Differentialgeometrie von Kurven und Flächen

Transkript

1 Differentialgeometrie von Kurven und Flächen Inhaltsverzeichnis:. Hilfsmittel Fritzsche 2. Parametrisierte Kurven Ballnus, Ebene Krümmung Ballnus, Raumkurven Stergiou, Globale Eigenschaften Nietz, Parametrisierte Flächen Kintscher, Erste Fundamentalform Kintscher oder Ding, Normalkrümmungen Brüder, Gauß sche Krümmung Brüder, Theorema egregium Lommerzheim, Geodätische Schächt, Kartenprojektionen Agzibüyük, und : Reserve-Termine 2 Flächen Vorträge Nr. 6 und 7 Ein parametrisiertes reguläres Flächenstück S R 3 differenzierbaren Abbildung ϕ : P R 3, so dass gilt: ist das Bild einer beliebig oft. P ist eine offene, zusammenhängende Menge im R 2, ϕ ist injektiv. 2. rg J ϕ u 2 für alle u P. 3. Ist u 0 P und u ν P eine Folge mit lim ν ϕu ν ϕu 0, so ist auch lim ν u ν u 0 vgl. dazu GK Analysis 2, Abschnitt.5. Dann ist S mit der Relativtopologie homöomorph zu P vgl. Lemma.5.7 in GK Analysis 2 und Proposition 4 in 2.2 in do Carmo. Eine reguläre Fläche ist eine Teilmenge S R 3, so dass es zu jedem x S eine offene Umgebung U Ux R 3 existiert, so dass S U ein parametrisiertes reguläres Flächenstück ist. Jedes Flächenstück S R 3 kann lokal als Niveaufläche f 0 mit einer Funktion f : U R, U R 3, und fx 0 dargestellt werden. Zwei verschiedene Parametrisierungen gehen durch differenzierbare Parametertransformationen auseinander hervor siehe do Carmo, Proposition in 2.3; im GK Analysis 2 wird das Gleiche für p-dimensionale Flächen im R n gemacht, im Abschnitt.5. Dadurch ist es möglich, differenzierbare Funktionen auf Flächen zu definieren. Ist ϕ : P S R 3 ein parametrisiertes Flächenstück, so heißt T ϕu S : Im Dϕu die Tangentialebene an S in ϕu. Jeder Tangentialvektor v T p S ist Tangentenvektor α 0 einer Kurve α : I S mit α0 p und umgekehrt. Ist F : S S 2 eine differenzierbare Abbildung und v α 0 T p S, so setzt man F,p v : F α 0.

2 Dadurch wird eine lineare Abbildung F,p : T p S T F p S 2 definiert, die Tangentialabbildung. Ist sie ein Isomorphismus, so ist F lokal nahe p ein Diffeomorphismus. In der Literatur gibt es für die Tangentialabbildung F,p noch andere Bezeichnungen, z.b. df p. Sei S R 3 eine reguläre Fläche. Die quadratische Form I p : T p S R mit I p v : v v euklidisches Skalarprodukt im R 3 heißt erste Fundamentalform auf S. Manchmal bezeichnet man auch das Skalarprodukt selbst mit I p. Eine Parametrisierung ϕ definiert eine Basis {ϕ u p, ϕ v p} des Tangentialraums u,v seien die beiden Parameter. Nach Gauß definiert man für u u, v P und p : ϕu S : Eu : ϕ u p ϕ u p I p ϕ u p, F u : ϕ u p ϕ v p, Gu : ϕ v p ϕ v p I p ϕ v p. Ist v α 0 T p S und schreibt man α ϕ a, a 2 mit einer differenzierbaren Kurve a, a 2 im R 2, so ist v a ϕ u + a 2ϕ v und I p v E a 2 + 2F a a 2 + G a 2 2. So kann man in lokalen Koordinaten rechnen. Es ist ϕ u ϕ v EG F 2. Diese Größe spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung des Flächeninhaltes eines Flächenstücks: Ist Q P und K : ϕq kompakt, so ist µk : ϕ u ϕ v du dv der Flächeninhalt von K. Q Die Wahl einer Parametrisierung ϕ induziert durch die Basis {ϕ u, ϕ v } und ihre Anordnung eine Orientierung der Tangentialräume. Die Fläche S heißt orientierbar, falls man S so mit Koordinaten überdecken kann, dass alle Kartenwechsel positive Funktionaldeterminante haben. Man kann zeigen, dass S genau dann orientierbar ist, wenn es auf S ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld gibt. Das Möbiusband ist ein Beispiel einer nicht orientierbaren Fläche. Niveauflächen f 0 sind immer orientierbar. 2

3 3 Flächenkrümmung Vorträge Nr. 8, 9 und 0 Die ersten Ergebnisse gehen auf Euler zurück 760. Sei S eine Fläche, p S und N ein Normalenvektor zunächst willkürlich gewählt. Jeder Tangentialvektor v T p S spannt mit N eine Ebene Ev auf, die mit {v, N} orientiert wird. Der Schnitt Ev S ist Bild einer Kurve α v mit α v 0 p, und diese hat in Ev eine orientierte Krümmung κ N v, die Normalenkrümmung von S in p in Richtung v. Satz: Wenn die Normalenkrümmung v κ N v nicht konstant ist, gibt es genau zwei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren v, v 2 T p S, so dass κ : κ N v maximal und κ 2 κ N v 2 minimal ist. Man nennt κ, κ 2 die Hauptkrümmungen von S in p, und v, v 2 die Hauptkrümmungsrichtungen. Der Punkt p heißt elliptisch, falls κ, κ 2 das gleiche Vorzeichen besitzen, hyperbolisch, falls κ und κ 2 verschiedene Vorzeichen haben, parabolisch, falls genau eine der Hauptkrümmungen verschwindet und flach, falls κ κ 2 0 ist. Satz von Meusnier: Sei F eine Ebene, die v T p S enthält, und θ der Winkel zwischen F und der Normalenebene Ev. Ist κ θ die Krümmung der Kurve F S in p, so ist κ N v κ θ cos θ. Bemerkung: Die Größe κ θ cos θ nennt man auch die Normalkrümmung von F S in p. Dann kann der Satz von Meusnier auch folgendermaßen formuliert werden: Alle Kurven auf S durch p mit dem gleichen Tangentialvektor v in p haben die gleiche Normalkrümmung in p. Gauß entwickelte eine Flächentheorie, die sich auf die inneren Eigenschaften der Fl2ache konzentrierte 827. Im Folgenden Sei S stets eine orientierbare Fläche. Die Gauß-Abbildung N : S S 2 wird definiert durch Np : ϕ u ϕ v ϕ u ϕ v. Man kann zeigen, dass N eine differenzierbare Abbildung ist. Allerdings hängt N von den Koordinaten ab. Wenn man allerdings eine Orientierung auf S wählt, kann man ein differenzierbares Einheitsnormalenfeld auf S finden, und dann kann man die Parametrisierung ϕ immer so wählen, dass N in die Richtung des Einheitsnormalenfeldes zeigt und daher mit ihm übereinstimmt. Das Spannende an der Gaußabbildung ist die zugehörige Tangentialabbildung N,p : T p S T Np S 2. Weil einerseits T p S die Ebene durch den Nullpunkt ist, die auf Np senkrecht steht, und andererseits auch T Np S 2 die Ebene durch den Nullpunkt ist, die auf Np senkrecht steht, kann man die beiden miteinander identifizieren man beachte, dass Vektoren immer als Vektoren im Nullpunkt aufgefasst werden können, und das gilt auch für die Tangentialvektoren an eine Fläche. Also haben wir einen Endomorphismus N,p : T p S T p S, und für die Untersuchung von Endomorphismen gibt es in der linearen Algebra einen umfangreichen Apparat. Die Abbildung L : N,p : T p S T p S nennt man die Weingartenabbildung oder den Gestalt-Operator. Ist V ein reeller Vektorraum mit innerem Produkt...,..., so nennt man einen Endomorphismus L : V V selbstadjungiert, falls Lv, w v, Lw für alle v, w V gilt. 3

4 Satz: Die Weingartenabbildung L ist selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform. Die quadratische Form II p : T p S R mit heißt zweite Fundamentalform auf S. II p v : I p Lv, v I p N,p v, v Für v T p S mit I p v ist II p v κ N v. Das erklärt, warum das Minuszeichen eingefügt wurde. Die Eigenwerte der zweiten Fundamentalform sind die Hauptkrümmungen, die zugehörigen Eigenvektoren sind die Hauptkrümmungsrichtungen unter den Eigenwerten und Eigenvektoren von II p versteht man die von L. Definition: K : detn,p heißt Gauß sche Krümmung, H : SpurN,p /2 heißt mittlere Krümmung von S in p. Sind κ, κ 2 die Hauptkrümmungen, so ist K κ κ 2 und H κ + κ 2 2 Versieht man T p S mit der Basis {ϕ u, ϕ v }, so kann man alle betrachteten Größen in lokalen Koordinaten bezüglich dieser Basis ausrechnen. Schreibt man N u a ϕ u + a 2 ϕ v und N v a 2 ϕ u + a 22 ϕ v, a a so wird N,p durch die Matrix 2 beschrieben. Weiter sei a 2 a 22 e : N u, ϕ u N, ϕ uu, f : N v, ϕ u N, ϕ uv N u, ϕ v und g : N v, ϕ v N, ϕ vv. Die Gleichungen kommen zustande, weil N, ϕ u N, ϕ v 0 ist; man differenziere dann einfach! Mit den in 2 eingeführten Größen E, F und G folgt dann: e f a a 2 E F f g a 2 a 22., und deshalb a a 2 e f a 2 a 22 EG F 2 f g und Ist Kp 0, so folgt außerdem: K eg f 2 EG F 2. G F F E µnu Kp lim, U p µu wobei U Umgebungen von p durchläuft und µ die Flächeninhaltsfunktion bezeichnet. Ein Diffeomorphismus F : S S 2 zwischen Flächen heißt eine Isometrie, falls für alle p S und alle v, w T p S gilt: I p v, w I F p F,p v, F,p w. 4

5 Ein herausragender Satz von Gauß lateinisch Theorema Egregium behandelt die Tatsache, dass die zunächst extrinsisch - d.h. durch Bezug auf den umgebenden 3-dimensionalen Raum - definierte Gauß-Krümmung in Wirklichkeit eine intrinsische Größe ist, d.h. von 2-dimensionalen Bewohnern der Fläche direkt bestimmt werden kann. Eigenschaften einer Fläche, die unter Isometrien erhalten bleiben, sind intrinsisch. Ist F : S S 2 eine Isometrie, so gibt es zu jedem Punkt p S Parametrisierungen ϕ : P S um p und ψ : Q S 2 um F p, so dass die Größen E, F, G in beiden Fällen die gleichen Werte aufweisen. Längen, Winkel und Flächeninhalte bleiben erhalten. Umgekehrt kann man zeigen, dass der Koordinatenwechsel zwischen zwei Parametrisierungen vgl. Vortrag 6 mit identischen Größen E, F, G eine lokale Isometrie ist. Ist ϕ Parametrisierung einer Fläche S, so ist {ϕ u, ϕ v, N} eine Basis des R 3, und jeden anderen Vektor kann man als Linearkombination der Basisvektoren schreiben. Insbesondere gilt: ϕ uu Γ ϕ u + Γ 2 ϕ v + L N, ϕ uv Γ 2ϕ u + Γ 2 2ϕ v + L 2 N, und ϕ vv Γ 22ϕ u + Γ 2 22ϕ v + L 3 N, sowie N u a ϕ u + a 2 ϕ v und N v a 2 ϕ u + a 22 ϕ v. Die Koeffizienten Γ k ij heißen Christoffel-Symbole, und es zeigt sich, dass ist. Man rechnet nach: und L e, L 2 f und L 3 g E F E F E F Γ Γ 2 Γ 2 Γ 2 2 Γ 22 Γ E u F u 2 E v 2 E v 2 G u F v 2 G u 2 G v Die Werte der Christoffel-Symbole hängen also nur von den metrischen Koeffizienten E, F, G und deren Ableitungen ab. Unter Isometrien bleiben sie unverändert. Theorema Egregium Gauß: Die Gauß sche Krümmung ist intrinsisch, also invariant unter lokalen Isometrien. Zum Beweis rechnet man nach, dass die folgende Formel gilt. Γ 2 2 Γ 2 u + v Γ 2Γ 2 + Γ 2 2Γ 2 2 Γ 2 Γ 2 22 Γ Γ 2 2 EK.,. Also hängt K nur von den Christoffelsymbolen und deren Ableitungen ab. 5