modellierung eines Einschalvorgangs Die folgende einfache abschnisweise Definiion is für prakische Anwendungen im Allgemeinen völlig ausreichend: { 0 für < 0 3( ) = für 0. (3.)

4 22 3 Deerminisische koninuierliche Signale im Zeibereich Hinweis: Man darf sich uner 3( ) keine analyische Funkion vorsellen wie ewa die Kosinusfunkion, die Logarihmusfunkion o. Ä., sondern es handel sich um eine symbolische Kurzschreibweise für die abschnisweise Definiion nach Gl. (3.). Bild 3.5 zeig den zeilichen Verlauf der Funkion. x() = ε() Bild 3.5 Einheissprung Recheckfunkion rec(/ ) Recheckförmige Signalverläufe reen z. B. bei kombinieren Ein- und Ausschalvorgängen auf. Sie sellen auch eine ypische Signalform im Rahmen der Impulsechnik dar. Bild 3.6 zeig den Zeiverlauf der elemenaren Recheckfunkion und veranschaulich ihre Definiion als Differenz zweier gegeneinander verschobener Einheissprünge. ε(+/2) + -/2 -ε(-/2) /2 = - x() = rec(/) -/2 /2 Bild 3.6 Recheckfunkion Die Zeiverschiebungen und die Spiegelung des Signals 3( /2) an der Zeiachse sellen erse Beispiele von Signaloperaionen dar. Im Abschni 3.3 werden diese Signaloperaionen neben anderen noch eingehender erläuer. rec ( ) = 3 ( + 2 ) 3 ( 2 ) Die symbolische Bezeichnung rec(/ ) samm vom laeinischen recangula. Man darf sich daruner auch hier keine analyische Funkion vorsellen, sondern es handel sich wieder um eine symbolische Kurzschreibweise für die abschnisweise Definiion des Signals! Ausgehend von der in Gl. (3.) angegebenen abschnisweisen Definiion des Einheissprungs erhäl man folgende Definiion der Recheckfunkion. ( ) 0 für < /2 rec = für /2 /2 (3.3) 0 für > /2. (3.2)

5 3.2 Elemenarsignale 23 Dirac-Impuls d() Häufig wird in Lehrbüchern die folgende einfache, für prakische Anwendungen ausreichende, aber mahemaisch nich rigorose Herleiung verwende. Ausgangspunk is die Recheckfunkion rec(/ ). Aus Bild 3.7 lies man ab, dass die Fläche uner der Funkion gleich sein muss (Breie Höhe / ). Wenn man nun den Wer von immer weier verkleiner, bleib die Fläche gleich eins, da die Höhe reziprok zur Breie des Rechecks immer weier anwächs. x() 8/ Fläche = 2/ / -/2 -/4 -/6 /6 /4 /2 Bild 3.7 Recheckfunkionen mi konsaner Fläche = Führ man nun den Grenzübergang ( ) d ( ) = lim 0 rec (3.4) durch, so enseh ein Impuls, der als Dirac-Impuls, Dirac-Soß, Delafunkion oder Dirac sche Delafunkion bezeichne wird. Seine Dauer geh gegen 0 und seine Höhe gegen. Der Name erinner an den Physiker Paul Dirac, der wichige Beiräge zur Quanenmechanik geleise und das Signal in diesem Zusammenhang eingeführ ha. Als grafische Darsellung ha sich der im Bild 3.8 zu erkennende Pfeil nach oben eingebürger. Er symbolisier die Höhe des Impulses, die gegen geh. Die vorher erwähne konsane Fläche = wird nach dem Grenzübergang als Gewich oder Gewichsfakor bezeichne. Dies schreib man in Klammern neben die Spize des Pfeils. Andere Gewichsfakoren können ebenfalls in der Klammer sehen, z. B. ( ) bei einem ins Negaive reichenden Dirac- Impuls. Eine einfache abschnisweise Definiion des Dirac-Impulses könne nun folgendermaßen lauen: d ( ) = { für = 0 0 für 0 (3.5)

6 24 3 Deerminisische koninuierliche Signale im Zeibereich x() = δ() () Gewich Fläche Bild 3.8 Symbolische Darsellung des Dirac-Impulses Die ungewöhnliche Definiion wirf folgende Fragen auf:. Wie kann man das so definiere Signal mahemaisch handhaben? 2. Wie is das Gewich des Dirac-Impulses in der abschnisweisen Definiion enhalen? Lezendlich sell der Dirac-Impuls keine mahemaische Funkion im eigenlichen Sinn dar, sondern eine sogenanne Disribuion. Die Disribuionenheorie /27/ soll im vorliegenden Buch jedoch nich behandel werden. Eine Definiion des Dirac-Impulses, die die Fragen. und 2. vermeide, läss sich durch einfache Überlegungen nach Bild 3.9 ermieln. Anzumerken is hier erneu, dass die mahemaische Herleiung nich rigoros is, für prakische Anwendungen jedoch ausreich. Voraussezung hierfür is, dass das Signal x( ) bei 0 seig is, was bei prakischen Signalen immer gegeben is. x() 0 Bild 3.9 Anschauliche Definiion des Dirac-Impulses Der Mielwer des Signals x( ) in einem Zeiinervall der Dauer symmerisch um den Zeipunk 0 läss sich mi folgendem Inegral berechnen: x( 0 ) = 0 + Z /2 x( ) d (3.6) 0 /2 Uner Verwendung der Recheckfunkion läss sich formal eine Inegraion von bis durchführen. Die Signalaneile außerhalb des Rechecks werden dabei unerdrück und liefern somi keinen Beirag zum Inegral. x( 0 ) = Z ( ) 0 x( ) rec d (3.7) Wenn man nun die Breie der Recheckfunkion gegen 0 gehen läss, so sreb der Mielwer im Zeiinervall gegen den Signalwer zum Zeipunk 0. Voraussezung is die vorher angegebene Seigkei von x( ) bei = 0. Z ( ) Z ( ) 0 x( 0 ) = lim x( ) rec d = x( ) lim 0 0 rec 0 d (3.8) }{{} d( 0)

7 3.2 Elemenarsignale 25 In dieser Gleichung auch wieder der oben erläuere Grenzübergang auf, der von der Recheckfunkion zum Dirac-Impuls führ. Die formal korreke Definiionsgleichung des Dirac- Impulses laue dami Z x( )d ( 0 ) d = x( 0 ). (3.9) Man sprich bei dieser Definiionsgleichung auch von der Ausblendeigenschaf des Dirac- Impulses. Alle Signalwere außer x( 0 ) werden ausgeblende bzw. unerdrück. Diese Definiion miels eines Inegrals is charakerisisch für Disribuionen. Berache man nur das Produk uner dem Inegral, so erhäl man die Muliplikaionseigenschaf des Dirac-Impulses. x( ) d ( 0 ) = x( 0 ) d ( 0 ) (3.0) Bild 3.0 veranschaulich diese einfache Beziehung x() δ(- 0 ) () 0 Bild 3.0 Produk aus koninuierlichem Signal und Dirac-Impuls Für alle Zeipunke 0 is der Signalwer des Dirac-Impulses gleich null. Somi wird das Signal nur zu diesem einen Zeipunk, nämlich = 0, mi einem Zahlenwer ungleich null muliplizier und nur dieser eine Zahlenwer wird im Produk wirksam. Zu beachen is, dass das Signal x( ) bei 0 seig sein muss. echnisch läss sich der Dirac-Impuls naürlich nich erzeugen. Dennoch kann es voreilhaf sein, mi Dirac-Impulsen zu rechnen, z. B. bei der Beschreibung der periodischen Forsezung eines Signals durch Falung mi einer Dirac-Impulsfolge wie sie im Bild 3.38 dargesell wird. Eine andere Anwendung is die mahemaische Beschreibung von Abasvorgängen wie im Abschni 6.. Eine prakisch ausreichende Nachbildung des Dirac-Impulses wird durch einen kurzen Impuls erreich, dessen Dauer sehr viel kleiner is als die Zeikonsanen in einem Sysem, an dessen Eingang der Impuls angeleg wird. Bild 3. zeig eine einfache Anordnung dieser Ar mi dem Eingangssignal u e ( ) und einem schemaisch dargesellen Ausgangssignal u a ( ). Beispiel 3. Übergang des Eingangssignals von der Recheckfunkion zum Dirac-Impuls u e () RC RC U R U0 e 0 C RC u a () Bild 3. RC-Schalung mi Recheckimpuls als Eingangssignal