Bandstrukturen von Halbleitern. Ansätze

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Gerd Baum
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1 Bandstruturen von Halbleitern Ansätze 1. letron in periodischem Potential letron als Welle in periodischem Potential => Änderung der Dispersion des letrons, es ommt zur Bildung von nergiebändern und Bandlücen. Überlagerung von Atomorbitalen Orbitale der Atome im Festörper überlagern sich => Wechselwirung mit benachbarten Atomen => Verschmierung der scharfen nergieniveaus und Ausbildung von Bändern

2 nstehung von Bandstruturen Orbitale zweier Na- Atome im Abstand von 3.7 Å Größter Überlapp der 3s Orbitale Überlagerung der Atomorbitale führt zur Bildung von bindenden und anti-bindenden Orbitalen

3 Bandstrutur von Si Si-Kristall (Diamantgitter) Atome sind sp 3 hybridisiert Bei Verleinerung der Gitterperiode entstehen aus den energetisch scharfen Atomorbitalen nergiebänder => Leitungs- und Valenzband

4 Bandstrutur von GaAs Relevanter Bereich Darstellung entlang ausgezeichneter Kristallrichtungen Brillouinzone eines fcc-gitters

5 Bandstrutur von GaAs 4 Relevante Bänder CB - Conduction band Leitungsband HH - Heavy hole band Schwere Löcher LH - Light hole band Leichte Löcher SO - Split-off band Abgespaltenes Lochband

6 Bezeichnung der Bänder In der Nähe von Bandmaxima oder -minima ( ) m eff, Stare Krümmung => leichte Ladungsträger Schwache Krümmung => schwere Ladungsträger ffetive Masse m eff hängt von Richtung des Wellenvetors ab!

7 Ursprung der Bandstrutur Bänder sind Linearombination aus s und p-orbitalen Leitungsband: s - Orbitale Valenzbänder: p x, p y, p z -Orbitale => Drei Valenzbänder p-orbitale haben Bahndrehimpuls => Abspaltung des SO-Bands durch Spin-Bahn Wechselwirung

8 dot p Theorie Leitungsband I Blochfuntion, Dispersion ()=? ) ( ) (,, r u e r n ir n n n n n V m p H,,,, Schrödingergleichung ohne Spin-Bahn WW n n n u u H,,, V m m p m p H insetzen der Blochfuntion dot p Hamiltonian m p m V m p H H H ' 0

9 dot p Theorie Leitungsband II H 0 ' H p V m m p m Hamiltonian für Bandante (=0) Störung für 0 Störungsrechnung für nicht-entartete Bänder und u n, n, u n,0 n,0 m m n' n u m n,0 n,0 n' n n,0 n', 0 p u u n,0 n',0 n',0 p u u n',0 n',0 H H ' 0

10 Dispersion im Leitungsband n, n,0 m m u n,0 p u n',0 n' n n,0 n', 0 Summe nur über benachbarte (Valenz-) Bänder C ( ) C m Gm Valenzbänder u C,0 p u V n,0 => je leiner G, desto leiner die effetive Masse! Beispiele InSb: G, = 0.35 ev, m eff = m GaAs: G, = ev, m eff = m AlAs: G, = ev, m eff = 0.15 m

11 dot p Theorie Valenzband H u u Nach insetzen der Blochfuntion n, n, n, Hamiltonian mit Spin-Bahn Wechselwirung H p m p m m V Valenzband setzt sich aus entarteten p-artigen Zuständen zusammen => Störungsrechnung mit ntartung 1 4m c 8 Band dot p Theory (CB, HH, LH und SO Band plus Spin => 8 Bänder) V p

12 Wellenfuntionen der Bänder s u C s u C Leitungsband Schwere Löcher y x HH v p i p u 1 y x HH v p i p u Leichte Löcher z y x LH v p p i p u z y x LH v p p i p u

13 Anisotropie der Löchermassen 1/ , 1 3 x z z y y x V m nergie von leichten und schweren Löchern nach Luttinger - Luttingerparameter eff V m, ) ( Redution auf quadratische Dispersion für bestimmte Kristallrichtungen

14 Anisotropie der Löchermassen Leichtlochmassen entlang der [001], [110] und [111] Richtung m m * 0 * 0 * 0 m lh,[001] m lh,[110] m lh,[111] m Schwerlochmassen entlang der [001], [110] und [111] Richtung m m * 0 * 0 * 0 m hh,[001] m hh,[110] m hh,[111] m m 0 - Masse eines freien letrons im Vauum

15 Isoenergielinien der Lochbänder Schwere Löcher Leichte Löcher * * m hh,[001] 0. 35m0,[110] 0. 64m0 Werte für GaAs * * m hh m lh,[001] 0. 09m0 m lh,[110] m 0

16 Anisotropie der Leitungsbandmasse Isoenergieflächen im Leitungsband für Ge, Si und GaAs Longitudinale m l und transversale m t effetive Masse ffetive Masse Ge Si GaAs m l / m 0 1,64 0,98 m t / m 0 0,08 0,19 0,067

17 Temperaturabhängigeit der Bandlüce T 1 > T Gitter dehnt sich bei rwärmung aus => Bandlüce wird leiner

18 Temperaturabhängigeit der Bandlüce G ( T ) G (0) T T T Ge Si GaAs 0 K 0,743 ev 1,17 ev 1,519 ev 300 K 0,66 ev 1,1 ev 1,4 ev

19 Tabellen von Materialparametern I Werte für GaAs aus Vurgaftman et al., J. Appl. Phys. 89, 5815 (001) Temperaturabhängigeit der direten Bandlüce Temperaturabhängigeit der X-Bandlüce Temperaturabhängigeit der L-Bandlüce

20 Tabellen von Materialparametern II SO-Bandabstand ffetive Masse -Punt ffetive Massen L-Punt ffetive Massen X-Punt Luttingerparameter für Löchermassen ffetive Masse SO-Band

21 Drucabhängigeit der Bandlüce Druc Zug Gitteronstante ändert sich unter Druc- und Zugverspannung => Bandlüce wird größer bzw. leiner

22 Verspannte Halbleiterschichten Unverspannter Kristall Drucverspannter Film GaAs InGaAs GaAs Bei Dicen von wenigen nm Fehlanpassungen von einigen %

23 Änderung der Gitteronstanten Drucververspannter Film Drucverspannung (a 0 >a 1 ) - Gitteronstante parallel zur Schicht a ändert sich nicht - Gitteronstante senrecht zur Schicht wird größer Zugverspannung (a 0 <a 1 ) - Gitteronstante parallel zur Schicht a ändert sich nicht - Gitteronstante senrecht zur Schicht wird leiner

24 Verspannung a a mat a mat Sub Drucverspannung (compressive strain): > 0 Zugverspannung (tensile strain): < 0 Zerlegung der Verspannung in Isotroper Drucanteil (Änderung des Volumens der lementarzelle) H a C 11 C C 11 1 Uniaxialer Verspannungsanteil (Änderung der Form der lementarzelle) S b C 11 C 11 C 1

25 lastizitätsmodule und Deformationspotentiale Isotroper Druc H a C 11 C C 11 1 Uniaxiale Verspannung S b C 11 C 11 C 1

26 Isotroper Druc: Änderung der Bandlüce C = C -H G = G -H V = V + (H-H ) C = C + H G = G + H V = V - (H-H ) Zugverspannt Unverspannt Drucverspannt

27 Uniaxiale Verspannung Zugverspannt Drucverspannt Uniaxiale Verspannung => Verschiebung der Leicht-/Schwerlochbandante um S => ntartung von leichten und schweren Löchern aufgehoben

28 Änderung der Bandlücen HH = H-S LH = H+S- SO = H++ Korretur der LH und SO nergie um S / - Abstand SO - HH/LH Band

29 Auswirung auf effetive Massen Änderung der effetiven Massen senrecht und parallel zur Schicht

30 Gitteronstante von ternären Halbleitern Lineare Interpolation der Gitteronstanten Ternäres Material A x B 1-x C (In x Ga 1-x As, GaAs x Sb 1-x, ) a( A B1 C) xa( AC) (1 x) a( BC) x x Vegards Gesetz

31 Bandlücen von ternären Halbleitern Quadratische Interpolation mit Bowingparameter C G ( A B1 C) x ( AC) (1 x) ( BC) x(1 x x 610 G G x) C Beispiel: GaSb x As 1-x Gitteronstante Gitteronstante [pm] Bandlüce Bandlüce [ev] 0.6 GaAs Sb-Anteil GaSb

32 Parameter quaternärer Halbleiter Typ 1: A x B 1-x C y D 1-y Typ : A x B y C 1-x-y D In x Ga 1-x As y P 1-y In x Al y Ga 1-x-y As Ansatz 1 Interpolation zwischen ternären Halbleitern G ( x) (1 x) G xg x(1 x) C ' ABC AC BC ABC G '' ABCD ( x, y) x(1 x) ' ' ' ' (1 y) G ( x) yg ( x) y(1 y) xg ( y) (1 x) G ( y) ABD ABC x(1 x) y(1 y) ACD BCD T. H. Glisson et al., J. lectron. Mater. 7, 1 (1978)

33 Parameter quaternärer Halbleitern Ansatz Interpolation zwischen gitterangepassten ndpunten und G ( z) (1 z) G zg z(1 z) C '' ' ' Beispiel: InGaAsP auf GaAs ndpunte: - GaAs (z = 0) -Ga 0.51 In 0.49 P (z = 1) I. Vurgaftman et al., J. Appl. Phys. 89, 5815 (001)

34 Parameter quaternärer Halbleitern Ansatz 3 Interpolation zwischen binären ndpunten B 1 -B 4 : Parameter der vier binären ndpunte C 1, C 3, C 34, C 14 : Bowingparameter für ternäre Verbindungslinien D: quaternärer Bowingparameter G.P. Donati et al., J. App. Phys. 94, 5814 (003)

35 Interpolation zwischen binären ndpunten InP Gitterangepasst auf InP InAsP InGaP GaP Grau: indireter HL GaAsP Linien: G = const Gitterangepasst auf GaAs InAs InGaAs GaAs

36 Interpolation für Typ I quaternäre HL

37 Interpolation für Typ II quaternäre HL

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