Proseminar zur Linearen Algebra und Elementargeometrie

Transkript

1 Proseminar zur Linearen Algebra und Elementargeometrie Bewegungen der hyperbolischen Ebene Wintersemester 016/17 Markus Schulze Prof. Dr. L. Schwachhöfer Technische Universität Dortmund

2 Inhaltsverzeichnis 1 Bewegungen der hyperbolischen Ebene Vorbemerkung, Axiome, Definitionen und Sätze Vorbemerkung III. Anordnungsaxiom IV. Bewgungsaxiom Axiom M Defintion IV Satz IV Defintion P Definition des Doppelverhältnisses Definition P Folgerung P Folgerung Parameterdarstellung Bewegungen im Poincaré-Modell Satz P Definition Satz Folgerung P Satz P Nachweis des Bewegungsaxioms Nachweis des Axioms M

3 1 Bewegungen der hyperbolischen Ebene 1.1 Vorbemerkung, Axiome, Definitionen und Sätze Vorbemerkung In dieser Ausarbeitung wird das Thema der Bewegungen im Poincaré-Modell bearbeitet. Hierfür wird die hyperbolische Geometrie verwendet (genauer genommen ist diese Ausarbeitung ein Teil bzw. Beitrag zum Gesamtziel, für das schrittweise gezeigt wird, dass die hyperbolische Geometrie eine Geometrie ist), also eine nichteuklidische Geometrie, die dadurch entsteht, dass anstatt des Parallenaxioms der euklidischen Geometrie, das widersprechende hyperbolische Axiom verwendet wird. Zusammen mit den Axiomen der absoluten Geometrie ergibt sich die sogenannte hyperbolische Geometrie. Es ändert sich also beispielhaft, dass es zu einer Gerade und einem Punkt, der nicht auf der Gerade liegt, nicht nur eine parallele Gerade gibt, sondern unendlich viele. Weiterhin gilt in diesem Poincaré-schen Modell: 1. Die hyperbolische Ebene wird dargestellt durch die obere Halbebene.. Hyperbolische (bzw. nichteuklidische) Geraden werden durch Halbgeraden und Kreisbögen dargestellt, die auf der Randgeraden senkrecht stehen. Mit der Frage, wie in einer solchen nichteuklidischen Geometrie Spiegelungen, Verschiebungen, zentrische Streckungen, also ganz allgemein, Bewegungen aussehen, beschäftigt sich diese Ausarbeitung. Im letzten Schritt wird dann die Gültigkeit des Bewegungsaxioms gezeigt. Die Primärliteratur für diese Ausarbeitung beruht auf dem Buch von Andreas Filler, Euklidische und nichteuklidische Geometrie des Wissenschaftsverlag. Im Folgenden sind nun einige Axiome, Definitionen und Sätze aufgeführt, die als Grundlage dieser Ausarbeitung dienen. Die Sätze werden hierbei als bewiesen angesehen, so dass dies nicht erneut getan werden muss. Bemerkung: In den bisherigen Vorträgen des Proseminares Lineare Algebra und Elementargeometrie (WS 16/17) wurde der Abstand zwischen zwei Punkten A, B durch die Notation d(a, B) beschrieben. Im folgenden wird diese Notation geändert, sodass der nichteuklidische Abstand zwischen zwei Punkten A, B nun durch AB N beschrieben wird Axiom III: Anordnungsaxiome III/1 Zu jeder nicht negativen reellen Zahl a und jedem Punkt O der Ebene existiert auf jedem Strahl mit dem Anfangspunkt O genau ein Punkt A mit OA = a. III/ Eine beliebige Gerade g teilt die Menge der ihr nicht angehörenden Punkte der Ebene in zwei nichtleere, disjunkte Mengen derart, dass

4 a) die Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte, die verschiedenen Mengen angehören, die Gerade g schneidet. b) die Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte, die derselben Menge angehören, die Gerade g nicht schneidet Axiom IV: Bewegungsaxiom Wenn der Abstand zweier Punkte A und B positiv und gleich dem Abstand zweier Punkte C und D ist, dann gibt es genau zwei Bewegungen, die A auf C und B auf D abbilden. Eine Halbebene bezüglich der Geraden AB wird bei jeder dieser beiden Bewegungen auf eine andere Halbebene bezüglich CD abgebildet Axiom M5 Aus der Ausarbeitung Axiomatische Beschreibung der euklidischen Geometrie von Thomas Honermann und Johannes Klee ergibt sich für das Axiom M5, angewandt auf die hyperbolische Ebene: Sind A, B, C und A, B, C jeweils drei Punkte aus H := {(x, y) R y > 0} und es gilt AB N = A B N, AC N = A C N und BC N = B C N, so existiert eine Isometrie f Iso(H) mit f(a) = A, f(b) = B und f(c) = C. Damit ist dieses Axiom äquivalent zum Kongruenzsatz SSS. Es gilt, dass das Dreieck ABC unter der Abbildung f erhalten wird: f( ABC ) = A B C Defintion IV.1 Als Bewegungen werden Abbildungen der Ebene auf sich bezeichnet, die Abstände beliebiger Punktepaare unverändert lassen Satz IV.1 Jede Bewegung ist eine eineindeutige Abbildung. Die im Modell definierten Grundbegriffe der Lobatschewski-Geometrie bezeichnen wir als nichteuklidische Punkte (N-Punkte), N-Geraden usw Defintion P1 Es sei eine beliebige euklidische Ebene ε und in dieser Ebene eine Gerade u gegeben. a) Als nichteuklidische Ebene (N-Ebene) H bezeichnen wir eine der beiden offenen Halbebenen von ε bezüglich der Randgeraden u. b) Nichteuklidische Punkte (N-Punkte) nennen wir alle euklidischen Punkte der unter a) ausgezeichneten offenen Halbebene. c) Nichteuklidische Geraden (N-Geraden) sind alle vollständig in H liegenden offenen Halbkreise, deren Anfangspunkte u angehören. Die N-Geraden, welche als euklidische Halbkreise aufgefasst werden, nennen wir auch N-Geraden vom Typ 4

5 1, die als euklidische Halbgeraden aufgefassten N-Geraden N-Geraden vom Typ (siehe Abbildung 1.1.1) Abbildung Bemerkung 1. Die Gerade u wird auch als Randgerade der nichteuklidischen Ebene H bezeichnet. Sie gehört ihr jedoch selbst nicht an, ist also in diesem Modell kein Objekt der nichteuklidischen (Lobatschewski-Geometrie). Gleiches gilt für die Mittelpunkte der unter c) beschriebenen Halbkreise und ebenso für die Anfangspunkte der Halbgeraden. Sie werden aus euklidischer Sicht benötigt, um die nichteuklidischen Geraden zu definieren, sind aber aus nichteuklidischer Sicht nicht vorhanden (wie wir später sehen werden, können sie als unendlich ferne Punkte aufgefasst werden). Es handelt sich bei den auf u liegenden Punkten nicht um innere Punkte der zu modellierenden nichteuklidischen Geometrie.. Die Schnittpunkte der zur Definition der N-Geraden verwendeten Kreise und die Anfangspunkte der Halbgeraden werden wir als uneigentliche Punkte bezeichnen, da wir sie zur Beschreibung der N-Geraden des öfteren benötigen, sie aber im nichteuklidischen Sinne keine Punkte sind. 3. Auch die Unterteilung der N-Geraden in die Typen 1 und erfolgt lediglich aus äußerer (euklidischer) Sicht. Aus der Sicht der nicht-euklidischen Geometrie sind beide Typen von Geraden völlig gleichwertig und nicht unterscheidbar (was sich darin äußert, dass ihre Eigenschaften identisch sind, sie also denselben Axiomen genügen). Bei der Behandlung nichteuklidischer Abstände im Poincaré-Modell wird sich herausstellen, dass beide Typen von Geraden nach beiden Seiten unendlich sind, was bei äußerer Messung(also mittels euklidischer Abstände) nicht zutrifft. 5

6 1.1.8 Definition des Doppelverhältnisses Es seien A, B, U und V vier Punkte einer Geraden g und es sei auf g eine Richtung definiert. Als Doppelverhältnis der Punkte A, B, U und V bezeichnen wir den Quotienten (A, B, U, V ) := AU BV BU AV = AU BU : AV BV, wobei AU, BU, AV und BV gerichtete Streckenlängen sind, d.h. jede dieser Längen XY ist positiv, falls Y rechts von X liegt und negativ, wenn X rechts von Y liegt. Bemerkung: Das Doppelverhältnis von vier Punkten ist unabhängig von der auf der Geraden g vorgegebenen Richtung: Bei Änderung dieser Richtung ändern sich die Vorzeichen aller Streckenlängen und das Doppelverhältnis selber bleibt daher unverändert. Da für unsere Anwendung nur positive Doppelverhältnisse auftreten, werden wir bald zur Verwendung einfacher Streckenlängen zurückkehren können. Eigenschaften des Doppelverhältnisses: 1. Falls vier Punkte A, B, U und V paarweise voneinander verschieden sind und jeder der Punkte A und B zwischen den Punkten U und V liegt, so gilt (A, B, U, V ) > 0.. Für vier beliebige (kollineare) Punkte A, B, U und V gilt (A, B, U, V ) = 1 (B, A, U, V ). 3. Für fünf beliebige (kollineare) Punkte A, B, C, U und V gilt Definition P (A, C, U, V ) = (A, B, U, V ) (B, C, U, V ). Es seien A und B zwei N-Punkte, die auf einer N-Geraden vom Typ 1 mit den uneigentlichen Punkten U und V liegen sowie A und B die Fußpunkte der Lote von A bzw. B auf u. Weiterhin seien C und D zwei Punkte, die auf einer N-Geraden vom Typ mit dem uneigentlichen Punkt W u liegen (siehe Abbildung 1.1.). Als nichteuklidischen (N-) Abstand der Punkte A und B sowie der Punkte C und D bezeichnen wir AB N := 1 ln(a, B, U, V ) bzw. CD N := DW ln CW. 6

7 Abbildung Folgerung P1 Falls ein kartesisches Koordinatensystem gegeben ist, dessen Abszisse auf der Randgeraden u der nichteuklidischen Ebene H liegt und A, B, C, D, U und V Punkte, wie in Definition P beschrieben, sowie (x A, y A ), (x B, y B ), (x C, y C ), (x D, y D ), (x U, 0) und (x V, 0) die Koordinaten dieser Punkte sind, so gilt AB N := 1 ln (x U x A )(x V x B ) (x U x B )(x V x A ) sowie CD N := ln y D y C Folgerung Parameterdarstellung Aus Folgerung P1 kann eine Parameterdarstellung für N-Geraden vom Typ 1 und gewonnen werden. Abbildung

8 Für eine N-Gerade vom Typ 1 sei die Anordnung wie in Abbildung mit den Randpunkten U = ( r, 0) und V = (r, 0), dem Mittelpunkt M = (0, 0) und den Punkten A = (0, r), B = (x B, y B ) auf der N-Geraden vom Typ 1. Für den nichteuklidischen Abstand ergibt sich nach Folgerung P1: AB N = 1 ln ( r 0)(r x B) ( r x B )(r 0) = 1 ln ( r)(r x B) ( r)(r + x B ) = 1 ln (r x B) (r + x B ) Setze t R : t = 1 ln (r x B) (r + x B ) (r x B) (r + x B ) = et r ( 1 e t) ( = x ) B 1 + e t x B = r (1 et ) (1 + e t ) Aus der Darstellung für einen Kreis mit Mittelpunkt M im Koordinatenursprung ergibt sich y B : x B + yb = r x B eingesetzt r (1 e t ) (1 + e t + yb = r ( ) yb = r (1 + e t ) (1 e t ) (1 + e t ) = 4r e t (1 + e t ) y B > 0 y B = ret 1 + e t Als Parameterdarstellung ergibt sich für eine N-Gerade vom Typ 1: ( ) 1 e t (x, y) t = x 0 + r 1 + e, e t t 1 + e t Die Parameterdarstellung für eine N-Gerade vom Typ ist: (x, y) t = ( x 0, e t) t R Der Abstand zwischen zwei Punkten, die durch t, s R parametrisiert sind, kann dargestellt werden durch t s = (x, y) t (x, y) s N. 1. Bewegungen im Poincaré-Modell Um die Gültigkeit des Bewegungsaxioms im Poincaré-Modell nachweisen zu können, müssen wir zunächst untersuchen, welche Abbildungen nichteuklidische Abstände unverändert lassen, also im Sinne von Defintion IV.1 nichteuklidische Bewegungen im Poincaré-Modell sind. 8

9 1..1 Satz P1 Euklidische Verschiebungen entlang der Randgeraden u, Spiegelungen an zu u senkrechten Geraden und zentrische Streckungen mit einem positiven Streckungsfaktor und Streckzentrum auf u bilden die nichteuklidische Ebene H auf sich ab und lassen nichteuklidische Abstände unverändert. Die Einschränkungen dieser Abbildungen auf Punkte von H sind demnach nichteuklidische Bewegungen im Poincaré-Modell. Bemerkung Alle drei in Satz P1 aufgeführten Abbildungen sind Abbildungen der euklidischen Ebene. Sie auf die Punkte der nichteuklidischen Ebene H einzuschränken, bedeutet, lediglich die Punkte von H und deren Bildpunkte zu betrachten. Erst mit dieser Einschränkung kann von nichteuklidischen Abbildungen gesprochen werden. Beweis: Dass alle drei im Satz genannten Arten von Abbildungen die nichteuklidische Ebene auf sich abbilden, ist gut einzusehen. Es bleibt zu zeigen, dass sie N-Abstände unverändert lassen. Für eine euklidische Verschiebung entlang der Randgeraden u um (x 0, 0) ergibt sich die Abbildung (x, y) (x + x 0, y). Die Punkte A = (x A, y A ), B = (x B, y B ) und die Randpunkte U = (x U, 0), V = (x V, 0) auf der Randgeraden u werden abgebildet auf A = (x A + x 0, y A ), B = (x B + x 0, y B ), U = (x U + x 0, 0), V = (x V + x 0, 0). Für N- Geraden vom Typ bleibt der Abstand nach Folgerung P1 unverändert. Für N-Geraden vom Typ 1 ergibt sich: A B N = 1 ln (x U x A )(x V x B ) (x U x B )(x V x A ) = 1 ln (x U + x 0 (x A + x 0 ))(x V + x 0 (x B + x 0 )) (x U + x 0 (x B + x 0 ))(x V + x 0 (x A + x 0 )) = 1 ln (x U x A )(x V x B ) (x U x B )(x V x A ) = AB N Damit bleibt der N-Abstand bei einer euklidischen Verschiebung entlang der Randgeraden u unverändert. Für eine Spiegelung an einer zu u senkrechten Gerade bei x = x 0 ergibt sich als Abbildung (x, y) (x 0 x, y). Da sich der y-wert nicht verändert, folgt direkt daraus, dass nach Folgerung P1 der Abstand für N-Geraden vom Typ unverändert bleibt. Für 9

10 N-Geraden vom Typ 1 ergibt sich für die Punkte A, B und die Randpunkten U, V : A B N = 1 ln (x U x A )(x V x B ) (x U x B )(x V x A ) = 1 ln ((x 0 x U ) (x 0 x A ))((x 0 x V ) (x 0 x B )) ((x 0 x U ) (x 0 x B ))((x 0 x V ) (x 0 x A )) = 1 ln (x A x U )(x B x V ) (x B x U )(x A x V ) = 1 ln ( 1)(x U x A )( 1)(x V x B ) ( 1)(x U x B )( 1)(x V x A ) = 1 ln (x U x A )(x V x B ) (x U x B )(x V x A ) = AB N Damit bleibt auch der N-Abstand für N-Geraden vom Typ 1 bei einer Spiegelung an einer zu u senkrechten Gerade unverändert. Für eine zentrische Streckung mit dem Streckzentrum auf u und positivem Streckungsfaktor r ergibt sich die Abbildung (x, y) (rx + (1 r)x 0, ry). Das ergibt für N-Geraden vom Typ und die Punkte C, D auf der N-Geraden nach Folgerung P1: C D N := ln y D y C = ln ry D ry C r>0 = ln r y D r y C = ln y D y C = CD N Bei einer N-Geraden vom Typ 1 mit den Punkten A, B und den Randpunkten U, V ergibt sich aus der Abbildung nach Folgerung P1: A B N = 1 ln (x U x A )(x V x B ) (x U x B )(x V x A ) = 1 ln r(x U x A )r(x V x B ) r(x U x B )r(x V x A ) = 1 ln (x U x A )(x V x B ) (x U x B )(x V x A ) = AB N Bemerkung: Für die abgebildete Differentiation der x-koordinaten zweier Punkte U, A ergibt sich: x U x A (rx U + (1 r)x 0 ) (rx A + (1 r)x 0 ) = rx U rx A = r(x U x A ) ( ) Es wurde gezeigt, dass die zentrische Streckung mit einem positiven Streckungsfaktor und einem Streckzentrum auf der Randgeraden u, eine Spiegelung an einer zu u senkrechten Gerade und eine Verschiebung entlang der Randgeraden u N-Abstände erhält. Offenbar können die in Satz P1 aufgeführten Bewegungen (und ihre Hintereinanderausführungen) noch nicht alle nichteuklidischen Bewegungen im Poincaré-Modell erfassen, denn jede dieser Bewegungen bildet N-Geraden des Typs 1 und des Typs stets auf N-Geraden des gleichen Typs ab. Das Bewegungsaxiom fordert jedoch, dass beliebige N-Geraden (also auch solche unterschiedlichen Typs) aufeinander abgebildet werden können. Weiterhin ergibt sich aus diesem Axiom die Forderung, dass Bewegungen existieren, welche die beiden Halbebenen bezüglich einer beliebigen N-Geraden vertauschen. Für N-Geraden vom Typ leisten dies die Spiegelungen. Für N-Geraden vom Typ 1 benötigen 10

11 wir dafür Abbildungen, bei denen es sich (im euklidischen Sinne) um Spiegelungen an Kreisen handelt. Derartige Abbildungen werden als Inversionen bezeichnet. Sie haben in der Mathematik eine Bedeutung, die weit über das Poincaré-Modell hinausgeht. 1.. Definition Es sei in einer (euklidischen) Ebene ein Kreis K mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r gegeben. Die Abbildung, die jedem Punkt A der Ebene einen Bildpunkt A mit A MA #» und MA MA = r (1..1) zuordnet, wird als Inversion am Kreis K bezeichnet. Der Punkt M heißt Inversionspol und der Radius r Inversionsradius dieser Inversion. Bemerkung: Streng genommen, enthält diese Definition eine Inkorrektheit. Dem Mittelpunkt M wird durch die vorgegebene Abbildungsvorschrift nämlich kein Punkt der Ebene zugeordnet. Wir sagen, der Bildpunkt des Mittelpunktes ist der unendlich ferne Punkt (und umgekehrt). Wir leiten im folgenden eine Koordinatendarstellung für die Inversion an einem Kreis K mit dem Radius r her, wobei wir ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde legen, dessen Koordinatenursprung mit dem Mittelpunkt M des Kreises K identisch ist. Da ein beliebiger Punkt A und sein Bildpunkt A auf einer Geraden durch den Inversionspol (und damit durch den Koordinatenursprung) liegen, gilt für die Koordinaten (x, y) und (x, y ) der Punkte A und A y x = y x (falls x, x 0) oder x = x = 0 (1..) und nach der Definition der Inversionen ist MA MA = x + y x + y = r. (1..3) Nun wird y in Gleichung 1..3 durch yx und x x in Gleichung 1..3 durch y x ersetzt. Die y Terme zum Ersetzen ergeben sich direkt aus Umformungen von Gleichung 1.. nach x und y. Aus den beiden Beziehungen in Gleichung 1.. und Gleichung 1..3 ergeben sich dementsprechend schnell die folgenden Gleichungen für die Koordinaten des Bildpunktes, x = r x und y = r y (1..4) x + y x + y Da der Punkt A auch Bildpunkt des Punktes A ist, gilt weiterhin: x = r 1..3 Satz x und y = r y (1..5) x + y x + y Bei einer beliebigen Inversion mit dem Inversionspol M werden 11

12 1. Geraden, die durch M verlaufen, auf sich selbst abgebildet.. Geraden, die nicht durch M verlaufen auf Kreise, die durch M verlaufen abgebildet. Dabei schneidet die Gerade, die durch den Inversionspol M und den Mittelpunkt des Bildes geht, die Urbildgerade senkrecht. 3. Kreise, die durch M verlaufen auf Geraden, die nicht durch M verlaufen abgebildet. Dabei schneidet die Gerade, die durch den Inversionspol M und den Mittelpunkt des Urbildes geht, die Bildgerade senkrecht. 4. Kreise, die nicht durch M verlaufen, auf ebensolche abgebildet. Dabei liegen der Inversionspol M und die Mittelpunkte des Urbildes und Bildes auf einer Geraden. Beweis: Wir beweisen zunächst die Behauptungen 1. und. und betrachten dazu ein Koordinatensystem mit dem Inversionspol M als Koordinatenursprung und eine Gerade g, die parallel zur y-achse liegt oder mit dieser identisch ist (durch geeignete Wahl des Koordinatensystems lässt sich eine solche Lage für jede Gerade erreichen, so dass diese Bedingung keine Einschränkung der Allgemeinheit darstellt). Die Gerade g wird dann durch die Gleichung x = c beschrieben, wobei c eine Konstante ist. Wegen Gleichung 1..4 gilt für beliebige Punkte A = (x, y) und die entsprechenden Bildpunkte A = (x, y ) x = r c und y = r y c + y c + y, (1..6) wobei r der Inversionsradius sei. Für c = 0 folgt x = 0 und y = r. Die 1. Behauptung y ist somit unter Beachtung der zur Definition der Inversionen gemachten Bemerkung zur Abbildung von M bewiesen. Ist c 0, so ergibt sich x + y = r4 c (c + y ) + r4 y (c + y ) = r4 (c + y ) (c + y ) = r4 c + y. (1..7) Unter Beachtung von Gleichung 1..5 mit y = r x + y = r4 c + y = r 4 = c + y r4 (x +y ) beziehungsweise kann x identifiziert werden als y x +y ergibt sich aus Gleichung 1..7 (x + y ) (1..8) c (x r + y ) + y 4 x = c r 4 (x + y ). (1..9) Aus der Definition der Inversionen folgt, dass Urbild- und Bildpunkte stets in einer Halbebene bezüglich einer Geraden durch den Inversionspol (speziell also auch bezüglich der y-achse) liegen, c und x haben somit gleiche Vorzeichen. Aus Gleichung 1..9 ergibt sich dadurch x + y = r c x (1..10) 1

13 und schließlich nach Umformung von Gleichung und quadratischer Ergänzung ) (x r + y = r4 c 4c. (1..11) Mit Hilfe der Kreisgleichung (x x M ) + (y y M ) = R mit Punkten (x, y) auf dem Kreis und Mittelpunkt M = (x M, y M ) und Radius R ergibt sich aus Gleichung 1..11, dass das Bild der Geraden g somit ein Kreis mit dem Radius R = r und den Mittelpunktskoordinaten M c Kreis = ( r, 0) ist, also ein Kreis, c der durch den Koordinatenursprung und damit durch den Inversionspol verläuft. Da die zweimalige Hintereinanderausführung einer Inversion die identische Abbildung ist, wird ein beliebiger Kreis mit einem Radius R und einem Mittelpunkt P (0, R) auf eine Gerade mit der Gleichung x = r abgebildet. Damit haben wir die Behauptungen. und 3. bewiesen, denn durch geeignete Wahl des Koordinatensystems kann für jeden Kreis erreicht R werden, dass sein Mittelpunkt auf der Abszisse (x-wert eines Punktes im kartesischen Koordinatensystem) liegt. Wir kommen zum Nachweis der 4. Behauptung und betrachten einen beliebigen Kreis mit dem Mittelpunkt (d, 0) und dem Radius R (auch hier bedeutet die Lage des Mittelpunktes auf der Abszisse keine Einschränkung der Allgemeinheit). Die Gleichung dieses Kreises ist somit (x d) + y = R bzw. x + y = R + xd d, (1..1) wobei d von R verschieden ist, da der Kreis nicht durch den Inversionspol verläuft. Wegen Gleichung 1..4 und Gleichung 1..1 gilt für die Bildkoordinaten x + y = r4 x + y = r 4 R + xd d, (1..13) wegen Gleichung 1..5 folgt daraus x + y = r 4 R + r x x +y d d. (1..14) Durch Umformungen ergibt sich aus dieser Beziehung ( x + ) r d + y = R d r 4 R (R d ) (1..15) und somit die Behauptung, da aus Gleichung schnell zu ersehen ist, dass der Bildkreis für d R nicht durch den Inversionspol verläuft. Bemerkung: Wir haben mit unserem Beweis zusätzlich für die Fälle. und 3. gezeigt, dass die Bildgerade eines Kreises, dessen Mittelpunkt auf der x-achse liegt, senkrecht auf der x-achse steht und dass umgekehrt der Mittelpunkt eines Bildkreises einer auf der x-achse senkrecht stehenden Geraden auf dieser Achse liegt. Für 4. haben wir nachge- 13

14 wiesen, dass der Inversionspol und die Mittelpunkte von Urbild- und Bildkreis auf einer Geraden liegen Folgerung P Inversionen, deren Inversionspole auf der Randgeraden u der nichteuklidischen Ebene im Poincaré-Modell liegen, bilden N-Geraden stets auf N-Geraden ab Satz P Inversionen, deren Inversionspol auf u liegt, sind nichteuklidische Bewegungen im Poincaré-Modell, d.h. sie erhalten den N-Abstand. Beweis: Es ist nachzuweisen, dass Inversionen, deren Inversionspol auf u liegt, die N- Ebene H auf sich abbilden und N-Abstände unverändert lassen. Die erste Behauptung ergibt sich daraus, dass Inversionen Halbebenen bezüglich beliebiger Geraden durch den Inversionspol auf sich abbilden, denn Original- und Bildpunkte liegen stets auf einer Halbgeraden mit dem Inversionspol als Ursprung. Für den Nachweis der N-Abstandstreue seien A = (x A, y A ) und B = (x B, y B ) zwei Punkte sowie A = (x A, y A ) und B = (x B, y B ) deren Bildpunkte bei einer vorgegebenen Inversion. Die angegebenen Koordinaten sollen sich auf ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Inversionspol M als Koordinatenursprung auf der Randgeraden u als Abszisse beziehen. Wir betrachten zunächst den Fall, dass A und B auf einer N-Geraden vom Typ (deren uneigentlicher Punkt W nicht der Inversionspol ist) liegen. Die Punkte A und B liegen dann auf einer N-Geraden vom Typ 1 mit dem Punkt M als einem uneigentlichen Punkt (siehe Abbildung 1..1) und es gilt wegen der Folgerung P1 A B N := 1 ln x A (x V x B ) x B (x V x A ). (1..16) Abbildung

15 Abbildung 1.. Da die Punkte A, B und W auf einer Senkrechten zur Abszisse liegen, ist x A = x B = x W =: x. Wegen Gleichung 1..4 gilt x A = r x x + ya, x B = r x x + yb und x V = r x, (1..17) letzteres, weil V der Bildpunkt des Punktes W bei der betrachteten Inversion (mit dem Radius r) ist. Durch einfache Umformungen ergibt sich aus Gleichung ln x A (x V x B ) x B (x V x A ) = 1 ln y B. (1..18) y A Durch Einsetzen von Gleichung in Gleichung folgt die Behauptung: A B N = 1 ln y B = 1 ( ) ln yb = 1 ln y B = AB N. (1..19) y A y A Da jede Inversion ihre eigene Umkehrabbildung ist, haben wir die N-Abstandstreue der Inversionen auch für den Fall gezeigt, dass die Urbildpunkte A und B auf einer N-Geraden vom Typ 1 mit dem Inversionspol M als einem uneigentlichen Punkt und die Bildpunkte A, B demnach auf einer N-Geraden vom Typ liegen. Auf die Darstellung des Falles, dass A und B (und damit auch A und B ) auf einer N-Geraden vom Typ mit dem Inversionspol als uneigentlichem Punkt liegen, wird aufgrund seiner Einfachheit verzichtet. Es bleibt der Fall zu betrachten, dass A und B auf einer N-Geraden vom Typ 1, deren uneigentliche Punkte U und V vom Inversionspol M verschieden sind, liegen (siehe Abbildung 1..). Die Bildpunkte A und B liegen dann ebenfalls auf einer N-Geraden vom Typ 1, deren uneigentliche Punkte U und V von M verschieden sind. Wegen Gleichung 1..4 ist x A = r x A x A + y A, x B = r x B x B + y B y A, x U = r x U, und x V = r x V. (1..0) 15

16 Nach Folgerung P1 ergibt sich daraus zunächst A B N := 1 ln (x Ux A x A y A )(x V x B x B y B ) (x U x B x B y B )(x V x A x A y A ) (1..1) Da A und B (euklidisch betrachtet) auf einem Kreis mit dem Radius 1(x V x U ) (falls V rechts auf U liegt, was wir annehmen wollen) und dem Mittelpunkt ( 1 (x V + x U ), 0 ) liegen, gilt ( x A x ) ( ) V + x U + ya xv x U = und (1..) ( x B x ) ( ) V + x U + yb xv x U =. (1..3) Durch Einsetzen der sich aus Gleichung 1.. und Gleichung 1..3 ergebenden Ausdrücke für ya sowie y B in Gleichung 1..1 ergibt sich nach einigen Umformungen die Behauptung A B N = AB N Gleichung 1.. und Gleichung 1..3 umgeformt ergeben: ( ya xv x U = ( yb xv x U = ) ( x A x V + x U ) ( x B x V + x U eingesetzt in Gleichung 1..1 ergibt sich: A B N = 1 ln (x Ux A x A y A )(x V x B x B y B ) (x U x B x B y B )(x V x A x A y A ) = 1 ln (x V x U x V x A ) (x V x U x U x B ) (x V x U x V x B ) (x V x U x U x A ) = 1 ln x V (x U x A ) x U (x V x B ) x V (x U x B ) x U (x V x A ) = 1 ln (x U x A )(x V x B ) (x U x B )(x V x A ) = AB N ) = x V x U x A + x V x A + x U x A ) = x V x U x B + x V x B + x U x B Aufgrund von Satz P1 und Satz P kennen wir nun folgende spezielle Bewegungen der nichteuklidischen Ebene H: 1. Verschiebungen entlang der Randgeraden u. Spiegelungen an zu u senkrechten Geraden, 3. zentrische Streckungen mit einem positiven Streckungsfaktor und einem Streckungszentrum auf u sowie 16

17 4. Inversionen, deren Inversionspol auf u liegt. Genauer gesagt, handelt es sich bei den Einschränkungen dieser Abbildungen auf Punkte von H um N-Bewegungen. Natürlich sind auch beliebige Hintereinanderausführungen von endlich vielen derartiger Abbildungen N-Bewegungen. Umgekehrt gilt, dass sich jede N-Bewegung als Hintereinanderausführung endlich vieler dieser N-Bewegungen darstellen lässt (auf einen Beweis dieser Tatsache verzichten wir). Da sich jede der Verschiebungen als Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen und jede zentrische Streckung als Hintereinanderausführung zweier Inversionen darstellen lässt, genügen sogar die unter ) und 4) genannten Abbildungen (die wir einheitlich N-Geradenspiegelungen nennen können), um alle N-Bewegungen darzustellen Nachweis des Bewegungsaxioms Wir kommen zum Nachweis der Gültigkeit des Bewegungsaxioms. Wir beschränken uns auf den Nachweis der Existenz zweier nichteuklidischer Bewegungen, die zwei beliebig vorgegebene Punkte A und B auf zwei N-Punkte C und D mit AB N = CD N abbilden und die im IV. Bewgungsaxiom formulierte Bedingung hinsichtlich der Abbildung einer Halbebene bezüglich AB erfüllen. Wir betrachten zunächst den Fall, dass A und B auf einer N-Geraden g vom Typ 1 (mit den uneigentlichen Punkten U und V ) sowie C und D auf einer N-Geraden h vom Typ (mit dem uneigentlichen Punkt W) liegen. Dabei gehen wir davon aus, dass die uneigentlichen Punkte U und W voneinander verschieden sind(was keine Einschränkung bedeutet, da nicht beide uneigentlichen Punkte von g mit W identisch sein können) und, dass V zwischen U und W liegt, falls auch V von W verschieden sein sollte (siehe Abbildung 1..3). Abbildung 1..3 Die Inversion φ 1 mit dem Inversionspol U und dem Inversionsradius r = UV UW bildet wegen Gleichung 1..1 den Punkt V auf den Punkt W (und umgekehrt) ab. Da der 17

18 Kreis, dem die N-Gerade angehört, durch den Inversionspol verläuft, wird dieser Kreis durch φ 1 auf eine Gerade abgebildet, die auf u senkrecht steht und durch den Bildpunkt von V eindeutig festgelegt wird. Die N-Gerade g wird somit auf die N-Gerade h abgebildet, insbesondere liegen die Bildpunkte A und B der Punkte A und B auf h. W C W A Eine zentrische Streckung φ mit dem Zentrum W und dem Streckungsfaktor k := bildet h auf sich und den Punkt A auf den Punkt A = C ab, B sei der Bildpunkt des Punktes B bei φ. Da sowohl Inversionen als auch zentrische Streckungen nichteuklidische Abstände unverändert lassen, gilt CD N = AB N = A B N = CB N. Nach dem III. Anordnungsaxiom III/1 müssen die Punkte D und B entweder identisch sein oder auf unterschiedlichen Halbgeraden von h bezüglich C liegen. Im ersten dieser beiden möglichen Fälle wird durch die Hintereinanderausführung φ φ 1 der N-Bewegungen φ 1 und φ der Punkt A auf den Punkt C und B auf D abgebildet. Im zweiten Fall sei φ 3 die Inversion mit dem Inversionspol W und Inversionsradius W C N. Für die Bildpunkte A und B von A und B bei dieser Inversion gilt A = A = C und CB N = CB N = CD N. Weiterhin liegen B und B auf unterschiedlichen Halbgeraden von g bezüglich C und somit D und B auf ein und derselben Halbgerade von h bezüglich C. Die N-Bewegung φ 3 φ φ 1 bildet somit den Punkt A auf den Punkt C und B auf D ab. In beiden Fällen wird durch φ φ 1 beziehungsweise φ 3 φ φ 1 die innere Halbebene bezüglich g auf die g gegenüberliegende (in Abbildung 1..3 rechte) Halbebene bezüglich h abgebildet. Ist φ 4 eine Spiegelung an h, so bildet N-Bewegung φ 4 φ φ 1 bzw. φ 4 φ 3 φ φ 1 den Punkt A auf den Punkt C, B auf D und die innere Halbebene bezüglich g auf die g zugewandte Halbebene bezüglich h ab. Die Existenzaussage des Bewegungsaxioms ist somit für den Fall, dass A und B auf einer N-Geraden vom Typ 1 sowie C und D auf einer N-Geraden vom Typ liegen, bewiesen. Für den Nachweis des Falls der Abbildung von einer N-Geraden des Typs 1 auf eine des Typs können alle durchgeführten Betrachtungen umgekehrt werden - die Umkehrabbildungen von Inversionen und Spiegelungen sind diese Abbildungen selbst, die Umkehrabbildung einer zentrischen Streckung ist ebenfalls eine zentrische Streckung mit demselben Zentrum und reziprokem Streckungsfaktor. Falls sowohl A und B als auch C und D auf N-Geraden vom Typ liegen, so existiert eine Verschiebung, welche die Gerade AB auf die Gerade CD abbildet, die Bildpunkte von A und B bei dieser Verschiebung liegen auf CD und alle weiteren Schritte des Beweises entsprechen den bei dem bereits bewiesenen Fall geführten Überlegungen zur Abbildung der Punkte A und B auf die Punkte C und D. Es bleibt schließlich der Fall zu betrachten, dass sowohl A und B als auch C und D auf N-Geraden g bzw. h des Typs 1 liegen. Für eine beliebige N-Gerade x vom Typ und zwei Punkte X und Y, die auf x liegen und für die XY N = AB N = CD N gilt, existieren (wie schon gezeigt) sowohl zwei N-Bewegungen, die A auf X und B auf Y als auch zwei N-Bewegungen, die X auf C und Y auf D abbilden. Somit gibt es wegen der Hintereinanderausführbarkeit mindestens zwei N-Bewegungen, die A auf C und B auf D abbilden, wobei zu überlegen ist, dass diese der im IV. Bewgungsaxiom gestellten Forderung hinsichtlich der Abbildung einer Halbebene bezüglich g genügen. Wir haben damit die Existenzaussage des Bewegungsaxioms bewiesen. Auf den Nachweis der Eindeutig- 18

19 keitsaussage, d.h. der Tatsache, dass nicht mehr als zwei N-Bewegungen existieren, die A auf C und B auf D abbilden, verzichten wir Nachweis des Axioms M5 Axiom M5 besagt, dass unter einer abstandserhaltenden Abbildung ein Dreieck ABC in ein anderes Dreieck A B C überführt werden kann, dessen Seitenlängen mit denen des Dreiecks ABC übereinstimmen. Im Nachweis des Bewegungsaxioms wurde nur gezeigt, dass zwei Punkte auf zwei andere Punkte mit dem gleichen Abstand überführt werden können. Es muss noch gezeigt werden, dass es zu den beiden Punkten A, B nur genau zwei Punkte existieren, für die gilt AC N = A C N und BC N = B C N. Abbildung 1..4 Zunächst bilden wir das Dreieck ABC so ab, dass das A, B auf einer N-Geraden vom Typ (wie in Abbildung 1..4 dargestellt) mit x = x 0 liegen. Die Punkte A, B haben die Koordinaten A = (x 0, y A ), B = (x 0, y B ). Nach dem IV. Bewgungsaxiom gilt einzeln betrachtet für die Abstände AB N = A B N, AC N = A C N und BC N = B C N. Nun ist zu zeigen, dass es auf der rechten Halbebene (x > x 0 ) bzgl. der N-Geraden x = x 0 nur einen Punkt gibt, für den der Abstand erhalten ist. Dafür wählen wir zwei von einander verschiedene Punkte C = (x 1, y 1 ), C = (x, y ) H mit x 1, x > x 0. Es ergibt sich } A C N = A C N siehe B C N = B = C = C C N 19

20 Rechnung: A C N = A C N ( ) 1 ln (x U x 0)(x V x 1) (x U x 1)(x V x 0) = 1 ln (x U x 0)(x V x ) (x U x )(x V x 0) (x U x 0)(x V x 1) (x U x 1)(x V x 0) = (x U x 0)(x V x ) (x U x )(x V x 0) (x V x 1) (x U x 1) = (x V x ) (x U x ) x V x + x Ux 1 = x V x 1 + x Ux x 1 (x V x U) = x (x V x U) x 1 = x analoge Rechnung für B C N = B C N Daraus ergibt sich für die Halbebene x > x 0, dass es genau einen Punkt gibt für den gilt AB N = A B N, AC N = A C N und BC N = B C N. Liegt nach der Bewegung von A nach A und B nach B der Punkt C auf der Ebene x > x 0, so wird, durch die Spiegelung an x = x 0, C in C überführt, also insgesamt das Dreieck ABC in das Dreieck A B C. Ist das Dreieck A B C in allgemeiner Lage, so führt man dies, wie im Nachweis des Bewegungsaxioms für zwei Punkte, auf den oben behandelten Fall zurück. 0