Einheitliches Verfahren zur Ermittlung von Messunsicherheiten

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1 Prof. Dr. Mafred Schmdt März 008 Ehetlche Verfahre zur Ermttlug vo Meucherhete. Allgemee Jede Meug t grudätzlch mt Ucherhete behaftet, o da zur volltädge Agabe ee Meergebe auch de Agabe über de Meucherhete gehöre. Im Gegeatz zu der früher üblche Bezechugwee t her tet vo Meucherhete ud cht vo Fehler de Rede. Fehler d der etzt üblche Nomeklatur [DIN 9, Letfade (995)] ytematche Abwechuge vo Megeräte ud Meerchtuge, de durch ee Korrekto berückchtgt werde, d. h. vor der Ermttlug der Meucherhete korrgert werde. Zumdet m Berech der elektrche Metechk t (heute) de Reproduzerbarket erhalb eer Merehe o gut, da de Geamtucherhet vorweged vo de cht tattch erfabare Ucherhetatele abhägt. De Art der Ermttlug ud Kombato der (Tel)Ucherhete t cht efach vo der Mathematk vorgegebe, oder baert auch auf phykalch metechch vertretbare ud für de Prax brauchbare Aätze. Da Verfahre der Berechug bzw. Abchätzug vo Meucherhete ollte möglcht allgeme awedbar, ch kotet ud efach e, ud e ollte zu realtche Aätze führe. De früher üblche leare Addto der maxmale ytematche Telucherhete ( wort cae ) erfüllt cher de ertgeate Forderuge ud ergbt Geamtucherhete, de auf der chere Sete lege. Mt zuehmeder Azahl der de Abchätzug egehede Kompoete ergbt ch ee Überchätzug ud kee realtche Abchätzug mehr. Alle e Meergeb egehede phykalche Größe werde al Zufallvarable behadelt, auch de Eflugröße. Ee Uterchedug ach (de vermetlche Urache) tattche ud ytematche Ucherhete t daher cht mehr otwedg. Ledglch be der Art der Ermttlug der Telucherhete ka uterchede werde Typ A: Telucherhete, de mt tattche Methode erfat werde ud Typ B: Telucherhete, de auf adere Art ermttelt werde. Dee Utertelug t ledglch au methodcher Scht gütg, für de Ermttlug der Meucherhet t e ohe Bedeutug, wel de Behadlug der Telucherhete glechartg erfolgt. Ee Megröße Y wrd al Augag oder Ergebgröße bezechet. Se t m Allgemee über ee Fukto G vo eer Azahl vo Egaggröße X ( =,,,...) abhägg: ( X X, X,..., ) Y = G, X,..., X () Da de wahre Werte der Größe cht bekat d, müe al Egagdate für ee Auwertug Schätzwerte x heragezoge werde. Al Maß für de Ucherhet der Egaggröße dee emprche Varaze x (Quadrate der Stadartabwechuge x ) bzw. etprechede Schätzwerte für de Fall, da de Egaggröße cht voeader abhäge, d. h. cht mteader korrelert d. Be Korrelato zwche Egaggröße d auch och Kovaraze zu berückchtge [Letfade (995)]. Elektrotechk Ehetlche Verfahre zur Ermttlug vo Meßucherhete

2 Ka für ee Egaggröße ee betmmte Vertelug ageomme werde, t de deer Vertelug etprechede Varaz azuetze. Fall ur der obere ud utere Grezwert eer Egaggröße bekat d, wrd ee gleche Wahrchelchket für alle Werte erhalb de Itervall ageomme (Rechteckvertelug). Daher t für x der Mttelwert der bede Grezwerte azuetze, de Varaz t für de Rechteckvertelug zu bereche. De Wahl vo Varaze (ud Kovaraze) al Kegröße erlaubt de Awedug de Gaußche Fehlerfortpflazuggeetze verallgemeerter Form, be der de Zufallvarable ee belebge Vertelug habe dürfe.. Aätze für de Egagdate Be Merehe uter Wederholugbedguge t bekater Wee der arthmetche Mttelwert ach Gl. () al Schätzwert x azuetze. x = v = v =, () Au der Stadartabwechug folge gemäß der Gl. () ud (4) de Schätzwerte für de Stadardabwechug ud de Varaz vo X. = v ( v v ) () = x v = (4) Be ur wege Ezelmewerte ka der obe dargetellte Aatz zu eer Uterchätzug de Ucherhetbetrage führe. Für ee Azahl vo Ezelmewerte < < 0 wrd empfohle, de Varaz aufgrud der Ergebe früherer größerer Merehe abzuchätze. It de cht möglch, t de Stadartabwechug mt eem vo der Zahl der Ezelmewerte abhägge Faktor zu multplzere (etprcht dem t Faktor ach DIN 9, Tel ). Legt für ee Größe ur e ezeler Wert vor (Mewert, Lteraturwert, Agabe eem Kalbrerche o. ä.), o t deer mt de zugehörge Varaze bzw. Stadartabwechuge zu überehme. Fall kee derartge Agabe vorlege, mu de Varaz au der Erfahrug abgechätzt werde. De Veratwortug für ee realtche Abchätzug lät ch olche Fälle auf kee Art de mathematche Auwertug verlager. Ka ee betmmte Vertelug für ee Eflugröße ageomme werde, o t de deer Vertelug etprechede Varaz azuetze. Sd ur obere ud utere Grezwerte bekat oder abchätzbar (z. B. Temperaturberech oder Fehlergreze ee Megeräte), o wrd de gleche Wahrchelchket für alle Werte erhalb dee Itervall ageomme, alo ee Rechteckvertelug. Für de Schätzwert x t da der Mttelwert der bede Grezwerte ach Gl. (5) azuetze: x ( ao, + a = (5) u, ) Elektrotechk Ehetlche Verfahre zur Ermttlug vo Meßucherhete

3 De Varaz wrd ach de Gl. (6) bzw. (7) berechet, e achdem, ob de Grezwerte al oberer ud uterer Wert oder ur eetg bezüglch x agegebe d. ( a a ) x = o, u, (6) = a x (7) Möglche Verteluge, dee de Egaggröße uterlege köe, d der achfolgede Tabelle zuammegetellt (KESSEL 00): Vertelugform Parameter der Vertelug u (x) ormal Stadardabwechug σ σ trapezförmg rechteckförmg dreeckförmg U förmg Halbwete Δa Formfaktor β Halbwete Δa Halbwete Δa Halbwete Δa 6 ( Δa )² ( + β ²) ( Δa)² ( Δa)² 6 ( Δa)² I der Tabelle wrd her ertmal da Symbol u für de Stadardmeucherhet eer Wahrchelchketvertelug (her vo Egaggröße) verwedet; e t detch mt der Stadardabwechug der Wahrchelchketvertelug.. Berechug der Augagdate be ukorrelerte, voeader uabhägge Egaggröße Da Meergeb y tellt ee Schätzwert für de wahre Wert der Augaggröße Y ach Gl. () dar. E errechet ch au y = G x,... (8) ( ),..., x x v De Varaz der Augaggröße be voeader uabhägge (ukorrelerte) Egaggröße t glech der Summe der ezele Varaze, ewel multplzert mt de Quadrate der zugehörge partelle Abletuge der Fukto G (quadratche Addto) y G = x (9) = X (Beteht de Fukto G we häufg der Elektrotechk üblch ur au Produkte ud Quotete, o werde de Quadrate der partelle Abletuge alle glech, da köe efach de relatve Varaze addert werde. Dee relatve Varaze d auf de ewelge Größe bezogee Varaze ( x / x ) bzw. ( y /y). Da trfft aber cht für Summe oder Dffereze zu!) Elektrotechk Ehetlche Verfahre zur Ermttlug vo Meßucherhete

4 De Agabe der Varaz y bzw. der Stadartabwechug y al Maß für de Ucherhet ee Meergebe wrd m Allgemee al aureched ageehe. Be deer Agabe wrd der wahre Wert mt eer Wahrchelchket vo 68,% überdeckt. It edoch ee Ucherhetagabe gefordert, de mt eer höhere Wahrchelchket de wahre Wert überdeckt (z. B. be Kalbreruge m dutrelle Berech), o t al Geamtucherhet u de mt dem Faktor k = multplzerte Stadartabwechug azugebe. Für ee Normalvertelug bedeutet k =, da der wahre Wert mt eem Vertraueveau vo 95% erhalb de Ucherhetbereche legt (vgl. auch DIN 9, Tel ). 4. Berechug der Augagdate be korrelerte, voeader abhägge Egaggröße Grad der Korrelato zwche x ud charakterert r ( x, x ) x wrd durch gechätzte Korrelatokoeffzete u( x, x ) gechätzte Kovaraz vo x ud x = ( x ) u( x ) Pr odukt der Ucherhete vo x, x r ( x, x ) = (0) u + N N f f u c u( x, x ) = = = u ( x, x ) u ( x, x ) u c x x = gechätzte Kovaraz vo = komberte Varaz + Kovaraz x ud x () N N N u c c u ( x ) + c c u( x ) u( x ) r( x x ) = () = = = + Soderfall: r (, ) = + x x für Egaggröße allgeme u c c + u ( x ) + c c u( x ) u( x ) = [ c u( x ) + c u( x )] = () N u c = ( ) c u x (4) = uc N N (5) = = = c u( x ) = u Elektrotechk Ehetlche Verfahre zur Ermttlug vo Meßucherhete

5 5. Tabellarche Übercht (ach MELCHERT 990) Wederholt gemeee Größe Mewerte v, ( =,,..., ) Mttelwert x = v = (6) v, = Stadardabwechug v = ( v v = Varaz de Mttelwerte x v ) (7) = (8) Größe, be dee ur äußere Grezwerte bekat d Mttelwert x = ( ao, + au, ) (9) Varaz ( a a ) x = o, u, (0) x = a () Berechug der Augagdate Meergeb ( x ) y G,..., x,... x v = () Varaz für ukorrelerte Egaggröße G y = x () = X Elektrotechk Ehetlche Verfahre zur Ermttlug vo Meßucherhete

6 Varaz für korrelerte Egaggröße v G G G y = x x, k X + =, k = X X k (4) mt wobe x, k = x xk rx, k (5) k ud r Soderfall potve Korrelato mt r = + G P = x P = X = = G X x (6) Elektrotechk Ehetlche Verfahre zur Ermttlug vo Meßucherhete

7 6. Lteratur ADUNKA, F.: Meucherhete: Theore ud Prax Ee: VulkaVerlag,998 Letfade zur Agabe der Ucherhet bem Mee Hrg.: DIN Deutche Ittut für Normug e.v. Berl; We; Zürch: Beuth, 995 HARRIS, I. A.; WARNER, F. L. ReExamato of mmatch ucerttay whe meaurg mcrowave power ad atteuato IEE Proc. Vol. 8 pt H No., Febr. 98 KESSEL, W. Meucherhet ege Begrffe ud Folgeruge für de metechche Prax PTB Mtteluge. Jahrgag, Heft, September 00 KOSE, V.; MELCHERT, F. Quatemaße der elektrche Metechk Wehem; New York; Bael; Cambrdge: VCH, 99 MELCHERT, F. Ermttlug der Meucherhete be Kalbreruge I: MELCHERT, F; STUMPER, U. (Hrg.) Fortchrtte der Hochfrequeztechk, Vorträge de 86. PTBSemare PTBBercht E 8, PhykalchTechche Budeatalt Brauchweg Brauchweg, Jul 990 Elektrotechk Ehetlche Verfahre zur Ermttlug vo Meßucherhete

8 7. Ermttlug vo Meucherhete Bepel für ukorrelerte Egaggröße Quelle: Koe, Melchert (99) Meug der Stromtärke I al Spaugabfall am Mewdertad R: I = 0A R = 0, 0Ω Dgtalvoltmeter mt R > 0 9 Ω Raumtemperatur erhalb ( ± ) C Egagdate: 5 Ezelmeuge u = 00,0mV; x = 9,9 0 V 0 Varaz x = 98 0 V ; relatve Varaz ( ) 0 8,6 0 x = = 8, 0 0, Dgtalvoltmeter Fehlergreze für Meberech 00 mv ud für Temperaturberech 0 C... 5 C: ± (0,05 % der Megröße +0,0 % de Bereche) für Mewert 00 mv: 0,045 % Aahme Rechteckvertelug! ' Schätzwert für relatve Varaz: ( ) x 4,5 = 0 8 = Mewdertad R = 0,0008 Ω be 0 A; C relatve Meucherhet: 4 6 0, k = relatver Temperaturkoeffzet: / K zwche 5 C...5 C relatve Stadardabwechug 4 0 wege k = relatve Varaz ( ' ) x4 8 = 9 0 Temperaturberech ± K; relatver Temperaturkoeffzet / K be Rechteckvertelug 0 ' x4 = 5 0 = 0,750 8 relatve Varaz ( ) ( ) Elektrotechk Ehetlche Verfahre zur Ermttlug vo Meßucherhete

9 Meergeb ud Geamt Meucherhet: OHMche Geetz U I = R 0,0000 = = 9,985 0,0008 A (Meergeb) relatve Varaze al arthmetche Summe: 8 8 ( ' ) = ( 8, + 6, ,75) 0 = 4,7 0 y relatve Stadardabwechug bzw. relatve GeamtMeucherhet ( σ ) ' y, k = alo: der gemeee elektrche Strom hat ee Wert vo (9,985 ± 8,8 0 ) A (k = ) Elektrotechk Ehetlche Verfahre zur Ermttlug vo Meßucherhete

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