1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING 1

Transkript

1 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING 1 1. Einführung ins State-Pricing In diesem Kapitel betrachten wir eine Periode. Das heisst, wir können nur zu den Zeitpunkten 0 und 1 handeln. Im weiteren arbeiten wir mit einem Raum, wo die Welt nur eine endliche Anzahl möglicher Zustände hat. Das heisst, zum Zeitpunkt 1 gibt es nur eine endliche Anzahl möglicher Preise Arbitrage und State-Prices Es gibt S IIN verschiedene Zustände der Welt, {1, 2,..., S}. Ein Agent kann in N IIN Aktive investieren. Die Preise zur Zeit Null sind im Vektor q = (q i ) zusammengefasst, wobei q i den Preis des Aktivs i bezeichnet. Die N S Matrix D bezeichnet die Preise zur Zeit 1. Das ist, D ij ist der Preis des Aktivs i, falls j der richtige Zustand der Welt ist. Der Zeilenvektor θ bezeichnet ein Portfolio. Der Agent kauft θ i Einheiten des i-ten Aktivs. Ein negatives θ i bedeutet, dass der Agent den Aktiv verkauft, ihn aber erst zum Zeitpunkt 1 ausliefert (Forward). Der Kaufpreis des Portfolios ist dann θq. Die möglichen Werte des Portfolios zum Zeitpunkt 1 sind θd, wobei die j-te Koordinate den Wert bezeichnet, falls j der richtige Zustand der Welt ist. Definition 1.1. Ein Portfolio θ heisst Arbitrage, falls θq 0 und θd > 0 (mindestens eine Koordinate ist streng positiv) oder θq < 0 und θd 0. Falls es Arbitrage gibt, ist es möglich, Geld zu generieren. Da in so einem Fall alle Agenten das Arbitrageportfolio kaufen wollen, würde sich der Preis sofort ändern. Eine Arbitrage kann in einem funktionierenden Markt nur kurzzeitig existieren. Wir können daher annehmen, dass es keine Arbitrage gibt. Satz 1.2. Es gibt genau dann keine Arbitrage, wenn ein Vektor ψ IR S mit streng positiven Koordinaten existiert, so dass q = Dψ. Definition 1.3. State-Price-Vektor. Ein Vektor ψ, der die Bedinungen aus Satz 1.2 erfüllt, heisst Beweis. gilt Nehmen wir an, es gebe einen State-Price-Vektor ψ. Ist nun θq 0, so θdψ = θq 0.

2 2 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING Da ψ nur streng positive Koordinaten hat, impliziert θd 0, dass θd = 0. Ist θq < 0, folgt θdψ < 0. Also gibt es eine streng negative Koordinate von θd. Definieren wir nun M = {( θq, θd) : θ IR N } and K = IR + IR S +. Keine Arbitrage ist äquivalent mit K M = {0}. Die Mengen M und K \ M sind beide konvex. Daher gibt es eine lineare Funktion F : IR S+1 IR (Lemma E.1), so dass F (z) < F (x) für alle z M und alle x K \ M. Da M ein linearer Unterraum ist, muss F auf M verschwinden. Also gibt es α IR und ψ IR S, so dass F (v, c) = αv + cψ. Da F (v, c) > 0 für alle (v, c) K \ M gilt, ist α > 0 und ψ j > 0 für alle j. Für θ IR N erhalten wir αθq + (θd)ψ = F ( θq, θd) = 0. Somit folgt, dass ψ/α ein State-Price-Vektor ist, da θ beliebig ist. Nehmen wir an, wir wollen den Preis eines neuen Aktivs (z.b. einer Option) bestimmen. Die Werte zum Zeitpunkt 1 sind durch einen Vektor d gegeben. Soll keine Arbitragemöglichkeit geschaffen werden, muss also ein State-Price-Vektor existieren. So ein State-Price-Vektor muss auch State-Price-Vektor im Markt ohne den neuen Aktiv sein. Also sind alle möglichen Preise zur Zeit 0 durch die Formel dψ gegeben sein, wobei ψ ein State-Price-Vektor des Marktes ohne den neuen Aktiv ist. Ist d nicht linear abhänging von den Zeilen von D, wird die Menge der möglichen State- Price-Vektoren verkleinert Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten Wir versehen nun den Markt mit einem Wahrscheinlichkeitsmass IIP. Sei p j die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand j der richtige Zustand ist. Da alle Zustände möglich sein sollen, muss p j > 0 gelten. Sei ψ ein State-Preis-Vektor, und ψ 0 = S j=1 ψ j. Definieren wir das Wahrscheinlichkeitsmass IIP, das den Zuständen die Wahrscheinlichkeiten ˆψ j gilt = ψ j /ψ 0 zuordnet. Dann sind die Masse IIP und IIP äquivalent. Es q i ψ 0 = S D ij ˆψj = IIE [D i ], wobei die Zufallsvariable D i den Wert des i-ten Aktivs bezeichnet. j=1 Nehmen wir nun an, es sei möglich ein Portfolio θ zu konstruieren, so dass θd = (1, 1,..., 1). Ein solches Portfolio würde unabhänging vom Zustand der Welt

3 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING 3 zum Zeitpunkt 1 den Wert 1 haben. Der Wert zum Zeitpunkt 0 ist dann θq = θdψ = ψ 0. Der Preis einer risikolosen Einheit ist damit ψ 0, das heisst ψ 0 ist ein risikoloser Diskontierungsfaktor. Somit ist q i = ψ 0 IIE [D i ] der diskontierte erwartete Wert des i-ten Aktivs. Aus diesem Grunde nennt man das Mass IIP risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmass. Wird ein neuer Aktiv mit Auszahlung d zum Markt dazugefügt, so kann der Preis des Aktivs durch ψ 0 IIE [d] ausgedrückt werden, wobei d den Preis des neuen Aktivs bezeichnet Optimaler Nutzen und Preise von Aktiven Wir nehmen nun an, dass es ein Portfolio ˆθ mit der Eigenschaft ˆθD > 0 gibt. Das heisst, es gibt eine Möglichkeit so zu investieren, dass man im Zeitpunkt 1 keine Schulden hat, und in mindestens einem Zustand der Welt nicht alles Kapital verloren hat. Ein Agent ist definiert durch eine streng wachsende Nutzenfunktion U : IR S + IR und ein Einkommen e IR S +. Der Agent handelt mit den N Aktiven, was wir durch ein Portfolio θ darstellen. Da der Agent nicht mehr Geld ausgeben kann, als er hat, muss die Bedingung θq 0 erfüllt sein. Den Betrag θq konsumiert der Agent zur Zeit 0. Das Kapital im Zeitpunkt 1 ist daher in der Menge X (q, e) = {e + θd IR S + : θ IR N, θq 0}. Insbesondere muss der Agent so investieren, dass er im Zeitpunkt 1 keine Schulden hat. Der Agent will nun seinen erwarteten Nutzen optimieren. Er versucht somit ein Portfolio θ zu finden, so dass U(e + θ D) = sup U(c). (1.1) c X (q,e) Ein solches Portfolio muss θ q = 0 erfüllen. Ansonsten gibt es ein λ > 0, so dass (θ + λˆθ)q 0. Da (θ + λˆθ)d > θ D und U wachsend ist, kann θ nicht optimal sein. Die Existenz eines optimalen Portfolios hängt mit der keine Arbitrage Eigenschaft zusammen.

4 4 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING Proposition 1.4. Wenn die Gleichung (1.1) eine Lösung hat, kann keine Arbitrage existieren. Falls U stetig ist und keine Arbitrage existiert, dann hat (1.1) eine Lösung. Beweis. Nehmen wir an, dass θ existiert. Sei θ eine Arbitrage. Dann ist λ θq 0 für alle λ > 0. Die Funktion λ U(e + (θ + λ θ)d) ist wachsend in λ, da U streng wachsend ist und θd 0 gilt. Somit muss θd = 0 gelten, da sonst θ nicht existieren könnte. Somit gilt θq < 0. Es gibt daher ein λ > 0, so dass ( θ + λˆθ)q 0. Wir schliessen, dass (θ + θ + λˆθ)d > θ D. Da U streng wachsend ist, ist dies ein Widerspruch. Somit kann keine Arbitrage existieren. Nehmen wir nun an, dass U stetig ist, und dass es keine Arbitrage gibt. Es ist klar, dass X (q, e) abgeschlossen ist. Sei Y = {θ IR N : e + θd IR S +, θq 0}. Die Menge Y ist abgeschlossen und konvex. Da 0 Y ist λθ Y falls θ Y und λ [0, 1]. Sei nun {θ n } eine Folge in Y, so dass θ n. Dann gibt es eine Teilfolge von {θ n / θ n } die konvergiert, sagen wir gegen θ 0. Die Folge λθ n / θ n konvergiert dann gegen λθ 0. Daher ist λθ 0 Y für alle λ > 0. Dies ist nur möglich, falls θ 0 q 0 und θ 0 D 0. Da es keine Arbitrage gibt, gilt θ 0 D = 0. Wir schliessen, dass X beschränkt ist. Somit ist X (q, e) kompakt. Also ist U = sup{u(c) : c X (q, e)} endlich. Da U stetig ist, existiert c, so dass U(c ) = U. Die Menge {θ : θq 0} ist abgeschlossen. Der Beweis oben zeigt, dass es ein Portfolio θ gibt, so dass c = e + θd. Dies ist die Lösung der Gleichung (1.1). Satz 1.5. Nehmen wir an, es gebe eine Lösung zu (1.1), so dass c = e+θ D > 0 streng positive Koordinaten hat. Sei U(c ) die Ableitung von U in c, und nehmen wir an, dass sie existiert und dass die partiellen Ableitungen verschieden von Null sind. Dann gibt es eine Zahl λ > 0, so dass λ U(c ) ein State-Price-Vektor ist. Beweis. Da U wachsend ist, gilt U(c ) 0. Sei θ ein Portfolio mit Preis θq = 0. Wir definieren die Funktion g θ (α) = U(c + αθd).

5 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING 5 Die Funktion hat ein Maximum in α = 0. Daher gilt θd U(c ) = 0. Da dies für jeden Vektor θ orthogonal zu q gilt, gibt es ein µ IR\{0}, so dass D U(c ) = µq. Da es, siehe Proposition 1.4, keine Arbitrage gibt, impliziert ˆθD > 0, dass ˆθq > 0. Aus µˆθq = ˆθD U(c ) > 0 folgt, dass µ > 0. Für λ = 1/µ erhält man q = λd U(c ). Da die partiellen Ableitungen strikt positiv sind, ist λ U(c ) Vektor. ein State-Price- Korollar 1.6. Sei U konkav und differenzierbar. Dann ist ein c X (q, e) mit der Eigenschaft c = e + θ D > 0 mit streng positiven Koordinaten und mit θ q = 0 genau dann optimal, wenn es ein λ > 0 gibt, so dass λ U(c ) ein State-Price- Vektor ist. Beweis. Ist c optimal, dann folgt die Aussage aus Satz 1.5. Für die entgegengesetzte Richtung nehmen wir an, es gebe ein θ, so dass U(c + θd) U(c ) und c + θd X (q, e). Dann ist θq 0. Da U konkav ist, gilt 0 d dµ U(c + µθd) = θd U(c ) = λ 1 θq 0. µ=0 Das heisst, U(c +µθd) hat ein Maximum in µ = 0. Daher gilt U(c +θd) = U(c ). Ein Spezialfall ist der erwartete Nutzen. Sei p j die Wahrscheinlichkeit, dass j der richtige Zustand der Welt ist. Sei u : IR + IR eine streng wachsende Funktion. Der erwartete Nutzen ist definiert als U(c) = S p j u(c j ) = IIE[u(c)]. j=1 Ist u differenzierbar, dann ist U(c) = (p j u (c j )) j. Gibt es eine optimale Lösung c der Gleichung (1.1), dann existiert ein λ > 0, so dass q i = λ j D ij p j u (c j).

6 6 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING Schreiben wir ψ 0 = j p ju (c j) = IIE[u (c )] und ˆψ j = p j u (c j)/ψ 0, erhalten wir S q i = λψ 0 IIE [D i ] = λψ 0 ˆψ j D ij. Wir können dies als diskontierten erwarteter Profit unter dem Mass IIP interpretieren. j= Äquilibrium, Pareto-Optimalität, vollständige Märkte Nehmen wir and, es gebe m Händler, die alle durch eine Nutzenfunktion U i und Einkommen e i definiert sind. Definition 1.7. Ein Äquilibrium für die Ökonomie {(U i, e i ), D} sind Variablen (θ 1,..., θ m, q), so dass für jeden Händler i e i + θ i D 0 gilt, und θ i die Funktion U i (e i + θd) unter der Nebenbedingung θq 0 maximiert, so dass i θi = 0. Ein Markt heisst vollständig, falls {θd : θ IR N } = IR S. Ein Markt heisst unvollständig, falls er nicht vollständig ist. Sei e = i ei das Gesamteinkommen. Definition 1.8. Eine Konsumverteilung (c 1,..., c m ) (IR S +) m heisst zulässig, falls c c m e. Eine zulässige Konsumverteilung heisst Pareto-optimal, falls für jede zulässige Konsumverteilung (ĉ 1,..., ĉ m ) mit U i (ĉ i ) U i (c i ) für alle i gilt, dass U i (ĉ i ) = U i (c i ) für alle i. Es gibt einen Zusammenhang zwischen vollständigen Märkten und Pareto-Optimalität. Proposition 1.9. Sei der Markt vollständig, und (θ 1,..., θ m, q) ein Äquilibrium. Dann ist die Konsumverteilung (e 1 + θ 1 D,..., e m + θ m D) Pareto-optimal. Beweis. Da j θj D = 0, ist die Konsumverteilung zulässig. Proposition 1.4 impliziert, dass es keine Arbitrage gibt. Nehmen wir an, es gebe eine zulässige Konsumverteilung (ĉ 1,..., ĉ m ), so dass U i (ĉ i ) U i (e i +θ i D), und dass die Ungleichung für mindestens ein i streng ist. Da der Markt vollständig ist, gibt es einen Vektor (ˆθ i ), so dass ĉ i = e i + ˆθ i D. Da die Konsumverteilung zulässig ist, gilt ˆθ i i D 0. Aus der Optimalität folgt, dass θ i q = 0 und ˆθ i i q > 0, da sonst ein j existieren würde, für das θ j nicht optimal wäre. Aber dann ist ˆθ i i eine Arbitrage. Daher muss die Äquilibrium-Konsumverteilung Pareto-optimal sein.

7 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING 7 Proposition Nehmen wir an, dass ein State-Price-Vektor ψ existiert. Der State-Price-Vektor ist genau dann eindeutig, wenn der Markt vollständig ist. Beweis. Nehmen wir an, dass der Markt vollständig ist, und dass φ ein State- Price-Vektor ist. Dann gibt es ein θ, so dass θd = (φ ψ). Also gilt (φ ψ) (φ ψ) = θd(φ ψ) = θ(q q) = 0. Daher ist φ = ψ. Nehmen wir an, dass der Markt unvollständig ist. Dann hat nicht jede Gleichung θd = c eine Lösung θ. Das bedeutet, dass es eine nichttriviale Lösung φ IR S der Gleichung Dφ = 0 gibt. Aber dann gibt es ein λ > 0, so dass ψ λφ echt positive Koordinaten hat. ψ λφ ist dann ein State-Price-Vektor Pareto-Optimalität und der repräsentative Händler Für λ IR m + definieren wir die Nutzenfunktion U λ (x) = sup λ i U i (c i ). (1.2) c 1 + +c m x c i IR S + Hilfssatz Sei U i konkav für alle i. Eine Konsumverteilung (c 1,..., c m ), die zulässig ist, ist genau dann Pareto-optimal, wenn es ein λ IR m + mit streng positiven Koordinaten gibt, so dass (c 1,..., c m ) die Gleichung (1.2) an der Stelle x = e = c c m löst. Beweis. Sei (c 1,..., c m ) Pareto-optimal. Definieren wir die Mengen U = {y IR m : y i U i (z i ) U i (c i ), für ein z zulässig} und J = IR m + \ {0}. Dann gilt U J =. Seien y und y zwei Vektoren in U und α (0, 1). Dann gilt αy i + (1 α)y i αu i (z i ) + (1 α)u i (z i ) U i (c i ) U i (αz i + (1 α)z i ) U i (c i ) ; das heisst, U ist konvex. Auch J ist konvex. Somit gibt es einen Vektor λ IR m, der eine lineare Funktion z λz definiert, so dass λy < λz für jedes beliebige Paar y U und z J (Lemma E.1). Da 0 U gilt λz > 0 für zinj und λ hat strikt positive Koordinaten. Da 0 ein Randpunkt von J ist, folgt λy 0 für alle y U. Daher löst (c 1,..., c m ) die Gleichung (1.2). Sei nun (c 1,..., c m ) eine Lösung von (1.2). Sei (ĉ 1,..., ĉ m ) zulässig, so dass U i (c i ) U i (ĉ i ). Als Lösung von (1.2) muss U i (c i ) = U i (ĉ i ) für alle i gelten. Daher ist (c 1,..., c m ) Pareto-optimal.

8 8 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING Proposition Seien für alle i die Nutzenfunktionen U i konkav und streng wachsend. Nehmen wir an, dass der Markt vollständig ist, und dass (θ 1,... θ m, q) ein Äquilibrium sei. Dann gibt es ein λ IR m + mit streng positiven Koordinaten, so dass U λ (e) = i λi U i (c i ), wobei (c 1,..., c m ) die Äquilibrium-Konsumverteilung ist. Weiter gilt, dass (0, q) ein Äquilibrium für den Einzelhändlermarkt {(U λ, e), D} ist. Beweis. Da ein Äquilibrium existiert, gibt es keine Arbitrage (Proposition 1.4), und es existiert ein State-Price-Vektor ψ (Satz 1.2). Jeder Händler will seinen Nutzen U i (c i ) = U i (e i + θd) maximieren unter der Nebenbedingung 0 θq = θdψ = (c i e i )ψ. Da der Markt vollständig ist, kann jedes c i IR S + erzeugt werden. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir e i > 0 annehmen, da sonst c i = 0 gelten würde. Die Lösung maximiert die Funktion U i (c i ) α i (c i e i )ψ für ein α i IR. Da U i streng wachsend ist, folgt α i > 0. Sei λ i = 1/α i. Für jede zulässige Konsumverteilung (x 1,..., x m ) haben wir ( m λ i U i (c i ) = λ i U i (c i ) c i e )ψ i = λ ( i U i (c i ) α i (c i e i )ψ ) λ ( i U i (x i ) α i (x i e i )ψ ) = λ i U i (x i ). ( m λ i U i (x i ) x i e )ψ i Dies beweist den ersten Teil. Nehmen wir an, es gebe ein x IR S +, so dass U λ (x) > U λ (e) und (x e)ψ 0. Dann muss es eine Konsumverteilung (x 1,..., x m ) geben, so dass i xi = x, i λi U i (x i ) > i λi U i (c i ) und λ i α i x i ψ = xψ eψ = c i ψ = λ i α i c i ψ. Aber dann gilt λ ( i U i (x i ) α i (x i e i )ψ ) > λ ( i U i (c i ) α i (c i e i )ψ ), was ein Widerspruch ist, da es einen Händler i geben muss, so dass c i seinen Nutzen nicht maximiert.

9 1. EINFÜHRUNG INS STATE-PRICING 9 Korollar Falls, zusätzlich zu den Annahmen von Proposition 1.12, e > 0 streng positive Koordinaten hat, und U λ in e differenzierbar ist, dann kann λ so gewählt werden, dass U λ (e) ein State-Price-Vektor ist. Das heisst, q = D U λ (e). Beweis. Aus Korollar 1.6 folgt, dass es ein µ gibt, so dass µ U λ (e) ein State- Price-Vektor ist. Ersetzen wir λ durch λ/µ, folgt die Aussage.