1 Rotating Calipers. 2 Antipodal und Copodal. 3 Distanzen Rechtecke Eigenschaften
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- Victoria Braun
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1 1 Rotating Calipers 2 3
2 Rotating Calipers - Algorithmus Konvexes Polygon mit parallelen Stützgeraden
3 Rotating Calipers - Finder Shamos lässt 1978 zwei Stützgeraden um ein Polygon rotieren Zwei Stützgeraden rotieren parallel Michael Ian Shamos (geb. 1947) US-Amerikaner, Mathematiker, liebt Billiard, Professor an der Carnegie Mellon University
4 Rotating Calipers - Finder Toussaint erweitert diesen Ansatz 1983 um mehr Stützgeraden und Polygone Ein Paar rotiert um zwei Polygone Zwei Paare rotieren parallel Godfried Toussaint (geb. 1944) Professor an der NY Universität Abu Dhabi, Canadier, liebt Musik, forscht zu: Phylogenetic Analysis of the Musical Rhythms of the World
5 Rotating Calipers - O(n) Zeit Toussaint löst viele geometrische Probleme in O(n) Zeit.
6 Geometrische Probleme - Auswahl in O(n) Zeit Distanzen: Breite eines Polygons Maximale und minimale Distanz zwischen zwei Polygonen Rechtecke: Flächenkleinstes und umfangkleinstes Rechteck um ein Polygon Eigenschaften: Verschmelzen zweier Polygone Minkowski-Summe konvexer Polygone
7
8 Antipodal Definition (Antipodal) Sei P ein konvexes Polygon. Zwei Ecken p i,p j P heißen antipodal, wenn für p i und p j Stützgeraden existieren, die zueinander parallel sind.
9 Antipodal Rotating-Calipers-Technik zum Finden antipodaler Punktpaare in Linearzeit
10 Antipodal!"#$%&'!%"()*'+ Antipodale Punktpaare Nicht antipodale Punktpaare
11 Antipodal - Zwei Polygone Satz (Antipodal - Zwei Polygone) Seien P und Q zwei konvexe Polygone mit n und m Eckpunkten. Zwei Eckpunkte p P und q Q nennt man antipodal, wenn P und Q entgegen gerichtete parallele Stützgeraden durch p und q besitzen können. Eckpunkt-Eckpunkt Kante-Eckpunkt Kante-Kante
12 Copodal - Zwei Polygone Satz (Copodal - Zwei Polygone) P und Q zwei konvexe Polygone mit n und m Eckpunkten. Zwei Eckpunkte p P und q Q nennt man copodal, wenn P und Q gleichgerichtete parallele Stützgeraden durch p und q besitzen können. Eckpunkt-Eckpunkt Kante-Eckpunkt Kante-Kante
13 Distanzen in O(n) Zeit Distanzen Für viele Probleme sind Distanzberechnungen in akzeptabler Zeit notwendig.!"#$% &$'()%!"#$% &$'()% Beispiel Nachbarschaft: weiteste oder kürzeste Distanz zwischen zwei Orten Breite eines Polygons
14 Breite Definition (Breite) Sei P ein konvexes Polygon mit n Eckpunkten. Die Breite von P ist die minimale Distanz zwischen beliebigen parallelen Geraden, sodass P zwischen ihnen liegt.
15 Breite Definition (Breite) Sei P ein konvexes Polygon mit n Eckpunkten. Die Breite von P ist die minimale Distanz zwischen beliebigen parallelen Geraden, sodass P zwischen ihnen liegt. Optimale Lösung?
16 Breite Definition (Breite) Sei P ein konvexes Polygon mit n Eckpunkten. Die Breite von P ist die minimale Distanz zwischen beliebigen parallelen Geraden, sodass P zwischen ihnen liegt. Reduktion auf anliegende Stützgeraden.
17 Breite Definition (Breite) Sei P ein konvexes Polygon mit n Eckpunkten. Die Breite von P ist die minimale Distanz zwischen beliebigen parallelen Geraden, sodass P zwischen ihnen liegt. Reduktion auf anliegende Stützgeraden. Lösung jedoch nicht in linearer Zeit.
18 Breite Satz (Kante-Ecke-Paar) Die Breite eines Polygons P ist die minimale Distanz zwischen zwei parallelen Stützgeraden, die ein antipodales Kante-Ecke-Paar von P schneiden. Kante-Ecke
19 Distanzen - Breite Verringerung der Distanz durch Rotation
20 Breite Beweis (Kante-Ecke-Paar - durch Kontraposition). Ausgehend von zwei Stützgeraden, die nicht durch eine Kante und durch einen Punkt führen. Jetzt ist es immer möglich, durch Rotation in eine bevorzugte Richtung den Abstand zu verringern. Es folgt: zwei Stützgerade haben erst dann den geringste Abstand (Breite), wenn (mindestens) eine Kante in einer Stützgeraden enthalten ist.
21 Breite!"#$%&'()#*($%+"$%&'(,-.//0*"#%1'2( 34#5(6'"17!"#$%&'(%)*"++%#',-'.%#'/0&1%234)%#5' 6789':%"*;!"#$#%"&'()'&'*$&#+&, -.&/'0+%#1!"#$%&&"'()"*( +"+"',-"*.%"+"')"'(/0'1$"2( 3456(7"%$8 Laufzeit der Suche nach der Breite eines Polygons
22 Breite Insgesamt lineare Laufzeit durch die Rotating-Calipers-Technik. Gefundene Breite des Polygons
23 Distanzen Distanzen Zwei Polygone
24 Maximale Distanz Definition (Maximale Distanz) Seien P und Q zwei konvexe Polygone. Die maximale Distanz zwischen P und Q wird definiert über: d max (P, Q) = max{dist(p, q) p P, q Q}.
25 Maximale Distanz y Anfangszustand für die Suche nach der maximalen Distanz. x
26 Maximale Distanz Suche nach der maximalen Distanz zwischen zwei Polygonen (Ausschnitt)
27 Maximale Distanz Maximale Distanz Lineare Laufzeit: Umlauf: O(m + n) Zeit Finden der Anfangskoordinaten: O(n) Zeit Bestimmen der jeweiligen Distanz pro antipodalem Punktpaar und das Berechnen des Winkels: O(1) Zeit
28 Maximale Distanz y Egal ob nebeneinander oder übereinander x
29 Maximale Distanz Rotating Calipers
30 Maximale Distanz Maximale Distanz
31 Minimale Distanz Definition (Minimale Distanz) Seien P und Q zwei konvexe Polygone. Die minimale Distanz zwischen P und Q (ohne Überschneidung, da sonst irrelevant) wird definiert über d min (P, Q) = min{dist(p, q) p P, q Q}. Der Algorithmus benötigt analog zur maximalen Distanz lineare Laufzeit. Kante-Kante mit Lot Kante-Kante versetzt
32 Rechtecke Rechtecke Flächenkleinstes Rechteck Umfangkleinstes Rechteck Suche nach flächen- und umfangkleinstem Rechteck: Von der unendlichen Menge umgebender Rechtecke kommen nur endlich viele Kandidaten in Frage. Durch eine Variation der Rotating-Calipers-Technik wird jeweils eine Lösung in linearer Zeit gefunden.
33 Rechtecke Satz (Minimale Fläche) Ein flächenminimales Rechteck, das ein konvexes Polygon umhüllt, besitzt eine Seite, die mit einer der Kanten des Polygons kollinear ist. Satz (Minimaler Umfang) Ein Rechteck mit minimalem Umfang, das ein konvexes Polygon umhüllt, besitzt eine Seite, die mit einer der Kanten des Polygons kollinear ist.
34 Rechtecke Minimale Fläche eines Rechtecks um ein Polygon mit vier Stützgeraden
35 Rechtecke Minimale Fläche
36 Rechtecke Die Suche nach dem minimalen Umfang und der minimalen Fläche unterscheiden sich nur im Speichern von jeweils Umfang oder Fläche. Beide Algorithmen laufen mit Hilfe der Rotating-Calipers-Technik in Linearzeit.
37 Konvexe Hüllen verschmelzen Eigenschaften Konvexe Hüllen verschmelzen
38 Konvexe Hüllen verschmelzen Gleichgerichtet Brücken Keine Brücke Satz (Brückenpunkte) Seien P und Q zwei konvexe Polygone. Zwei Eckpunkte p i P und q k Q sind nur dann Brückenpunkte, wenn sie ein copodales Paar sind und alle Eckpunkte p i 1,p i+1,q k 1,q k+1 auf der gleichen Seite einer Geraden L(p i,q k ) liegen.
39 Konvexe Hüllen verschmelzen Zum Verschmelzen von zwei Polygonen P und Q mit m und n Eckpunkten werden höchstens m + n Brücken benötigt, also O(m + n) Zeit. Verschmelzen übereinanderliegender Polygone
40 Minkowski-Summe Eigenschaften Minkowski-Summe
41 Minkowski-Summe Definition Seien A, B V zwei Teilmengen eines Vektorraums. Dann ist die Minkowski-Summe definiert durch A + B := {a + b a A, b B}.
42 Minkowski-Summe Umreißen der Menge
43 Minkowski-Summe Naiver Algorithmus - O(n 2 ) Zeit: berechne jedes Punktepaar und entferne Doppelungen A + B = (5, 0),A+ D = (8, 0),A+ E = (8, 3),A+ F = (5, 3),B+ B = (10, 0),B+ F = (10, 3), B + D = (13, 0),B+ E = (13, 3),C+ D = (8, 5),C+ E = (8, 8),C+ F = (5, 8),C+ B = (5, 5).
44 Minkowski-Summe Rotating Calipers
45 Minkowski-Summe Copodale Stützgeraden für die Minkowski-Summe
46 Minkowski-Summe Fallunterscheidung Wenn θ(i) < φ(j) ergibt sich ein neuer Punkt aus p i+1 + q j. Wenn θ(i) > φ(j) ergibt sich ein neuer Punkt aus p i + q j+1. Wenn θ(i) =φ(j) ergibt sich ein neuer Punkt aus p i+1 + q j+1. Speichere die neuen Punkte
47 Minkowski-Summe Durch Rotating-Calipers-Technik optimierter Algorithmus - O(n) Zeit: findet nur die notwendigen Eckpunkte
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