Frank Heitmann 2/48. 2 Substitutionen, um formal auszudrücken wie in Formelmengen. auf!

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1 Motivation ormale der Informatik 1 Kapitel 17 und rank Heitmann Der Sinn von : Aufgrund syntaktischer Eigenschaften von ormeln/ormelmengen auf semantische Eigenschaften schließen (statt Wahrheitswerteverläufe zu erstellen und zu prüfen). Dies ist vor allem auch deswegen wichtig, da für komplexere Logiken (wie die Prädikatenlogik) i.a. die Tabellen nicht mehr komplett aufgebaut werden können! 15. & 16. Juni 2015 rank Heitmann 1/48 rank Heitmann 2/48 Beispiel Substitutionen und Inferenzregeln Unabhängig von ist eine Tautolgoie eine Kontradiktion Dies kann man allein am syntaktischen Muster erkennen! Ähnlich kann man schlussfolgern (besser: ableiten): Wenn und als wahr angenommen werden dann muss auch wahr sein (Man kann sich das semantisch klar machen und dann immer wenn das Muster und vorliegt ableiten.) Um dies formal zu definieren brauchen wir nun 1 Inferenzregeln wie, 2 Substitutionen, um formal auszudrücken wie in ormelmengen das durch eine Regel vorgegebene Muster gefunden werden kann. Bemerkung In tritt das Muster {(A B) (C D), A B}, auf! rank Heitmann 3/48 rank Heitmann 4/48

2 Substitution Substitution: Beispiel Definition (Substitution) Eine (ormel-)substitution ist eine nach dem Prinzip der strukturellen Rekursion definierte unktion sub : L AL L AL. Aussagensymbole A i werden auf sub(a i ) abgebildet. ür eine nicht-atomare ormel H ergibt sich daraus das Bild sub(h) mittels: ür H = : sub( ) = sub( ). ür H = : sub( ) = sub( ) sub(), wobei {,,, }. ür eine ormelmenge M ist sub(m) = {sub( ) M}. Durch eine Substitution wird eine ormel auf sub( ) abgebildet. Dabei wird einfach jedes Vorkommen eines Aussagensymbols A i durch die ormel sub(a i ) ersetzt. Ist z.b. sub(a) = B und sub(b) = A, dann ist sub(a B) = B A. Ist z.b. sub(a) = A B, sub(b) = D E und sub(c) = C, dann ist sub(a (B C)) = (A B) ((D E) C) Wichtige Anmerkung Wir benutzen Klammerersparnisregeln, aber keine Äquivalenzumformungen! rank Heitmann 5/48 rank Heitmann 6/48 Ein Satz Weitere Sätze Satz Wenn = gilt, dann gilt auch = sub( ). Beweis. Seien A 1,..., A n die in vorkommenden Aussagensymbole und sei A eine Belegung. Wir definieren eine neue Belegung A durch A (A i ) := A(sub(A i )). Dies ist möglich, da die A i kontingent sind. Es gilt nun A ( ) = A(sub( )) (zu zeigen mittels struktureller Induktion) und somit folgt aus = dann A ( ) = 1 = A(sub( )) und damit ist sub( ) ebenfalls eine Tautologie. Satz Es seien und ormeln, M eine ormelmenge und sub eine Substitution. 1 Wenn = gilt, dann auch sub( ) =. 2 Wenn gilt, dann auch sub( ) sub(). 3 Wenn M unerfüllbar ist, dann auch sub(m). 4 Wenn M = gilt, dann auch sub(m) = sub( ). Anmerkung Im Allgemeinen gilt die Umkehrung nicht! Z.B. ist := A B nicht allgemeingültig, aber mit sub(a) = A und sub(b) = A ist sub( ) = A A allgemeingültig. rank Heitmann 7/48 rank Heitmann 8/48

3 ragen ragen Sei = A B und = A B. Ist sub( ) = möglich? 1 Ja, mit sub(a) = A B und sub(b) =. 2 Ja, mit sub(a) = A und sub( B) = B. 3 Nein, nicht möglich. 4 Weiß nicht... Sei = A (B A) und = B (C D B) Ist sub( ) = möglich? 1 Ja! 2 Ja, mit... 3 Nein! 4 Weiß ich nicht... rank Heitmann 9/48 rank Heitmann 10/48 ragen Zur Nachbereitung Sei M = {A, A B}. Mit welcher Substitution gilt sub(m) {B C, (C D) D, C, C D}? 1 Mit sub(a) = B, sub(b) = C 2 Mit sub(a) = C D, sub(b) = D 3 Mit sub(a) = C D, sub(b) = C 4 Mit sub(a) = B C, sub(b) = (C D) D 5 Weiß ich nicht... Zur Nachbereitung 1 Nein, nicht möglich, da man die durch die Junktoren vorgegebene Struktur nicht entfernen kann, d.h. das muss bleiben. Bei 2 muss also zunächst sub( B) = sub(b) gelten und dass kriegt man dann nicht weg. Durch 1 erreicht man nur eine ormel mit sub( ). 2 Ja, mit sub(a) = B und sub(b) = C D 3 Mit 2. rank Heitmann 11/48 rank Heitmann 12/48

4 Inferenzregeln Motivation Definition (Inferenzregel) Sind 1,..., n und ormeln, so stellt R = 1,..., n eine Inferenzregel dar. Die i werden als Prämissen, als Konklusion der Regel bezeichnet. Inferenzregeln sind keine ormeln, sondern spezifizieren Muster in ormelmengen. Hat man nun z.b. die Regel, so finden wir das in der Prämisse gegebene Muster in der Menge {A B, B C, (B C) (D A)} wieder (zweite und dritte ormel). Ersetzen wir in der Regel durch B C und durch D A so erhalten wir genau ormeln in der Menge! ormal... rank Heitmann 13/48 rank Heitmann 14/48 Inferenzregeln anwenden Inferenzregeln anweden (informal) Definition (Inferenzregeln anwenden) Es sei R = 1,..., n eine Inferenzregel. Das Muster 1,..., n liegt in einer ormelmenge M genau dann vor, wenn es eine Substitution sub gibt mit sub({ 1,..., n }) M. (Andere Sprechweise: R kann auf M angewendet werden.) In diesem all, kann sub() in einem Schritt aus M abgeleitet werden. (Andere Sprechweise: sub() ist mit R direkt aus M ableitbar.) Notiert wird dies mit: M R sub() oder M sub(), wenn R klar ist oder anders erwähnt wird. Bemerkung Um eine Inferenzregel R = 1,..., n auf eine Menge M anzuwenden, substituieren wir also so in 1,..., n, dass Elemente aus M entstehen (sub({ 1,..., n }) M) und leiten dann die selbe Substitution auf angewendet ab (M R sub()). rank Heitmann 15/48 rank Heitmann 16/48

5 Beispiel Inferenzregeln Sei als Inferenzregel gegeben und als Menge MP =, M = {A B, B C, (B C) (D A)} so gilt mit sub( ) = B C und sub() = D A sub({, }) M und wir dürfen sub() ableiten. Haben also insgesamt: M MP D A Konjunktionseinführung (KE): Konjunktionslöschung (KL): Disjunktionseinführung (DE): Disjunktiver Syllogismus (DS): Modus Ponens (MP): Modus Tollens (MT): Hypothetischer Syllogismus (HS): Konstruktives Dilemma (KD):,,,,, H H,H I, H I, rank Heitmann 17/48 rank Heitmann 18/48 Ausblick: Korrekte Inferenzregeln Mehrschrittige Anmerkung Die Regeln eben waren alle korrekt (kommt später). Die Prämissen und die Konklusion hängen offensichtlich semantisch zusammen. Zunächst wären auch Regeln wie oder auch möglich. Die sind aber nur wenig hilfreich. Wir kommen später darauf zurück... Statt die Inferenzregel nur einmal anzuwenden, kann man sie auch wiederholt anwenden und insb. auch bereits abgeleitete ormeln mit in die Menge, aus der man ableitet, aufnehmen. Sei R eine Menge von Inferenzregeln, M eine ormelmenge. Wir setzen Abl 0 R(M) := M AblR(M) n := Abl n 1 R (M) { L AL Abl n 1 R (M) R mit R R} Abl R (M) := i 0 AblR(M) i rank Heitmann 19/48 rank Heitmann 20/48

6 Beispiel Logik-Kalküle - Motivation Als Regeln haben wir R 1 =, und R 2 = Sei M = {C (A B), A C} und wir wollen A B ableiten, dann: M A C [aus M] C [mit (1) und R 2 und sub( ) = A, sub() = C] C (A B) [aus M] A B [mit (2), (3), R 1 und sub( ) = C, sub() = A B] Wir haben eben als Symbol dafür benutzt aus dem vorherigen abzuleiten (also inkl. der schon abgeleiteten ormeln). Dies kann man in Logik-Kalkülen genauer fassen (und noch mit Axiomen und mehreren Regeln anreichern, so wie dies oben bereits geschehen ist). Man beachte, dass man nicht an das B herankommt. Wir müssten aus A C das A ableiten, aber mit R 1 und R 2 gelingt das nicht (und wir dürfen keine Äquivalenzumformungen machen!) rank Heitmann 21/48 rank Heitmann 22/48 Logik-Kalküle Definition Kalkül Ein Kalkül C der Aussagenlogik wird gebildet durch 1 Die Logik-Sprache L AL. 2 Eine Teilmenge Ax L AL, die Axiome. 3 Eine endliche Menge R von Inferenzregeln. Beispiel Ein Kalkül ist z.b. C = (L AL, {A A, A (B A)}, MP). Definition (Ableitung im Kalkül) Sei C ein Kalkül der Aussagenlogik, M eine ormelmenge und eine ormel. Eine endliche olge von ormeln 1,..., n heißt genau dann eine Ableitung bzgl. C von aus M, wenn = n gilt und für jedes k (mit 1 k n) wenigstens eine der folgenden Bedingungen gilt: 1 k M, 2 k = sub(h), wobei H ein Axiom aus C und sub eine Substitution ist, 3 { 1,..., k 1 } R k, wobei R eine Inferenzregel aus C ist. Wir sagen dann ist in C ableitbar aus M und notieren kurz M C oder M, sollte C klar sein. Mit Abl C (M) werden alle in C aus M ableitbaren ormeln bezeichnet. rank Heitmann 23/48 rank Heitmann 24/48

7 Beispiel ragen Sei M = {(B B) (A C), A C} und C = (L AL, Ax, R) mit Ax = { } und R = {,, } und wir wollen C ableiten. Dann haben wir: M B B [mit Axiom und sub( ) = B] (B B) (A C) [aus M] A C [mit (1), (2), MP und sub( ) = B B, sub() = A C] A C [aus M] A [mit (4), KL1 und sub( ) = A, sub() = C] C [mit (5), (3), MP und sub( ) = A, sub() = C] Sei = (A B) A und = C A Ist sub( ) = möglich? 1 Ja! 2 Ja, mit... 3 Nein! 4 Weiß ich nicht... rank Heitmann 25/48 rank Heitmann 26/48 ragen ragen Kann aus {B (C D), B C} und R = { abgeleitet werden? 1 Ja, in... Schritten 2 Nein 3 Weiß ich nicht... 4 Ich habe das noch nicht verstanden...,, } das C Kann aus {A B, (A B) C} und R = {, das C abgeleitet werden? 1 Ja, in... Schritten 2 Nein 3 Weiß ich nicht... 4 Ich habe das noch nicht verstanden...,,,, } rank Heitmann 27/48 rank Heitmann 28/48

8 Zur Nachbereitung Ableitung und olgerbarkeit Zur Nachbereitung 1 Nein, sub() = ist möglich, aber nicht sub( ) =, da man die durch die Junktoren in vorgegebene Struktur nicht entfernen kann (nur erweitern). 2 Ja, in 5 Schritten (wenn man das aus der Menge nehmen mitzählt). 3 Nein, da, als Regel nicht geht (immer nur eine ormel in der Konklusion). Wenn man stattdessen die zwei Regeln und hätte, dann ginge es. Alternativ kann man die Regel erlauben und so wie gedacht verfahren. Bisher fehlt ein Zusammenhang zwischen (syntaktische Muster finden) und semantischen Eigenschaften der ormeln. Man erreicht dies, indem man die Inferenzregeln einschränkt! So ist bisher viel zu viel möglich. Z.B. auch... rank Heitmann 29/48 rank Heitmann 30/48 Korrekte Inferenzregeln Korrekte Inferenzregeln Definition (Korrektheit einer Inferenzregel) Eine Inferenzregel R = 1,..., n heißt genau dann korrekt, wenn für alle ormelmengen M und alle ormeln H gilt: Wenn M R H, dann auch M = H. Was mit einer korrekten Inferenzregel aus M ableitbar ist, ist auch aus M folgerbar. Satz Eine Inferenzregel R = 1,..., n ist genau dann korrekt, wenn { 1,..., n } = gilt. Diesen Satz benutzt man zum Test, ob eine Inferenzregel korrekt ist! (Beweis als Übung.) rank Heitmann 31/48 Zwei Beispiele: Modus Ponens (MP):, Hypothetischer Syllogismus (HS): A B,B C A C Sei A eine Belegung mit A(A B) = A(B C) = 1 und ferner mit A(A) = 1. Wegen A(A B) = 1 folgt dann auch A(B) = 1 und damit folgt wegen A(B C) = 1 auch A(C) = 1 woraus mit A(A) = 1 auch A(A C) = 1 folgt. rank Heitmann 32/48

9 Korrektheit und Vollständigkeit Der Hilbert-Kalkül Definition Sei C ein aussagenlogischer Kalkül. 1 C heißt korrekt, wenn für alle ormelmengen M und alle ormeln H gilt: Wenn M C H, dann M = H. 2 C heißt vollständig, wenn für alle ormelmengen M und alle ormeln H gilt: Wenn M = H, dann M C H. Anmerkung ilt C H für eine ormel H, so sagt man H ist beweisbar in C und nennt H ein Theorem. Ist der Kalkül korrekt, dann ist H eine Tautologie! Letzteres geht nur mit Axiomen oder wenn wir weitere Regeln einführen. Anmerkung Im Hilbert-Kalkül nimmt man als Regel nur den Modus Ponens und einige wenige Axiome wie ( ), ( ),... Der Hilbert-Kalkül kann als korrekt und vollständig nachgewiesen werden. In ihm sind insb. alle aussagenlogischen Tautologien aus wenigen Axiomen und mit nur einer Regel ableitbar! rank Heitmann 33/48 rank Heitmann 34/48 Zusammenfassung Motivation Die Begriffe bisher: Substitution (um Inferenzregeln benutzen zu können) Inferenzregel Ableitung, mehrschrittige Ableitung Kalkül Korrekte Inferenzregeln (um einen Zusammenhang zwischen Ableitung und olgerbarkeit herstellen zu können) Korrekte und vollständige Kalküle Wir wollen nun die betrachten, ein spezielles Ableitungsverfahren, das mit KNs arbeitet. Die ist ein Widerlegungsverfahren, d.h. es ist möglich eine ormel auf Unerfüllbarkeit zu testen. Auf die Idee zur kann man kommen, wenn man einige der bisherigen Regeln betrachtet... rank Heitmann 35/48 rank Heitmann 36/48

10 Motivation Mengendarstellung Disjunktiver Syllogismus 1: Disjunktiver Syllogismus 2: Modus Ponens:,,...,,,, Modus Tollens:... Hypothetischer Syllogismus:, H H, H... H Es werden Pärchen komplementäre Literale entfernt. Dies kann man verallgemeinern um zu einem korrekten Ableitungsverfahren zu gelangen. arbeitet mit ormeln in KN und benutzt eine Mengendarstellung Ist K = m i=1 L i eine Klausel, dann ist K = {L 1,..., L m } die Mengendarstellung von K. Ist = ( n i=1 ( m i j=1 L i,j)) eine ormel in KN, dann ist = {{L 1,1,..., L 1,m1 },..., {L n,1,..., L n,mn }} die Mengendarstellung von. Die leere Klausel (Mengendarstellung zu ) wird mit bezeichnet. Die Wahrheitswerteberechnung wird angepasst: A(K) = max({a(l) L K}) A() = min({a(k) K }) A( ) = 0 rank Heitmann 37/48 rank Heitmann 38/48 Mengendarstellung - Beispiel Die sregel Dann ist = ( A B) E ( C) K 1 = A B und K 1 = { A, B} K 2 = E und K 2 = {E} K 3 = C und K 3 = {, C} = {{ A, B}, {E}, {, C}} Anmerkung In der Mengendarstellung sind die Junktoren nicht mehr explizit zu sehen. Definition (Resolvente) Seien K 1 und K 2 Klauseln (in Mengendarstellung) und L ein Literal mit L K 1 und L K 2. Dann heißt die (Literal-)Menge R = (K 1 {L}) (K 2 {L}) Resolvente von K 1 und K 2 (bzgl. L). Dabei ist L = A, falls L = A und L = A, falls L = A. Im alle K 1 = {L} und K 2 = { L} ist R = und wird durch symbolisiert. rank Heitmann 39/48 rank Heitmann 40/48

11 Die sregel Beispiele Definition (Resolvente) Seien K 1 und K 2 Klauseln (in Mengendarstellung) und L ein Literal mit L K 1 und L K 2. Dann heißt die (Literal-)Menge R = (K 1 {L}) (K 2 {L}) Resolvente von K 1 und K 2 (bzgl. L). { B, C} { B} { C} Resolventenbildung als Ableitung: {K 1, K 2 } res R Darstellung als Diagramm: K 1 K 2 R { B, C, A} {C, A, D} {C} {A, D, B} { C} rank Heitmann 41/48 rank Heitmann 42/48 Beispiele Beispiele Wichtige Anmerkung Das unten stehende auf keinen all! { B, C} {B, C} Wichtige Anmerkung Das unten stehende auch nicht! { B, B} Wichtige Anmerkung Wirklich nicht! Nein, nein, nein! Es wird immer nur genau ein Literal aus der einen Mengen und ein (komplementäres) Literal aus der anderen Menge entfernt! Wichtige Anmerkung Zur Resolventenbildung werden zwei Klauseln benötigt! rank Heitmann 43/48 rank Heitmann 44/48

12 Resolventenmengen ssatz (Vorschau) Ähnlich wie bei den, führen wir auch hier mehrschrittige Resolventenbildungen ein: Definition Sei eine ormel in KN dargestellt als Klauselmenge. Res( ) := {R R ist Resolvente zweier Klauseln aus } Res 0 ( ) := Res n+1 ( ) := Res(Res n ( )) Res ( ) := i 0 Res i ( ) Später zeigen wir: Satz (ssatz) Eine Klauselmenge ist unerfüllbar genau dann, wenn Res ( ) gilt. Da dieser Satz gilt, werden die ganzen Dinge oben überhaupt nur eingeführt! rank Heitmann 45/48 rank Heitmann 46/48 Beispiel Ausblick Beispiel Wir wollen die folgende ormel auf Erfüllbarkeit testen: ( A B) ( B C) A C Als Klauselmenge: Nächstes Mal {{ A, B}, { B, C}, {A}, { C}} zeigen wir noch den ssatz und {A} { A, B} { B, C} { C} leiten daraus einen Algorithmus zum Test auf Unerfüllbarkeit ab. {B} { B} rank Heitmann 47/48 rank Heitmann 48/48

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