Nachklausur zur Vorlesung. Statistik für Studierende der Biologie

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1 Institut für Mathematische Stochastik WS 1999/2000 Universität Karlsruhe 11. Mai 2000 Dr. Bernhard Klar Nachklausur zur Vorlesung Statistik für Studierende der Biologie Bearbeitungszeit: 90 Minuten Name: Vorname: Matrikelnummer: Fachrichtung: Diese Klausur hat bestanden, wer mindestens 36 Punkte erreicht. Zugelassene Hilfsmittel: Das Skriptum zur Vorlesung und Taschenrechner Aufgabe 1 (14 P) 2 (14 P) 3 (15 P) 4 (16 P) 5 (17 P) 6 (14 P) Punkte (90 P) Korrektor Note:

2 Aufgabe 1: (14 Punkte) In einem Experiment wurde die Schlagfrequenz x i (in Hz) der Schwanzosse von 22 mit gleicher Geschwindigkeit schwimmenden Forellen gemessen: a) Fertigen Sie eine Stamm- und Blatt-Darstellung an (Einheit = 0.01 Hz). b) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel sowie die empirische Varianz. Hinweis: Sie können folgende Angaben verwenden: 22 i=1 x i = , 22 i=1 x 2 i = c) Bestimmen Sie den Median und das untere und obere Quartil der Stichprobe. Zeichnen Sie den zugehörigen Box-Plot in nachstehendes Diagramm ein

3 Aufgabe 2: (14 Punkte) Die gemeinsame Verteilung von zwei diskreten Zufallsvariablen X und Y ist in unten stehender Tabelle angegeben. Dabei ist c eine positive Konstante. P (X = j, Y = k) k P (X = j) P (Y = k) j -2 c c c -1 2c c 2c 1 2c c 2c 2 c c c a) Bestimmen Sie die Konstante c. b) Tragen Sie die Randverteilungen von X und Y in die Tabelle ein. c) Sind X und Y stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Berechnen Sie die Erwartungswerte E(X) und E(Y ) und die Varianzen V (X) und V (Y ). e) Bestimmen Sie den Korrelationskoezienten ρ(x, Y ) von X und Y.

4 Aufgabe 3: (15 Punkte) Auf Grund langjähriger Beobachtungen kann man davon ausgehen, dass die mittlere Lufttemperatur (in Grad Celsius) im Monat Mai in Karlsruhe näherungsweise N(14.6, 4)-verteilt ist. X 1,..., X 6 bezeichnen die mittleren Lufttemperaturen des Monats Mai in den nächsten sechs Jahren. Sie können dabei annehmen, dass die Temperaturen in den einzelnen Jahren unabhängig voneinander sind. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die mittlere Lufttemperatur im Mai nächsten Jahres höchstens 16 Grad Celsius beträgt. b) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten sechs Jahren im Mai mindestens einmal eine mittlere Temperatur von mehr als 16 Grad Celsius auftritt? c) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchschnitt der Mai-Temperaturen in den nächsten sechs Jahren, also 1 6 (X X 6 ), höchstens 16 Grad Celsius beträgt?

5 Aufgabe 4: (16 Punkte) Um die Auswirkung sportlichen Trainings auf das Lungenvolumen zu untersuchen, wurde bei n = 10 trainierten und bei m = 10 untrainierten Versuchspersonen das Lungenvolumen gemessen. Man erhielt folgende Werte (in Liter): Trainierte Personen x i Untrainierte Personen y j a) Es wird vorausgesetzt, dass die Werte der trainierten Personen aus einer N(µ, σ 2 )- verteilten Grundgesamtheit, die Werte der untrainierten Personen aus einer N(ν, σ 2 )- verteilten Grundgesamtheit stammen. Testen Sie die Hypothese, dass das Lungenvolumen nicht von dem sportlichen Training abhängt, zum Niveau α = Hinweis: Sie können folgende Angaben verwenden: x = 4.62, s 2 x = 1.048, ȳ = 4.06, s 2 y = b) Verzichten Sie nun auf die Normalverteilungsannahme. Es wird nur noch vorausgesetzt, dass das Lungenvolumen bei den trainierten und bei den untrainierten Personen jeweils eine unbekannte stetige Verteilung besitzt. Die Verteilungen unterscheiden sich für die beiden Personengruppen nur in der Lage. Testen Sie auch für diesen Fall die Hypothese, dass das Lungenvolumen nicht vom sportlichen Training abhängt, zum Niveau α = 0.05.

6 Aufgabe 5: (17 Punkte) Man vermutet auf Grund theoretischer Überlegungen, dass zwischen der Sauerstoproduktion von Algen (in ml/d) und der Beleuchtungsstärke (in hlx) eine Beziehung der Form Y = a + b x + ɛ besteht. Dabei besitzt der zufällige Fehler ɛ die Verteilung N(0, σ 2 ) mit unbekannter Varianz σ 2. Bei n = 10 verschiedenen Beleuchtungsstärken wurde die Sauerstoproduktion der Algen gemessen. Es ergab sich folgende Tabelle: i Leuchtstärke x i Sauerstoprod. y i a) Bestimmen Sie den Spearman-Rangkorrelationskoezienten. b) Berechnen Sie den empirischen Pearson-Korrelationskoezienten. Hinweis: Sie können folgende Angaben verwenden: x = 27.5, s x = 15.14, ȳ = 38.6, s y = 11.66, 10 j=1 x j y j = c) Berechnen Sie die geschätzte Regressionsgerade y = a + b x und einen Schätzer für die Varianz σ 2 des Fehlers. d) Bestimmen Sie ein Vertrauensintervall für die Sauerstoproduktion der Algen bei einer Beleuchtung von 60 hlx zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 1 α = 0.95.

7 Aufgabe 6: (14 Punkte) In einer kontrollierten Studie sollte untersucht werden, ob die regelmäÿige Einnahme von Aspirin das Herzinfarktrisiko beeinusst. Insgesamt erhielten über einen festgelegten Zeitraum Personen Aspirin, genau so viele nahmen ein Placebo ein. Die Studie ergab folgendes Ergebnis: Herzinfarkt Gruppe Ja Nein Gesamt Aspirin Placebo Die Wahrscheinlichkeiten p 1 und p 2, mit bzw. ohne Aspirineinnahme einen Herzinfarkt zu erleiden, sind unbekannt. a) Testen Sie auf dem 5%-Niveau, ob die Wahrscheinlichkeiten eines Herzinfarkts mit oder ohne Aspirineinnahme gleich sind. b) Geben Sie ein Vertrauensintervall für den Unterschied der Infarktwahrscheinlichkeiten zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 0.95 an.

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