1 Rotating Calipers. 2 Antipodal und Copodal. 3 Distanzen Rechtecke Eigenschaften

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1 1 Rotating Calipers 2 3

2 Rotating Calipers - Algorithmus Konvexes Polygon mit parallelen Stützgeraden

3 Rotating Calipers - Finder Shamos lässt 1978 zwei Stützgeraden um ein Polygon rotieren Zwei Stützgeraden rotieren parallel Michael Ian Shamos (geb. 1947) US-Amerikaner, Mathematiker, liebt Billiard, Professor an der Carnegie Mellon University

4 Rotating Calipers - Finder Toussaint erweitert diesen Ansatz 1983 um mehr Stützgeraden und Polygone Ein Paar rotiert um zwei Polygone Zwei Paare rotieren parallel Godfried Toussaint (geb. 1944) Professor an der NY Universität Abu Dhabi, Canadier, liebt Musik, forscht zu: Phylogenetic Analysis of the Musical Rhythms of the World

5 Rotating Calipers - O(n) Zeit Toussaint löst viele geometrische Probleme in O(n) Zeit.

6 Geometrische Probleme - Auswahl in O(n) Zeit Distanzen: Breite eines Polygons Maximale und minimale Distanz zwischen zwei Polygonen Rechtecke: Flächenkleinstes und umfangkleinstes Rechteck um ein Polygon Eigenschaften: Verschmelzen zweier Polygone Minkowski-Summe konvexer Polygone

7

8 Antipodal Definition (Antipodal) Sei P ein konvexes Polygon. Zwei Ecken p i,p j P heißen antipodal, wenn für p i und p j Stützgeraden existieren, die zueinander parallel sind.

9 Antipodal Rotating-Calipers-Technik zum Finden antipodaler Punktpaare in Linearzeit

10 Antipodal!"#$%&'!%"()*'+ Antipodale Punktpaare Nicht antipodale Punktpaare

11 Antipodal - Zwei Polygone Satz (Antipodal - Zwei Polygone) Seien P und Q zwei konvexe Polygone mit n und m Eckpunkten. Zwei Eckpunkte p P und q Q nennt man antipodal, wenn P und Q entgegen gerichtete parallele Stützgeraden durch p und q besitzen können. Eckpunkt-Eckpunkt Kante-Eckpunkt Kante-Kante

12 Copodal - Zwei Polygone Satz (Copodal - Zwei Polygone) P und Q zwei konvexe Polygone mit n und m Eckpunkten. Zwei Eckpunkte p P und q Q nennt man copodal, wenn P und Q gleichgerichtete parallele Stützgeraden durch p und q besitzen können. Eckpunkt-Eckpunkt Kante-Eckpunkt Kante-Kante

13 Distanzen in O(n) Zeit Distanzen Für viele Probleme sind Distanzberechnungen in akzeptabler Zeit notwendig.!"#$% &$'()%!"#$% &$'()% Beispiel Nachbarschaft: weiteste oder kürzeste Distanz zwischen zwei Orten Breite eines Polygons

14 Breite Definition (Breite) Sei P ein konvexes Polygon mit n Eckpunkten. Die Breite von P ist die minimale Distanz zwischen beliebigen parallelen Geraden, sodass P zwischen ihnen liegt.

15 Breite Definition (Breite) Sei P ein konvexes Polygon mit n Eckpunkten. Die Breite von P ist die minimale Distanz zwischen beliebigen parallelen Geraden, sodass P zwischen ihnen liegt. Optimale Lösung?

16 Breite Definition (Breite) Sei P ein konvexes Polygon mit n Eckpunkten. Die Breite von P ist die minimale Distanz zwischen beliebigen parallelen Geraden, sodass P zwischen ihnen liegt. Reduktion auf anliegende Stützgeraden.

17 Breite Definition (Breite) Sei P ein konvexes Polygon mit n Eckpunkten. Die Breite von P ist die minimale Distanz zwischen beliebigen parallelen Geraden, sodass P zwischen ihnen liegt. Reduktion auf anliegende Stützgeraden. Lösung jedoch nicht in linearer Zeit.

18 Breite Satz (Kante-Ecke-Paar) Die Breite eines Polygons P ist die minimale Distanz zwischen zwei parallelen Stützgeraden, die ein antipodales Kante-Ecke-Paar von P schneiden. Kante-Ecke

19 Distanzen - Breite Verringerung der Distanz durch Rotation

20 Breite Beweis (Kante-Ecke-Paar - durch Kontraposition). Ausgehend von zwei Stützgeraden, die nicht durch eine Kante und durch einen Punkt führen. Jetzt ist es immer möglich, durch Rotation in eine bevorzugte Richtung den Abstand zu verringern. Es folgt: zwei Stützgerade haben erst dann den geringste Abstand (Breite), wenn (mindestens) eine Kante in einer Stützgeraden enthalten ist.

21 Breite!"#$%&'()#*($%+"$%&'(,-.//0*"#%1'2( 34#5(6'"17!"#$%&'(%)*"++%#',-'.%#'/0&1%234)%#5' 6789':%"*;!"#$#%"&'()'&'*$&#+&, -.&/'0+%#1!"#$%&&"'()"*( +"+"',-"*.%"+"')"'(/0'1$"2( 3456(7"%$8 Laufzeit der Suche nach der Breite eines Polygons

22 Breite Insgesamt lineare Laufzeit durch die Rotating-Calipers-Technik. Gefundene Breite des Polygons

23 Distanzen Distanzen Zwei Polygone

24 Maximale Distanz Definition (Maximale Distanz) Seien P und Q zwei konvexe Polygone. Die maximale Distanz zwischen P und Q wird definiert über: d max (P, Q) = max{dist(p, q) p P, q Q}.

25 Maximale Distanz y Anfangszustand für die Suche nach der maximalen Distanz. x

26 Maximale Distanz Suche nach der maximalen Distanz zwischen zwei Polygonen (Ausschnitt)

27 Maximale Distanz Maximale Distanz Lineare Laufzeit: Umlauf: O(m + n) Zeit Finden der Anfangskoordinaten: O(n) Zeit Bestimmen der jeweiligen Distanz pro antipodalem Punktpaar und das Berechnen des Winkels: O(1) Zeit

28 Maximale Distanz y Egal ob nebeneinander oder übereinander x

29 Maximale Distanz Rotating Calipers

30 Maximale Distanz Maximale Distanz

31 Minimale Distanz Definition (Minimale Distanz) Seien P und Q zwei konvexe Polygone. Die minimale Distanz zwischen P und Q (ohne Überschneidung, da sonst irrelevant) wird definiert über d min (P, Q) = min{dist(p, q) p P, q Q}. Der Algorithmus benötigt analog zur maximalen Distanz lineare Laufzeit. Kante-Kante mit Lot Kante-Kante versetzt

32 Rechtecke Rechtecke Flächenkleinstes Rechteck Umfangkleinstes Rechteck Suche nach flächen- und umfangkleinstem Rechteck: Von der unendlichen Menge umgebender Rechtecke kommen nur endlich viele Kandidaten in Frage. Durch eine Variation der Rotating-Calipers-Technik wird jeweils eine Lösung in linearer Zeit gefunden.

33 Rechtecke Satz (Minimale Fläche) Ein flächenminimales Rechteck, das ein konvexes Polygon umhüllt, besitzt eine Seite, die mit einer der Kanten des Polygons kollinear ist. Satz (Minimaler Umfang) Ein Rechteck mit minimalem Umfang, das ein konvexes Polygon umhüllt, besitzt eine Seite, die mit einer der Kanten des Polygons kollinear ist.

34 Rechtecke Minimale Fläche eines Rechtecks um ein Polygon mit vier Stützgeraden

35 Rechtecke Minimale Fläche

36 Rechtecke Die Suche nach dem minimalen Umfang und der minimalen Fläche unterscheiden sich nur im Speichern von jeweils Umfang oder Fläche. Beide Algorithmen laufen mit Hilfe der Rotating-Calipers-Technik in Linearzeit.

37 Konvexe Hüllen verschmelzen Eigenschaften Konvexe Hüllen verschmelzen

38 Konvexe Hüllen verschmelzen Gleichgerichtet Brücken Keine Brücke Satz (Brückenpunkte) Seien P und Q zwei konvexe Polygone. Zwei Eckpunkte p i P und q k Q sind nur dann Brückenpunkte, wenn sie ein copodales Paar sind und alle Eckpunkte p i 1,p i+1,q k 1,q k+1 auf der gleichen Seite einer Geraden L(p i,q k ) liegen.

39 Konvexe Hüllen verschmelzen Zum Verschmelzen von zwei Polygonen P und Q mit m und n Eckpunkten werden höchstens m + n Brücken benötigt, also O(m + n) Zeit. Verschmelzen übereinanderliegender Polygone

40 Minkowski-Summe Eigenschaften Minkowski-Summe

41 Minkowski-Summe Definition Seien A, B V zwei Teilmengen eines Vektorraums. Dann ist die Minkowski-Summe definiert durch A + B := {a + b a A, b B}.

42 Minkowski-Summe Umreißen der Menge

43 Minkowski-Summe Naiver Algorithmus - O(n 2 ) Zeit: berechne jedes Punktepaar und entferne Doppelungen A + B = (5, 0),A+ D = (8, 0),A+ E = (8, 3),A+ F = (5, 3),B+ B = (10, 0),B+ F = (10, 3), B + D = (13, 0),B+ E = (13, 3),C+ D = (8, 5),C+ E = (8, 8),C+ F = (5, 8),C+ B = (5, 5).

44 Minkowski-Summe Rotating Calipers

45 Minkowski-Summe Copodale Stützgeraden für die Minkowski-Summe

46 Minkowski-Summe Fallunterscheidung Wenn θ(i) < φ(j) ergibt sich ein neuer Punkt aus p i+1 + q j. Wenn θ(i) > φ(j) ergibt sich ein neuer Punkt aus p i + q j+1. Wenn θ(i) =φ(j) ergibt sich ein neuer Punkt aus p i+1 + q j+1. Speichere die neuen Punkte

47 Minkowski-Summe Durch Rotating-Calipers-Technik optimierter Algorithmus - O(n) Zeit: findet nur die notwendigen Eckpunkte

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