Einführung in die Differentialrechnung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in die Differentialrechnung"

Transkript

1 Reiner Winter Einfürung in die Differentialrecnung. Das Tangentenproblem als ein Grundproblem der Differentialrecnung Wir betracten im folgenden die quadratisce Normalparabel, d.. den Grapen GI f der Funktionsgleicung y () 2, sowie den Punkt P(/) auf der Parabel. Wir wollen nun die Steigung der Tangente (lat. tangere berüren) der Normalparabel im Punkte P(/) genau berecnen. Aus der vorigen Vorbetractung über lineare Funktionen aben wir erkannt, daß zur Berecnung der Steigung m einer Geraden zwei Punkte P ( / y ) und P 2 ( 2 / y 2 ) benötigt werden. Dann gilt die Formel des Differenzenquotienten: m y 2 y 2. In unserem Fall aber aben wir für die Tangente neben dem Punkt P(/) keinen zweiten Punkt gegeben. Wir können also die Steigung der Tangente nict mit der bekannten Steigungsformel bestimmen. Wenn wir auf der Normalparabel noc einen zweiten Punkt, z.b. Q(2/4) wälen, dann können wir die Steigung der Geraden, die durc P(/) und Q(2/4) verläuft, berecnen: m y y Dies ist aber nict die Steigung der gesucten Tangente im Punkt P(/), sondern die Steigung einer Geraden, welce die Normalparabel 2 2 in den beiden Punkten P und Q scneidet. Wir nennen eine solce Scnittgerade auc Sekante (lat. secare scneiden). Die Steigung der Sekante durc die Parabelpunkte P und Q beträgt also m s 3. Siee dazu die folgende Skizze: ) 2 y Sekante y 2 Q(2/4) Tangente y 2 y 4 3 y 2 y m s y P(/) 2 2 2

2 2 Einfürung in die Differentialrecnung Wir aben nun die Steigung der Sekante m s durc die beiden Punkte P und Q mit m s 3 berecnet, aber wie kommen wir nun an die Steigung der Tangente? Nac unserer Zeicnung ist die Steigung der Tangente kleiner als 3, weil die Sekante steiler verläuft als die Tangente. Diese Erkenntnis fürt zu der folgenden Überlegung: Wenn wir nun von dem Punkt Q aus eine Folge von weiteren Punkten Q, Q 2, Q 3, usw. längs der Parabel auf den Punkt P "zuwandern" lassen, dann entstet dasd folgende Bild: Die Punkte Q, Q 2, Q 3,... bewegen sic auf den Punkt P zu. Q 2 Q s s 2 s 3 Die Sekanten s, s 2, s 3,..., die sic um den Punkt P "dreen", näern sic immer mer der Tangente t. Q 3 t Tangente P Wenn wir die entsprecenden Sekanten s PQ, s 2 PQ 2, s 3 PQ 3 usw. betracten, dann stellen wir fest, daß die Folge der Sekanten s, s 2, s 3,... usw. sic immer mer der Tangente t näern: Wir wollen nun die Steigungen der sic um den Punkt P(/) "bewegenden" Sekanten allgemein bestimmen. Dazu wälen wir für den Punkt Q eine Darstellung, mit der die "Bewegung zu P" auc allgemein recnerisc erfaßt werden kann. Das gesciet mit Hilfe einer neuen Variablen "". Mit dem Bucstaben bezeicnen wir die Differenz zwiscen den -Koordinaten von P und Q. Wenn wir P P und Q P 2 setzen, dann gilt also: 2. Da in unserem Fall ist, so ist 2 und daer: 2 + und dann: y 2 f( + ) ( + ) 2. Der Punkt Q at die Koordinatenform: Q( + / (+) 2 ), wir betracten dazu eine kleine Skizze: y 2 (+) 2 Q(+ / (+) 2 ) y P(/) f() Wir berecnen nun die Steigung der Sekante zwiscen P(/) und Q(+/(+) 2 ) allgemein für jedes > 0:

3 Einfürung in die Differentialrecnung 3 y ) 2 allgemeine Sekante y 2 (+) 2 Q(+ / (+) 2 ) (+) 2 y P(/) > Der Punkt Q(+ / (+) 2 ) näert sic dem Punkt P(/), wenn der Abstand "" kleiner und kleiner wird und sic immer mer der Null näert. Nun können wir die Steigung der Sekante durc den Punkt P und den Punkt Q, der ja von der Wal der Variablen abängt, genau bestimmen. Die Steigung m s der Sekante durc P( / ) und Q(+ / (+) 2 ), d.. durc P( / y ) und Q( 2 / y 2 ) lautet: y 2 y m s 2 ( + ) (2 + ) 2 + Mit diesem Ergebnis m s 2 + können wir also für jedes > 0 direkt die Steigung der Sekante durc P und Q angeben. Wenn z.b. 0,3 ist, dann ist Q Q(,3 /,69) und die Steigung der Sekante durc P und Q beträgt m s 2 + 0,3 2,3. Wir entwickeln nun eine Formel für die Steigung der Sekante durc P und Q, wenn der Punkt Q sic von links auf den Punlkt P zubewegt:

4 4 Einfürung in die Differentialrecnung Die Sekanten näern sic von links der Tangente: ) 2 y P(/) y 2 ( ) 2 Q( /( ) 2 ) y ( ) 2 > 0 Die Steigung m s der Sekante durc P und den Punkt Q, der nun links von P liegt, lautet: y 2 y m s 2 ( )2 ( ) ( ) 2 2 (2 ) 2 Mit dem Ergebnis m s 2 können wir also für jedes > 0 nun die Steigung der Sekante durc P und Q angeben, wobei Q links von P liegt. Wenn z.b. 0,4 ist, dann ist Q Q(0,6 / 0,36) und die Steigung der Sekante durc P und Q beträgt m s 2 0,6,4. Für die Steigungen der Sekanten durc P(/) aben wir nun für > 0 zwei Formeln entwickelt: a) Wenn Q rects von P liegt, dann gilt m s 2 + b) Wenn Q links von P liegt, dann gilt m s 2 Wir können diese beiden Formeln zu einer einzigen zusammenfassen, wenn wir für nict mer die Bedingung > 0 vorraussetzen, sondern zulassen, daß auc negativ sein darf. Dann kann man die Formel (b) auc mit m s 2 + ausdrücken, wenn und für dann < 0 gilt. Insgesamt eralten wir dann eine einzige Formel: Für die Funktion ) 2 sind die Steigungen der Sekanten durc P(/) und Q(+/(+) 2 ) durc die Formel: m s 2 + mit 0 gegeben. Bemerkung: Wenn > 0 ist, dann liegt Q rects von P, wenn < 0 ist, dann liegt Q links von P. Aber darf nict gleic Null gewält werden, denn für 0 wäre der Ausdruck:

5 Einfürung in die Differentialrecnung 5 (+) nict definiert, weil durc die Zal 0 nict dividiert werden kann! Mit der Formel für die Sekantensteigungen: m s 2 + betracten wir nun tabellarisc, wie sic die Sekantensteigungen ändern, wenn sic Q dem Punkt P(/) näert: Q n (+/(+) 2 ) m s 2 + Q n näert sic von rects dem Punkt P(/) +0,5 Q (,5 / 2,25) 2,5 +0,2 Q 2 (,2 /,44) 2,2 +0, Q 3 (, /,2) 2, +0,0 Q 4 (,0 /,020) 2,0 +0,00 Q 5 (,00 /,00200) 2,00 0 P(/) m t? Q n näert sic von links dem Punkt P(/) 0,00 Q 5 (0,999 / 0,99800),999 0,0 Q 4 (0,99 / 0,980),99 0, Q 3 (0,9 / 0,8),9 0,2 Q 2 (0,8 / 0,64),8 0,5 Q (0,5 / 0,25),5 Die Tabelle mact den folgenden Zusammenang deutlic: Je näer der Punkt Q beim Punkt P(/) liegt, d.. je näer der die Zal bei 0 und damit die Zal + bei liegt, um so näer liegt der Wert der Sekantensteigung m s 2 + bei der Zal 2. Die Variable darf selbst aber nict 0 sein. Diesen Sacveralt formalisieren wir wie folgt: lim ( 2 + ) 2 Lies: Der Limes (Grenzwert) von 2+ für gegen Null ist gleic 2. Dabei bedeutet lim limes, lat. Grenze Die Steigungen der Sekanten näern sic also immer mer dem Wert 2, je mer sic der Punkt Q dem Punkt P(/) näert. Da nun jede von 2 versciedene Zal 2 + mit 0 die Steigung einer Sekante durc P(/) und einen weiteren Punkt Q auf der Parabel angibt, entstet die Frage, welce Bedeutung dann die Zal 2 selbst at. Sie kann nict die Steigung einer Sekante sein. Von daer können wir die Zal 2 als die Steigung der Tangente von GI f im Punkt P(/) betracten. Die Zal 2 wird also als Steigung m t der gesucten Tangente im Punkt P(/) definiert. Sie ist der Grenzwert der Sekantensteigungen m s, wenn gegen Null strebt.

6 6 Einfürung in die Differentialrecnung Beispiel: Wir wollen nun einmal die Tangente an der Normalparabel ) 2 im Punkt P( 2/4) bestimmen. Der "beweglice" Punkt Q at ier die folgenden Koordinaten: Q( 2+ / ( 2+) 2 ). Wir setzen dann P P( 2/4) und P 2 Q( 2+ / ( 2+) 2 ), so daß sic die folgende Recnung ergibt: a) Sekantensteigung: y m s ( 2) ( 2 + )2 ( 2) 2 2 y ( 4 + ) 4 + b) Tangentensteigung: m t ( 2) lim ( 4 + ) 4. Der Grap von at an der Stelle 4 eine Tangente mit der Steigung m t 4. Übungen:. Zeicnen Sie die Grapen der folgenden Funktionen und bestimmen Sie in den gegebenen Punkten die Steigung der Tangente: a) ) 2, P(3/9) b) ) 2 2, P(2/2) ) 2 4, P( 3/5) 2. Bestimmem Sie die folgenden Grenzwerte, indem Sie "" gegen Null streben lassen: a) lim ( 2) d) lim ( ) b) lim ( ) e) lim (3 2)2 f) c) lim (32 2) lim ( 2 3 ) Es liegt nun nae, den im Beispiel bescrittenen Weg zur Bestimmung der Tangentensteigung zu verallgemeinern. Dazu lösen wir uns von der speziellen Funktion ) 2 samt des Punktes P(/) und betracten ganz allgemein eine beliebige Funktion sowie einen beliebigen Punkt P(/()) auf dem zugeörigen Funktionsgrapen GI f. 3. Allgemeine Zusammenfassung: Sekantensteigung und Tangentensteigung: Gegeben sei eine reelle Funktion und ein beliebiger Punkt P( /)) des Funktionsgrapen GI f. Ferner ist mit einem beliebigen 0 ein zweiter Punkt Q(+ /+)) und damit eine Sekante durc P und Q (Sekante) gegeben. Wir aben dann zwei Punkte m,it den folgenden Zuordnungen: y ) 2 + y 2 + ) Die Steigung der Sekante bezeicnen wir mit m s. Dazu betracten wir die folgende Zeicnung:

7 Einfürung in die Differentialrecnung 7 y 2 +) Q(+ /+)) Sekante Tangentensteigung: + ) () m t () lim + ) (), y ) P(/)) Tangente m t () ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. 2 + Die Steigung der Tangente: m t () ist also abängig von der Funktion und der Stelle ID f. Um diese Abängigkeit der Tangentensteigung von und auszudrücken, screiben wir anstelle von m t () auc: '() [lies: f-stric-von-]. Die Tangentensteigung '() eißt die. Ableitung von an der Stelle. Wir können demnac festalten: Definition: Wenn eine Funktion ist und P(/)) ein beliebiger Punkt des Funktionsgrapen GI f, dann wird für den Punkt P folgendes definiert: Der Grap GI f at im Punkt P(/)) genau dann eine Tangente mit der Steigung '(), wenn die folgende Bezieung gilt: '() lim + ) (). '() ist also der Grenzwert der Sekantensteigungen m s (), wenn gegen Null strebt. Bemerkungen:. Das Symbol '() ist bloß eine andere Screibweise für die Steigung der Tangente: m t (). Es gilt also: '() m t () lim + ) (). 2. Wir verdeutlicen noc einmal die Bedeutung der ersten Ableitung '(): Die. Ableitung '() gibt allgemein die Steigung der Tangente des Funktinsgrapen GI f an der Stelle an!

8 8 Einfürung in die Differentialrecnung Beispiele:. Gegeben sei die Funktion ) Gesuct ist die Steigung der Tangente von GI f an der Stelle 0 2. Da ( 2) ist, get GI f. durc den Punkt P( 2/) a) Sekantensteigung: 0: m s ( 2) f( 2 + ) f( 2) +2 4 ( 2+)2 ) +2 4 ( ( 4 ) b) Tangentensteigung: m t ( 2) lim ( ), also '( 2) 0 4 '( 2) 2. Gegeben sei die Funktion ) 3 Gesuct ist die Steigung der Tangente von GI f an der Stelle 0. Da () ist, get GI f. durc den Punkt P(/) a) Sekantensteigung: 0: m s () f( + ) f() ( ) b) Tangentensteigung: (+) m t () lim 0 ( ) 3, also '() 3 '() 3 3

9 Einfürung in die Differentialrecnung 9 3. Gegeben sei die Funktion ).Gesuct ist die Steigung der Tangente von GI f an der Stelle 0 2. Da (2) ist, get 2 GI f. durc den Punkt P(2/ 2 ) a) Sekantensteigung: 0: f(2 + ) f(2) m s (2) 2 2(2+) 2+ 2(2+) 2(2+) 2(+2) b) Tangentensteigung: m t (2) lim( ), also '(2) 4 4 '(2) 4 ) 4 4. Gegeben sei die Funktion ) Gesuct ist die Steigung der Tangente von GI f an der Stelle 2. Da (2) 2 ist, get GI f. durc den Punkt P(2/ 2) ) a) Sekantensteigung: 0: m s (2) f(2 + ) f(2) 2+ 2 ( 2+ 2) ( ) ( ) ( ) b) Tangentensteigung: m t (2) lim ( 0 ), '(2) 2 2 also '(2) 2 2 Übungen: Zeicnen Sie die Grapen der folgenden Funktionen und bestimmen Sie mit Hilfe der Grenzwertdefinition die Steigung der Tangente in dem angegebenen Punkt. a) () 2 + 9, P(3/0) d) ) 2, P(2 / 4 ) b) ) 4 2, P(2/ ) e) ) 3, P ( / ) c) ) 2 + 2, P( / 3) f) ) 2., P(/ 2)

10 0 Einfürung in die Differentialrecnung 4. Differenzierbarkeit (Ableitbarkeit) Wir wollen nun eine etwas kompliziertere Funktion im Hinblick auf die Bestimmung einer Tangente untersucen. Wir betracten eine Funktion, die aus zwei quadratiscen Funktionen zusammengesetzt ist: ) 2 für, also: f() für > Die Frage ist jetzt, ob wir in dem Knickpunkt P(/) auc eine Tangente genau bestimmen können. Dazu müssen wir nac Definition der Tangentensteigung den Grenzwert des Differenzenquotienten: lim + ) () berecnen. Da die Funktion f aber für > 0 einen anderen Term at als für < 0, müssen wir zur Bestimmung des Grenzwertes eine Falluntersceidung macen: 2 linksseitige Grenzlage P(/) rectsseitige Grenzlage a) Für 0 eralten wir links von der Stelle : Sekantensteigungen: m s () f( + ) f() (+)2 + (2 + ) Grenzwertbestimmung: da < 0 ist, eralten wir den linksseitigen Grenzwert: L lim 0 (2 + ) 2 b) Für > 0 eralten wir rects von der Stelle : Sekantensteigungen: m s () f( + ) f() (+) ( 2 ) 2 Grenzwertbestimmung: da > 0 ist, eralten wir den rectsseitigen Grenzwert: R lim ( 2 ) 2 0 An der Stelle liegen also zwei versciedene Grenzwerte der Sekantensteigungen vor, je nacdem die Sekanten links oder rects von liegen. Insofern können wir sagen, daß die Funktion f an der Stelle keine eindeutig definierte Tangente besitzt. In einem solcen Falle eißt die Funktion f an der Stelle nict ableitbar oder nict differenzierbar. Wir können aufgrund dieser Erkenntnis also präziser definieren:

11 Einfürung in die Differentialrecnung Definition (Differenzierbarkeit) Eine Funktion eißt an der Stelle genau dann differenzierbar oder ableitbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten: '() lim + ) () eindeutig eistiert, sonst eißt nict differenzierbar. Bemerkung: Im Falle der Differenzierbarkeit müssen insbesondere der linksseitige und rectsseitige Grenzwert desdifferenzenquotienten übereinstimmen. Übungen: Untersucen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit an der vorgegebenen Stelle: ) 2 für, für > ) 2 für, also insbesondere: f() für > 5. Ableitungsformeln Nacdem wir anand der vorliegenden Beispiele bei einzelnen Funktionen an ganz konkreten Stellen jeweils die Steigung der Tangente bestimmt aben, wollen wir nun die Ergebnisse verallgemeinern. Wir wollen Formeln entwickeln, mit denen wir dann bei einer beliebigen Funktion ) die Steigung der Tangente an einer beliebigen Stelle, also '() bestimmen können. 5. Die Potenzfunktionen ) n mit positiven Eponenten n IN ) n ) n Gerade Eponenten n 2, 4, 6,... Ungerade Eponenten n 3, 5, 7,... Bei der allgemeinen Bestimmung der Tangente beginnen wir mit der quadratiscen Parabel ) 2 und entwickeln eine Formel zur Bestimmung der Steigung der Tangente '() an irgend einer beliebigen Stelle IR:

12 2 Einfürung in die Differentialrecnung Die Funktion ) 2, P(/)) und Q(+, +) a) Der Differenzenquotient: (+) () m s () (+) (2 + ) 2 + b) Der Grenzwert: '() lim 0 (2 + ) 2 Dies bedeutet, daß bezüglic der quadratiscen Parabel ) 2 die Steigung der Tangente an jeder beliebigen Stelle IR durc die Formel '() 2 bestimmt ist. So ist z.b. die Steigung der Tangente der Normalparabel an der Stelle 3 mit der Recnung '( 3) 2( 3) 6 gegeben. Nun werden wir eine Formel für die Tangentensteigungen der öeren Potenzfunktionen erleiten. 2. Die Funktion ) 3, P(/)) und Q(+, +) a) Der Differenzenquotient: (+) () m s () (+) ( ) b) Der Grenzwert: '() lim 0 ( ) Die Funktion ) 4, P(/)) und Q(+, +) a) Der Differenzenquotient: (+) () m s () (+) ( ) b) Der Grenzwert: '() lim 0 ( ) Wir aben damit also die folgenden Ableitungsformeln nacgewiesen: ) 2 '() 2 ) 3 '() 3 2 ) 4 '() 4 3 Es ist nun naeliegend, für alle Eponenten n IN die folgende Formel anzunemen.

13 Einfürung in die Differentialrecnung 3 ) n '() n. n Diese Formel werden wir später noc allgemeiner beweisen können. Übungen: Bestimmen Sie die folgenden Ableitungen und erklären Sie Ire Ergebnisse: a) ) 5 b) ) 6 c) ) 9 d) ) 28 e) ) Die Potenzfunktionen mit negativen Eponenten: ) -n n und n IN ) n ) n Gerade Eponenten n 2, 4, 6,... Ungerade Eponenten n, 3, 5,.... Wir beginnen mit der Funktion ) - und bestimmen die Ableitung '(): a) Differenzenquotient: (+) () m s () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b) Grenzwert des Differenzenquotienten: '() lim 0 ( 2 ) 2 Damit ist bezüglic der Funktion ) die Steigung der Tangente an jeder beliebigen Stelle IR durc die Formel '() 2 wie dies die Zeicnung oben links auc verdeutlict. bestimmt ist, d.. die Steigung der Tangente ist stets negativ, Beispiel: Für die Funktion ) ist die Steigung der Tangente an der Stelle 2 dann: '( 2) gegeben.

14 4 Einfürung in die Differentialrecnung 2. ) 2 a) Differenzenquotient: m s () + ) ) ( ) (+) ( + ) 2. 2 (+) b) Grenzwert des Differenzenquotienten: '() lim ( ) 2 3 Wir aben also auc ier die folgenden Formeln gefunden: ) '() 2 ) 2 '() 2 3 Es ist naeliegend, für alle Eponenten n IN die folgende Formel anzunemen: ) -n n '() n. -n- n n+ Auc diese Formel werden wir später noc allgemein beweisen. 5.3 Die Wurzelfunktion: ) a) Differenzenquotient: (+) () m s () (binomisc erweitert!) + ( + + ) + + Grenzwert des Differenzenquotienten: '() lim 0 ( + + ) + 2. Also aben wir die Formel gefunden: ) '() 2.

15 Einfürung in die Differentialrecnung Die konstante Funktion ) c mit c IR; (Der Funktionsgrap ist eine Parallele zur Acse) a) Differenzenquotient: m s () c c b) Grenzwert des Differenzenquotienten: 0 0 '() lim (0) 0 0 Die Steigung der Tangente ist in jedem Punkt gleic 0; d.. sie ist mit der Geraden von ) c identisc. Wir können nun eine Tabelle der biserigen Ableitungsformeln aufstellen: Ableitungstabelle y c ') 0 ) c Funktion ) Ableitung '() Bemerkung: c (konstant) n n n n n n+ 2 Wenn man die Funktion ) n als Potenzfunktion mit negativem Eponenten screibt: ) n, dann kan man die Regel von den positiven Eponenten übernemen. Es ist dann: '() n n n n+. Dazu ein Beispiel: ) 2 2 '() Übungen: Bilden Sie zu den folgenden Funktionen ) und den angegebenen Stellen IR die Ableitung ') an und interpretieren Sie die Bedeutung von ') anand einer Skizze: a) ) 4 ; '2)? b) ) 5 ; '0)? c) ) 3 ; ' 2 5 )? d) ) 3; '5)? e) ) 3 ; '2)? f) ) 4 ; ' )? g) ) ; ' 3)? ) ) 4 ; ' 2)? i) ) ; '3)?

16 6 Einfürung in die Differentialrecnung 6. Ableitungsregeln Neben den oben entwickelten Ableitungsformeln für die einzelnen Funktionen müssen wir noc Regeln entwickeln; um die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion zu bestimmen. Kann man z.b. bei der Funktion ) als Ableitung einfac die Form: '() angeben? Ist also die Ableitung einer Summe gleic der Summe der Ableitungen? Wir wollen die Rictigkeit dieses Satzes und eines weiteren nun beweisen; damit das Ableiten von Funktionen künftig einfacer wird. 6. Die Summenregel: Beauptung: Wenn ) () + () ist und die beiden Funktionen () und () die Ableitungen '() und '() aben; dann gilt für die Ableitung der Summe die Bezieung: Beweis: '() '() + '() a) Differenzenquotient: m s () [ (+) + (+)] [ () + ()] [ (+) ()] + [ (+) ()] b) Grenzwert: '() lim [ (+) () 0 (+) () + (+) () ] + (+) () '() + '() Damit aben wir bewiesen; daß die Ableitung einer Summe in der Tat die Summe der einzelnen Ableitungen ist. Ganz analog gilt das natürlic auc für die Differenzfunktion: ) () (); sodaß wir insgesamt zusammenfassen können: ) () + () '() '() + '() Die Ableitung einer Summe (Differenz) ist gleic der Summe (Differenz) der Einzelableitungen. Beispiele: a) ) '() b) ) '() c) ) '() d) ) 5 2 '() Übungen: Bilden Sie zu den folgenden Funktionen die Ableitung ') : a) ) b) ) c) ) d) ) 3 5 e) ) f) ) d) ) e) ) f) )

17 Einfürung in die Differentialrecnung Die Regel vom konstanten Faktor: Die Frage ist nun; wie sic bei der Ableitung ein konstanter Faktor vor der Funktion auswirkt. Wir kennen also die Ableitung der Funktion g() 3. Aber wie lautet z.b. die Ableitungsfunktion der mit 5 multiplizierten Funktion () 5 g() 5. 3? Beauptung: Wenn g() eine differenzierbare Funktion ist mit der Ableitung g'() und ) a. g() eine mit dem konstanten Faktor a IR multiplizierte Funktion ist; dann gilt für die Ableitung: '() a. g'(); d.. bei der Ableitung bleibt der Faktor a unverändert konstant. Beweis: a) Differenzenquotient: m s () a. g(+) a. g() g(+) g() b) Grenzwert: '() lim ( a 0 ) a. g'() a. [g(+) g()] a. g'() Damit können wir eine zweite wictige Regel für die Ableitung festalten: a g(+) g() Beispiele: ) a. g() '() a g'() a) ) '() b) ) '() c) ) ' () d) ) '() e) ) '() Übungen:. Bestimmen Sie Ableitung ') der folgenden Funktionen: a) ) 5 4 b) ) c) ) d) ) e) ) f) ) g) ) a 5 mit a IR ) ) a 5 + b 2 mit a; b IR i) ) a 3 mit a IR j) ) a 5 b c 2 mit a; b IR 2. Gegeben sei eine Funktion mit dem Funktionsterm ) a) Wie groß ist die Steigung der Tangente an den Stellen 4; 2 2 ; 3 0? b) An welcer Stelle at GI f eine Tangente mit der Steigung m und m 2 3 2? c) Bestimmen Sie mit Hilfe der. Ableitung '() den Sceitelpunkt S( s / y s ) der Parabel GI f und zeicnen Sie den Grapen GI f in ein Koordinatensystem.

18 8 Einfürung in die Differentialrecnung 3. Eine Anwendungsaufgabe: In der nebensteenden Skizze ist eine parbelförmige Insel dargestellt; die den Funktionsterm ) at und dem geradenförmigen Festlandufer mit dem Term: g() gegenüberliegt. Auf der Insel soll nun für einen Färbetrieb ein Hafen gebaut werden. In welcem Punkt H(/y) der Parabel muß der Hafen liegen; damit die Strecke zum Festland am kürzesten ist? Insel H Festland Ein Maimierungsproblem: Aus einem quadratiscen Stück Eisenblec von m 2 00 dm 2 Fläcengröße sollen an den vier Ecken kleine Quadrate Q 2 ausgescnitten werden; sodaß nac folgender Skizze ein Ölbeälter entstet: Die Frage ist nun; wie groß der Abscnitt gewält werden muß; damit das Volumen des Ölbeälters unter allen Möglickeiten am größten ist. Zur Lösung dieser Aufgabe braucen wir zunäcst eine allgemeine Formel für das Volumen dieses quaderförmigen Ölbeälters. Wir wissen; daß die Grundfläce quadratisc ist und demnac die Größe G (0 2) 2 aben muß. Da die Höe gleic dem Abscnitt ist; gilt für das Volumen die Formel: V(). (0 2) 2 [dm 3 ] Diese Formel gibt also für den Abscnitt direkt das Volumen des Quaders an. Es andelt sic also um eine Funktion; durc die jedem Abscnitt das entsprecende Volumen V() des Beälters zugeordnet wird. Der Wert für liegt dabei zwiscen 0 und 5 dm; weil es erstens keine negativen Abscnitte gibt und zweitens bei einem Wert von 5 dm das Blec in vier Teile gescnitten wird und praktisc kein Beälter mer möglic ist. Wenn wir z.b. dm ( 0 cm) wälen; dann können wir mit der Volumenfunktion das Volumen einfac berecnen: V(). (0 2) Dies bedeutet; daß bei dm der Ölbeälter ein Volumen von V 64 dm 3 at. Mit der bekannten Entsprecung dm 3 Liter Flüssigkeiteralten wir also das Volumen von 64 Litern. Wir wollen nun einmal mit Hilfe des Tascenrecners eine Wertetabelle für die Funktion V() aufstellen und anscließend den Funktionsgrapen zeicnen:

19 Einfürung in die Differentialrecnung 9 Wertetabelle Grap V() 0 0;0 0;5 40;5 64;0 ;5 73;5 2 72;0 2;5 62;5 3 48;0 3;5 3;5 4 6;0 4;5 4;5 5 0;0 waagerecte Tangente: '() 0 Wir seen; daß das Volumen genau an der Stelle am größten ist; an der der Funktionsgrap von V() eine waagerecte Tangente at. Dies bedeutet aber;daß dort der Wert der ersten Ableitung von V() gleic Null ist: V'() 0. Da nun V() (0 2) 2. ( ) ; so gilt für die Ableitung die Formel: V'() Wir müssen zur Lösung des Problems also die folgende Gleicung lösen: V'() : 2 (Normieren der quadratiscen Gleicung) IL { 5; 5 3 } Das Ergebnis bedeutet; daß wir an der Stellen 5 dm und 5 dm ;67 dm jeweils eine waage- 3 recte Tangente vorliegen aben. Der Zeicnung entnemen wir; daß unser gesucter Wert 5 3 sein muß. Für diesen Wert ist das Volumen V() am größten von allen Werten für 0 5. Mit Hilfe der Formel V(). (0 2) 2 können wir dieses größte Volumen auc berecnen; denn es gilt: V( 5 ) 5 0 ( ) ; dm ( Die pq-formel: p 2 ( p 2 )2 q anwenden )

20 20 Einfürung in die Differentialrecnung 5. Lokale Etrema 5. Lokales Maimum einer Funktion Wir betracten einmal den Grapen der folgenden Funktion : 0 ) lokales Maimum 0 ) lokaler Hocpunkt H 0 / 0 )) GI f Wir seen; daß an der Stelle 0 der Funktionswert 0 ) größer ist als alle anderen umgebenden Funktionswerte ). Man nennt diesen Funktionswert 0 ); der inneralb einer Umgebung von 0 der größte ist; auc ein lokales Maimum der Funktion f. Wir definieren nun diesen Begriff präzise: * Bemerkung: 0 U( 0 ) Umgebung von 0 Eine Umgebung U( 0 ) ist ein offenes Intervall ]a;b[ mit der Eigenscaft: 0 ]a;b[ Wir können nun definieren; was wir unter einem lokalen Maimum versteen: Definition 5. Der Funktionswert 0 ) einer Funktion eißt genau dann ein "lokales Maimum von f "; wenn es an der Stelle 0 eine Umgebung U( 0 ) gibt; sodaß für alle U( 0 ) die Ungleicung gilt: ) 0 ) Der entsprecende Punkt H( 0 / 0 )) eißt dann "lokaler Hocpunkt" des Grapen GI f 5.2 Lokales Minimum einer Funktion 0 ) lokales Minimum 0 ) lokaler Tiefpunkt 0 / 0 )) 0 GI f Wir seen; daß an der Stelle 0 der Funktionswert 0 ) kleiner ist als alle anderen umgebenden Funktionswerte ). Man nennt diesen Funktionswert 0 ); der inneralb einer Umgebung von 0 der kleinste ist; auc ein lokales Minimum der Funktion f. Wir definieren nun diesen Begriff präzise: U( 0 ) Umgebung von 0

21 Einfürung in die Differentialrecnung 2 Definition 5.2 Der Funktionswert 0 ) einer Funktion eißt genau dann ein "lokales Minimum von f "; wenn es an der Stelle 0 eine Umgebung U( 0 ) gibt; sodaß für alle U( 0 ) gilt: ) 0 ) Der entsprecende Punkt T( 0 / 0 )) eißt dann "lokaler Tiefpunkt" des Grapen GI f Bemerkung: Wir müssen also untersceiden zwiscen dem lokalen Maimum (Minimum) und dem lokalen Hocpunkt (Tiefpunkt). Das Maimum (Minimum) ist ein Funktionswert; wärend der Hocpunkt (Tiefpunkt) ein Punkt ist; der zwei Koordinaten at: erstens die Stelle 0 des Maimums (Minimums) als -Koordinate und zweitens das Maimum (Minimum) 0 ) als y-koordinate des Punktes. Der Oberbegriff zu "lokales Maimum" und "lokales Minimum" eißt lokales Etremum. Die entsprecenden Punkte eißen lokale Etrempunkte. 6. Globale Etrema: Wenn eine Funktion an einer Stelle 0 ires Definitionsbereic ID f insgesamt den größten Funktionswert 0 ) aller anderen Funktionswerte besitzt; wenn also für alle ID f die 0 ) ) gilt; dann eißt 0 ) das globale Maimum der Funktion auf ID f. globales Maimum Randmaimum lokales Maimum globales und lokales Minimum a b Definitionsbereic ID f Entsprecend der Definition des globalen Maimums eißt 0 ) das globale Minimum der Funktion auf ID f, wenn für alle ID f die Ungleicung ( 0 ) () gilt. Der Oberbegriff zu "globales Maimum" und "globales Minimum" eißt globales Etremum. Liegt das globale Etremum auf dem Rand des Definitionsbereices; so eißt es Randetremum:

22 22 Einfürung in die Differentialrecnung 7. Die notwendige Bedingung für ein lokales Etremum: Satz (notwendige Bedingung für lokale Etrema) Wenn eine Funktion an einer Stelle 0. ein lokales Etremum at und 2. die Ableitung '( 0 ) eistiert; dann gilt: '( 0 ) 0 Für ein lokales Etremum an der Stelle 0 ist es notwendig; daß '( 0 ) 0 gilt! Wictige Bemerkung: Die Umkerung des Satzes gilt nict! Dazu ein Gegenbeispiel: ) 3 at an der Stelle 0 0 zwar eine waagerecte Tangente ('(0) 0); aber dort liegt kein lokales Etremum vor. 8. Die Definition der Monotonie: Nac den biserigen Definitionen wurde klar; daß bei einem lokalen Maimim der Grap einer Funktion f vorer steigt und nacer fällt; bei einem lokalen Minimum ist es umgekert; vorer fällt der Grap und nacer steigt er. Wir wollen dieses "Steigen" und "Fallen" nun genauer definieren: 8. streng monoton steigend Gegeben sei eine Funktion ; die auf einem Intervall [a;b] definiert ist. Wenn nun zu größer werdenden -Werten die Funktionswerte ) auc größer werden; so eißt die Funktion auf [a;b] streng monoton steigend. Wir definieren genau: Definition 8. Die Funktion eißt auf dem Intervall [a;b] streng monoton steigend genau dann; wenn für alle ; 2 [a;b] gilt: < 2 f( ) < f( 2 ) f( 2 ) f( ) a 2 b 8.2 streng monoton fallend Gegeben sei eine Funktion ; die auf einem Intervall [a;b] definiert ist. Wenn nun zu größer werdenden -Werten die Funktionswerte ) kleiner werden; so eißt die Funktion auf [a;b] streng monoton fallend. Wir definieren genau: Definition 8.2 Die Funktion eißt auf dem Intervall [a;b] streng monoton fallend genau dann; wenn für alle ; 2 [a;b] gilt: < 2 f( ) > f( 2 ). f( ) f( 2 ) a 2 b

23 Einfürung in die Differentialrecnung Das Verältnis von Ableitung und Monotonie: Die Frage; wie man von der Ableitung '() einer Funktion auf das Monotonieveralten von () scließen kann; beantwortet der globale Monotoniesatz: Satz: (globaler Monotoniesatz) Gegeben sei eine Funktion und das Intervall [a;b] ID f. Für alle ]a;b[ eistiert die Ableitung '(). Es gelten dann die folgenden Implikationen: '() > 0 a) Wenn für alle ]a;b[ gilt: '() > 0; dann gilt: ist auf [a;b] streng monoton steigend. ist streng monoton steigend a b b) Wenn für alle ]a;b[ gilt: '() < 0; dann gilt: ist auf [a;b] streng monoton fallend. Wictige Bemerkung: Die Umkerung des Satzes gilt nict! Gegenbeispiele: Zu (a) ) 3 mit einem beliebigen Intervall Zu (b) ) 3 mit beliebigem Intervall für. a ist streng monoton fallend b '() < 0

24 24 Einfürung in die Differentialrecnung Zeicnung zum globalen Monotoniesatz Das Verältnis zwiscen dem Vorzeicen der Ableitung '() und der Monotonie der Basisfunktion ) () GI f lokales Maimum bei monoton fallend lokales Minimum bei 2 monoton steigend Monotonie (steigend/fallend) von ) monoton steigend Etrema von () Vorzeicen (+/ ) von '() + + GI f' Vorzeicenwecsel von '() Vorzeicen - wecsel (+/ ) Vorzeicen - wecsel ( /+) '() 2 2 3

25 Einfürung in die Differentialrecnung Zwei inreicende Bedingungen für lokale Etrema: 0. Erste inreicende Bedingung für die Eistenz eines lokalen Etremums: (Das Vorzeicen-wecsel-kriterium der. Ableitung) Sei eine Funktion f und eine bestimmte Stelle 0 ID f sowie die. Ableitung '() in einer Umgebung U( 0 ) ID f vorgegeben; dann gilt: a) Wenn die. Ableitung ' bei 0 einen Vorzeicenwecsel von (+) nac ( ) at; dann at bei 0 ein lokales Maimum. b) Wenn die. Ableitung ' bei 0 einen Vorzeicenwecsel von ( ) nac (+) at; dann at bei 0 ein lokales Minimum Zweite inreicende Bedingung für die Eistenz eines lokalen Etremums: (Das Vorzeicenkriterium der 2. Ableitung ) Sei eine Funktion f und eine bestimmte Stelle 0 ID f sowie die. Ableitung '( 0 ) und die 2. Ableitung "( 0 ) vorgegeben; dann gilt: a) '( 0 ) 0 "( 0 ) < 0 at bei 0 ein lokales Maimum. b) '( 0 ) 0 "( 0 ) > 0 at bei 0 ein lokales Minimum. Bemerkung: Das Vorzeicenkriterium der 2. Ableitung kann zur recneriscen Bestimmung der Etrema nict immer angewendet werden. Wir betracten dazu ein ganz einfaces Beispiel: ) 4. Der Grap ist unten abgebildet. Wir seen; daß an der Stelle 0 0 ein lokales Minimum at. Wie kann man dieses lokale Minimum nun recnerisc bestimmen? ) 4 at bei 0 ein Minimum GI f Lösungsversuc mit dem 2.inreicenden Kriterium: Wir bilden zunäcst die. und 2. Ableitung: '() 4 3 und "() 2 2.Setzen wir nun 0 in beide Ableitungsterme ein; so folgt; daß '(0) 0 und "(0) 0 gilt und nict (wie man vielleict erwarten würde):'(0) 0 und "(0) > 0. Mit Hilfe des 2. inreicenden Kriterium gelingt es also nict; das lokale Minimum von () 4 recnerisc zu bestimmen. Der Grund liegt darin; daß das Vorzeicenkriterium der 2. Ableitung nur ein inreicendes Kriterium ist und kein notwendiges. Mit anderen Worten: wenn eine Funktion an einer Stelle 0 ein lokales Etremum at; so muß die 2. Ableitung "( 0 ) dort nict von Null verscieden sein.

26 26 Einfürung in die Differentialrecnung Krümmung und Wendepunkte Wir werden im folgenden zwei Begriffe definieren und präzisieren; die uns im Alltag anscaulic beim Befaren einer Straßenkurve vertraut sind. Wenn wir bei einer Kurve stets nac rects lenken müssen; so sprecen wir von einer Rectskurve; wenn wir nac links lenken müssen; von einer Linkskurve. Entsprecend werden nun für die Matematik in bezug auf die Form eine Funktionsgrapen die Begriffe Rectskrümmung und Linkskrümmung definiert. Wir betracten dazu eine Funktion die auf einem Intervall [a; b] IR definiert ist und dort die Ableitung '() besitzt. Dann untersceiden wir bezüglic des Funktionsgrapen GI f zwei Fälle:. Die Rectskrümmung: Wenn von a bis b nun die Steigungen der Tangenten von GI f immer kleiner werden; wenn also die Ableitungsfunktion ' in [a; b] streng monoton fallend ist; dann eißt der Funktionsgrap GI f rects-gekrümmt. Die genaue Definition lautet also: a Rectskrümmung Die Steigungen der Tangenten '()werden kleiner b Definition. Der Grap einer Funktion eißt in einem Intervall [a; b] genau dann rectsgekrümmt; wenn die. Ableitung ' auf [a; b] streng monoton fallend ist.2 Die Linkskrümmung: Wenn von a bis b die Steigungen der Tangenten von GI f immer größer werden; wenn also die Ableitungsfunktion ' in [a; b] streng monoton steigend ist; dann eißt der Funktionsgrap GI f links-gekrümmt. Auc ier können wir entsprecend definieren: a Die Steigungen der Tangenten '() werden größer Linkskrümmung b Definition.2 Der Grap einer Funktion eißt in einem Intervall [a; b] genau dann linksgekrümmt; wenn die. Ableitung ' auf [a; b] streng monoton steigend ist

27 Einfürung in die Differentialrecnung 27.3 Wendepunkte: Wenn nun ein Funktionsgrap GI f an einer bestimmten Stelle 0 ir Krümmungsveralten wecselt; dann nennen wir diese Stelle eine Wendestelle der Funktion und den dazugeörigen Punkt P( 0 /( 0 )) einen Wendepunkt des Funktionsgrapen: Definition.3 a) Die Stelle 0 eißt genau dann eine RL Wendestelle der Funktion wenn die. Ableitung ' an der Stelle 0 ein lokales Minimum at. Der Punkt P( 0 /( 0 )) eißt dann RL Wendepunkt von GI f. b Die Stelle 0 eißt genau dann eine LR Wendestelle der Funktion wenn die. Ableitung ' an der Stelle 0 ein lokales Maimum at. Der Punkt P( 0 /( 0 )) eißt dann LR Wendepunkt von GI f. c) Die Tangente von GI f im Wendepunkt eißt Wendetangente. RL Wendepunkt LR Wendepunkt Wendetangente RK LK Wendetangente LK RK Kriterien für die Wendestellen einer Funktion 2. Die notwendige Bedingung für eine Wendestelle: Laut Definition 0.3 liegt an der Wendestelle 0 einer Funktion ein lokales Etremum der Ableitungsfunktion ' vor. Wegen der notwendigen Bedingung für ein Etremum muß daer bei 0 die Ableitung von '; also die zweite Ableitung von ; die wir mit " bezeicnen; gleic Null sein. Das ist die notwendige Bedingung für eine Wendestelle: Satz Wenn eine Funktion an einer Stelle 0. eine Wendestelle at und 2. die 2. Ableitung "( 0 ) eistiert; dann gilt: "( 0 ) 0 Für eine Wendestelle 0 ist es also notwendig; daß "( 0 ) 0 gilt! Wictige Bemerkung: Die Umkerung des Satzes gilt nict! Dazu ein Gegenbeispiel: ) 4 erfüllt an der Stelle 0 0 zwar die Bedingung "( 0 ) 0; dort liegt aber keine Wendestelle vor.

28 28 Einfürung in die Differentialrecnung Krümmung und Wendepunkte Das Verältnis zwiscen Monotonie der Ableitung ' und Krümmung der Funktion RL-Wendepunkt LR-Wendepunkt GI f Krümmung von () Wendepunkte von () (LR/RL) GI f' Monotonie von '() monoton steigend Etrema von '() (Ma/Min) lokales Maimum bei monoton fallend monoton steigend lokales Minimum bei 2 ()

29 Einfürung in die Differentialrecnung Zwei inreicende Bedingungen für die Wendestellen einer Funktion a) Erste inreicende Bedingung für die Eistenz einer Wendestelle: (Das Vorzeicenwecselkriterium der 2. Ableitung) Satz 2.2a Sei eine Funktion f und eine bestimmte Stelle 0 ID f sowie die 2. Ableitung " () in einer Umgebung U( 0 ) ID f vorgegeben; dann gilt: a) Wenn die 2. Ableitung " bei 0 einen Vorzeicenwecsel von (+) nac ( ) at; b) Wenn die 2. Ableitung " bei 0 einen Vorzeicenwecsel von ( ) nac (+) at; dann at bei 0 eine LR Wendestelle dann at bei 0 eine RL Wendestelle b) Zweite inreicende Bedingung für die Eistenz eines lokalen Etremums: ( Vorzeicenkriterium der 2. Ableitung ) Satz 2.2b Sei eine Funktion f und eine bestimmte Stelle 0 ID f drei Ableitungen bis '''( 0 ) gegeben; dann gilt: sowie die ersten a) "( 0 ) 0 '''( 0 ) > 0 at bei 0 eine RL Wendestelle b) "( 0 ) 0 '''( 0 ) < 0 at bei 0 eine LR Wendestelle

ANALYSIS Differenzialrechnung Kapitel 1 5

ANALYSIS Differenzialrechnung Kapitel 1 5 TELEKOLLEG MULTIMEDIAL ANALYSIS Differenzialrecnung Kapitel 5 Ferdinand Weber BRmedia Service GmbH Inaltsverzeicnis Jedes Kapitel beginnt mit der Seitenzal.. Das Tangentenproblem. Steigung einer Geraden

Mehr

Manfred Burghardt. Allgemeine Hochschulreife und Fachhochschulreife in den Bereichen Erziehung, Gesundheit und Soziales

Manfred Burghardt. Allgemeine Hochschulreife und Fachhochschulreife in den Bereichen Erziehung, Gesundheit und Soziales Manfred Burgardt Allgemeine Hocsculreife und Facocsculreife in den Bereicen Erzieung, Gesundeit und Soziales Version /4 Inaltsverzeicnis I Inaltsverzeicnis Inaltsverzeicnis... I Die Ableitungsfunktion

Mehr

6. Die Exponentialfunktionen (und Logarithmen).

6. Die Exponentialfunktionen (und Logarithmen). 6- Funktionen 6 Die Eponentialfunktionen (und Logaritmen) Eine ganz wictige Klasse von Funktionen f : R R bilden die Eponentialfunktionen f() = c ep( ) = c e, ier sind, c feste reelle Zalen (um Trivialfälle

Mehr

Teil 1. 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten mit Textaufgaben. und 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Datei Nr. 12180. Friedrich Buckel. Stand 11.

Teil 1. 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten mit Textaufgaben. und 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Datei Nr. 12180. Friedrich Buckel. Stand 11. Teil Gleicungen mit Unbekannten mit Textaufgaben und 3 Gleicungen mit Unbekannten Datei Nr. 80 Stand. April 0 Lineare Gleicungssysteme INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 80 Gleicungssysteme Vorwort

Mehr

Schriftliche Prüfung Schuljahr: 2008/2009 Schulform: Gymnasium. Mathematik

Schriftliche Prüfung Schuljahr: 2008/2009 Schulform: Gymnasium. Mathematik Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Prüfungen am Ende der Jargangsstufe 10 Scriftlice Prüfung Sculjar: 2008/2009 Sculform: Matematik Allgemeine Arbeitsinweise Die Prüfungszeit beträgt 160 Minuten.

Mehr

Was haben Beschleunigungs-Apps mit der Quadratur des Kreises zu tun?

Was haben Beschleunigungs-Apps mit der Quadratur des Kreises zu tun? Was aben Bescleunigungs-Apps mit der Quadratur des Kreises zu tun? Teilnemer: Jonatan Geuter Leonard Hackel Paul Hagemann Maximilian Kuc Amber Lucas Tobias Tieme Tobias Tiesse Niko Wolf Gruppenleiter:

Mehr

1 Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion

1 Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion Schülerbuchseite 6 8 Lösungen vorläufig Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion S. 6 Vermutung: Da das Zeit-Weg-Diagramm eine Sinuskurve und das zugehörige Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm 8 eine Kosinuskurve

Mehr

2008-06-11 Klassenarbeit 5 Klasse 10c Mathematik

2008-06-11 Klassenarbeit 5 Klasse 10c Mathematik 2008-06- Klssenrbeit 5 Klsse 0c Mtemtik Lösung Version 2008-06-4 Cindy t 3000 geerbt. ) Den Betrg will sie so nlegen, dss sie in 20 Jren doppelt so viel Geld t. Berecne, zu welcem Zinsstz sie ds Geld nlegen

Mehr

Hilfe zum neuen Online-Shop

Hilfe zum neuen Online-Shop Hilfe zum neuen Online-Sop Hier finden Sie umfassend bescrieben, wie Sie sic in unserem neuen Sop zurectfinden. Wenn Sie Fragen zur Kunden-Nr., Kunden-ID oder zum Passwort aben, rufen Sie uns bitte an:

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Mechanik 1.Gleichförmige Bewegung 1

Mechanik 1.Gleichförmige Bewegung 1 Mecanik 1.Gleicförige Bewegung 1 1. Geradlinige, gleicförige Bewegung (Bewegung it kontanter Gecwindigkeit) Zeit: 1 Unterricttunde 45 Minuten 2700 Sekunden 1 Sculjar entält etwa 34 Doppeltunden 68 Unterricttunden

Mehr

mit der Anfangsbedingung y(a) = y0

mit der Anfangsbedingung y(a) = y0 Numersce Lösung von Dfferentalglecungen De n den naturwssenscaftlc-tecnscen Anwendungen auftretenden Dfferentalglecungen snd n den wengsten Fällen eplzt lösbar. Man st desalb auf Näerungsverfaren angewesen.

Mehr

Zeitplan Abitur. März/Mai des 13. Schuljahres: Mündliche Prüfungen zur besonderen Lernleistung und zur Präsentationsprüfung (jeweils P5).

Zeitplan Abitur. März/Mai des 13. Schuljahres: Mündliche Prüfungen zur besonderen Lernleistung und zur Präsentationsprüfung (jeweils P5). Zeitplan Abitur Nac jedem Halbjareszeugnis: Überprüfung der erbracten Halbjaresleistungen und der recneriscen Möglickeit das Abitur zu besteen durc Sculleitung bzw. APK (Abiturprüfungskommission). Ab April

Mehr

Veranstaltung. Logistik und Materialfluss (Lagerlogistik), Sommersemester 2013

Veranstaltung. Logistik und Materialfluss (Lagerlogistik), Sommersemester 2013 Veranstaltung Logistik und Materialfluss (Lagerlogistik), Sommersemester 203 Übung 4: Tema: Statisce Losgröße Andler Modell Los (lot) : Menge eines Produktes, die one Unterbrecung gefertigt wird. Losgröße(lotsize):

Mehr

Übung zur Vorlesung Einführung in die Betriebswirtschaftliche Steuerlehre

Übung zur Vorlesung Einführung in die Betriebswirtschaftliche Steuerlehre Mercator Scool of Management Prof. Dr. Volker Breitecker, StB Dr. Marco Tönnes, StB SS 2007 Übung zur Vorlesung Einfürung in die Betriebswirtscaftlice Steuerlere Grundlagen: 1. Zur Erzielung von Einnamen

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Abbildungen mit Brechzahländerung

Abbildungen mit Brechzahländerung bbildungen mit Breczaländerung Moving Um ein Bild im gesamtmöglicen bbildungsraum zu bewegen (es vor unserem geistigen uge vorbeizieen zu lassen), ist es nac unserer biserigen, in Mikroprozessoren praktizierten

Mehr

RWTH Aachen, Lehrstuhl für Informatik IX Kapitel 3: Suchen in Mengen - Datenstrukturen und Algorithmen - 51

RWTH Aachen, Lehrstuhl für Informatik IX Kapitel 3: Suchen in Mengen - Datenstrukturen und Algorithmen - 51 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 51 Sucbäume Biser betractete Algoritmen für Suce in Mengen Sortierte Arrays A B C D - Nur sinnvoll für

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Numerische Simulation in der Luft- und Raumfahrttechnik

Numerische Simulation in der Luft- und Raumfahrttechnik Numerisce Simulation in der Luft- und Raumfarttecnik Dr. Felix Jägle, Prof. Dr. Claus-Dieter Munz (IAG) Universität Stuttgart Pfaffenwaldring, 70569 Stuttgart Email: felix.jaegle@iag.uni-stuttgart.de Inalt

Mehr

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS . Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme: AG. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und

Mehr

Binäre Suchbäume. 6. Binäre Suchbäume. Einfügen in binären Suchbäumen

Binäre Suchbäume. 6. Binäre Suchbäume. Einfügen in binären Suchbäumen 6. Binäre Sucbäume Natürlice binäre Sucbäume - Begriffe und Definitionen - Grundoperationen: Einfügen, sequentielle Suce, direkte Suce, öscen - Bestimmung der mittleren Zugriffskosten Balancierte Binärbäume

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Steuerliche Spendenanreize in Deutschland Eine empirische Analyse ihrer fiskalischen Effekte

Steuerliche Spendenanreize in Deutschland Eine empirische Analyse ihrer fiskalischen Effekte Steuerlice Spendenanreize in Deutscland Eine empirisce Analyse irer fiskaliscen Effekte Inauguraldissertation zur Erlangung des akademiscen Grades Doctor rerum politicarum vorgelegt und angenommen an der

Mehr

ZUKUNFT BILDEN. Die Bildungsinitiative der Region. Februar 2015. Journalistische Darstellungsformen. Teil 3

ZUKUNFT BILDEN. Die Bildungsinitiative der Region. Februar 2015. Journalistische Darstellungsformen. Teil 3 ZUKUNFT Februar 2015 Journalistisce Darstellungsformen Teil 3 Das Projekt zur Bildungsförderung für Auszubildende getragen von starken Partnern Initiatoren: Förderer und Stiftungspartner: INHALT Journalistisce

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Fachoberschulen im Schuljahr 2006 / 2007

Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Fachoberschulen im Schuljahr 2006 / 2007 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Fachoberschulen im Schuljahr / 7 Name, Vorname: Klasse: Prüfungsfach: Mathematik Prüfungstag:

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Seite 1: Matrizen. Seite 23: Funktionen. Seite 51: Integralrechnung. Seite 69: Binomialverteilung

Inhaltsverzeichnis. Seite 1: Matrizen. Seite 23: Funktionen. Seite 51: Integralrechnung. Seite 69: Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis Seite : Matrizen Seite : Funktionen Seite 5: Integralrechnung Seite 69: Binomialverteilung Seite 86: Statistik/Normalverteilung Seite 04: Vektoren Seite 40: Wachstum Lineare Algebra

Mehr

Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen)

Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen) Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen) Beispiel 1 Diskutiere die durch f(x) = x2 3x 4 x + 2 gegebene Funktion f. a) Definitionsbereich: Der Nenner eines Bruches darf nicht gleich

Mehr

MATHEMATIK. Fachabiturprüfung 2009 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik

MATHEMATIK. Fachabiturprüfung 2009 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik Fachabiturprüfung 2009 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK Ausbildungsrichtung Technik Freitag, 29. Mai 2009, 9.00-12.00 Uhr Die Schülerinnen und Schüler

Mehr

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS Prof. Dr. M. Voigt 2. März 2015 II Inhaltsverzeichnis 5 Grundlagen 1 5.1 Funktionen einer Variablen...................... 1 5.2 spezielle Funktionen.........................

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

DUALE HOCHSCHULE BADEN-WÜRTTEMBERG. Fakultät Wirtschaft. Studiengangsbeschreibung (Bachelor)

DUALE HOCHSCHULE BADEN-WÜRTTEMBERG. Fakultät Wirtschaft. Studiengangsbeschreibung (Bachelor) DUALE HOCHSCHULE BADEN-WÜRTTEMBERG Fakultät Wirtscaft Studiengangsbescreibung (Bacelor) Studiengang: Recnungswesen Steuern Wirtscaftsrect (RSW) Studienrictung: Betriebswirtscaftlice Steuerlere, Unternemensrecnung

Mehr

Die wichtigsten Lehrbücher bei HD. Höhere Mathematik. Ein Begleiter durch das Studium. Bearbeitet von Karlheinz Spindler

Die wichtigsten Lehrbücher bei HD. Höhere Mathematik. Ein Begleiter durch das Studium. Bearbeitet von Karlheinz Spindler Die wictigsten Lerbücer bei HD Höere Matematik Ein Begleiter durc das Studium Bearbeitet von Karleinz Spindler Nacdruck 2010. Buc. 893 S. Hardcover ISBN 978 3 8171 1872 4 Format (B x L): 22 x 28,5 cm Weitere

Mehr

Vitamine auf Weltreise

Vitamine auf Weltreise Konzipiert vom Förderverein NaturGut Opoven Vitamine auf Weltreise Zielgruppe: Klasse 2-3 Fac: Dauer: Sacunterrict 90 Minuten Temenbereic: Zusammenang Ernärung und Klimawandel 20 % der Kinder sind zu dick,

Mehr

Zusammenfassung - Mathematik

Zusammenfassung - Mathematik Mathematik Seite 1 Zusammenfassung - Mathematik 09 October 2014 08:29 Version: 1.0.0 Studium: 1. Semester, Bachelor in Wirtschaftsinformatik Schule: Hochschule Luzern - Wirtschaft Author: Janik von Rotz

Mehr

Sterbetafeln für die Schweiz 1998/2003

Sterbetafeln für die Schweiz 1998/2003 Sterbetafeln für die Scweiz 1998/2003 Neucâtel, 2005 Die vom Bundesamt für Statistik (BFS) erausgegebene Reie «Statistik der Scweiz» gliedert sic in folgende Facbereice: 0 Statistisce Grundlagen und Übersicten

Mehr

Die Näherung durch die Sekante durch die Punkte A und C ist schlechter, da der Punkt C weiter von A entfernt liegt.

Die Näherung durch die Sekante durch die Punkte A und C ist schlechter, da der Punkt C weiter von A entfernt liegt. LÖSUNGEN TEIL 1 Arbeitszeit: 50 min Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung. Begründen Sie, warum die Steigung der Sekante durch die Punkte A(0 2) und C(3 11) eine weniger gute Näherung für die Tangentensteigung

Mehr

Informationen zur Kennzahlenanalyse und Unternehmensbewertung

Informationen zur Kennzahlenanalyse und Unternehmensbewertung Informationen zur Kennzalenanalyse und Unternemensbewertung Liquidität Kennzal Formel Sollwert Kommentar Cas Ratio (Liquiditätsgrad 1) ü 20-30% Widerspiegelt die Bezieung zwiscen Flüssigen Mitteln (inkl

Mehr

Medienmitteilung Rothenburg, 26. April 2013

Medienmitteilung Rothenburg, 26. April 2013 Pistor AG Medienmitteilung Rotenburg, 26. April 2013 Gescäftsjar 2012 Ausblick 2013 Pistor mit gutem Ergebnis Die Pistor ist gut unterwegs. Im Jar 2012 wurde mit dem Bau des neuen Tiefkülcenters erneut

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Schaubilderanalyse. Arbeiten mit Schaubildern von Funktionen. Funktionsgleichungen aufstellen - identifizieren uva.

Schaubilderanalyse. Arbeiten mit Schaubildern von Funktionen. Funktionsgleichungen aufstellen - identifizieren uva. Dieser Text ist noch in Arbeit. Jetzt also nur zur Vorinformation! Schaubilderanalyse Arbeiten mit Schaubildern von Funktionen Abitur-Vorbereitung Funktionsgleichungen aufstellen - identifizieren uva.

Mehr

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten

Mehr

Technische Mathematik

Technische Mathematik Lehrplan Technische Mathematik Fachschule für Technik Fachrichtungsbezogener Lernbereich Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft Hohenzollernstraße 60, 66117 Saarbrücken Postfach 10 24 52, 66024

Mehr

20 REAKTIONSKINETIK 2: ARRHENIUS-GLEICHUNG UND THEORIE DES ÜBERGANGSZUSTANDS

20 REAKTIONSKINETIK 2: ARRHENIUS-GLEICHUNG UND THEORIE DES ÜBERGANGSZUSTANDS -- 0 REKIONSKINEIK : RRHENIUS-GLEICHUNG UND HEORIE DES ÜERGNGSZUSNDS 0. Die rrenius-gleicung Die rrenius-gleicung bescreibt, wie Gescwindigeitsonstanten von der eperatur abängen. rrenius selbst atte 889

Mehr

Nenne verschiedene Energieformen. Nenne zu einem Beispiel aus deiner Umgebung, welche Energieformen ineinander umgewandelt werden.

Nenne verschiedene Energieformen. Nenne zu einem Beispiel aus deiner Umgebung, welche Energieformen ineinander umgewandelt werden. Grundwissenskatalog zu Pysik 8.Jargangsstufe, Seite von 5 Carl-Friedric Gauß Gymnasium Scwandorf Stand: Sept. 0 Wissen Können Beispiele, Ergänzungen Energie Energie kann in versciedenen Formen vorkommen.

Mehr

Studienordnung für den Integrativen Bachelorstudiengang Linguistik an der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf vom TT.MM.JJJJ

Studienordnung für den Integrativen Bachelorstudiengang Linguistik an der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf vom TT.MM.JJJJ Studienordnung Integrativer Bacelorstudiengang "Linguistik", Modulbescreibungen 1 Studienordnung für den Integrativen Bacelorstudiengang Linguistik an der Heinric-Heine-Universität Düsseldorf vom TT.MM.JJJJ

Mehr

Becker I Brucker. Erfolg in Mathe 2015. Realschulabschluss Baden-Württemberg Wahlteil. Übungsbuch mit Tipps und Lösungen

Becker I Brucker. Erfolg in Mathe 2015. Realschulabschluss Baden-Württemberg Wahlteil. Übungsbuch mit Tipps und Lösungen Becker I Brucker Erfolg in Mathe 2015 Realschulabschluss Baden-Württemberg Wahlteil Übungsbuch mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Aufgaben 5 1 Algebra.......................................

Mehr

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)

Mehr

Über die Diskretisierung und Regularisierung schlecht gestellter Probleme

Über die Diskretisierung und Regularisierung schlecht gestellter Probleme Über die Diskretisierung und Regularisierung sclect gestellter Probleme von Dipl. Mat. Robert Plato Vom Facbereic Matematik der Tecniscen Universität Berlin genemigte Dissertation zur Erlangung des akademiscen

Mehr

Auszug aus den Tabellen und Formeln der DIN EN ISO 6946

Auszug aus den Tabellen und Formeln der DIN EN ISO 6946 Institut ür Bupysik und Mterilwissensct Univ.-Pro. Dr. Mx J. Seite von 9 nc Kosler, W.: Mnuskript zur E DIN 408-3:998-0, NA Buwesen (NABu) im DIN - Deutsces Institut ür Normung vom 28.0.998 Hinweise: DIN

Mehr

Institut für Volkswirtschaftslehre Christian-Albrechts-Universität zu Kiel. One Money, One Market

Institut für Volkswirtschaftslehre Christian-Albrechts-Universität zu Kiel. One Money, One Market Institut ür Volkswirtscatslere Cristian-Albrects-Universität zu Kiel One Money, One Market von Ola Bartram * 15.05.2002 ür: Seminar in Realer Außenwirtscat Sommersemester 2002 Übersict: Die Arbeit untersuct

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

Approximation durch Taylorpolynome

Approximation durch Taylorpolynome TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni

Mehr

Unterlagen für die Lehrkraft

Unterlagen für die Lehrkraft Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 01/01 Mathematik. Juni 01 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft 1. Aufgabe: Differentialrechnung

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

3.2009. Zeitschrift für Recht, Steuern und Wirtschaft. www.betriebs-berater.de. Verlag Recht und Wirtschaft // BILANZRECHT & BETRIEBSWIRTSCHAFT

3.2009. Zeitschrift für Recht, Steuern und Wirtschaft. www.betriebs-berater.de. Verlag Recht und Wirtschaft // BILANZRECHT & BETRIEBSWIRTSCHAFT Zeitscrift für Rect, Steuern und Wirtscaft 3.2009 64. Jargang // 12.1.2009 // Seiten 57-112 www.betriebs-berater.de // WIRTSCHAFTSRECHT Prof. Dr. Stefan Leible und Prof. Dr. Jocen Hoffmann Cartesio fortgeltende

Mehr

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung),

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung), Extremwertaufgaben x. Ein Landwirt will an einer Mauer einen rechteckigen Hühnerhof mit Maschendraht abgrenzen. 0 Meter Maschendraht stehen zur Verfügung. Wie groß müssen die Rechteckseiten gewählt werden,

Mehr

Energieformeln. Mechanische Energieformen (Kurzüberblick) Energie. Energieformen (auch nicht-mechanische) Energieumwandlung

Energieformeln. Mechanische Energieformen (Kurzüberblick) Energie. Energieformen (auch nicht-mechanische) Energieumwandlung Mecanice nergieforen (Kurzüberblick) nergie it augeprocen cwierig, den Begriff nergie in allgeeiner For zu erklären. Tatäclic it e ein Kuntbegriff, den ic die Pyiker augedact aben, u ein Syte in die unübercaubare

Mehr

Schulinternes Curriculum. Mathematik

Schulinternes Curriculum. Mathematik Gymnasium Zitadelle Schulinternes Curriculum (G 8) Stand: Schuljahr 2012/13 Gymnasium Zitadelle Schulinternes Curriculum Seite 1 EF Eingeführtes Lehrbuch: Lambacher Schweizer 10 Einführungsphase Funktionen

Mehr

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1 B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,

Mehr

Arbeit - Energie - Reibung

Arbeit - Energie - Reibung Arbeit - nergie - eibung Die ncfolgenden Aufgben und Definitionen sind ein erster instieg in dieses Tem. Hier wird unterscieden zwiscen den Begriffen Arbeit und nergie. Verwendete ormelzeicen sind in der

Mehr

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10 Kern- und Schulcurriculum Mathematik /10 Stand Schuljahr 2009/10 Fett und kursiv dargestellte Einheiten gehören zum Schulcurriculum In allen Übungseinheiten kommt die Leitidee Vernetzung zum Tragen - Hilfsmittel

Mehr

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x =

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x = WERRATALSCHULE HERINGEN KOMPENSATION MATHEMATIK JG. 11 1 Lineare Gleichungen Das Lösen linearer Gleichungen ist eine wichtige Rechenfertigkeit, die immer wieder gefordert wird und für den Mathematikunterricht

Mehr

Lösungen E: Gutenberg-Produktionsmodell

Lösungen E: Gutenberg-Produktionsmodell Craskrs Aktiitätsanalyse nd Kostenbeertng SS 00.ni-nacilfe.de Lösngen E: Gtenberg-Prodktionsmodell E.a) As den gegebenen Daten kann direkt die kostenfnktion übernommen erden: k a+ a + a33 ( 0, ² +,9) +

Mehr

Quadratische Funktionen (Parabeln)

Quadratische Funktionen (Parabeln) Quadratische Funktionen (Parabeln) Aufgabe: Gegeben ist die quadratische Funktion = () x. Berechne mit Hilfe einer Wertetabelle die Funktionswerte von bis + im Abstand 0,. Zeichne anschließend die Punkte

Mehr

2.6. Lineare Funktionen

2.6. Lineare Funktionen Gleichungen, Gleichungssysteme.6. Lineare Funktionen (a) Definition Schon in einem vorangegangen Abschnitt wurde vom Zusammenhang zwischen zwei Größen gesprochen, wobei die Abhängigkeit der Größen in Form

Mehr

IDENTIFIKATION DER AEROELASTISCHEN EIGENSCHAFTEN DES MOTORSEGLERS STEMME S15 AN HAND VON FLUGVERSUCHDATEN

IDENTIFIKATION DER AEROELASTISCHEN EIGENSCHAFTEN DES MOTORSEGLERS STEMME S15 AN HAND VON FLUGVERSUCHDATEN Deutscer Luft- und Raumfartkongress 013 DocumentID: 30147 IDENTIFIKATION DER AEROELASTISCHEN EIGENSCHAFTEN DES MOTORSEGLERS STEMME S15 AN HAND VON FLUGVERSUCHDATEN Alexander Köte Tecnisce Universität Berlin,

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Lösung zur Übung 3. Aufgabe 9)

Lösung zur Übung 3. Aufgabe 9) Lösung zur Übung 3 Aufgabe 9) Lissajous-Figuren sind Graphen in einem kartesischen Koordinatensystem, bei denen auf der Abszisse und auf der Ordinate jeweils Funktionswerte von z.b. Sinusfunktionen aufgetragen

Mehr

Die Bauteile 1,2,3 sind gelenkig miteinander verbunden, in A und B gelagert und durch das Gewicht G 1 der Scheibe 1 belastet.

Die Bauteile 1,2,3 sind gelenkig miteinander verbunden, in A und B gelagert und durch das Gewicht G 1 der Scheibe 1 belastet. Aufgabe S1 F10 Die auteile 1,2,3 sind gelenkig miteinander verbunden, in A und gelagert und durc das Gewict G 1 der Sceibe 1 belastet. Annamen: Die Gelenke seien reibungsfrei. Das Material der Sceibe 1

Mehr

UML: Einführung. Vorlesung Modellierung Modellierungsmethoden der Informatik. Wintersemester 2011/12. UML und Objekt-Orientierung

UML: Einführung. Vorlesung Modellierung Modellierungsmethoden der Informatik. Wintersemester 2011/12. UML und Objekt-Orientierung UML: Einfürung Vorlesung Modellierung Modellierungsmetoden der Informatik Wintersemester 2011/12 Prof. Barbara König Übungsleitung: Dr. Sander Bruggink UML = Unified Modeling Language Standard-Modellierungssprace

Mehr

Feng Shui. mehr Harmonie am Arbeitsplatz. Counterlife

Feng Shui. mehr Harmonie am Arbeitsplatz. Counterlife Counterlife STORY OF THE MONTH TEXT ALEXANDRA CHRISTEN BILDER ALEXANDRA CHRISTEN / ZVG WEBCODE 7106 An der Dorfstrasse 16 im zugeriscen Baar stet ein kleines Inselparadies. Mit einem Ceck-In- Scalter,

Mehr

Arbeit = Kraft Weg. Formelzeichen: W Einheit: 1 N 1 m = 1 Nm = 1 J Joule ( dschul ) Beispiel: Flaschenzug. F zeigt.

Arbeit = Kraft Weg. Formelzeichen: W Einheit: 1 N 1 m = 1 Nm = 1 J Joule ( dschul ) Beispiel: Flaschenzug. F zeigt. Kraftwandler Die Energie al Eraltunggröße Ein Kraftwandler it eine mecanice Anordnung, die eine Kraft wirken lät, welce größer it al die Kraft, die aufgewendet wird (oder umgekert). Beipiel: lacenzug Aufgewendete

Mehr

Lösungen zu delta 11. Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7

Lösungen zu delta 11. Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7 Lösungen zu delta Fit für die Oberstufe Lösungen zu den Seiten 6 und 7. a) 4 = ; 9 = 4; = 6 X G; L = { 6} b) ( 4) + 8 = ( + 4); 8 + 8 = 4; + 0 = ; 4 = ; = =, X G; L = {,} 4 c) + 7 = 0; + 7 = 0; = 7 G;

Mehr

Formelsammlung zur Kreisgleichung

Formelsammlung zur Kreisgleichung zur Kreisgleichung Julia Wolters 6. Oktober 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Kreisgleichung 2 1.1 Berechnung des Mittelpunktes und Radius am Beispiel..... 3 2 Kreis und Gerade 4 2.1 Sekanten, Tangenten,

Mehr

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Weitere Aufgaben Mathematik (BLF, Abitur) Hinweise und Beispiele zu hilfsmittelfreien Aufgaben

Weitere Aufgaben Mathematik (BLF, Abitur) Hinweise und Beispiele zu hilfsmittelfreien Aufgaben Weitere Aufgaben Mathematik (BLF, Abitur) Hinweise und Beispiele zu hilfsmittelfreien Aufgaben Aufgabe C Gegeben ist eine Funktion f durch f ( ) = + 3. Gesucht sind lineare Funktionen, deren Graphen zum

Mehr

Zahlen, Technik und Produktion. Wirtschaftsingenieurwesen Elektrotechnik und Informationstechnik Bachelor

Zahlen, Technik und Produktion. Wirtschaftsingenieurwesen Elektrotechnik und Informationstechnik Bachelor Zalen, Tecnik und Produktion Wirtscaftsingenieurwesen Elektrotecnik und Informationstecnik Bacelor Inaltsverzeicnis Bescreibung des Faces... 3 Studienvoraussetzungen... 4 Empfolene Fäigkeiten... 4 Tätigkeitsfelder

Mehr

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl

Mehr

Aufgabe T1: Eine Druckgasflasche (V=50l) sei gefüllt mit Stickstoff unter einem Druck von 300 bar.

Aufgabe T1: Eine Druckgasflasche (V=50l) sei gefüllt mit Stickstoff unter einem Druck von 300 bar. ysikkurs i Raen des Forbildungslerganges Indusrieeiser Facricung arazeuik anuar 008 Lösungen Wärelere Aufgabe : Eine Drucasflasce (V50l) sei gefüll i icksoff uner eine Druck von 00 bar. ϑ a) Wieviel ol

Mehr

Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft

Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Berufsbildende Schule 11 der Region Hannover Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Das folgende Material soll Ihnen helfen sich einen Überblick

Mehr

Abiturprüfung 2008. Mathematik, Grundkurs

Abiturprüfung 2008. Mathematik, Grundkurs M GK HT 3 Seite 1 von Name: Abiturprüfung 008 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung: Gegeben ist die Funktion f mit x f( x) = ( x+ 1) e, x IR. Der Graph von f ist in der nebenstehenden Abbildung dargestellt.

Mehr

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal

Mehr

ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT

ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT ÜBERBLICK ÜBER DAS KURS-ANGEBOT Alle aufgeführten Kurse sind 100 % kostenfrei und können unter http://www.unterricht.de abgerufen werden. ANALYSIS / INFINITESIMALRECHNUNG Nullstellen * Nullstellen einer

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2013/2014

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2013/2014 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 0/04 Fach (A) Prüfungstag 9. Mai 04 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise

Mehr

Frau Lembke. Bisphenol A. Pfui Teufel: Eigenhufe & Brouët

Frau Lembke. Bisphenol A. Pfui Teufel: Eigenhufe & Brouët Fra Lembke Pfi Tefel: Bispenol A Eigenfe & Broët r g Die andelnden Personen ir #1 Fra Lembke ª #3 Der nee glaborant #5 Unsere Umwelt #2 Professor Stabmantel #4 Bispenol A #6 Elvira Lembke T 2 Im Hasflr:

Mehr

ETS-4308 I. Programmierhandbuch zum Elektronischen Telefon-System

ETS-4308 I. Programmierhandbuch zum Elektronischen Telefon-System ETS-4308 I Programmieranduc zum Elektroniscen Telefon-System Lieferumfang 1 Grundgerät ETS-4308 I 1 Erweiterungsmodul S 0 E-4308 (walweise als 1. int. S 0 -Port oder 2. ext. S 0 -Port steckar) 2 ISDN-Ansclusskael,

Mehr

Aufgaben zu den Newtonsche Gesetzen

Aufgaben zu den Newtonsche Gesetzen Aufgaben zu den ewtonce Geetzen. Zwei Maen von = 8 und = ängen an den Enden eine Seil, da über eine fete Rolle it vernacläigbarer Mae gefürt it. a) Wie groß it die Becleunigung de al reibungfrei angenoenen

Mehr

Zentralabitur Nordrhein-Westfalen Beispiele zum Einsatz eines graphikfähigen Taschenrechners. H einz Klaus Strick

Zentralabitur Nordrhein-Westfalen Beispiele zum Einsatz eines graphikfähigen Taschenrechners. H einz Klaus Strick Zentralabitur Nordrhein-Westfalen Beispiele zum Einsatz eines graphikfähigen Taschenrechners H einz Klaus Strick Vorwort Hinweise zum Einsatz eines graphikfähigen Taschenrechners (GTR) in der schriftlichen

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung Dr. Heidemarie Borgwadt Differentialrechnung Springer Fachmedien Wiesbaden 1994 Ursprünglich erschienen bei Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden 1994. Lektorat: Annegret Dorn

Mehr

Australien & Hong Kong 2014

Australien & Hong Kong 2014 Australien & Hong Kong 2014 für Dacverband österreiciscer Vereinigung Angebot vom 0.11.2013 Kunden-Nr.: 2744606 Reisezeit: Ir Ansprecpartner: Fax: 030-27594109 Reinardtstr. 15 10117 Berlin Öffnungszeiten:

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Schulcurriculum des Faches Mathematik. für die Klassenstufen 5 10

Schulcurriculum des Faches Mathematik. für die Klassenstufen 5 10 Schulcurriculum des Faches Mathematik für die Klassenstufen 5 10 Mathematik - Klasse 5 Ganze Zahlen Potenzen und Zweiersystem /das unendlich Große in der Mathematik Messen und Rechnen mit Größen Messungen

Mehr