Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie

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1 VARIOUS KINDS OF CONVERGENCES OF SEQUENCES OF RANDOM VARIABLES 10 Dezember, 2012

2 1 Bekannte Konvergenzarten 2 3

3 1 Bekannte Konvergenzarten 2 3

4 Wahrscheinlichkeitsraum Im Folgenden betrachten wir immer den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P), die Zufallsvariable X und eine Folge von Zufallsvariablen {X n } und n

5 Definition fast sicher Definition {X n } konvergiert fast sicher (f.s) gegen X; n falls P[ω : lim n X n(ω) = X (ω)] = 1. Schreibweise: X n f.s X

6 Definition konvergent in Wahrscheinlichkeit Definition Eine Folge {X n } konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen X wenn: lim P[ω : X n(ω) X (ω) ε] = 0. n Schreibweise: X n P X

7 Definition konvergent in Verteilung Definition Eine Folge {X n } ist konvergent in Verteilung, falls gilt lim F n(x) = F (x) für jeden Stetigkeitspunkt von F. n Schreibweise: F n d F und Xn d X.

8 Definition konvergent in L r Definition {X n }, X L r und r 1 E[ X r ] <, E[ X n r ] < dann konvergiert X n im L r, falls lim E[ X n X r ] = 0. n Schreibweise: X n L r X.

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10 1 Bekannte Konvergenzarten 2 3

11 Beispiel I Beispiel Beispiel Nr.1: F (x) Verteilungsfunktion x ɛ R 1, stetig zwei Verteilungsfunktionen:

12 Beispiel I Beispiel Beispiel Nr.1: F (x) Verteilungsfunktion x ɛ R 1, stetig zwei Verteilungsfunktionen: F n (x) = F (x + n), G n (x) = F (x + ( 1) n n) F n (x) 1, n x ɛ R 1

13 Beispiel I Beispiel Beispiel Nr.1: F (x) Verteilungsfunktion x ɛ R 1, stetig zwei Verteilungsfunktionen: F n (x) = F (x + n), G n (x) = F (x + ( 1) n n) F n (x) 1, n x ɛ R 1 lim F n(x) = 1 = keine Verteilungsfunktion n G 2n (x) 1, aber G 2n+1 (x) 0, n

14 Beispiel I Beispiel Beispiel Nr.1: F (x) Verteilungsfunktion x ɛ R 1, stetig zwei Verteilungsfunktionen: F n (x) = F (x + n), G n (x) = F (x + ( 1) n n) F n (x) 1, n x ɛ R 1 lim F n(x) = 1 = keine Verteilungsfunktion n G 2n (x) 1, aber G 2n+1 (x) 0, n Also konvergiert G n nicht!

15 Beispiel II Beispiel Beispiel Nr.2: Sei X eine Bernoullivariable:P(X = 1) = P(X = 0) = 1 2 X n ist eine Folge von Zufallsvariablen X n = X

16 Beispiel II Beispiel Beispiel Nr.2: Sei X eine Bernoullivariable:P(X = 1) = P(X = 0) = 1 2 X n ist eine Folge von Zufallsvariablen X n = X Dann gilt: X n d X, n Definiere: Y = 1 X. X n d Y

17 Beispiel II Beispiel Beispiel Nr.2: Sei X eine Bernoullivariable:P(X = 1) = P(X = 0) = 1 2 X n ist eine Folge von Zufallsvariablen X n = X Dann gilt: X n d X, n d Definiere: Y = 1 X. X n Y X n konvergieren nur in Verteilung gegen Y da: X n Y = 1 = P[ X n Y > ε] 0

18 Beispiel III Beispiel Beispiel Nr.3: eine Folge {X n, n 1} unabhängiger Zufallsvariablen P[X n = 1] = 1 n, P[X n = 0] = 1 1 n, n 1.

19 Beispiel III Beispiel Beispiel Nr.3: eine Folge {X n, n 1} unabhängiger Zufallsvariablen P[X n = 1] = 1 n, P[X n = 0] = 1 1 n, n 1. X n P 0, aber Xn f.s 0 nicht erfüllt ist.

20 Frage zu konvergent in L r L r Sei X n X X n Gilt dann: L X s n X X n L s X L r X? 0 < s < r

21 Beispiel IV Beispiel Beispiel Nr.4: P[X n = n] = n (r+s)/2 = 1 P[X n = 0], n 1 E[Xn s ] = n (s r)/2 0

22 Beispiel IV Beispiel Beispiel Nr.4: P[X n = n] = n (r+s)/2 = 1 P[X n = 0], n 1 E[Xn s ] = n (s r)/2 0 E[Xn] r = n (r s)/2 D.h. konvergent in L s impliziert nicht L r!

23 Beispiel V Beispiel Beispiel Nr.5: X n sei eine Zufallsvariable P[X n = e n ] = 1 n, P[X n = 0] = 1 1 n P[ X n < ε] = P[X n = 0] = 1 1 n 1 für n

24 Beispiel V Beispiel Beispiel Nr.5: X n sei eine Zufallsvariable P[X n = e n ] = 1 n, P[X n = 0] = 1 1 n P[ X n < ε] = P[X n = 0] = 1 1 n 1 für n aber E[Xn] r = e rn 1 n konvergent in Wahrscheinlichkeit aber nicht in L r.

25 Beispiel I Impliziert konvergent im L r Sinne fast sichere Konvergenz?

26 Beispiel VI Beispiel Beispiel Nr.6: X n eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen P[X n = 0] = 1 1, P[X n 1/4 n = ±1] = 1 2n 1/4 Dann gilt X n L 2 0, aber X n f.s 0 gilt nicht!

27 Definition II Lemma Seinen F,F n Verteilungsfunktionen,so dass ihre Dichtefunktionen f,f n exitieren. falls f n f, (n ) fast überall, xɛr dann folgt F n F

28 Frage Bekannte Konvergenzarten Gilt auch die Gegenrichtung?

29 Beispiel Sei und 0, ( ) falls x 0 F n = x 1 sin(2nπx) 2nπx, falls 0 < x 1 1, falls x 1 0, falls x 0 F = x, falls 0 < x 1 1, falls x 1 Dann gilt zwar F n (x) F aber f n (x) f (x)..

30 Bilder zu Beispiel 7 1 F(x) 1.5 F 50 (x) f(x) 2 f 50 (x)

31 1 Bekannte Konvergenzarten 2 3

32 Definition m=n P[ X m > ε] = 0 ε > 0 lim n

33 D.h. aus vollständiger Konvergenz folgt f.s. Konvergenz. Aber was gilt für die Gegenrichtung?

34 Beispiel (Ω, F, P), Ω = [0, 1], F = B [0,1] und P ist das Lebesgue-Maß { 1, falls 0 ω 1 X n (ω) = n 1 0, falls n ω 1. Konvergiert nicht vollständig.

35 Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit.