Lernziel: verallgemeinerbare Interpretation des Begriffs 'Ableitung einer Funktion' am Punkt

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1 C: Calculus C1: Differenzieren (Ableiten) 1-dimensionaler Funktionen Lernziel: verallgemeinerbare Interpretation des Begriffs 'Ableitung einer Funktion' C1.1 Def. der Ableitung sei glatte Funktion. 'Ableitung von f am Punkt x': Interpretation: Steigung v. am Punkt Alternative Notationen: Verallgemeinerbare Betrachtung: Sei klein, aber nicht infinitessimal klein. Dann: in guter Näherung, wird exakt für Grundlegende Formel: "Mutter aller Ableitungen" Schreibe Interpretation: nahe bei x kann eine lineare Funktion v. linear in y! näherungsbeweise beschrieben werden durch Allgemeine Faustregel: jede Ableitung stellt eine lokale Näherungen einer Funktion durch eine lineare Funktion dar!

2 Beispiel: ausmultipliziert: Identifiziere: [(durch Vergleich mit (b.3)] Fazit: bedeutet: Terme 'höher als lineare Ordnung in (hier: ' ) sind vernachlässigbar relativ zu wenn vernachlässigbar relativ zum ersten Term in [ ], falls C1.2 Ableitungsregeln (aus Schule bekannt? In Übungen trainieren!) (Siehe auch Skript, Mathe Vorkurs) seien 'glatte Funktionen', Ableitungen existieren Produktregel: Kettenregel: wichtiger Spezialfall: Inverse:

3 Inverse Funktion: Sei die Inverse Funktion v. dann gilt: KR (d.2), mit Beispiel: Heuristische Begründung für (e.2): [siehe Altland-Delft-Text, Abschnitt C1.2] nutze Mutter aller Ableitungen, mache lineare Näherung für h: nutze Mutter aller Ableitungen, mache lineare Näherung für C1.3 Ableitungen v. wichtigen Funktionen: siehe Altland-Delft-Text, Abschnitt C1.3

4 C2 Integrieren 1-dimensionaler Funktionen C2.1 Grundidee der Integration Lernziel: verallgemeinerbare Interpretation des Begriffs 'Integral einer Funktion' Beispiel: Bestimmung einer 2-dimensionalen Fläche: Schätzung d. Gesamtfläche: Fläche einer Kachel: Anzahl Kacheln: Bessere Schätzung d. Gesamtfläche: Tatsächliche Gesamtfläche: Solch eine Art von Grenzwert wird 'Integral' genannt. Fläche einer Kachel: Anzahl Kacheln: Kompliziertere Aufgabe: Fläche sei ungleichmäßig angemalt. Wieviel Farbe wurde gebraucht? Farbdichte auf Kachel i: Schätzung des Farbverbrauchs: Tatsächlicher Farbverbrauch, akkurat bestimmt im Limes unendlich vieler, infinitessimal kleiner Kacheln: (2-dimensionale) Integrationsvariable Integrationsbereich Funktion einer 2-dimensionalen, kontinuierlichen Variablen, Allgemeine Faustregel: Integral = Grenzwert einer Summe Diskretisierungsparameter: 'Riemann-Summe' "Mutter aller Integrale" Diskretisierungsindex: Größe, über die summiert wird:

5 Beispiel: Fläche unter einer Kurve Integrationsbereich: Diskretisierungsparameter = Kachelbreite: Diskretisierungsindex: Fläche v. Kachel i: Schätzung d. Gesamtfläche: Tatsächliche Fläche: Definition: 'Integral d. Funktion f' Integration als 'Umkehroperation' des Differenzierens Wie ändert sich als Funktion von? (halte fest, füge eine Kachel hinzu) Aufgelöst nach f: Mutter aller Ableitungen Im Limes erhalten wir den 'Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung':

6 'Bestimmtes Integral': = Fläche unter Kurve zwischen und Standardnotation: Falls ist eine 'Stammfunktion' von Stammfunktion ist nicht eindeutig: beliebige Konstante ist auch eine Stammfunktion. 'Unbestimmtes Integral': C2.3 Variablen-Substitution Kacheln müssen nicht alle gleich groß sein! seien Grenzpunkte v. 'ungleichbreiten' Kacheln Verallgemeinerung der Riemann-Summe: Breite v. Kachel i Ziel: Umformung in Riemann-Summe mit gleichbreiten Kacheln: Kachelbreiten seien bestimmt durch eine Funktion, y: Steigung: mit

7 Mutter aller Ableitungen entstammt den ungleichen Kachelbreiten in Ausgangsformel (f.2) 'Variablen- Substitution': Merkregeln: Substitution: 'Integrationsmaß' Interations grenzen: vor: nach: Eselsbrücke: Beispiel: Substitution: Integrationsmaß: Integrationsgrenzen:

8 C2.4 Partielle Integration: Produktregel: Integrieren: Umstellen: "partielle Integration" Nützlich, falls einfacher als ist. Beispiel: Selber lesen: C2.5 Integrale elementarer Funktionen Zusammenfassung: C1-C2 C1: Ableitung 1-dimensionaler Funktionen Definition d. Ableitung: Jede Ableitung stellt eine lokale Näherungen einer Funktion durch eine lineare Funktion dar! Produktregel: Kettenregel: Ableitung d. Umkehrfunktion:

9 C2 Integrale 'Riemann-Summe' Fläche unter Kurve: 'Hauptsatz': Bestimmtes Integral: 'Variablen- Substitution': 'Partielle Integration'