Parameterabhängige Integrale, Kurven, Kurvenintegrale Vorlesung

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1 Prmeterbhängige Integrle, Kurven, Kurvenintegrle Vorlesung Mrcus Jung

2 Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis 1 Einführung 3 2 Eigenschften Prmeterbhängiger Integrle Stetigkeit Integrtionsreihenfolge Dierentierbrkeit Leibniz-Regel für prmeterbhängige Grenzen Uneigentliche prmeterbhängige Integrle Kurven Denition Doppelpunkt Singulrität Schnittpunkt, Schnittwinkel Bogenlänge einer Kurve Rektizierbrkeit Kurvenintegrle Motivtion Denition Additivität, Linerität Kurvenintegrl eines Vektorfeldes Denition Wegunbhängigkeit von Kurvenintegrlen über Vektorfeldern

3 1 Einführung 1 Einführung Prmeterbhängige Integrle sind Integrle, bei denen der Integrnd selbst noch von einer (oder mehreren) unbhängigen Vriblen bhängt, z.b. Gmm - Funktion. Für den Fll eigentlicher Integrle betrchtet mn lso Funktionen der Form: F (x) := f(x, y)dy x I Die Vrible x tritt hier ls Prmeter uf, über diese wird nicht integriert! Hier ist: I R ein Intervll f(x,y) eine Funktion f : I [, b] R bei festem x I, die ls Funktion von y über [, b] integrierbr sein möge 2 Eigenschften Prmeterbhängiger Integrle 2.1 Stetigkeit Eine wichtige Eigenschft prmeterbhängiger Integrle ist die Stetigkeit: Ist f(x, y) stetig uf I [, b], so existiert ds Integrl F (x) := x I, und F (x) ist uf I stetig. f(x, y)dy für lle 2.2 Integrtionsreihenfolge Nun betrchtet mn die Wichtigkeit der Integrtionsreihenfolge. Annhmen: D := [, b] [c, d] R 2 f : D R stetig f : [, b] R mit F (x) := f(x, y)dy Dmit gilt die Vertuschbrkeit der Integrtionsreihenfolge: F (x)dx = d ( c f(x, y)dy)dx = d c ( f(x, y)dx)dy Dies ist ein Spezilfll des Stzes von Fubini, welcher mehrdimensionle Integrle uf eindimensionle Integrle zurückführt, welche dnn einfch berechnet werden können. 3

4 2 Eigenschften Prmeterbhängiger Integrle 2.3 Dierentierbrkeit Nun geht es um die Vertuschbrkeit von Integrtion und Dierenzition prmeterbhängiger Integrle: Ist f(x, y) nch x stetig prtiell dierenzierbr, dnn ist F (x) stetig dierenzierbr, und somit gilt: F (x) = f (x, y)dy x x I Einfches Beispiel: f(x, y) = x 2 y ) F (x) = f(x, y)dy = x x (1 2 x2 y 2 ) = xy 2 b) F (x) = f(x, y)dy = 2xydy = xy 2 x Weitere Beispiele, u.. Besselfunktion ls Übung 2.4 Leibniz-Regel für prmeterbhängige Grenzen Nun betrchtet mn Integrle, bei denen uch die Grenzen von Prmetern bhängen, lso g(x), h(x). Annhme: D := [, b] [c, d] R 2 f : D R stetig f : [, b] R mit F (x) := f(x, y)dy f nch x stetig prtiell dierenzierbr g, h : ], b[ ]c, d[ stetig dierenzierbr Hängen uch die Integrtionsgrenzen (g, h) von Prmetern b, so erhält mn für 2.3 die Dierenzitionsregel (Leibniz-Regel): x h(x) g(x) f(x, y)dy = h(x) g(x) x f(x, y)dy + f(x, h(x))h (x) f(x, g(x))g (x) 4

5 2 Eigenschften Prmeterbhängiger Integrle Die Gleichung us 2.3 ist nur ein Spezilfll der Leibniz-Regel, d die beiden letzten Terme hier wegfllen, d.h. wenn die Integrtionsgrenzen nicht von Prmetern bhängig sind, sind h (x), g (x) = und dmit fllen die beiden letzten Terme uf der rechten Seite weg. Beispiel zu 2.4 F (x) = x2 cos(xt 2 )dt F (x) = x2 t 2 sin(xt 2 )dt + 2xcos(x 5 ) 2.5 Uneigentliche prmeterbhängige Integrle Zum Schluss betrchten wir noch die Dierenzierbrkeit von Integrlen, deren Grenze im Unendlichen liegt. Annhme: f(x, y) stetig und nch x stetig prtiell dierenzierbr f(x, y)dy, konvergent f x (x, y)dy uf kompkten Teilmengen von I gleichmäÿig Unter diesen Vorrussetzungen ist uch F (x) stetig dierenzierbr und die Ableitung lässt sich unter ds Integrlzeichen ziehen: F (x) = Beispiel zu 2.5 f (x, y)dy x Die Ableitung der Gmm-Funktion lässt sich nun folgendermÿen berechnen: Γ(x) = e t t x 1 dt Γ (x) = e t t x 1 ln(t)dt 5

6 3 Kurven 3 Kurven Wenn mn in der Mthemtik von Kurven spricht, geht es um eindimensionle Objekte, die in mehrdimensionlen Räumen uftreten können, und in der Regel eine Krümmung besitzen. Eindimensionl bedeutet, dss sich die Kurve nur in eine Richtung "bewegt". 3.1 Denition Eine stetige Funktion : [, b] R n heiÿt eine Kurve im R n oder Prmeterdrstellung einer Kurve, wobei () ls Anfngspunkt und (b) ls Endpunkt der Kurve bezeichnet werden. Flls () = (b) wird die Kurve ls geschlossen bezeichnet. Ist eine Abbildung : [, b] R n eine C 1 Abbildung, ist lso jede Koordintenfunktion c j (t) stetig dierenzierbr, so nennt mn (t) eine C 1 Kurve. Ist jede Koordintenfunktion c j stetig dierenzierbr, ist uch stetig dierenzierbr. EineC 1 Kurve heiÿt gltt, flls x [, b] ċ(t) Die Ableitung ċ(t) von (t) heiÿt Tngentilvektor n die Kurve (t) Beispiele (t) := (cos(t), sin(t)) T, t [, 2π], beschreibt einen Kreis im R 2 (t) := (rcos(2πt), rsin(2πt), ht) T, t R beschreibt eine Schrubenlinie mit Rdius r > 6

7 3 Kurven 3.2 Doppelpunkt Es sei : I X eine Kurve. x X heiÿt Doppelpunkt von, flls s, t I existiert, mit s t und x = (s) = (t) Beispiel: Beim Kreis ist jeder Punkt Doppelpunkt, z.b.: () = (2π) 3.3 Singulrität Es sei : I R m eine Kurve und dierenzierbr, dnn ist t I eine singuläre Stelle von, flls ċ(t) = 3.4 Schnittpunkt, Schnittwinkel Zwei Kurven können sich im Rum schneiden. Sind die Kurven nicht identisch, d.h. es gilt nicht (t) = d(t) t I, knn es ein oder mehrere Schnittpunkte geben mit den dzugehörigen Schnittwinkeln. Es seien : I R m und d : J R m Kurven. x R m heiÿt Schnittpunkt von und d, wenn ein t I und ein r J existiert, mit x = (t) = d(r) Der Winkel α zwischen zwei Tngentilvektoren ċ(t), ḋ(r) heiÿt Schnittwinkel von, d in t und r. Es gilt: cos(α) = < ċ(t), ḋ(r) > ċ(t) > 2 ḋ(r) Bogenlänge einer Kurve Die Bogenlänge gibt einfch nur die Länge einer Kurve n. Um diese zu bestimmen ht mn sich folgendes überlegt: Kurve (t), t b durch Kntenzug pproximieren (siehe Abb.) Zu vorgegebener Zerlegung Z = ( = t < t 1 <... < t m = b) des Intervlls [, b] setzt mn n: Gesmtlänge L(Z) := m 1 (t j+1 ) (t j ) j= Schut mn sich die Abb. n, ist es klr, dss L(Z) stets kleiner gleich der ttsächlichen Länge ist. Geht Z erhält mn die ttsächliche Länge. 7

8 3 Kurven 3.6 Rektizierbrkeit Ist die Menge {L(Z) : z Z[, b]} nch oben beschränkt, so heiÿt die Kurve rektizierbr und L() := sup{l(z) Z Z[, b]} = lim L(Z) Z heiÿt die Länge der Kurve Dmit lässt sich die Länge der Kurve nun einfch berechnen: Stz: Jede C 1 - Kurve ist rektizierbr, und für die Länge von gilt: L() = ċ dt Beispiel: Berechnung der Länge eines Kreises (t) = (r cos(t), r sin(t)) T ċ(t) = ( r sin(t), r cos(t)) T ċ(t) = r L() = 2π rdt = 2π r Zum Schluss noch einige wichtige Prmetrisierungen: Polrkoordinten: (t) = (r cosφ, r sinφ) T Zylinderkoordinten: (t) = (r cosφ, r sinφ, z) T Kugelkoordinten: (t) = ( rcosφ cosθ, r sinφ cosθ, r sinθ) T 8

9 4 Kurvenintegrle 4 Kurvenintegrle Nchdem wir nun die Denition und Eigenschften von Kurven kennengelernt hben, kommen wir nun zur Integrtion von Kurven. 4.1 Motivtion Um zu verstehen, wrum mn sich mit Kurvenintegrlen beschäftigt, betrchten wir folgende Aufgbe: Es sei ein krummliniger, evtl. inhomogen mit Msse belegter Drht gegeben. Nun frgt mn sich nch der Gesmtmsse des Drhtes. Dies erreicht mn durch Integrtion. Die Lge des Drhtes beschreiben wir durch eine C 1 Kurve x = (t), t b Im Punkt x ht der Drht die ortsbhängige Mssendichte ρ( x) = Msse Längeneinheit Nun rbeitet mn wieder mit einer Zerlegung und pproximiert die Dichte uf dem Drhtstück (t i ),(t i+1 ) durch einen konstnten Wert, ρ((t i )) Dies knn gemcht werden, d die Wegstücke ls sehr klein ngenommen werden, (t t+1 ) (t). Für die Gesmtmsse erhält mn nun folgende Näherung: ρ ges = m 1 i= ρ((t i )) (t i+1 ) (i) Wie schon bei der Berechnung der Bogenlänge lässt sich nun zeigen, dss diese Näherung für Z gegen folgendes Integrl konvergiert: ρ ges = ρ((t)) ċ(t)dt Wichtiges Integrl in der Mechnik um z.b. Gesmtmsse zu bestimmen, oder in der E-Dynmik, um z.b. Gesmtldung zu bestimmen. 9

10 4 Kurvenintegrle 4.2 Denition Gegeben sei D R n, f : D R stetig und : [, b] D eine C 1 Kurve. Ds Kurvenintegrl von f( x) längs wird nun deniert durch f( x)ds := f((t)) ċ(t) dt Im Beispiel der Berechnung der Gesmtmsse des Drhts, wäre die Gesmtmsse lso durch folgendes Integrl gegeben: ρ ges = ρ( x)ds Sollte die Kurve geschlossen sein, verwendet mn folgendes Zeichen ls Kurvenintegrl: f( x)ds Bemerkung: Kurvenintegrle sind prmetrisierungsinvrint, d.h. egl welche Prmetrisierung gewählt wird (z.b. Polr-, Kugelkoordinten), ds Integrl bleibt gleich. 4.3 Additivität, Linerität Ist stückweise stetig dierenzierbr, c i sind die einzelnen Teile der zerlegten Kurve, dnn gilt: f( x)ds = f( x)ds i w i Dies ist die Additivität, die besgt, dss sich z.b. die Gesmtmsse des Drhtes berechnen lässt durch Addition der einzelnen Mssen der Teilstücke des Drhtes. Des Weiteren gilt: (f( x) + α g( x))ds = f( x)ds + α g( x)ds Dies ist die Linerität des Kurvenintegrls. 4.4 Kurvenintegrl eines Vektorfeldes Nun geht es drum Kurvenintegrle von Vektorfeldern zu bestimmen. Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die im Rum jedem Punkt einen Vektor zuordnet. Sie können z.b die Stärke und Richtung einer Krft beschreiben. Wir betrchten folgende Situttion: Ein Mssenpunkt bewege sich längs einer Kurve (t) in einem Krftfeld K( x). Gesucht ist die physiklische Arbeit,die geleistet wird. 1

11 4 Kurvenintegrle Approximiert wird die Kurve (t) wieder durch Streckenzüge mit Ecken (t i ), wobei uch hier folgende Zerlegung von [, b] gilt: Z = { = t < t 1 <... < t m = b} Längs einer Teilstrecke wird ds Krftfeld K( x) durch eine konstnte Krft K((t i )) pproximiert. Dmit erhält mn für die Gesmtrbeit eine Summe von Sklrprodukten: A ges = m 1 i= bzw. in Dimensionen n 1 A ges = n j=1 < K((t i )),(t i+1 (t i ) > m 1 i= K j ((t i )) (c j (t t+1 ) c j (t i )) Für die Zerlegung Z mit Z erhält mn nun ds Integrl: < K((t)), ċ(t) > dt 4.5 Denition Für ein stetiges Vektorfeld f : D R n, D R n oen, und eine C 1 Kurve : [, b] D wird ds Kurvenintegrl deniert durch: f( x)d x := < f((t)), ċ(t) > dt Sollte die Kurve geschlossen sein, lso () = (b) verwendet mn uch hier folgendes Zeichen für ds Integrl: f( x)d x Bemerkung: Auch Kurvenintegrle eines Vektorfeldes sind liner, dditiv und prmetrisierungsinvrint. 11

12 4 Kurvenintegrle Beispiel x R 3, f( x) := ( y, x, z 2 ) T,(t) := (cost, sint, t) T, t 2π f( x)d x = ( ydx + xdy + z 2 dz) = 2π Bemerkung: [( sint)( sint) + cost cost + 2 t 2 ]dt = 2π (1 + 3 t 2 )dt = 2π (2π)3 Ein stetiges Vektorfeld f( x), x D R n heiÿt wirbelfrei, flls dessen Kurvenintegrl längs ller geschlossenen C 1 Kurven (t) in D verschwindet, lso wenn : f( x)d x = Somit ist ein Vektorfeld oensichtlich genu dnn wirbelfrei, wenn der Wert eines Kurvenintegrls nur von Anfngs- und Endpunkt des Weges, jedoch nicht vom Verluf des Weges bhängen, ds Kurvenintegrl ist lso wegunbhängig. 4.6 Wegunbhängigkeit von Kurvenintegrlen über Vektorfeldern Im folgenden werden Kriterien für Vektorfelder gesucht, die die Wegunbhängigkeit von Kurvenintegrlen grntieren. Bemerkung: Eine Teilmenge D R n heiÿt zusmmenhängend, flls je zwei Punkte in D durch eine C 1 Kurve verbunden werden können. Eine oene und zummenhängende Menge D R n heiÿt Gebiet in R n Ein Gebiet D R n heiÿt einfch zusmmenhängend, wenn sich jede geschlossene Kurve : [, b] D stetig innerhlb D uf einen Punkt zusmmenziehen lässt. Denition: f : D R n sei Vektorfeld uf einem Gebiet D R n. Mn bezeichnet f( x) ls Grdientenfeld, flls es eine sklre C 1 Funktion ϕ : D R gibt, mit grdϕ( x) = f( x) 12

13 4 Kurvenintegrle Denition: Der Grdient ist deniert ls: grdf( x) = ( f x 1,..., f x n ) Er ist ein Dierentilopertor, der uf ein Sklrfeld ngewndt wird. Ddurch erhält mn ein Vektorfeld, dss die Änderungsrte und die Richtung der gröÿten Änderung des Sklrfeldes ngibt. Anschulich gibt der Grdient beispielsweise die Richtung des steilsten Anstieges in einem Höhenprol (Vektorfeld) n. Bemerkung: Wenn ein Krftfeld ein Potentil besitzt, K( x) = grdϕ( x) wird es uch ls konservtiv bzw. energieerhltend bezeichnet. Ist ein Krftfeld konservtiv, ist es wegunbhängig. Die funktion U( x) := ϕ( x) ist dnn die potentielle Energie. Also: Besitzt ein Vektorfest ein Potentil, dnn ist es konservtiv. Ein konservtives Vektorfeld ist wegunbhängig. Um heruszunden, ob ein Vektorfeld wegunbhängig ist, muss mn lso nur noch eine Bedingung nden, die ngibt, wnn ein Vektorfeld ein Potentil besitzt! Dies ist die sogennnte Integrbilitätsbedingung: Es sei D R n ein einfch zusmmenhängendes Gebiet. Ein C 1 Vektorfeld f : D R n besitzt genu dnn ein Potentil uf D, flls die Integrbilitätsbedingung x D : J f( x) = (J f( x)) T, lso f k x j erfüllt ist. Bemerkung: = f j x k, Für den Fll n=3 mit Vektorfeld f( x), x R 3 und einem C 1 Grdientenfeld f( x) = grdϕ( x) ht mn: rot f( x) = rotgrdϕ( x) =, d.h ist rot f( x) =, ht mn ein Grdientenfeld, welches j wie beschrieben ein Potentil besitzt und somit wegunbhängig ist. Also lutet die Integrbilitätsbedingung im R 3 : rot f( x) = 13