Exponential- und Logarithmusfunktion

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1 Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/ Eponentil- und Logrithmusfunktion Definition.0.0: Sei +, dnn ist die llgemeine Form einer Eponentilfunktion f: + gegeben durch die Funktionsgleichung ( ) f = Beispiel.0.3: Grphen der Eponentilfunktionen =,,,,. 3 mit 3 Abb..0. Eponentilfunktionen mit der Bsis = /, /3,,, 3. Stz.0.4: (i) Die Eponentilfunktion y = ist für 0 < < streng monoton fllend, für = konstnt und für > streng monoton steigend. (ii) Alle Grphen der mit der Gleichung y =, > 0, schneiden die y-achse im Punkt (0,). (iii) Die Grphen mit der Gleichung y = und der y-achse useinnder hervor. y = gehen durch Spiegelung n (iv) Für > nähert sich der Grph der Funktion y = symptotisch der negtiven y-achse, für 0 < < der positiven -Achse. 8 -

2 Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003 Wie wir schon in Kpitel.9 gesehen hben, ist die sogennnte e-funktion für viele Vorgänge in der Physik und der Technik von Interesse. Definition.0.: Die e-funktion ist eine spezielle Eponentilfunktion f: + mit der Funktionsgleichung f ( ) = e Dbei ist e,7... die Euler'sche Zhl. Abb..0. e-funktion e Bemerkung.0.: (i) Die e-funktion wird uch oft ls Wchstumsfunktion bezeichnet, weil jeder Nturvorgng uf diese Funktion führt, in dem die Zu- bzw. Abnhme einer Anzhl M betrchteter Objekte in der Zeit t von ihrer jeweiligen Anzhl bhängt. (ii) Die Ldung und Entldung eines Kondenstors, der rdioktive Zerfll oder die stetige Verzinsung verlufen nch einer e-funktion, die dnn mit nderen Funktionen verknüpft ist (vgl. uch Kpitel.9). Eine wichtige Rolle spielt die e-funktion uch in der Sttistik. 8 -

3 Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003 Beispiel.0.4: (i) Funktionen der Form y = ke -, > 0, beschreiben Zerfllsprozesse oder uch die Ldung eines Kondenstors. Für k = bzw. k = - und = erhlten wir die folgenden Grphen: Abb..0. ke, k =, - (ii) In einem Stromkreis mit einem Ohmschen Widerstnd R und Induktivität L in Reihenschltung wird der Schlter zur Zeit t = 0 geschlossen. Die Stromstärke i erreicht nicht sofort den sttionären Wert I = U/R, sondern folgt zeitlich dem Eponentilgesetz R t = t i = I e L I e τ. Der Ausdruck τ = L/R heißt Zeitkonstnte. Für t = τ ht die Stromstärke 63,% ihres Endwertes I erreicht, denn dnn ist i = ( e ) = 0, 63I. I e t τ Abb..0.3 ( ) 8-3

4 Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003 D die Eponentilfunktion mit dem Definitionsbereich D = und dem Wertebereich W = + bijektiv ist, knn mn die Umkehrfunktion bilden, die dnn den Definitionsbereich D = + und den Wertebereich W = besitzt. Vertuschen wir in der Funktionsgleichung y = die Vriblen und y so erhlten wir die Gleichung = y. Lösen wir diese Gleichung nch y uf, so erhlten wir: y = log Definition.0.: Die Logrithmusfunktion f: + IR mit der Funktionsgleichung y f ( ) = log = ist die Umkehrfunktion der Eponentilfunktion g: + mit y = g() =. Abb..0.4 Grph der Funktion y = log 0 Bemerkung.0.: (i) Der Grph der Logrithmusfunktion y = log entsteht durch Spiegelung des Grphen der Eponentilfunktion y = n der 45 -Achse. (ii) Alle Logrithmuskurven gehen durch den Punkt (,0). (iii) Fllunterscheidung: > 0 < < log > 0, flls > log > 0, flls 0 < < log = 0, flls = log = 0, flls = log < 0, flls 0 < < log < 0, flls > 8-4

5 Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003 (iv) Die Grphen mit der Funktionsgleichung y = durch Spiegelung n der -Achse useinnder hervor. log und y = log, > 0, gehen (v) Ist >, so ist y = log streng monoton steigend. Ist 0 < <, so ist y = log streng monoton fllend. Beispiel.0.5: Grphen der Funktion y = log, = bzw. = / Abb..0.5 log, = bzw. = / Bemerkung.0.3: Wird bei der Bildung der Eponentilfunktion nch der Potenz y = gefrgt, so heißt bei der Logrithmusfunktion die Zuordnungsvorschrift: Suche zu einer gegebene Bsis und Potenz y den Eponenten ; z.b. 5 = 5 = log 5 =. 5 Für die Eponentil- und Logrithmusfunktion gelten folgende Funktionlgleichungen. Stz.0.5: Sei,b,c und,c > 0, dnn gilt: + (i) =,, (ii) log =, > 0 (iii) log ( ) = log ( ) + log ( ),, > 0 (iv) b log ( ) = b log, >

6 Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003 (v) log = logc, > 0 log c Die Umkehrfunktion der e-funktion führt zu der wichtigen Funktion f() = ln. Definition.0.3: Die Funktion f: + mit der Funktionsgleichung f() = log e =: ln heißt ntürlicher Logrithmus (Logrithmus nturlis). Beispiel.0.6: (i) Es gilt: log = log 8 = 3 und log = log 56 log 3 = 8 5 = ln (ii) Mit Stz.0.5 (v) ist log =. ln (iii) Wie wir us Beispiel.9.6 wissen, gilt für den rdioktiven Zerfll die Formel kt N = N 0 e. Dbei ist k die Zerfllskonstnte. Die Hlbwertszeit ist die Zeitspnne t, in der die Menge und dmit die Strhlungsintensität eines rdioktiven Stoffes uf die Hälfte bsinkt. Die Hlbwertszeit ist für jede rdioktive Atomrt chrkteristisch. Aus der Hlbwertszeit t / lässt sich nun die Zerfllskonstnte k berechnen. N0 Wir setzen dzu in der obigen Gleichung N = und erhlten: N o = N e t/ kt k t/ t/ 0 = e = k = ln( k e ) Mit Stz.0.5 erhlten wir schließlich: k =. ln. t / 0, 693 Für Rdon ist t/ 55s, lso k = 0, 06/ s. 55sec Bemerkung.0.4: Zur Verkürzung der Schreibweise wurden folgende Vereinbrungen getroffen: log : = lb = ld - Logrithmus dulis oder binärer Logrithmus log 0 : = lg - dekdischer Logrithmus oder Briggscher Logrithmus 8-6

7 Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003 log e : = ln - ntürlicher Logrithmus Ds Rechnen mit Potenzen und Logrithmen führt zu Eponentilgleichungen. Beispiel.0.7 (Eponentilgleichungen): (i) Wir betrchten die Gleichung = 8. Wir können diese Gleichung lösen, indem wir durch Äquivlenzumformung beiden Seiten der Gleichung dieselbe Bsis geben: 3 = 8 = = 3 + (ii) Bei der Gleichung 6 = 3 können wir beide Seiten der Gleichung logrithmieren. Es gilt dnn: + 6 = 3 + ln 6 = ln 3 ( + ). ln 6 = ( ). ln 3 ln 6 + ln 3 =. ln 3. ln 6 ln 6 + ln 3 =. ln 3 ln 6 ln( 3 ln8 = = ) + ln( 6 ) ln8 ln( 5, ) lg (iii) Bei der Gleichung 0 = 3 nutzen wir us, dss wir jede positive reelle Zhl r ls lg r Zehnerpotenz schreiben können; nämlich: r = 0. Somit gilt: 0 lg lg lg 3 = 3 0 = 0 lg = lg 3 = 3 8-7