TU7 Aussagenlogik II und Prädikatenlogik

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1 TU7 Aussagenlogik II und Prädikatenlogik Daniela Andrade / 32

2 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf findet ;) 2 / 32

3 Themenübersicht 1 Aussagenlogik II 2 Prädikatenlogik 3 / 32

4 Aussagenlogik II Themenübersicht 1 Aussagenlogik II Logische Inferenz Kalkül des natürlichen Schließens 4 / 32

5 Aussagenlogik II Logische Inferenz Themenübersicht 1 Aussagenlogik II Logische Inferenz Kalkül des natürlichen Schließens 5 / 32

6 Aussagenlogik II Logische Inferenz Logische Inferenz = Sei V eine beliebige Menge. Für beliebige aussagenlogische Formeln F und G über V gilt F = G genau dann, wenn für jede Belegung β : V B gilt: In kompakter Schreibweise heißt das: Wenn [F ](β) = 1, dann [G](β) = 1. F = G : ( β B V : [F ](β) = 1 = [G](β) = 1). 6 / 32

7 Aussagenlogik II Logische Inferenz Infos = ist, wie, nichts anderes als eine Relation über aussagenlogische Formeln. Sie heißt Folgerungsrelation. Für F = G sagen wir aus F folgt G. Für Inferenzen der Form A 1... A n = G schreiben wir oft A 1,..., A n = G. Insbesondere definieren wir: = G : G ist gültig. 7 / 32

8 Aussagenlogik II Logische Inferenz Nicht verwechseln! Logische Ebene Äquivalenz Implikation Abkürzungen in der Metaebene = Relationen über Formeln = Junktoren in der Aussagenlogik 8 / 32

9 Aussagenlogik II Kalkül des natürlichen Schließens Themenübersicht 1 Aussagenlogik II Logische Inferenz Kalkül des natürlichen Schließens 9 / 32

10 Aussagenlogik II Kalkül des natürlichen Schließens Ein Kalkül für Inferenzen Im Kalkül des natürlichen Schließens benutzen wir Inferenzregeln, um Aussagen der Form A 1... A n F zu beweisen. Die Formeln A 1,..., A n werden Annahmen genannt. A 1,..., A n = F bedeutet: Wenn A 1,..., A n alle wahr sind, dann auch F. A 1,..., A n F bedeutet dagegen: Aus den Annahmen A 1,..., A n lässt sich F mit den Inferenzregeln ableiten. Es wird gelten: A 1,..., A n = F A 1,..., A n F 10 / 32

11 Aussagenlogik II Kalkül des natürlichen Schließens Infos ist, wie = und, nichts anderes als eine Relation über aussagenlogische Formeln. Sie heißt Ableitungsrelation. 11 / 32

12 Aussagenlogik II Kalkül des natürlichen Schließens Graphische Darstellung der Inferenzregeln Die Inferenzregeln haben die Form: Dabei stehen die Prämissen oberhalb des Folgerungsstrichs und die Folgerung unterhalb. Intuitiv heißt das: Um die Aussage unter dem Strich zu zeigen, reicht es alle Aussagen über dem Strich (getrennt voneinander) zu zeigen. Wichtig! Die Regeln sind syntaktische Regeln! Man darf hier keine Äquivalenzumformungen machen. Siehe hierzu die Achtung! -Blöcke bei den nächsten Beispielen. 12 / 32

13 Aussagenlogik II Kalkül des natürlichen Schließens Beispiel: Konjunktionseinführung Für beliebige Formeln A 1,..., A n, F und G gilt die Regel: A 1,..., A n F A 1,..., A n G A 1,..., A n (F G) Intuitiv heißt das: Um zu zeigen, dass sich aus den Annahmen A 1,..., A n die Formel F G ableiten lässt, zeige dass sich aus denselben Annahmen A 1,..., A n die Formeln F und G getrennt voneinander ableiten lassen. 13 / 32

14 Aussagenlogik II Kalkül des natürlichen Schließens Überblick Inferenzregeln Für beliebige Formeln A 1,..., A n, F, G und H gelten folgende Regeln. 1. Annahmeregeln ( AR ): A 1,..., A n A i für alle i = 1,..., n 2. Ausgeschlossener Dritte ( AD ): A 1,..., A n (F F ) 14 / 32

15 Aussagenlogik II Kalkül des natürlichen Schließens 3. Regel für true ( true ): 4. Regel für false ( false ): A 1,..., A n true A 1,..., A n F A 1,..., A n F A 1,..., A n false 15 / 32

16 Aussagenlogik II Kalkül des natürlichen Schließens 5. Konjunktionseinführung ( + ): A 1,..., A n F A 1,..., A n G A 1,..., A n (F G) 6. Konjunktionsbeseitigung ( ): A 1,..., A n (F G) A 1,..., A n F und A 1,..., A n (F G) A 1,..., A n G 16 / 32

17 Aussagenlogik II Kalkül des natürlichen Schließens 7. Disjunktionseinführung ( + ): A 1,..., A n F A 1,..., A n (F G) und A 1,..., A n F A 1,..., A n (G F ) 8. Disjunktionsbeseitigung ( ): A 1,..., A n (F G) A 1,..., A n, F H A 1,..., A n, G H A 1,..., A n H 17 / 32

18 Aussagenlogik II Kalkül des natürlichen Schließens 9. Negationseinführung ( + ): 10. Negationsbeseitigung ( ): A 1,..., A n, F false A 1,..., A n F A 1,..., A n, F false A 1,..., A n F 18 / 32

19 Aussagenlogik II Kalkül des natürlichen Schließens 11. Implikationseinführung ( + ): A 1,..., A n, F G A 1,..., A n (F G) 12. Implikationsbeseitigung ( ) bzw. Modus Ponens ( MP ): A 1,..., A n (F G) A 1,..., A n F A 1,..., A n G 19 / 32

20 Prädikatenlogik Themenübersicht 2 Prädikatenlogik 20 / 32

21 Prädikatenlogik Syntax prädikatenlogischer Formeln 1 Jede Variable und jede Konstante ist ein Term. 2 Sind t 1,..., t n Terme und f ein n-äres Funktionensymbol, dann ist f (t 1,..., t n ) ebenfalls ein Term. 3 Sind t 1,..., t n Terme und P ein n-äres Prädikatensymbol, dann ist P(t 1,..., t n ) eine Formel. 4 Sind t und u Terme, dann ist t = u eine Formel. 5 Ist F eine Formel, dann ist auch F eine Formel. 6 Sind F und G Formeln, dann sind auch (F G), (F G), (F G), (F G), und (F G) Formeln. 7 Ist x eine Variable und F eine Formel, dann sind xf und xf ebenfalls Formeln. 21 / 32

22 Prädikatenlogik Infos Für Variablen benutzen wir meistens x, y, z, für Konstanten a, b, c, als Funktionensymbole f, g, h und als Prädikatensymbole P, Q, R. Der Gültigkeitsbereich eines Vorkommens einer Variablen x in einer Formel F ist die kleinste Unterformel von F der Gestalt xg oder xg, welche das Vorkommen enthält. In diesem Fall nennt man x gebunden. Wenn es diese Unterformel nicht gibt, dann ist der Gültigkeitsbereich die Formel F selbst und wir nennen x frei. 22 / 32

23 Prädikatenlogik Strukturen Eine Struktur S = (U, I) besteht aus einer Menge U (das Universum) und einer partiellen Funktion I (die Interpretation), die: zuordnet. einer Variablen x ein Element aus U, einer Konstanten a ein Element U, einem k-stelligen Prädikatensymbol P eine Menge aus U k und einem k-stelligen Funktionensymbol f eine Funktion U k U Eine Struktur S = (U, I) passt zu einer Formel F, falls die Interpretation I für alle in F vorkommenden freien Variablen, Konstanten, Funktionen- und Prädikatensymbole definiert ist. 23 / 32

24 Prädikatenlogik Infos Das Universum U einer Struktur S kann endlich oder unendlich sein, aber nicht leer! Unäre und binäre Prädikatensymbole lassen sich sehr schön modellieren: Arität des Prädikatensymbols graphische Darstellung Intuition unär (z.b. P(x)) als Venn-Diagramm x hat die Eigenschaft x ist in der Menge enthalten binär (z.b. P(x, y)) als Graph einer Relation x zeigt auf y x steht mit y in Relation 24 / 32

25 Prädikatenlogik Semantik prädikatenlogischer Formeln Die Semantik einer Formel F ist eine Funktion [F ], die jeder Struktur S, die zu F passt, einen Wert [F ](S) aus B = {0, 1} zuordnet. Für alle Strukturen S = (U, I) gilt folgende induktive Definition: 1 Sind t 1,..., t n Terme und P ein Prädikatensymbol, dann gilt: [P(t 1,..., t n )](S) = { 1, falls (I(t1 ),..., I(t n )) I(P) 0, sonst 2 Sind t und u Terme, dann gilt: [t = u](s) = { 1, falls I(t) = I(u) 0, sonst 25 / 32

26 Prädikatenlogik 3. Sind [F ] und [G] die Semantiken zweier Formeln F und G, dann sind die Semantiken von (F G), (F G), (F G), (F G), (F G), (F G) und (F G) analog zur Aussagenlogik definiert, z.b.: [F G](S) = { 1, falls [F ](S) = 1 und [G](S) = 1 0, sonst 4. Ist x eine Variable, G eine Formel und S x:=d die Struktur S mit dem einzigen Unterschied x Sx:=d = d, dann gilt: [ xg](s) = [ xg](s) = { 1, falls es ein d U gibt mit: [G](Sx:=d ) = 1 0, sonst { 1, falls für jedes d U gilt: [G](Sx:=d ) = 1 0, sonst 26 / 32

27 Prädikatenlogik Eigenschaften prädikatenlogischer Formeln Die Begriffe erfüllbar, gültig, unerfüllbar, falsifizierbar, Tautologie und Widerspruch werden für prädikatenlogische Formeln analog definiert wie in der Aussagenlogik. Man muss nur das Wort Belegung durch Struktur ersetzen. 27 / 32

28 Prädikatenlogik Beispiel In der Formel F = 1. {}}{ x yp(x, y) 2. {}}{ y x P(x, y) 3. {}}{ x P(x, x) kann P als Relation interpretiert werden, für die folgendes gelten muss: Kürzer: 1 Jedes Element x zeigt auf mindestens ein Element y. 2 Es gibt ein Element y, auf das kein Element x zeigt. 3 Kein Element x zeigt auf sich selbst. 28 / 32

29 Prädikatenlogik Gesucht ist eine Struktur S = (U, I), die F erfüllt. Graphisch: Formal: U = {1, 2, 3} mit I(P) = {(1, 3), (2, 3), (3, 2)}. 29 / 32

30 Prädikatenlogik Mehr Beispiele Sei S = (U, I) eine Struktur mit U der Menge aller Studenten in Danielas Übung, in der P(x, y) als x liebt y interpretiert wird. Dann erhalten wir folgende Interpretationen: 1. x y P(x, y) Jemand liebt jemanden. 2. x y P(x, y) Jemand liebt jeden. 3. x y P(x, y) Jeder liebt jemanden. 4. x y P(x, y) Jeder liebt jeden. (Awww... ;) ) 5. y x P(x, y) Jemand wird von jemandem geliebt. 6. y x P(x, y) Jemand wird von jedem geliebt. 7. y x P(x, y) Jeder wird von jemandem geliebt. 8. y x P(x, y) Jeder wird von jedem geliebt. 9. x y P(x, y) Jemand liebt jemanden nicht. 10. x y P(x, y) Jemand liebt niemanden. 11. x y P(x, y) Jeder liebt jemanden nicht. 12. x y P(x, y) Jeder liebt niemanden. 13. y x P(x, y) Jemand wird von jemandem nicht geliebt. 14. y x P(x, y) Jemand wird von niemandem geliebt. 15. y x P(x, y) Jeder wird von jemandem nicht geliebt. 16. y x P(x, y) Jeder wird von niemandem geliebt. 30 / 32

31 Prädikatenlogik Wenn in meine Übung nur 3 Studenten kommen würden, wären dann mögliche Modelle für die einzelnen Formeln: 31 / 32

32 Prädikatenlogik Äquivalenz- und Folgerungsregeln für Quantoren Seien F und G beliebige Formeln. Ein paar nützliche Äquivalenzregeln sind: xf x F xf x F (De Morgan) x yf y xf x yf y xf (Kommutativität) x(f G) xf xg x(f G) xf xg (Distributivität) x(f G) xf G x(f G) xf G x(f G) xf G x(f G) xf G (falls x in G nicht frei vorkommt) Diese Regeln sind eine Erweiterung der Äquivalenzregeln für aussagenlogische Formeln. 32 / 32

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