a) Den Zusammenhang für die Temperatur und die Wellenlänge bei maximaler spektraler Energiestromdichte gibt das Wiensche Gesetz an.

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1 Lösung 5. 5./ Gegeben: Sonnenstrahlung mit λ opt = 0, 5 µm, astronomische Daten: r So = 6, km, z =, km. Gesucht: a) T So; b) ĖSo; c) ˆ f a) Den Zusammenhang für die Temperatur und die ellenlänge bei maximaler spektraler Energiestromdichte gibt das iensche Gesetz an. T So =, m K λ opt =, m K 0, m = 5796 K. Diese Temperatur stimmt mit dem bekannten ert der Sonnenoberflächentemperatur von 5780 K gut überein. b) Der insgesamt von der Sonne in den eltraum emittierte Energiestrom folgt aus dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz zu ( ) 4 Ė So = A So ˆė S = 4 π rso TSo 00 bzw., mit den gegebenen erten, Ė So = 4 π 6, m 5, 67 m K 4 57, 964 K 4 = 3, c) Aus dem unter b) abgeleiteten Zusammenhang erhält man unmittelbar den zugestrahlten flächenspezifischen Energiestrom an der Erdoberfläche. Der Radius für die gedachte Kugeloberfläche für den flächenspezifischen Energiestrom in Äquatornähe entspricht dem Abstand vom Sonnenmittelpunkt zur Erdoberfläche a = z r E z. Es gilt mit der dazugehörigen Kugeloberfläche A = 4 π z für die Energiestromdichte auf der Erdoberfläche ˆė E = ˆ f = ĖSo 4 z π = 3, , m π = 380 m. Die tatsächliche Energiestromdichte ohne Absorptionsverluste beträgt bei senkrechter Einstrahlung am Äquator 370 /m und wird Solarkonstante genannt. egen der elliptischen Bahn der Erde um die Sonne schwankt dieser ert um ± 3, 4 %. Diese Energie steht jedoch infolge atmosphärischer Absorption an der Erdoberfläche nicht vollständig zur Verfügung.

2 Lösung 5. 5./ Gegeben: Gesucht: Temperatur der Glühlampe T = 3000 K a) Strahlungsanteil für das sichtbare Licht. b) ellenlänge für maximale Intensität λ opt. a) Das sichtbare Licht liegt in dem ellenlängenbereich von λ = 0, m bis λ = 0, m. ird Schwarze Strahlung vorausgesetzt, so ist der gesuchte Anteil f λ T λ T = f 0 λ T f 0 λ T. Aus der Tabelle im Umdruck S.50 folgt für λ T = 0, m 3000 K =, 0 3 m K f 0 λ T = 0, 003, und für λ T = 0, m 3000 K =, 0 3 m K f 0 λ T = 0, Damit erhält man für den Anteil im Bereich des sichtbaren Spektrums f λ T λ T = 0, , 003 = 0, 087 = 8, %. D. h., nur ca. 8 % der eingesetzten Elektroenergie für die traditionelle Glühfadenbeleuchtung werden als Licht abgegeben. b) Die ellenlänge, bei der der olframdraht das Maximum der Energie emittiert, erhält man aus dem ienschen Verschiebungsgesetz zu λ opt =, m K T =, m K 3000 K = 0, 966 µm. Das Maximum der emittierten Energie liegt also im nahen Infrarot-Bereich der Strahlung. Der olframdraht müßte demnach eine wesentlich höhere Temperatur haben, wenn der Anteil des sichtbaren Lichtes an der emittierten Energie vergrößert werden soll. Dies ist jedoch wegen der dabei auftretenden erkstoffverdampfung nicht möglich. Der emittierte Anteil bis zur ellenlänge λ opt ist λ opt T =, m K f 0 λopt T = 0, 5. Dieses Ergebnis gilt auch für andere Temperaturen, da stets 5% der emittierten Energie im ellenlängenbereich von 0 bis λ opt liegen.

3 Lösung / Gegeben: Verglasung eines Gewächshauses: spektraler Transmissionsgrad: τ λ = 0,9 für 0, 4 µm λ 3 µm, Temperaturen der Schwarzen Strahler: a) T a = 5760 K, b) T b = 373, 5 K. Gesucht: Gesamttransmissionsgrad τ für die jeweilige Temperatur Für den Gesamttransmissionsgrad ergibt sich unter der Voraussetzung, daß die zugestrahlte Strahlung Schwarze Strahlung ist und außerhalb des betrachteten ellenlängenbereiches τ λ = 0 gilt, τ = λ λ 0 τ λ ˆ f λ dλ ˆ f λ dλ λ τ λ ˆė λ,s dλ λ = = τ λ (f 0 λ T f 0 λ T ) ˆė λ,s dλ 0 Der Anteil f 0 λ T der Schwarzen Strahlung wird nach dem Umdruck S.50 ermittelt, wobei näherungsweise linear interpoliert wird. Berechnung der Strahlungsanteile und des Gesamttransmissionsgrades: a) λ T a = 0, m 5760 K =, m K f 0 λ T a = 0, 4, λ T a = m 5760 K = 7,8 0 3 m K f 0 λ T a = 0, 9784, τ = 0, 9 (0, , 4) = 0, 788. b) λ T b = 0, m 373, 5 K = 0, m K f 0 λ T b = 0, λ T b = m 373, 5 K =, m K f 0 λ T b = 0, 004, τ = 0, 9 (0, 004 0) = 0, 003. Von der Sonnenstrahlung geht ein sehr großer Teil durch das Glas, da der betrachtete ellenlängenbereich das Maximum der Funktion ˆė λ,s (λ, T a ) einschließt. Von der Strahlung mit der Temperatur T b geht nur ein sehr kleiner Teil durch das Glas, da der betrachtete ellenlängenbereich kleiner ist als der Bereich, in dem bei T b die maximale Strahlungsintensität vorliegt. λ opt,b =, m K T b = 7, m = 7, 76 µm. Durch diese beiden Tatsachen kommt der Treibhauseffekt zustande. Das bedeutet, im Gewächshaus ist die Lufttemperatur deutlich höher als in der Umgebung.

4 Lösung / Gegeben: Abmessungen: R = 0,3 m, L = 0, m. Gesucht: Einstrahlzahlen Nach dem Bild hat die Innenseite des halben Hohlzylinders den Index, die Oberfläche des Stabes den Index und die Umgebung den Index 3. Der quadratische Stab muß in Richtung des Hohlzylinders und der Umgebung jeweils die Hälfte der Energie aussenden, so daß ϕ, = ϕ,3 = 0, 5 gilt. Außerdem muß ϕ, = 0 gesetzt werden, da von seiner ausgesendeten Energie nichts auf ihn selbst zurückfällt. Die Summenbeziehung ist damit erfüllt: ϕ, + ϕ, + ϕ,3 =. Für den halben Hohlzylinder () gilt ϕ, + ϕ, + ϕ,3 =. Aus der Reziprozitätsbeziehung erhält man ϕ, zu ϕ, = ϕ, A A. Die Flächen berechnen sich zu (die Abmessung senkrecht zur Betrachtungsebene wird Z = m gesetzt): A = π R Z = π 0, 3 m m = 0, 94 m, A = 4 L Z = 0, 4 m. Damit ist die Einstrahlzahl bestimmt: ϕ, = 0, 5 0, 4 0, 94 = 0,. Die Berechnung weiterer Einstrahlzahlen erscheint unmöglich, da die Umgebungsfläche nicht definiert ist. ird dagegen die Hilfsfläche 4 eingeführt, so ergeben sich weitere Gleichungen für die Einstrahlzahlen. Mit der Hilfsfläche gilt für die ausgesendete Energie die Bilanz (Zerlegungssatz): 5.6/

5 5.6/ Ṡ,4 = Ṡ, + Ṡ,3 bzw. ϕ,4 = ϕ, + ϕ,3. Da ϕ 4, = ist, erhält man die Einstrahlzahl ϕ,4 über die Reziprozitätsbeziehung ϕ,4 = A 4 A ϕ 4,. Mit A 4 = Z R + L = m 0, 3 m + 0, m = 0, 66 m folgt ϕ,4 = 0, 66 0, 94 = 0, 654. Damit sind alle weiteren Einstrahlzahlen berechenbar: ϕ,3 = ϕ,4 ϕ, = 0, 654 0, = 0, 44, ϕ, = ϕ, ϕ,3 = 0, 0, 44 = 0, 346. Infolge der großen Umgebungsfläche müssen ϕ 3, = ϕ 3, = 0 sein. Eine Lösung ist auch ohne Anwendung des Zerlegungssatzes für die Hilfsfläche möglich, wenn folgende Reihenfolge bei der Berechnung der Einstrahlzahlen getroffen wird, nachdem ϕ,4 ermittelt wurde. ϕ, = ϕ,4 = 0, 654 = 0, 346 ϕ,3 = ϕ, ϕ, = 0, 346 0, = 0, 44. Da es sich um eine zweidimensionale Anordnung (unendliche Ausdehnung in Betrachtungsebene) handelt, kann zur Bestimmung der Einstrahlzahlen auch die Kreuzfadenmethode (vgl. VDI-ärmeatlas, 6. Aufl. Blatt Kb8, Bild 9) verwendet werden.

6 Lösung / Gegeben: A, A, A 3, A 4 Gesucht: ϕ,4, ϕ 4, Lösungsweg: Systematische Anwendung der Zerlegungssätze damit Diagramm für benachbarte rechtwinklige Flächen (Umdruck S.56)angewendet werden kann. Bestimmung von ϕ,4 : Anwendung des Zerlegungssatzes auf Fläche (+) und 4. (+) ist die zusammengesetzte Fläche aus und. A (+) ϕ (+),4 = A ϕ,4 + A ϕ,4 A ϕ,4 = A (+) ϕ (+),4 A ϕ,4. Bestimmung von ϕ (+),4 : ϕ (+),(3+4) = ϕ (+),3 + ϕ (+),4 ϕ (+),4 = ϕ (+),(3+4) ϕ (+),3. Bestimmung von ϕ,4 : ϕ,(3+4) = ϕ,3 + ϕ,4 ϕ,4 = ϕ,(3+4) ϕ,3. Damit ist die Einstrahlzahl ϕ,4 berechenbar (vgl. auch Umdruck S.53): ϕ,4 = A [A (+) (ϕ (+),(3+4) ϕ (+),3 ) A (ϕ,(3+4) ϕ,3 ). Die Reziprozitätsbeziehung liefert ϕ 4, ϕ 4, = A A 4 ϕ,4. Gegeben sind die Flächen A = A = A 3 = A 4 = 0, 5 m. Aus dem Diagramm im Umdruck S.56 bzw. den Gleichungen S.56 erhält man: B = und C = ϕ (+),(3+4) = 0, bzw. 0,000. B = 0, 5 und C = ϕ,(3+4) = 0, 9 bzw. 0,94. B = und C = 0, 5 ϕ (+),3 = 0, 4 bzw. 0,46. B = 0, 5 und C = 0, 5 ϕ,3 = 0, 4 bzw. 0,406. ϕ,4 = 0, 5 ϕ 4, = ϕ,4. ( (0, 0, 4) 0, 5 (0, 9 0, 4)) = 0, 07 bzw. 0,0558

7 " Lösung / Gegeben: Büroraum L = 6 m, B = 4 m, H = 3 m Fensterflächen t F = 3 o C, ε F = 0,9 andflächen t = o C, ε = 0,93 Gesucht: a) Einstrahlzahl ϕ,f b) ärmestrom Q,F a) Die Einstrahlzahlen können mit Hilfe des Zerlegungssatzes ermittelt werden. Dazu wird die Hilfsfläche 4 (Fläche zwischen beiden Fenstern) eingeführt. ϕ,(+4) = ϕ, + ϕ,4 Einstrahlzahl von Fenster auf Hilfsfläche 4 nach Umdruck S.56 B = 4 m 3 m =, 333, C = 4 m 3 m =, 333 ϕ,4 = 0, 8 Einstrahlzahl von Fenster auf Fläche + 4 B = 4 m 3 m =, 333, C = 6 m 3 m = ϕ,(+4) = 0, " "! 0 #! K I K C I B Damit wird ϕ, = ϕ,(+4) ϕ,4 = 0, 0, 8 = 0, 0 Die Summenbeziehung für die Fensterfläche ϕ, + ϕ, + ϕ,3 = liefert die Einstrahlzahl vom Fenster auf die andflächen ϕ,3 = ϕ, ϕ, = 0 0, 0 = 0, 98. Die Reziprozitätsbeziehung zwischen den beiden Fensterflächen ergibt A m ϕ, = ϕ, = 0, 0 = 0, 04. A 6 m Aus der Summenbeziehung für die Fensterfläche erhält man ϕ,3 = ϕ, ϕ, = 0, 04 0 = 0, /

8 5.0/ Nachdem jetzt die einfacher zu ermittelnden Einstrahlzahlen bekannt sind, kann die kompliziertere Fläche 3 betrachtet werden. Die Fläche 3 besteht aus Fußboden, Decke und den restlichen Seitenwänden. A 3 = 6 4 m m m m = 90 m. Die fehlenden Einstrahlzahlen können aus den Reziprozitätsbeziehungen und der Summenbeziehung ermittelt werden. ϕ 3, = ϕ,3 A A 3 = 0, 98 m = 0, 3 90 m A ϕ 3, = ϕ,3 = 0, 96 6 m = 0, 064 A 3 90 m ϕ 3,3 = ϕ 3, ϕ 3, = 0, 805. Da die beiden Fensterflächen gleiche Eigenschaften haben (gleiche Temperatur und gleiches ε) können sie zu einer Fläche zusammengefaßt werden, womit sich eine Zweiflächenstrahlung ergibt. oder ϕ,f = ϕ 3,(+) = ϕ 3, + ϕ 3, = 0, 3 + 0, 064 = 0, 95 ϕ,f = ϕ 3,(+) = ϕ 3,3 = 0, 95. b) Zur Berechnung des ärmestromes Q,F infolge Strahlung von den andflächen zu den beiden Fenstern kann die allgemeine Gleichung für den Zweiflächenstrahlungsaustausch angewendet werden. Hierbei wird vorausgesetzt, daß die Fensterflächen für thermische Strahlung undurchlässig sind. [ ( ) 4 ( ) 4 T TF Q,F = C,F A resultierender Strahlungskoeffizient 5, 67 /(m K 4 ) C,F = + ( ) = A + ε ϕ,f ε F A F 0, 93 + ( ) 90 m 0, , 9 8 m = 0, 984 m K 4 5.0/3

9 Damit wird 5.0/3 Q,F = 0, 984 m K 4 90 m [, 955 4, K 4 = 783. Bei einer praktischen Aufgabe müßte nun mit dem übertragenen ärmestrom infolge Strahlung und Konvektion an das Fenster und dem ärmedurchgang durch das Fenster die innere Oberflächentemperatur des Fensters nachgerechnet werden, die in dieser Aufgabe vorgegeben wurde.

10 Lösung 5. 5./ Gegeben: parallele ände mit Strahlungsschutz dazwischen ε = ε = ε = 0, 85 ; ε 3 = 0, 03; T > T. Annahme: Unendlich ausgedehnte parallele ände. Gesucht: a) T 3 ; b) q 0 / q Sch (Verhältnis zwischen ärmestromdichten ohne und mit Strahlungsschutz). a) ärmestromdichte zwischen den Platten [ ( ) 4 ( ) 4 [ ( ) 4 ( ) 4 T T3 T3 T ˆ q Sch = ˆ q,3 = ˆ q 3, = C,3 = C 3, Temperatur des Strahlungsschirms aus Gl.() () ( T ) 4 + C 3, ( T ) 4 egen ( ) 4 T3 = 00 C, C,3 + C 3, wird ch = C,3 = C 3, = T 3 = [ 0, 5 ( T 4 + T 4 ε + ε 3 >! >! ) 0,5 6 A 6! A! 6 A. 0 $! K I K C I B b) ärmestromdichte ohne Strahlungsschutz [ ( ) 4 ( ) 4 T T ˆ q 0 = C,, C, = =. ε ε ε ärmestromdichte mit Strahlungsschutz (siehe Umdruck S.58 mit A = const) mit [ ( ) 4 ( ) 4 ˆ q Sch = C, T T C, = ε + ε 3 + ε = ( ε + ). ε3 5./

11 5./ Der Ausdruck C, ergibt sich, wenn in Gl.() die Temperatur T 3 eliminiert wird. Das Verhältnis der ärmestromdichten für die Anordnung ohne und mit Strahlungsschutz beträgt ˆ q 0 ˆ q Sch = ( ε + ) ε3 = ε ( 0, 85 + ) 0, 03 = 49, 54. 0, 85 Da es sich bei dem Strahlungsschirm um ein poliertes Kupferblech mit sehr kleinem Emissionsgrad handelt (entspricht auch sehr kleinem Absorptionsgrad), wird der größte Teil der von der Fläche auf das Kupferblech auftreffenden Strahlung wieder reflektiert. Im Vergleich zu dem Fall ohne Strahlungsschirm gelangt nur noch etwa % des ursprünglichen ärmestroms auf die Fläche. Eine irkung des Strahlungsschirms ist auch dann noch vorhanden, wenn dieser sich wie ein Schwarzer Strahler (ε 3 = ) verhält. Es ergibt sich für ˆ q 0 /ˆ q Sch =, 74. Durch mehrere Strahlungsschirme kann die ärmestromdichte weiter gesenkt werden. Bei gleichem Emissionsgrad für alle Flächen gilt ˆ q 0 /ˆ q Sch = N +, mit N der Anzahl der Strahlungsschirme. Durch viele Schirme und eine Evakuierung der Luft in den Spalten kann eine Superisolation erreicht werden.

12 Lösung / Gegeben: doppelwandiger Thermosbehälter mit flüssiger Luft l = 0,5 m, d a = 0, 08 m, t = t S = 94 o C, t = 0 o C, h V =, kj/m 3, d a d i, ε a = 0, 94, ε b = 0, 0. Gesucht: verdampfender Volumenstrom an flüssiger Luft V a und V b. Die Energiebilanz für den Thermosbehälter sagt aus, daß der ärmestrom, den die Luft beim Verdampfen aufnimmt, durch den Strahlungsaustausch zugeführt wird. Q = ṁ (h h ) = V h V, Q = Q Str. Damit erhält man für den verdampfenden Volumenstrom V = Q Str h V. Der ärmestrom infolge Strahlung zwischen den Behälterwänden (ohne Deckel) berechnet sich mit den Unterlagen für einen Zweiflächenstrahlungsaustausch. Es wird ein Strahlungsaustausch zwischen parallelen änden angenommen, da der Spalt sehr eng ist (d a d i = d). [ ( ) 4 ( ) 4 T T Q Str = C, A, C, = ε + = ε ε ; A A = A; A = π d l + π d ( Q Str = C, π 0, 08 m 0, 5 m + π 0, 08 m ) (, , 795 4) K 4 = C, 3, 048 m K 4. a) unversilbertes Gefäß C,,a = 5, 67 m K 4 0, 94 = 5, 08 Q Str,a = 5, 34 ; m K 4 ; 8 m3 Va = 8, s = 0, 3 l h. 5.3/

13 b) versilbertes Gefäß 5.3/ C,,b = 0, m3 V b = 9, s m K 4 ; Q Str,b = 0, 747 ; = 0, 0033 l h. An dem Beispiel kann der positive Effekt von versilberten Flächen deutlich erkannt werden.

14 M Lösung / Gegeben: zu trocknende Papierbahn zwischen Stahlplatten Stahlplatte t = 400 o C, C = 4, 64 /(m K 4 ), l = m Papierbahn t = 60 o C, C = 5, 34 /(m K 4 ), b =,5 m, w = m/s. Gesucht: a) ärmestromdichte durch Strahlung ˆ q Str, b) ärmeübergangskoeffizient durch Strahlung α Str, c) übertragener ärmestrom Q/l und ärme Q/l pro Länge Papierbahn. a) Annahmen: Es erfolgt nur ein Energietransport durch Strahlungsaustausch. Es findet ein Strahlungsaustausch zwischen unendlichen parallelen Flächen statt. Die ärmestromdichte von einer Platte zur Bahn beträgt ˆ q Str = Q [ ( ) 4 ( ) 4, T T = C, A J + J + > 5 J H J + mit 0 $! K I K C # I B [ C, = C + [ = C 4, , 34 = 4, 4 5, 67 m K4 m K 4 ˆ q Str = 4, 4 m K 4 [ (673, ) 5 4 [ ) 333, K 4 = 8, 54 k m b) Berechnung des ärmeübergangskoeffizienten durch Strahlung bezogen auf die Temperaturdifferenz zwischen Platte und Papier: α Str = ˆ q Str t t = 854 /m (400 60) K = 5, 07 m K c) Der gesamte ärmestrom pro Länge von den beiden Platten auf das Papier beträgt Q l = ˆ q Str A. l Mit A = b l (Beheizung von Seiten!) wird Q l = ˆ q Str b = 8, 54 k m, 5 m = 5, 57 k m. 5.4/

15 Die pro Länge Papierbahn aufgenommene ärme erhält man zu 5.4/ Q l = Q l τ mit τ = l w (Aufenthaltszeit des Papiers zwischen den Platten) Q l = Q l l w = ˆ q Str b l w = 8, 54 k m, 5 m m m s 5, 5 kj m.

16 Lösung / Gegeben: innerer Zylinder d = 9 mm, t = 5, 3 o C, äußerer Zylinder d = 5 mm, t = o C, ε = 0, 94, L = m, P = 0 J A J A Gesucht: a) ε b) f rel bei ε =. a) Die zugeführte elektrische Leistung wird vollständig durch Strahlungsaustausch übertragen. Randeffekte werden vernachlässigt. 0 $! K I K C # I B Für einen Zweiflächenstrahlungsaustausch gilt [ ( P = Q ) 4 ( ) 4 T T, = C, A Annahme: Strahlungsaustausch für eingeschlossenen Körper ( ε C, = + A ) = + d ε A ε d Einsetzen und nach ε aufgelöst liefert ε = ε = ( ε ), A = π d L. [ [ ( ) CS π d L 4 ( ) 4 T T d ( ) P d ε 5, 67 π 0, 009 m m m K4 [3, 884 4, 85 4 K ε = 0, ( ) 0, 94 b) enn der äußere Zylinder als Schwarzer Strahler (ε = ) angenommen wird, ergibt sich mit obigen Gleichungen ε = 0, 77. Der relative Fehler beträgt f rel = 0, 77 0, , % =, 95%.