Differenzialrechnung Skript für den Brückenkurs zum Studiengang Holztechnik

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1 Differenzialrecnung Skript für den Brückenkurs zum Studiengang Holztecnik Joannes Creutziger Hocscule für nacaltige Entwicklung Eberswalde (FH) Facbereic Holztecnik Version 0.2, ; kleine Korrekturen am Zusammenfassung Dieses Skript ist als Unterlage für den Brückenkurs im Studiengang Holztecnik an der Hocscule für nacaltige Entwicklung Eberswalde (FH) vorgeseen. Inalt Verwendete Symbole und Bezeicnungen 2 1 Einfürung Vorausgesetzte Kenntnisse und Kompetenzen Die Ableitung einer Funktion Anscaulice Einfürung des Begriffs Ableitung Ein Beispiel zur direkten Berecnung der Ableitung Die Berecnung von Ableitungen Die Ableitungen einiger wictiger Funktionen Ableitungen von zusammengesetzten Funktionen Konstanter Faktor Summen- und Differenzregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Merfaces Anwenden der Regeln für eine Funktion Hinweise zum Wegfall von Konstanten

2 1 EINFÜHRUNG 2 4 Screibweise von Ableitungen mit Differenzialen Ableitungen in pysikaliscen und tecniscen Zusammenängen Die Kettenregel, ausgedrückt durc Differenziale Höere Ableitungen 20 Verwendete Symbole und Bezeicnungen Symbol Verwendung R [a, b] [a; b] Menge der reellen Zalen Absclossenes Intervall von a bis b Anmerkungen Absclossenes Intervall Semikolon, um Verwecslung (wie voriges) mit Dezimalkomma zu vermeiden ] a, b[ Offenes Intervall auc mit Semikolon von a bis b statt Komma möglic ] a, b] Halboffenes Intervall auc mit Semikolon [a,b[ von a bis b statt Komma möglic (a, b) Paar reeller Zalen mit Semikolon oder (a; b) (oder anderer Objekte) Komma möglic minus unendlic ist keine reelle Zal unendlic oder ist keine reelle Zal; + plus enendlic + bedeutet dasselbe wie Tabelle 1: Symbole und Bezeicnungen Griecisce Bucstaben In Tabelle 2 sind im wesentlicen nur die grieciscen Bucstaben aufgefürt, die im Skript vorkommen. Von den ier aufgefürten grieciscen Bucstaben wird nur π weitgeend eineitlic für das Verältnis von Kreisumfang zu Kreisdurcmesser verwendet 1 Einfürung 1.1 Vorausgesetzte Kenntnisse und Kompetenzen Vorausgesetzte Begriffe: Zalenbereice, insbesondere reelle Zalen, Wurzeln, Potenzen, Funktionen (Definitionsbereic, Wertebereic, inverse Funktionen,

3 1 EINFÜHRUNG 3 Zeicen Name α alpa Winkel β beta Winkel γ gamma Winkel δ delta Winkel Anmerkungen, Beispiele für die Verwendung epsilon Relation ist Element von in der Mengenlere π pi Verältnis von Kreisumfang zu Kreisdurcmesser ϕ pi Winkel ω omega Kreisfrequenz Tabelle 2: Griecisce Bucstaben Hintereinanderausfürung von Funktionen), Umformen von Termen und Ausdrücken. Fäigkeiten im Umgang mit kartesiscen Koordinaten, elementare Geometrie (Kreis, rectwinkliges Dreieck und Änlices). Feler im Skript Sicer sind in dem Skript Feler entalten. Für Hinweise auf Feler und Verbesserungsmöglickeiten bin ic dankbar. Tecnisce Hinweise Dieses Skript liegt als Datei im pdf-format vor. Es wird aus einem LATEX- Quelltext unter Verwendung mererer Programme erzeugt. Dabei werden auc die Bilder aus im Quelltext entaltenen Bescreibungen erzeugt (zunäcst als eps-dateien) und in das pdf-dokument eingesetzt. Die bei der Betractung am Bildscirm dunkelblau dargestellten Teile sind Links inneralb des Dokuments. Bitte teilen Sie mir tecnisce Probleme oder Wünsce (zum Beispiel nac anderer Scriftgröße, anderen Seitenrändern oder änlicem) mit. Eberswalde, den 15. Januar 2013 Joannes Creutziger

4 2 DIE ABLEITUNG EINER FUNKTION 4 2 Die Ableitung einer Funktion Es get ier um die Differenzialrecnung von normalen Funktionen, also um reellwertige Funktionen einer reellen Variablen. Der Definitionsbereic dieser Funktionen ist die Menge R der reellen Zalen oder ein wesentlicer zusammenängender Teil davon, zum Beispiel ein Intervall oder die Menge aller positiven reellen Zalen. Der Wertebereic solcer Funktionen bestet auc aus reellen Zalen. Funktionen mererer Variabler werden ier nict betractet. Der zentrale Begriff der Differenzialrecnung ist die Ableitung (oder Differenzialquotient). 2.1 Anscaulice Einfürung des Begriffs Ableitung Die Funktionen, um die es ier get, können in einem kartesiscen Koordinatensystem grafisc durc eine Kurve dargestellt werden. Die Differenzialrecnung untersuct das lokale Veralten solcer Funktionen. Die Ableitung ist zunäcst eine Eigenscaft einer Stelle (eines bestimmten x-wertes) im Definitionsbereic der Funktion. DieAbleitungeinerFunktion f aneinempunkt x 0 iniremdefinitionsbereic gibt an, wie steil ansteigend oder fallend der Grap an der Stelle x 0 ist. Diese Steileit (auc Anstieg genannt) wird wieder durc eine Zal ausgedrückt, eben die Ableitung von f an der Stelle x 0, symbolisc dargestellt durc f (x 0 ). In Bild 1 ist die üblice Deutung dieses Begriffes Anstieg veranscaulict. Hier ist ein Stück vom Grapen der Funktion f(x) dargestellt, mit einer ervorgeobenen Stelle x 0 ausdem Definitionsbereic unddem zugeörigen y 0 ausdem Wertebereic. Das eißt, es ist y 0 = f(x 0 ). Der Punkt mit den Koordinaten (x 0 ;y 0 ) liegt auf dem Grapen und ist dort mit einem kleinen Kreis gekennzeicnet. An dieser Stelle soll der der Anstieg der Funktion dargestellt werden. Da der Anstieg einer Geraden leicter dargestellt und berecnet werden kann, wird an dieser Stelle (x 0 ;y 0 ) des Funktionsgrapen eine Gerade angelegt, die den Grapen dort berürt. Eine solce berürende Gerade nennt man Tangente. Ersatzweise wird also der Anstieg der Funktion an einem Punkt durc den Anstieg der berürenden Gerade ersetzt. Den Anstieg der Geraden wiederum kann man durc das Verältnis y x darstellen. Dabei ist y der Höengewinn der Tangente, wenn die unabängige Variable x um x vergrößert wird. Im Bild ist das Verältnis y etwa 2. Dieser Anstieg wird dann als Anstieg der Funktion f(x) an x der Stelle x 0, also als f (x 0 ) genommen. Alternativ könnte man auc den Winkel ϕ als Maß für den Anstieg der Geraden nemen (Winkel der Tangente zur positiven x-acse). Die zwei Arten der Anstiegsmessung ängen über den Tangens bezieungsweise Arkustangens zusammen: tanϕ= y x ( ) y arctan = ϕ x

5 2 DIE ABLEITUNG EINER FUNKTION 5 y 3 2 y 0 1 f(x) ϕ x y x 0 2 x Bild 1: Veranscaulicung der Ableitung Das üblice Art, den Anstieg auszudrücken, ist das Verältnis y. Das rectwinklige Dreieck, das dieses Verältnis veranscaulict, wird auc Steigungsdrei- x eck (oder Anstiegsdreieck) genannt. Zusammengefasst kann man sagen: Die Ableitung einer Funktion f(x) an einer Stelle x 0 aus irem Definitionsbereic ist der Anstieg der Tangente an den Grapen der Funktion f(x) an der Stelle x 0. Der Anstieg einer Tangente wiederum ist das Verältnis y x im Steigungsdreieck. Einige Anmerkungen Eine Funktion at typiscerweise an versciedenen Stellen des Definitionsbereics untersciedlice Anstiege. Der Anstieg ängt also (mit den Bezeicungen dieses Abscnitts) von x 0 ab. EineGeradeatdagegenüberalldenselbenAnstieg.Esistalsoegal,anwelcer Stelle einer Geraden man das Steigungsdreieck betractet, und es ist auc egal, wie groß dieses Dreieck ist. Das Verältnis y x ändert sic nict, wenn man ein anderes Steigungssdreieck an der selben Geraden betractet. Den Anstieg einer fallenden Funktionen stellt man durc negative Zalen dar. Das Verältnis y x ist bei einer fallenden Funktion negativ ( y ist

6 2 DIE ABLEITUNG EINER FUNKTION 6 negativ, bei positivem x). Die Tangente ist eine Gerade, die man als Grap einer linearen Funktion darstellen kann. Eine lineare Funktion g lässt sic bekanntlic in der Form g(x) = mx+n darstellen. Dabei ist m = y ; der Faktor vor dem x in der x Funktionsgleicung der linearen Funktion ist also der Anstieg. Von einer lineare Funktion kann man natürlic auc die Ableitung berecnen. Da der Grap einer linearen Funktion eine Gerade ist, und eine Tangente an eine Gerade eben diese Gerade ist (überall die selbe), at eine lineare Funktion überall die selbe Ableitung und zwar überall iren Anstieg. Wenn g(x)=mx+n die Formel der linearen Funktion ist, at g überall die Ableitung m. Eine Funktion muss nict überall eine Tangente aben. An Punkte, in denen der Grap einen Knick oder einen Sprung at, existiert keine Tangente. Dann kann man auc nict auf vernünftige Art erklären, was man unter Anstieg versteen will. Bei typiscen Funktionen kann man an jeder Stelle eine Tangente anlegen und damit überall einen Anstieg, zumindest prinzipiell, erklären. Das eißt, man kann jedem x aus dem Definitionsbereic der Funktion f einen Anstieg an dieser Stelle zuordnen, bezeicnet mit f (x). Das eißt, die Ableitung ist selbst wieder eine Funktion f, nämlic die Zuordnungsvorscrift, die der Zal x diezal f (x)(anstiegvon f anderstelle x)zuordnet.einefunktion in der Matematik ist nicts anderes als eine Zuordnungsvorscrift. Alle bis ierer vorgebracten Erklärungen geben noc keine exakte Definition des Begriffs Ableitung, und sie geben auc noc keine effektive(praktisc nutzbare) Metode zur Berecnung. Das Problem ist, dass man dazu genau sagen müsste, was man unter der Tangente verstet, und dazu müsste man noc sagen, wie man diese Tangente (oder zumindest iren Anstieg) berecnen kann. Das Problem wird in der Differenzialrecnung mit einem Grenzübergang gelöst, wobei man vom Anstieg von Sekanten ausget. Der folgende Unterabscnitt 2.2 bringt dazu ein Beispiel. 2.2 Ein Beispiel zur direkten Berecnung der Ableitung In Bild 2 wird dargestellt, wie man die Ableitung näerungsweise berecnen kann, indem man den Anstieg einer Sekante des Grapen betractet. Die Ableitung soll an der Stelle x 0 betractet werden, der entsprecende Punkt auf dem Grapen der Funktion ist wieder durc einen kleinen Kreis gekennzeicnet. Zusätzlic betractet man die Stelle x 0 +, wobei eine kleine Zal ist (nae 0). Damit ist x 0 + in der Näe von x 0. Der Punkt mit den Koordinaten (x 0 +;f(x 0 +)) liegt auf dem Grapen der Kurve, ebenso wie der Punkt (x 0 ;f(x 0 )). Im Bild ist wieder ein Steigungsdreieck dargestellt, im Gegensatz zu Bild 1 ist die Hypotenuse des Dreiecks ier eine Sekante der Kurve, nict ein

7 2 DIE ABLEITUNG EINER FUNKTION 7 y f(x)=x 2 f(x 0 +) f(x 0 +) f(x 0 ) f(x 0 ) x 0 x 0 + x Bild 2: Annäerung der Ableitung durc eine Sekante Stück der Tangente. Die Sekante ist eine Gerade, die die Kurve an zwei Stellen scneidet. Die Daten der Steigungsdreiecks lassen sic effektiv berecnen, wenn die Funktion f, die Stelle x 0 und die kleine Zal bekannt sind. Die orizontale Katete at die Länge und die vertikale Katete die Länge f(x 0 +) f(x 0 ). Damit ist der Anstieg der Sekante (Tangens des Anstiegswinkels) f(x 0 +) f(x 0 ) (1) Dieser Ausdruck ist offenbar eine Annärung an den Anstieg der Tangente der Funktion im Punkt x 0. Die Annäerung (Anstieg der Sekante an den Anstieg der Tangente) wird besser, wenn kleiner wird, denn dann gibt die Sekante besser den lokalen Anstieg im Punkt x 0 wieder. Für ganz kleine sollte dann der mit Formel (1) berecnete Anstieg der Sekante genau gleic dem Anstieg der Tangente sein. Diese Formulierung ist natürlic nict matematisc exakt. Der exakte Weg erfordert weiter geende matematisce Grundlagen, insbesondere den Begriff Grenzwert. Einige Anmerkungen und Ergänzungen für die, die mer wissen wollen Man kann in Formel (1) nict =0 setzen, denn dann müsste man ja durc 0 dividieren.

8 2 DIE ABLEITUNG EINER FUNKTION 8 Die formale Definition der Ableitung einer Funktion f an der Stelle x 0 ist f (x 0 )=lim 0 f(x 0 +) f(x 0 ) (2) In Worten etwa so: Der Grenzwert des Anstiegs der Sekante (für gegen 0) ist die Ableitung der Funktion. Dabei bleibt der eine Punkt im Definitonsbereic (x 0 ) fest, die Sekante wird für x 0 und x 0 + gebildet. Beim Grenzwert für gegen 0 kann beliebig nae an Null erankommen, aber nie gleic 0 werden. In Bezug auf die vorangegangene Definition können die folgenden Fragen aufkommen: Ist der Grenzwert des Sekantenanstiegs wirklic der Anstieg der Tangente? und: Was gesciet, wenn der Grenzwert nict existiert? Die matematiscen Antworten sind: Die Tangente wird mit Hilfe der Ableitung definiert, das eißt, die Tangente am Funktionsgrapen von f in x 0 ist die Gerade, die durc den Punkt(x 0 ;f(x 0 )) get und den Anstieg f (x 0 ) at. Die Antwort auf die zweite Frage lautet: Wenn der Grenzwert nict existiert, dann gibt es keine Ableitung und damit keine Anstieg der Tangente, und daer gibt es dann eben keine Tangente. Wenn für eine Stelle x 0 aus dem Definitionsbereic einer Funktion f der Grenzwert des Sekantenanstiegs nict existiert, dann sagt man, die Funktion ist in x 0 nict differenzierbar. Der letzte Punkt mag vielleict verwunderlic ersceinen, aber es ist tatsäclic so, dass eine Funktion nict überall eine Ableitung aben muss. An solcen Stellen one Ableitung at sie dann auc keine Tangente. Der Begriff Tangente ersceint vielleict unmittelbar klar (im Gegensatz zu Ableitung), aber eine genauere Analyse zeigt, dass man bei allgemeinen Funktionsgrapen nict einfac one Benutzung der Differenzialrecnung sagen kann, was eine Tangente ist. Im Bild 3 ist der Grap der Betragsfunktion gezeigt, der an der Stelle 0 keine Tangente at. Ein volles formales Verständnis des Begrifs Ableitung setzt ein Versteen des Begriffs Grenzwert (oder Limes) voraus. Die folgende Recung sollte aber auc sonst verständlic sein. Es sei f(x)=x 2, x 0 =0,5 und sei zunäcstgleic 0,3. Diese Daten liegen dem Bild 2 zugrunde. Es get also um die näerungsweise Berecnung des Anstiegs der Tangenteander Funktion f(x)=x 2 ander Stelle x 0 =0,5 durc Recnungmit der Sekante an den Stellen 0,5 und 0,8. Dann ist f(x 0 +) f(x 0 ) = f(0,5+0,3) f(0,5) 0,3 = (0,5+0,3)2 0,5 2 0,3 = 0,64 0,25 0,3 =1,3 Der gesucte Tangentenanstieg ist also näerungsweise gleic 1,3. Die Recnung kann man auc mit einem variablen durcfüren. Man denke sic als eine kleine Zal (nae 0), die Funktion f und x 0 =0,5 seien unverändert. Im Bild 2 bedeutet das, dass die Kurve der Funktion f und die Stelle x 0

9 2 DIE ABLEITUNG EINER FUNKTION 9 2 y f(x)= x x Bild 3: Die Betragsfunktion (eine Funktion one Ableitung an der Stelle 0) unverändert bleiben, aber sic verändern kann. Der zweite Scnittpunkt der Sekante mit der Kurve kann sic verscieben, insbesondere kann er näer an den Punkt (x 0 ;f(x 0 )), ier also (0,5;0,25), eranrücken. f(x 0 +) f(x 0 ) = 0, ,5+ 2 0,5 2 = f(0,5+) f(0,5) = +2 =1+ = (0,5+)2 0,5 2 Man erält zunäcst wieder den Wert 1,3 als Anstieg der Sekante, wenn man =0,3 setzt. Wictiger ist, dass diese Recnung für beliebige 0 möglic ist. Auc one formales Verständnis der Grenzwertdefinition sollte klar sein, dass der ier gefundene Ausdruck für den Sekantenanstieg (nämlic 1 + ) gegen 1 konvergiert, wenn gegen 0 konvergiert. Zusammengefasst eißt das: die Ableitung von f(x)=x 2 an der Stelle x 0 =0,5 ist 1. Symbolisc: f (0,5)=1. Der näcste Verallgemeinerungsscritt bestet nun darin, die Recnung nict nurfürvariables,sondernaucfüreinbeliebiges x 0 durczufüren(aberweiter für die selbe Funktion f(x)=x 2 ). Das ist gar nict viel scwieriger: f(x 0 +) f(x 0 ) = x2 0 +2x 0+ 2 x 2 0 = (x 0+) 2 x 2 0 = 2x 0+ 2 =2x 0 + Um die Ableitung der Funktion f(x)=x 2 an einer Stelle x 0 zu berecnen, ält man dieses x 0 fest und lässt gegen Null geen. Der zugeörige Sekantenanstieg ist, wie dieletzte Recnungzeigt, 2x 0 +. Wenn ier gegen Nullget, get der Sekantenanstieg offenbar gegen 2x 0. Dieser Grenzwert ist die Ableitung.

10 3 DIE BERECHNUNG VON ABLEITUNGEN 10 Zusammengefasst: Die Ableitung der Funktion f(x) = x 2 an der Stelle x 0 ist 2x 0, symbolisc f (x 0 )=2x 0. Wenn man diese Aussage für sic betractet, kann man statt x 0 auc einfac x screiben: f (x) = 2x. Betractet man diese Zuordnungsvorscrift: Für ein beliebiges reelles x ist die Ableitung f (x) gleic 2x, so siet man, dass f wieder eine Funktion ist, nämlic die Funktion, die x auf 2x abbildet. 3 Die Berecnung von Ableitungen Die Recnung im Unterabscnitt 2.2 ist nict auf beliebige Funktionen übertragbar, gegebenenfalls werden scwierigere matematisce Erkenntnisse gebrauct. Außerdem ist diese Recnung ein bisscen müsam, jedenfalls wenn man bedenkt, dass das Berecnen von Ableitungen in mancen matematiscen Anwendungsgebieten eine ziemlic alltäglice Aufgabe ist. Wünscenswert sind daer einfac andabbare Regeln zum Berecnen der Ableitungen von beliebigen gegebenen Funktionen. Solce Regeln gibt es. Sie besteen aus zwei Gruppen: Regeln für die Ableitungen von bestimmten wictigen Funktionen ( Grundfunktionen ), und Regeln für die Berecnung von Ableitungen für Funktionen, die aus den Grundfunktionen oder anderen einfaceren Funktionen zusammengesetzt sind. 3.1 Die Ableitungen einiger wictiger Funktionen Aus Tabelle 3 kann man zum Beispiel entnemen, dass für die Ableitung der Funktion f(x)=x 5 gilt: f (x)=5x 4. Die Funktion passtnämlic in das Scema x a. Daer muss man in der entsprecenden Zeile der Tabelle a=5 setzen. Die Regel für x a funktioniert auc für negative Konstanten a. Zum Beispiel kann man, wenn man die Ableitung von f(x)= 1 x 2 berecnen will, a= 2 setzen. Dann ist f(x)= 1 x 2 =x 2 =x a und damit f (x)= 2 x 3. Die selbe Regel ist auc auf die Funktion f(x) = x anwendbar (für x > 0). Denn ier ist mit a= 1 2 f(x)= x=x 1 2 =x a und daer f (x)=a x a 1 = 1 2 x 1 2 = x 1 2 = 1 2 Anmerkung: Die Funktion f(x)= x ist auc für x=0 definiert, die eben gefundene Formel für die Ableitung gilt aber nur für x > 0 (im Falle x =0 müsste man durc Null dividieren). In der Tat ist die Funktion f(x) = x an der Stelle x = 0 nict differenzierbar. 1 x 3.2 Ableitungen von zusammengesetzten Funktionen Aus einfacen Funktionen kann man durc die aritmetiscen Operationen und Verkettung von Funktionen neue Funktionen bilden. Hier get es um die Ablei-

11 3 DIE BERECHNUNG VON ABLEITUNGEN 11 f(x) f (x) Anmerkungen c 0 Die Ableitung einer Konstanten ist 0 c x c x a ax a 1 Gilt für ganzzalige (auc negative) a 0 Gilt auc für nictganzzalige a, wenn x>0 ist. sinx cosx cosx sinx tanx 1+(tanx) 2 = 1 (cosx) 2 ln x e x 1 x e x Gilt für x 0. Betragsstrice bei ln x sind nötig für x<0 a x (lna)a x a>0 arctan x 1 1+x 2 Tabelle 3: Ableitungen einiger wictiger Funktion tungen solcer zusammengesetzter Funktionen. Einface Arten der Zusammensetzung ist die Addition oder Multiplikation von zwei Funktionen. Es seien u(x) und v(x) zwei Funktionen. Dann wird die Funktion f, die durc die Formel f(x)=u(x)+v(x) definiert ist, Summe der Funktionen u und v genannt. Wenn die Funktionen u und v bekannte Ableitungen aben, kann die Ableitung von f leict ersclossen werden (siee folgenden Unterabscnitt). Bei genauer Betractung ist die Situation etwas komplexer. Zunäcst muss man prüfen, was die Definitonsbereice von u und v sind. Die Funktion f ist nur dort definiert, wo sowol u als auc v definiert sind (mengenteoretisc ausgedrückt: Der Definitionsbereic von f ist die Scnittmenge der Definitionsbereice von u und v).für xausdemdefinitionsbereic von f istdann f(x)definiertdurc f(x)=u(x)+v(x) Analog lassen sic Differenz, Produkt und Quotient von zwei Funktionen erklären Konstanter Faktor Die Funktion u sei gegeben, c sei eine beliebige (konstante)reelle Zal, undes sei f(x)= c u(x). Dann ist auc f überall dort differenzierbar, wo u differenzierbar

12 3 DIE BERECHNUNG VON ABLEITUNGEN 12 ist, und es gilt In Kurform screibt man f (x)=c u (x) (c u) =c u Beispiel Es sei u(x)=sinx und c=2. Die Funktion f sei definiert duc f(x)= c u(x)= csinx. Dann ist f (x)=c u (x)=ccosx=2cosx Das funktioniert genau so mit jedem anderen Wert der Konstante c. Die Regel Konstanter Faktor funktioniert natürlic auc mit einem konstanten Quotienten. Zum Beispiel ist die Ableitung von v(x)= sinx 3 gegeben durc v (x)= cosx 3 Das gilt ganz einfac desalb, weil man die Division durc eine Konstante auc als Produkt mit dem (dann ebenfalls konstanten) reziproken Wert 1 c screiben kann: sinx 3 = 1 3 sinx Jetztist 1 3 ein konstanterfaktor, daerkanndie Regel fürden konstantenfaktor beim Differenzieren angewendet werden. Ebenso ist jeder Audruck in einer Funktionsdefinition konstant, der nict von der unabängigen Variablen abängt. Es sei zum Beispiel 2a f(x)= sinx (3) π 2a Hier ist der Faktor konstant, daer gilt für die Ableitung dieser Funktion π f (x)= 2a π cosx Das gilt für jeden Wert der Konstante a. Die Situation ist anders, wenn a von der unabängigen Variable x abängt. Das müsste dann aber in der Definition der Funktion (3) klar ausgedrückt werden.

13 3 DIE BERECHNUNG VON ABLEITUNGEN Summen- und Differenzregel Die Funktionen u und v seien gegeben, die Ableitungen seien wie üblic mit u bezieungsweise v bezeicnet. Dann at die durc f(x) = u(x)+v(x) definierte Funktionen die Ableitung f (x)=u (x)+v (x) Das gilt für alle x, an denen u und v definiert sind und Ableitungen aben. Man kann die letzte Formel kurz so screiben: (u+v) =u +v In Worten etwa so: Die Ableitung dersumme von zweifunktionenist diesumme der Ableitungen der beiden Funktionen. Die Formel lässt sic auc auf mer als zwei Summanden übertragen. Für gegebene Funktionen u und v lässt sic auc die Differenz bilden, deren Ableitung ist die Differenz der Ableitungen von u und v: Beispiel 1 Es sei (u v) =u v u(x)=x 2 und v(x)=sinx und es seien f und g als Summe bezieungsweise Differenzen dieser Funktionen definiert: f(x)=u(x)+v(x)=x 2 +sinx und g(x)=u(x) v(x)=x 2 sinx Dann gilt (siee Tabelle 3) und f (x)=u (x)+v (x)=2x+cosx g (x)=u (x) v (x)=2x cosx Beispiel 2 Jetzt sei u(x)= x und v(x)= 1 x 1 Hier gibt es Einscränkungen beim Definitionsbereic. Die Funktion u ist nur für x 0 definiert, undnur für x>0 differenzierbar. Die Funktion v ist für x=1 nict definiert. Die Funktion f(x)=u(x)+v(x)= x+ 1 x 1 ist daer nur definiert und differenzierbar für x>0 und x 1. Für solce x gilt f (x)= x (x 1) 2 Siee Abscnitt 3.1. Die Begründung für die Ableitung von 1 x 1 folgt später.

14 3 DIE BERECHNUNG VON ABLEITUNGEN Produktregel Die Funktionen u und v seien gegeben. Dann at die durc f(x)=u(x) v(x) definierte Funktionen f die Ableitung f (x)=u (x) v(x)+u(x) v (x) Das gilt für alle x, an denen u und v definiert sind und Ableitungen aben (differenzierbar sind). Die Regel kann man kurz so screiben: (u v) =u v+u v Beispiel Es sei wieder und es sei Dann ist u(x)=x 2 und v(x)=sinx f(x)=u(x) v(x)=x 2 sinx f (x)=2x sinx+x 2 cosx Quotientenregel Die Funktionen u und v seien gegeben. Dann at die durc definierte Funktionen f die Ableitung f(x)= u(x) v(x) f (x)= u (x) v(x) v (x) u(x) (v(x)) 2 Das gilt für alle x, an denen u und v definiert sind und Ableitungen aben (differenzierbar sind) und v(x) 0 ist. Die Regel kann man kurz so screiben: ( u ) = u v v u v v 2 Beispiel Es sei wieder und es sei Dann ist u(x)=x 2 und v(x)=sinx f(x)= u(x) v(x) = x2 sinx f (x)= 2x sinx x2 cosx (sinx) 2

15 3 DIE BERECHNUNG VON ABLEITUNGEN Kettenregel Es seien wieder u und v gegeben, und f sei definiert mit der Formel f(x)=u(v(x)) Die Funktion f nennt man die Verkettung oder Hintereinanderausfürung von u und v: Für ein gegebenes x wird zuerst v(x) berecnet, das Ergebnis ist wieder eine Zal, und auf diese Zal wird u angewendet, das Ergebnis ist u(v(x)) ( u von v von x ). Diese Zuordnung x wird abgebildet auf u(v(x)) ist natürlic wieder eine Funktion, die ier mit f bezeicnet wird. In diesem Zusammenangnennt man u die äußereund v die innere Funktion. DieAbleitungvon uistdieäußereableitung,unddieableitungvonvistdieinnere Ableitung. Die Regel für die Ableitung der Funktion f(x) = u(v(x)) eißt Kettenregel, sie lautet f (x)=u (v(x)) v (x) Der Term u (v(x)) bedeutet: Man berecnet die Ableitung der äußeren Funktion (ier u) und setzt in diese Ableitung v(x) anstelle von x ein. Das Ergebnis der Verkettung ängt von der Reienfolge ab: u(v(x)) ist im allgemeinen etwas anderes als v(u(x)) Oft at man in Zusammenang mit der Verkettung nict die Aufgabe, eine verkettete Funktion aus zwei gegebenen Funktionen zu berecnen, sondern umgekert, eine gegebene Funktion als Verkettung von zwei einfacerern Funktionen zu erkennen. Das ist typisc bei der Anwendung der Kettenregel. Beispiel Es sei wieder u(x)=x 2 und v(x)=sinx. Sei f die Verkettung. Dann ist f(x)=u(v(x))=(sinx) 2 In Worten ausgedrückt, ergibt sic die Funktion f folgendermaßen: Für ein gegebenes x berecne man zunäcst sinx, von dieser Zal berecne man das Quadrat (das eißt, man wende die Funktion u an). Die Kettenregel liefert die Ableitung von f: f (x)=2 sinx cosx (4) Die äußere Funktion ist u(x) = x 2, deren Ableitung ist u (x) = 2x. In diesen AusdruckfürdieAbleitungsetztmandieinnereFunktion,alsosinx,für xeinund erält 2sinx. Diesen Term muss man mit der Ableitung der inneren Funktion, also mit der Ableitung von sin x, multiplizieren. Diese Ableitung ist cos x. Daraus erält man die Formel 4.

16 3 DIE BERECHNUNG VON ABLEITUNGEN Merfaces Anwenden der Regeln für eine Funktion Oft ist es nötig, zum Berecnen der Ableitung einer Funktion eine Regel merfac anzuwenden oder merere Regeln anzuwenden. Es seizumbeispiel die Funktion f(x)=(sin(2x)) 2 zu differenzieren. Man kann die Funktion als Verkettung von und u(x)=x 2 v(x) = sin(2x) anseen, denn es ist mit diesen Vereinbarungen f(x)=u(v(x)) Man kann also die Kettenregel anwenden. Als Teilaufgabe muss dazu die innere Ableitung, also die Ableitung von v(x) gefunden werden. Dazu brauct man wieder die Kettenregel, denn v(x) ist, für sic betractet, auc eine zusammengesetzte Funktion (Verkettung der Funktionen sin und Multiplikation mit 2 ). Insgesamt erält man als Ableitung von f f (x)=u (v(x)) v (x)=2 sin(2x) v (x)=2 sin(2x) cos(2x) 2=4 sin(2x) cos(2x) Hinweise zum Wegfall von Konstanten Konstante Summanden auf der obersten Ebene fallen beim Differenzieren weg: Die Ableitung von f(x)=u(x)+c ist f (x)=u (x) wenn c eine Konstante ist. Konstanten an anderen Stellen fallen typiscerweise nict weg: Die Ableitung von ist zum Beispiel f(x)=u(b x+c) f (x)=b u (b x+c) (für Konstanten b und c; das folgt aus der Kettenregel). Insbesondere ist für die Ableitung f(x)=u(x+c) f (x)=u (x+c) Der konstante Summand bleibt ier also eralten. Konstante Faktoren vor Funktionen bleiben auc eralten. Einige konkrete Beispiele:

17 4 SCHREIBWEISE VON ABLEITUNGEN MIT DIFFERENZIALEN 17 f(x) sinx+5 sin(x+5) 5 sinx f (x) cosx cos(x+5) 5 cosx sin(3 x+5) 3 cos(3 x+5) Tabelle 4: Ableitungen (Beispiele) 4 Screibweise von Ableitungen mit Differenzialen Anstelle der Screibweise f (x) für die Ableitung der Funktion f an der Stelle x wird auc eine Screibweise mit Differenzialen verwendet. Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x 0 kann in der Differenzialscreibweise so ausseen: df dx (x 0) oder d dx f(x 0) oder df(x) dx (5) x=x0 Der Brucstric in dieser Screibweise ist dabei nict als durc, sondern als nac zu lesen, also zum Beispiel d f nac d x.... Es andelt sic nict um eine Division. EbensoistdieKombinationdf keinemultiplikationvondund f,sondern eer zu seen als Differenzial f (man sprict aber nur d f ). Die recte Variante in (5) liest man etwa so: d f von x nac d x an der Stelle x gleic x null. Anstelle von f(x) kann auc ein Formelausdruck steen, der zur Berecnung von f(x) verwendet wird. Wenn also f(x)=x 2 +2x+3 ist, kann man screiben d dx ( x 2 +2x+3 ) =2x+2 Rects stet ier ein Ausdruck für die Ableitung der Funktion f. Dieser Ausdruck folgt aus den Ableitungsregeln, siee Abscnitt 3. In der Screibweise mit einem Stric für die Ableitung siet die selbe Aussage so aus: f(x)=x 2 +2x+3 f (x)=2x+2 In Zusammenang mit der Differenzialscreibweise wird oft ein spezielles Symbol für die abängige Variable verwendet. In allgemeinen Betractungen ist das äufig y. Man screibt dann zum Beispiel y= f(x)

18 4 SCHREIBWEISE VON ABLEITUNGEN MIT DIFFERENZIALEN 18 und für die Ableitung an der Stelle x 0 dy dx (6) x=x0 Das, was ier wie ein Bruc aussiet, kann man versteen als Grenzwert der Differenzenquotionten y x.wenn ximmerkleinerwird,wirdauc yimmerkleiner,unddasverältniskonvergiertgegeneinenfestenwert,derals dy dx bezeicnet wird. In diesem Sinne ist dy dx zwar kein Quotient (Ergebnis einer Division), aber immerin ein Grenzwert von Quotienten. Die Ableitung ist also ein Grenzwert von Differenzenquotienten und wird daer auc als Differenzialquotient bezeicnet. In der Screibweise (6)kann man den Zusatz an der Stelle x=x 0 weglassen, wenn es um Formelausdrücke für die Ableitung get. Dann ist dy dx gewissermaßen eine andere Screibweise für f (x). In einem Beispiel siet das so aus: Es ist y=x 2 +2x+3 und daer dy dx =2x Ableitungen in pysikaliscen und tecniscen Zusammenängen Die Größen, die in pysikaliscen und tecniscen Zusammenängen auftreten, aben oft bestimmte Maßeineiten, und sie werden meist mit bestimmten, mer oder weniger fest steenden Symbolen bezeicnet. Dabei wird oft eine Größe als abängig von einer (oder auc mereren) anderen Größe(n) geseen, das eißt, matematisc geseen gibt eine Funktion den Zusammenang an. Dabei wird oft kein spezielles Symbol für die Funktion verwendet, sondern einfac das Symbol für die abängige Größe verwendet. Zum Beispiel bescreibt die Formel s= a 2 t2 die Abängigkeit des Weges s von der Zeit t bei einer gleicmäßig bescleunigten Bewegung. Die Ableitung des Weges nac der Zeit ist die Gescwindigkeit v, und den Zusammenang screibt man so: v= ds dt =at Um die Abängigkeit von der Zeit symbolisc auszudrücken, screibt man auc s=s(t)= a 2 t2 und v=v(t)=at

19 4 SCHREIBWEISE VON ABLEITUNGEN MIT DIFFERENZIALEN 19 Die abängige Größen (ier s und v) werden genau so bezeicnet wie die Funktionen, die die Abängigkeit dieser Größen von der Zeit bescreiben. Die Maßeineit einer Größe, die durc Differenzieren berecnet wird, ist die Maßeineit der differenzierten Größe, dividiert durc die Maßeineit der unabängigen Variablen. Weil der Weg s die Maßeineit [m] (Meter) und die Zeit t die Maßeineit [s] (Sekunden) at, ist die Maßeineit der Gescwindigkeit [m/s] (Meter pro Sekunde). Die Maßeineit der Ableitung ist also so, als ob tatsäclic ein Bruc wäre. ds dt 4.2 Die Kettenregel, ausgedrückt durc Differenziale Die Kettenregel kann man besonders einleuctend screiben, wenn man Funktionen mit abängigen Variablen identifiziert und Differenziale verwendet. Sei zum Beispiel wieder u(x)=x 2 und v(x)=sinx Die Zusammenänge werden aber jetzt durc spezielle Variable ausgedrückt: z= y 2 und y=sinx Wir geen also davon aus,dassdie variablegröße y von der Variablen x abängt, gemäß der Regel y=sinx. Weiterin wird die Variable z als abängig von y betractet, gemäß z= y 2. Dann ist z= y 2 =(sinx) 2 und außerdem gilt für die Ableitungen in Differenzialscreibweise: dz dy =2y und dy dx =cosx Gesuct ist die Ableitung von z=(sinx) 2, also dz. Die Kettenregel in Differenzialform sagt: dx dz dx = dy dy dz dx Das siet wie eine Gleicung mit Brücen aus (es siet so aus, als ob man auf der recten Seite dy erauskürzen könnte, um die linke Seite zu eralten). Natürlic get es ier nict um rictige Brüce, aber immerin kann man sic die Formel so gut merken. Wendet man die Kettenregel in Differenzialform an und verwendet dabei die eben gewonnenen Ausdrücke für dz dy und dy dx, erält man dz dx =2y cosx=2sinx cosx

20 5 HÖHERE ABLEITUNGEN 20 Die recte Seite der letzten Gleicung erält man aus dem Ausdruck in der Mitte, indem man für y durc sinx ersetzt. Das kann man tun, denn es war vorausgesetzt, dass y von x abängt gemäß der Formel y=sinx. Die gefundene Ableitung stimmt natürlic mit dem scon in Abscnitt gefundenen Ausdruck überein, siee Formel 4. 5 Höere Ableitungen Die Ableitung einer Funktion ist (nict immer, aber in typiscen Fällen) wieder eine Funktion, von der man die Ableitung bilden kann. Die Ableitung einer Funktion f ist f, was wieder eine Funktion ist. Die Ableitung von f wirdmit f bezeicnet. Dasist aucwieder eine Funktion,sie wird als zweite Ableitung von f bezeicnet, oder als Ableitung zweiter Ordnung. Die zweite Ableitung von f ist also die Ableitung der Ableitung von f. Die Regeln zur Bildung der zweiten Ableitung sind genau die selben, die man auc bei der Bildung der (normalen) Ableitung anwendet. Es sei zum Beispiel f(x)=x 2 +sinx. Für die Ableitung dieser Funktion gilt: f (x)=2x+cosx Diese Funktion (f ) kann wieder differenziert werden, man erält die zweite Ableitung f. Für die ier gewälte Funktion f ist f (x)=2 sinx Analog kann man auc die dritte, vierte oder noc öere Ableitungen bilden; diese kann man mit f, f,...bezeicnen. Die Zal der Strice ist die Ordnung der Ableitung. Allerdings sollte man spätestens nac der vierten Ableitung zu der Bezeicnung f (n) fürdie n-teableitungübergeen. Eineocgestellte Zalin Klammern inter einem Funktionssymbol bezeicnet die Ableitung der entsprecenden Ordnung. So ist f (5) die fünfte Ableitung von f. Um die normale Ableitung spraclic klar von den öeren Ableitungen zu untersceiden, nennt man sie in diesem Zusammenang erste Ableitung. Die zweite Ableitung verwendet man zum Beispiel in der Kinematik (Bewegungslere). Wenn s(t) die Funktion ist, die den Ort eines Körpers als Funktion der Zeit bescreibt, ist s (t) die Gescwindigkeit des Körpers und s (t) seine Bescleunigung.

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