Die Konstruktion des regelmäÿigen n-ecks mit Zirkel und Lineal

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1 Die Konstruktion des regelmäÿigen n-ecks mit Zirkel und Lineal Für welche natürliche Zahlen n 3 kann man das regelmäÿige n-eck mit Zirkel und Lineal konstruieren? Wir haben in der Vorlesung gesehen, dass wenn a und b teilerfremde natürliche Zahlen sind, man das regelmäÿige n = ab-eck genau dann konstruieren kann, wenn man das a-eck und das b-eck konstruieren kann. Deshalb reicht es, den Fall zu betrachten, wo n eine Primzahlpotenz p k ist. Da man beliebige Winkel halbieren kann, kann man jedes reguläre k -Eck konstruieren. Wir können also annehmen, dass p ungerade ist. Sei also n = p k für eine ungerade Primzahl p. Wir betrachten die erste primitive n-te Einheitswurzel ξ := e πi/n. Auch ihre Potenzen ξ m für 0 m n sind n-te Einheitswurzeln und sie bilden die n verschiedenen Wurzeln des Polynoms X n. Eine der Wurzeln ist und ist eine Wurzel des linearen Polynoms X. Die anderen n Potenzen von ξ bilden die Wurzeln des Polynoms Der Erweiterungskörper X n n X = m=0 C n := Qξ) X m. ) von Q heiÿt der n-te Kreisteilungskörper. Er enthält natürlich auch alle Potenzen von ξ, somit alle Wurzeln des Polynoms ), und ist der Zerfällungskörper dieses Polynoms. C n ist auch der Zerfällungskörper des irreduziblen Polynoms qx), von dem ξ eine Wurzel ist, weil dieses Polynom das Polynom ) teilt. Die Körpererweiterung C n /Q ist Galoisch, weil C n der Zerfällungskörper eines irreduziblen Polynoms ist. Alle Wurzeln ω von qx) haben die gleichen algebraischen Eigenschaften, weil es für jede solche Wurzel einen Körperisomorphismus ϕ: Z[X] qx) ) Qω) gibt mit ϕx) = ω. Insbesondere teilen alle Wurzeln ω von qx) mit ξ die Eigenschaft, dass ω n = aber keine kleinere positive Potenz von ω ist gleich wir sagen, die multiplikative Ordnung von ω ist n). Und wir wissen schon, dass jedes solche ω eine Potenz ξ m von ξ ist. Genau dann ist die Ordnung von ξ m gleich n, wenn mn das kleinste durch n teilbare positive Vielfache von m ist, und dass ist genau dann der Fall, wenn ggtm, n) =. Der Erweiterungsgrad [C n : Q] ist gleich der Anzahl der Wurzeln von q oder nach der vorangehenden Diskussion, die Anzahl der zu n = p k teilerfremden

2 positiven oder nichtnegativen) Zahlen < n. Nicht teilerfremd zu n sind genau die Vielfachen von p, und davon gibt es p k Stück im Bereich 0,..., n. Also gibt es p k p k = p k p ) zu n teilerfremde Zahlen in diesem Bereich; das ist der Erweiterungsgrad von C n über Q. Das regelmäÿige n-eck ist genau dann konstruierbar, wenn ξ konstruierbar ist, und wir wissen aus der Vorlesung, dass das genau dann der Fall ist, wenn [ Qξ) : Q ] eine Zweierpotenz ist. Wenn k nicht ist, dann ist p k p ) teilbar durch die ungerade Primzahl p und kann deshalb keine Zweierpotenz sein. Also muss k = sein und n = p muss eine ungerade Primzahl sein, für die p eine Zweierpotenz ist. Die ersten solchen Primzahlen sind + = 3, + = 5, 4 + = 7, 8 + = 57. Die regelmäÿigen Vielecke mit dieser Eckzahl sind konstruierbar, nicht aber das regelmäÿige 7-Eck, 9-Eck, -Eck oder 3-Eck. Wie muss man vorgehen, um ein regelmäÿiges p-eck zu konstruieren für eine Primzahl p mit p = r? Wenn n = p eine Primzahl ist, dann sind alle Potenzen ξ m mit m p primitive p-te Einheitswurzeln und die Galoisgruppe G = GalC p, Q) vertauscht diese Wurzeln. Jeder Automorphismus ϕ in der Galoisgruppe ist eindeutig bestimmt durch ϕξ), welches eine der genannten Potenzen von ξ sein muss, und zu jeder der genannten Potenzen ξ m von ξ gibt es tatsächlich einen eindeutigen Automorphismus ϕ m GalC p, Q) mit ϕ m ξ) = ξ m. Die Potenzen von ξ mit der bilden eine zyklische multiplikative Gruppe, erzeugt von ξ, die wegen der Exponentiationsregel ξ m ξ k = ξ m+k, und weil ξ p =, isomorph ist zur zyklischen additiven Gruppe Z/pZ, die eigentlich ein Ring ist und sogar ein Körper, der endliche Körper F p. Die Gruppenoperation in der Galoisgruppe ist die Verknüpfung von Automorphismen und oensichtlich gilt In anderen Worten, ϕ k ϕm ξ) ) = ϕ k ξ m ) = ξ km = ϕ km mod p ξ). ϕ k ϕ m = ϕ km mod p. ) Daran sieht man, dass G isomorph ist zur multiplikativen Gruppe Fp des endlichen Körpers F p. Diese Gruppe hat p Elemente und ist zyklisch, denn wenn sie nicht zyklisch wäre, wäre die maximale Ordnung ihrer Elemente eine Zahl d < p. Aber dann wären alle p Elemente von Fp Wurzeln des Polynoms X d, das höchstens d Wurzeln haben kann. Also ist d = p und die multiplikative Gruppe von F p ist zyklisch. Sei ϕ = ϕ m ein Erzeugendes von G ein geeignetes m kann man durch ausprobieren ermitteln). Für jedes s mit 0 s r erzeugt ϕ s = ϕ m s mod p eine Untergruppe G s von G mit r s Elementen, und wir haben mit G = G 0 G G G r = { } [G s : G s+ ] := Gs Gs+ =.

3 Die Fixkörper bilden einen Turm F s := FixG s ) = Fixϕ m s mod p) mit Q = F 0 F F F r = C n [F s+ : F s ] =. Es ist nicht schwer, Elemente von F s+ \F s zu nden. Jeder Automorphismus ϕ s vertauscht die Wurzeln ξ m und jede Bahn unter dieser Operation hat so viele Elemente, wie die Ordnung r s von ϕ s. Jedes Element von C n hat eine eindeutige Darstellung als eine Linearkombination über Q von und den ξ m mit m p, und ein solches Element bleibt fest unter ϕ s oder unter G s genau dann, wenn die Potenzen in jeder Bahn den gleichen Koezienten haben. Insbesondere ist die Summe der ξ m aus einer einzigen Bahn ein Element von F s, aber nicht von F s. Wir wählen auf diese Weise für jedes s ein Element α s F s \ F s. Als α r können wir ξ nehmen, die primitive p-te Einheitswurzel, die in der komplexen Ebene den ersten Eckpunkt des zu konstruierenden p-ecks bildet. Weil die F s einen Turm von Grad Körpererweiterungen bilden, ist jedes α s Wurzel eines quadratischen Polynoms über F s. Die Koezienten dieses Polynoms lassen sich mit linearer Algebra bestimmen, in dem man die Gleichung α s + bα s + c = 0 über F s für die Koezienten a und b löst. Wenn man die Koezienten kennt, kann man α s mit der p-q-formel genau bestimmen, und da diese Formel ein Quadratwurzelausdruck liefert, kann man α s auch explizit mit Zirkel und Lineal konstruieren. Bevor wir die Details für den Fall p = 7 also r = 4) erläutern, bemerken wir noch, dass man zu den oben vorgeschlagenen α s ein beliebiges Element aus F s addieren kann und man erhält wieder ein Element von F s \ F s. Das erlaubt einem eine zusätzliche Freiheit in der Wahl von α s, die man ausnutzen kann, um die Konstruktion unter Umständen zu vereinfachen. Das werden wir unten vorexerzieren. Wir beschreiben jetzt explizit die Konstruktion eines regelmäÿigen 7-Ecks. Durch Probieren stellt man fest, dass 3 mit den Potenzen 3, 9, 0, 3, 5, 5,, 6, 4, 8, 7, 4,,, 6, ) ein Erzeugendes von F 7 ist. Um schlieÿlich ξ = e πi/7 konstruieren zu können, brauchen wir wie oben beschrieben Elemente α = α, β = α und γ = α 3, die fest sind unter ϕ 3 = ϕ 9, bzw. unter ϕ 3 4 = ϕ 3, bzw. unter ϕ 3 8 = ϕ 6, aber nicht unter dem vorhergehenden Automorphismus in dieser Liste. Oben wurde vorgeschlagen, diese Elemente wie folgt zu wählen: α := ξ 9 + ξ 3 + ξ 5 + ξ 6 + ξ 8 + ξ 4 + ξ + ξ β := ξ 3 + ξ 6 + ξ 4 + ξ γ := ξ 6 + ξ 3

4 Eine kleine Änderung, die wir vornehmen, ist diese Gröÿen zu halbieren, weil sie dann besser auf das Zeichenblatt passen. Die so gewählten α und β erweisen sich als recht einfach zu konstruieren, aber für γ erhalten wir den Ausdruck β β α β + 4 α mit einem Produkt von vorher konstruierten Gröÿen unter dem Wurzelzeichen, was unangenehm zu konstruieren ist. Deshalb modizieren wir die Wahl geringfügig wie folgt: α := ξ9 + ξ 3 + ξ 5 + ξ 6 + ξ 8 + ξ 4 + ξ + ξ β := ξ3 + ξ 6 + ξ 4 + ξ α γ := ξ6 + ξ = Re ξ Diese Wahl vereinfacht die Ausdrücke, die später unter Wurzelzeichen stehen, und machen die Quadratwurzel viel einfacher zu konstruieren. Hier sind die irreduziblen Polynome für α, β und γ und die Quadratwurzelformeln für diese Gröÿen, aus denen wir sie konstruieren: irreduzibles Quadratwurzel- Gröÿe Polynom ausdruck α α + α β β + α + )β + α α + α + γ γ α + β + )γ + αβ + 4 β α + β α + 4α + 4β Nun beschreiben wir die vier Corel Draw Ausdrucke, die Sie bekommen haben. Im ersten Bild wird α konstruiert. Dazu wird nach klassischer Manier die Strecke von 0 bis zweimal halbiert, um /4 zu konstruieren. Mit einem Kreis von Radius /4 wird der Punkt /4 auf der y-achse) konstruiert. Die Strecke von diesem Punkt zu hat Länge + /4) = 7/6. Mit dem lilafarbenen Kreis von Radius /4 wird diese Strecke um die Länge /4 gekürzt. Die verbleibende gelbe Strecke hat Länge α. Im zweiten Bild wird diese Länge zunächst mit einem Kreis abgegrien und dann mit dem Zirkel also mit einem Kreis) auf die x-achse übertragen, und sofort mit der Standardkonstruktion halbiert. Mit einem anderen Kreis wird / auf die y-achse übertragen. Die grüne Strecke von diesem Punkt zum Punkt α/ auf der x-achse hat Länge α +. Mit den beiden lilafarbenen Kreisen wird davon + α abgetragen. Da die Kreise sich überschneiden, ist das Ergebnis β negativ; der Betrag von dieser negativen Zahl ist die Länge des gelben Abschnitts auf der grünen Strecke. Das nächste Bild ist sehr kompliziert. Wir konstruieren nicht γ sondern zunächst γ = + α + β α + 4α + 4β = + α + β α + α + β 4

5 als Gesamtlänge der waagerechten gelben Strecke, weil dies einfacher und genauer ist. Den Ausdruck unter dem Quadratwurzelzeichen kann man zerlegen als α + ) + β, und die Quadratwurzel hiervon ist leicht zu konstruieren. Zuerst tragen wir um α die Länge / ab, um α + zu konstruieren. Mit dem kleinsten blauen Kreis um den Ursprung tragen wir β auf die y-achse ab. Die grüne Strecke von diesem Punkt zu α + hat Länge α + ) + β. Diese Länge greifen wir mit einem blauen) Kreis um α+ ab und bewegen den Mittelpunkt dieses Kreises nach. Der versetzte Kreis schneidet die y-achse in einem Punkt, der mit und dem Ursprung ein Dreieck bildet, dessen Basis die Länge hat und dessen lilafarbene) Hypotenuse die Länge α + ) + β hat. Die Höhe dieses Dreiecks ist α + ) + β. Diese Länge greifen wir mit einem lilafarbenen Kreis um den Ursprung ab. Dann setzen wir die Spitze des Zirkels, der diesen Kreis gezeichnet hat, an den lilafarbenen Punkt auf der x-achse in Entfernung α + + β von α + der Punkt liegt rechts vom Ursprung, weil β negativ ist!) und zeichnen einen neuen lilafarbenen Kreis mit dem gleichen Radius wie der erste. Der rechte Schnittpunkt dieses Kreises mit der x-achse hat von α + die Entfernung + α + β + α + ) + β = γ. Die gelb gezeichnete Strecke zwischen diesen Punkten wird dann auf die übliche Weise mit den grünen Kreisen halbiert, diese halbe Länge wird mit dem roten Kreis um den linken Endpunkt der Strecke abgegrien und mit einer Kopie dieses Kreises vom Ursprung abgetragen, um γ auf der x-achse zu erhalten. Im letzten Bild wird nur noch mit der Standardkonstruktion die Senkrechte zur x-achse durch γ = Re ξ konstruiert. Diese Senkrechte schneidet den Einheitskreis in der komplexen siebzehnten Einheitswurzel ξ. Das Bild haben wir überlagert mit einem von Corel Draw direkt berechneten regelmäÿigen 7-Eck, um zu zeigen, dass die Konstruktion wirklich geklappt hat! 5