2. Unterrichtsvorhaben in der E-Phase Änderungsraten und Ableitung

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1 0 2. Unterrictsvoraben in der E-Pase Änderungsraten und Ableitung Jörn Meyer

2 1 Inaltsverzeicnis 1 Einfürung in die Differenzialrecnung Mittlere Änderungsraten Momentane Änderungsraten Ableitungsregeln und öere Ableitungen Kontrollaufgaben Lösungen... 23

3 2 1 Einfürung in die Differenzialrecnung Die Differenzialrecnung bescäftigt sic mit Änderungen bei funktionalen Verläufen. Die Begründer der Differenzialrecnung waren die beiden Matematiker Isaac Newton ( ) und Gottfried Wilelm Leibnitz ( ). Beide Matematiker aben unabängig voneinander eigenständige Formen der Differenzialrecnung gefunden. Wärend Newton stärker den pysikaliscen Zusammenang von Weg-Zeit-Funktion und Gescwindigkeits-Zeit- Funktion im Blick ielt, rictete Leibnitz seinen Fokus auf innermatematisce Betractung wie das sogenannte Tagentenproblem. Das Tangentenproblem stellt ein Grundproblem der Differenzialrecnung dar, bei dem die Steigung der Tangenten an einen Grapen einer Funktion f an einer bestimmte Stelle x 0 bestimmt werden soll (vgl. Abb. rects). Im Folgenden sind zwei Beispiele angegeben, die zum zentralen Begriff der Änderungsrate füren. Im innermatematiscen Bezug sprict man von Steigungen (Beispiel 1), bei zeitlicen Verläufen (Beispiel 1) von Gescwindigkeiten. Kannst Du einige der folgenden Fragen beantworten? 1. Beispiel: Steigung im Gelände Höenprofile 1 Höe f(x) (in m über NN) a) Welce Höe wird zwiscen den Punkten P2 und P3 zurückgelegt? b) Zwiscen welcen Punkten wird die größte Höe zurückgelegt? c) Wie groß ist der mittlere Anstieg zwiscen Bräcen und Scimmelau? d) Zwiscen welcen Wegpunkten befindet sic der größte Anstieg (das größte Gefälle)? e) An welcer Stelle ist das Gefälle (der Anstieg) am steilsten (stärksten)? 1 Abbildung stammt aus Matematik 11. Sculjar, Cornelsen, (2000)

4 3 2. Beispiel: 100m-Sprint Der Sport-Leistungskurs modelliert auf der Basis von Zwiscenzeiten den 100-m-Lauf eines Scülers mitilfe einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. Der Grap ist im Folgenden dargestellt. a) Welce Leistungsstärke at der 100m-Läufer? b) Wie groß ist die Durcscnittsgescwindigkeit für die gesamte Strecke? c) Wie groß ist die mittlere Gescwindigkeit zwiscen der 3. und 5. Sekunde? d) Welce Gescwindigkeit at der Läufer nac 4 Sekunden? e) Wann erreict der Läufer seine maximale Gescwindigkeit? Lösungen: 1a) 200 m 130 m = 70 m 1b) 210 m 305 m = -95 m 1c) m[p7;p8] 1e) Stärkstes Gefälle: kurz vor Stiefelagen, stärkster Anstieg kurz vor Kaltenbac [P3;P4] = = a) ca. 12 Sekunden (flott für einen Lk-Scüler) 2b) v[0;12] = 100 m = 12 s 81 m = 30 km 3 s 2c) v[3;5] = 20 m = 10 m = 36 km 2d) ca. 10 m 2 s s s 2e) Dort, wo der Grap am steilsten ist (nac 7 Sekunden)

5 4 2 Mittlere Änderungsraten Aufgabe 1 (Radtour oder Wanderung?) 2 Von Engelskircen aus möcte eine Gruppe von Scülern eine Farradtour macen. Jedoc at eine Scülerin Bedenken, ob sie nict zu oft an steilen Stellen absteigen und das Farrad scieben muss, da sie eine ungeübte Radfarerin ist. Sie würde daer lieber wandern. Ire Mitscüler planen nun eine Route, die irer Meinung nac trotzdem geeignet ist (siee Abb. rects). Auf dieser Route markieren sie markante Stellen wie Dörfer, Abzweigungen oder Hocpunkte und erstellen aus der topografiscen Karte ein ungefäres Höenprofil der Strecke (siee Abb. unten). Höe f(x) (in m über NN) a) Folgende Tabelle kann euc bei der Beantwortung der Aufgaben b) bis e) elfen. Fülle sie aus. P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 Entfernung x 0 vom Startpunkt P 1 Entfernung zwiscen zwei Nacbarpunkten Höe f(x 0) über NN Höenunterscied f(x 0 + ) f(x 0) Höenunterscied Entfernung ,5% 3,04% b) Gib den größten Höenunterscied zwiscen zwei Stationen an. c) Zwiscen Unterkaltenbac und Kaltenbac bzw. zwiscen Kaltenbac und der Weggabelung müssen jeweils 70 Höenmeter überwunden werden. Begründe, warum die Strecken nict gleic anstrengend sind. 2 Abbildungen und Aufgabenidee stammt aus Matematik 11. Sculjar, Cornelsen, (2000)

6 d) Erläutere, wie man trotz der untersciedlicen Längen der Strecken zwiscen zwei Nacbarpunkten anand der Zeicnung und mitilfe einer Recnung erkennen kann, wie anstrengend ein Abscnitt ist. Gib an, wo es am anstrengendsten. e) Gib die Bedeutung von f(x 0+) f(x 0 ) im obigen Sackontext an. f) Begründe, warum trotz der biserigen Ergebnisse eine Wanderung für eine Sculklasse angemessener sein könnte. g) Folgende Scilder steen am Rand der Strecke. Markiere im Höenprofil, an welcen Stellen die Scilder auftaucen können. Begründe deine Markierungen. 5 ) Ermittle für Scilder A und E die Steigung und den dazugeörigen Steigungswinkel. Definition: Ist eine Funktion f auf einem Intervall [x 0; x 0 + ] definiert, dann kann man mit dem sogenannten Differenzenquotienten f(x 0+) f(x 0 ) die Steigung der Sekante durc die Punkte P(x 0 /f(x 0 )) und Q(x 0 + /f(x 0 + )) berecnen. Diese entsprict in Anwendungssituation allgemein der mittleren Änderungsrate im Intervall [x 0; x 0 + ]. Bei zeitlicen Verläufen sprict man speziell von einer mittleren Gescwindigkeit im Zeitintervall [x 0; x 0 + ]. Man nennt den Winkel im Steigungsdreieck den Steigungswinkel. Er berecnet sic durc tan( ) = f(x 0+) f(x 0 ) und damit gilt: α = tan 1 ( f(x 0+) f(x 0 ) ). Steigungswinkel bei negativer Steigung: (180 ) Merke: Der GTR gibt bei negativen Steigungen als Steigungswinkel entweder den positiven stumpfen Winkel an oder den negativen Nebenwinkel von α.

7 6 Aufgabe 2 (Verbreitung eines Gerücts) In einer niederländiscen Kleinstadt verbreitet sic unter Menscen ein Gerüct. Der zeitlice Verlauf der Verbreitung unter den Menscen ist in der nacfolgenden Tabelle bzw. im nacfolgenden Diagramm dargestellt. Dabei sei t die Zeit in Tagen und N(t) die Anzal der Personen, die das Gerüct insgesamt kennen. Zeit t in Tagen Anzal der Personen N(t), die das Gerüct kennen a) Gib an, wie viele Menscen das Gerüct am dritten Tag zum ersten Mal geört aben und untersuce, an welcem Tag die meisten Menscen das Gerüct erstmals ören. b) Berecne die mittlere Änderungsrate von N im Zeitintervall [3; 5] sowie die mittlere Gescwindigkeit, mit der sic das Gerüct vom zweiten bis zum vierten Tag ändert. c) Begründe, in welcem der Zeitintervalle [0; 1], [1; 2],..., [9; 10] die mittlere Verbreitungsgescwindigkeit am größten ist. d) Bestimme den Zeitraum, in dem die Verbreitungsrate zu- bzw. abnimmt. e) Untersuce, an welcem Tag die Gescwindigkeit, mit der das Gerüct verbreitet wird, am größten ist und bescreibe, wie dies am Grapen ablesbar ist. Aufgabe 3 (Interpretieren von Änderungsraten) Gib die Bedeutung der mittleren Änderungsrate einer Funktion f im Saczusammenang an, wenn f(t) die Anzal der Autos bescreibt, die nac t Minuten eine Messstelle passiert aben. Produktionskosten angibt, die bei t produzierten Artikeln anfallen. zugeflossene Wassermenge in einen Stausee nac der Zeit t bescreibt. Anzal der Bakterien in einer Kultur nac t Stunden darstellt. Scadstoffkonzentration eines Autos bei einer Gescwindigkeit t angibt.

8 7 3 Momentane Änderungsraten Definitionen: (1) Die Steigung des Grapen einer Funktion f in einem Punkt P ist gleic der Steigung der Tangente an den Grapen in diesem Punkt P. (2) Unter der Ableitung einer Funktion an einer Stelle x 0 verstet man die Steigung der Tangenten an den Grapen der Funktion an der Stelle x 0. Diese Ableitung wird mit f (x 0 ) (gelesen: f Stric von x 0) bezeicnet. Im rects dargestellten Beispiel gilt f (2) = 1. Im Folgenden werden wir zwei Verfaren kennenlernen, um die Steigung des Grapen einer Funktion f an der Stelle x 0 zu bestimmen. Zum einen soll die Steigung des Grapen in einem Punkt P mitilfe einer Zeicnung ermittelt werden (grafisces Differenzieren), zum anderen erfolgt die Bestimmung mittels eines Recenverfarens (-Metode). Grafisces Differenzieren mittels Tangentensteigung Aufgabe 1: Ablesen von Steigungen eines Grafen 3 a) Lies die Steigung des Grapen in den Punkten P 1, P 2, P 3, P 4 und P 5 ab und notiere jeweils die Ableitung f (x 0). f b) Ermittle für den Punkt P(x 0/f(x 0)) jeweils die Ableitung f (x 0). f f f f 1 f c) Zeicne in die Darstellungen 2 und 3 aus Aufgabenteil b) Punkte ein, in denen der Grap von f genauso steil ist wie im Punkt P. d) Bescreibe die in den obigen Abbildungen bescriebenen Lagen einer Tangente an einen Grapen einer Funktion im Punkt P. f 3 Idee aus Elemente der Matematik, Jargang 11, Scroedel (1999)

9 8 Aufgabe 2 4 (Spiegelmetode) Es ist möglic, mitilfe eines Tascenspiegels und eines Geodreiecks die Steigung eines Funktionsgrapen an einem bestimmten Punkt zu ermitteln. Dafür get man folgendermaßen vor: Der Tascenspiegel entsprict senkrect von oben geseen der Normalen 1 1,2 1. Scritt: Stelle einen Spiegel so auf den ersten markierten Grafenpunkt, dass der sictbare Teil des Grapen und sein Spiegelbild bei Blick von scräg oben one Knick ineinander übergeen. 1,2 2. Scritt: Zeicne nun eine Gerade entlang der Spiegelkante (durc den markierten Grafenpunkt). Die gezeicnete Gerade ist die sogenannte Normale an den Grafen im ausgewälten Grafenpunkt. 3. Scritt: Zeicne mit dem Geodreieck die Lotgerade (sie ist senkrect zur Normalen) zu dieser Geraden durc den Grafenpunkt. Dies ist die Tangente an den Grapen. 4. Scritt: Ermittle mitilfe eines geeigneten Steigungsdreiecks die Steigung der Tangenten. Die Steigung entsprict der Ableitung an der Stelle -1. Im obigen Beispiel gilt f (-1) 1,2. Diesen Wert trägt man unten in die Tabelle und als Grafenpunkt der Tagentensteigungsfunktion in das Koordinatensystem ein. Scritt 5: Füre die Scritte 1 bis 4 für alle im Grapen von f markieren Punkte aus und verbinde die Punkte zu einem Grapen der Tangentensteigungsfunktion. Definition: Die Funktion f, die jedem x-wert x 0 die Steigung des Grapen von f im Punkt (x 0/f(x 0)) zuordnet, eißt Ableitungsfunktion oder Tangentensteigungsfunktion. Ermittle mitilfe der Spiegelmetode durc grafisces Differenzieren den Grapen der Ableitung bzw. Tangentensteigungsfunktion. x f (x 0) 1,2 x f (x 0) 4 Aufgabenidee stammt aus Fokus Matematik, E-Pase, Cornelsen (2015)

10 9 1,2 Aufgabe 3 (Aquaplaning) 5 Bei Aquaplaning verlieren die Reifen des Farzeugs den Kontakt zur Straße. Dadurc felt die für das Spuralten, Lenken, Bremsen und Bescleunigen benötigte Reibung. Man verliert damit also auc die Kontrolle über das Farzeug. Im Bild ist der Verlauf einer Straße dargestellt. Die weiß gezeicnete Mittellinie wird durc die Funktion f mit f(x) = 0,25 x 3 bescrieben. Der Farer erkennt die große Pfütze im Punkt P zu spät, das Farzeug brict aus. a) Berecne die Koordinaten des Ausbrucpunktes P. 5 Idee aus Fokus Matematik, E-Pase, Cornelsen (2015)

11 b) Bestimme zeicnerisc die Rictung in die sic das Auto one Zutun des Lenkers bewegt. [Hinweis: y-acse zeigt in Rictung Norden und die x-acse in Rictung Osten.] c) Ermittle die Gleicung der Tangenten t im Punkt P. d) Nimm an, dass das Auto sic auf der von Dir in Aufgabenteil b) eingezeicneten Tangenten weiterbewegt und die recte Leitplanke für 0 x 3 näerungsweise durc einen Grapen mit der Funktionsgleicung g(x) = 0, 2 (x 0, 2) 3 0, 47 dargestellt werden kann. 6 Bestimme zeicnerisc und recnerisc mitilfe des GTR die Koordinaten des Punktes Q, an dem das Auto auf die Leitplanke trifft. [Nimm für die Tangente die Gleicung t(x) = 0,75 x 0,5 an und verwende beim GTR das MENU A Gleicung sowie das MENU 5 (Grap).] 10 Aufgabe 4 (100-m-Sprint) a) Bestimme in der folgenden Abbildung von Einfürungsbeispiel 2 (100-m-Sprint) mittels Spiegelmetode den Grapen der Tangentensteigungsfunktion für 0 x 14. b) Gib die Bedeutung der Ableitungsfunktion im Saczusammenang an. 6 Mitilfe einer Parametrisierung x = u ± a f (u) 1+[f (u)] 2 und y = g(x) = f(u) a 1+[f (u)] 2 lässt sic zu einem Grapen einer Funktion f ein Grap einer Funktion g finden, der an jeder Stelle den Abstand a zum Grapen der Funktion f at.

12 11 Recnerisces Differenzieren mittels -Metode Aufgabe 5 (Mit einem Kleinwagen von 0 auf 100 in unter 3 Sekunden!) 7 Die Mutprobe bei der ersten Euro Sow im deutscen Fernseen am 1. April 2017: Car- Dropping der Superlative! An einem Spezialkran get es mit dem Auto auf 100 m Höe. Auf Kommando des Moderators stürzen sie in die Tiefe nur von einem Bungee-Seil gealten. Von 0 auf 100 in nur 3 Sekunden. Wird es ein Paar wagen? Im Folgenden soll überprüft werden, ob der PKW tatsäclic nac 3 Sekunden eine Gescwindigkeit von mindestens 100 km aben kann. Hinweis aus der Pysik: Die Bewegung eines Körpers im freien Fall kann durc die Weg-Zeit- Funktion s bescrieben werden. Mit t wird die Zeit in Sekunden bezeicnet und g die Fallbescleunigung, s(t) wird in Meter berecnet. Dabei gilt: s(t) = 1 2 g t2 mit g 9,81 m s 2. a) Untersuce, nac welcer Zeit das Auto auf dem Boden aufkommen würde, wenn es nac 80 m nict durc das Bungee-Seil abgebremst werden würde. b) Berecne die Höe des Autos über dem Boden nac 2, 3 und 4 Sekunden. c) Zeicne den Grapen der Weg-Zeit-Funktion mitilfe des GTR. d) Berecne die Durcscnittsgescwindigkeiten für die ersten 3 Sekunden, für die Zeit zwiscen der 3. und 4. Sekunde [2. und 3. Sekunde] für die Zeit zwiscen 3 und 3,5 Sekunden [2,5 und 3 Sekunden], zwiscen 3 und 3,1 Sekunden [2,9 und 3 Sekunden], zwiscen 3 und 3,01 Sekunden [2,99 und 3 Sekunden] und allgemein mit > 0 zwiscen 3 und 3 + Sekunden [3 und 3 Sekunden]. e) (1) Interpretiere den Term s(3+) s(3) [ s(3) s(3 ) ] im obigen Sackontext. (2) Gib die geometrisce Bedeutung des Quotients an. (3) Veranscaulice diesen Quotient für ein beliebiges > 0 in der Zeicnung aus Aufgabe c). (4) Vereinface den Term s(3+) s(3) [ s(3) s(3 ) ] und bestimme die Momentangescwindigkeit genau zum Zeitpunkt 3 Sekunden? Beantworte die oben gestellte Frage. Aufgabe 6 (Peter, der korrekte Autofarer?) 8 Peter rümt sic, ein besonders korrekter Autofarer zu sein. Gestern, so sagt er, abe ic für die 2,5 km lange Ortsdurcfart in Marl genau 3 Minuten benötigt. War Peter so korrekt, oder at er dabei nur Glück geabt, dass an mancen Stellen keine Gescwindigkeitskontrolle war? Die Auswertung des elektroniscen Fartenbucs, das die Farzeit und die zurückgelegte Strecke speicert, at ergeben, dass für 0 x 3 die Weg-Zeit-Funktion ungefär durc eine ganzrationale Funktion dritten Grades bescrieben werden kann: f(x) = 5 27 x x2 (x in min, f(x) in km.) 7 Aufgabenidee aus dem Materialpool Sculentwicklung NRW (Autorin: Cristel Weber) unter ttp:// 8 Quellenangabe vgl. unter 7

13 12 a) Erläutere, wie Peter zu der Aussage kommt, dass er ein korrekter Autofarer ist. b) Untersuce one und mit GTR, ob es Zeitintervalle gibt, in denen er scneller/langsamer als 50 km gefaren ist. c) Gib einen Funktionsgrafen und einen dazugeörigen Funktionsterm an, bei dem Peter korrekt gefaren wäre. d) Peter at erfaren, dass nac 1,5 Minuten Farzeit die Gescwindigkeit gemessen wurde. Überprüfe, ob er mit einem Bußgeldbesceid recnen muss. Aufgabe 7 (Recenverfaren zur Bestimmung der Ableitung -Metode) Wir wollen nun die Steigung des Grafen der Funktion f mit f(x) = 0,25 x im Punkt P(2/3) bestimmen.

14 a) Zeicne in die linke Abbildung mit dem Geodreieck und einem Spiegel die Tangente an den Grafen im Punkt P(2/3) und lies die Steigung ab. b) Zeicne in die recte Abbildung die Sekanten durc die Grafenpunkte P(2/3) und Q(3/4,25) sowie die Punkte O(1/2,25) und P(2/3) und bestimme deren Steigungen. Gib mitilfe der beiden Steigungen eine Näerung für die Steigung der Tangente im Punkt P an. c) Um noc bessere Näerungswerte für die gesucte Tangentensteigung zu bekommen, rücken wir die Punkte O (Abbildung rects) und Q (Abbildung links) immer näer an Punkt P(2/3) eran. Im Grenzfall, dass O und Q auf P fallen, eralten wird die Steigung der Tangenten an den Grafen im Punkt P(2/3). Der Abstand der x-werte der beiden Punkte O und Q zum x-wert 2 des Punktes P bezeicnen wir mit. 13 (1) Zeige, dass für die Steigung m PQ der Sekanten durc die Punkte P (2/3) und Q (2 + /f(2 + )) folgende Formel gilt: m PQ = f(2+) f(2) = 1 + 0,25. (vgl. Abbildung links) (2) Weise nac, dass für die Steigung m OP der Sekanten durc die Punkte O(2 /f (2 )) und P(2/3) die folgende Formel gilt: m OP = f(2) f(2 ) = 1 0,25 gilt. (vgl. Abbildung rects). (3) Fülle mitilfe der obigen Formel die folgende Tabelle aus. Q(2 + /f(2 + )) m PQ O(2 /f(2 )) m OP 1 Q(3/4,25) 1 O(1/2,25) 0,5 0,5 0,1 0,1 0,01 0,01 (4) Berecne die Grenzwerte lim m PQ und lim m OP (Lies: Limes der Sekantensteigungen für 0 0 gegen Null ) und interpretiere das Ergebnis anand des Grafen.

15 die rectsseiti- d) Für eine beliebige Stelle x 0 bescreibt mit > 0 der Differenzenquotient f(x o+) f(x o ) gen Sekantensteigungen durc die Punkte P(x 0/f(x 0)) und Q(x 0 + /f(x 0 + )). 14 (1) Zeige, dass für der Differenzenquotient f(x o+) f(x o ) für < 0 die linkseitigen Sekantensteigungen durc die Punkte O(2 + /f (2 + )) und P(x 0/f(x 0)) bescreibt und es daer reict, immer nur f(x o+) f(x o ) zu betracten. (2) Weise nac, dass f(x o+) f(x o ) (3) Berecne lim f(x o +) f(x o ) 0 = 0,5 x 0 + 0,25. und interpretiere das Ergebnis geometrisc. Die Ergebnisse aus Aufgabe 7 lassen sic in folgendem Satz festalten: Satz: Mitilfe des Differenzenquotienten f(x o+) f(x o ) kann die Steigung der Tangenten im Punkt P(x 0/f(x 0)) einer differenzierbaren Funktion für kleines angenäert werden. Im Grenzfall gilt: f(x o + ) f(x o ) lim = m 0 Tangente = f (x 0 ) Im obigen Beispiel für f(x) = 0,25 x gilt: f(x o + ) f(x o ) f (x 0 ) = lim = 0, 5 x 0 0 Für x 0 = 2 erält man f (2) = 0,5 2 = 1. Dieser Wert bescreibt die Steigung der Tangenten im Punkt P(2/3). Die Funktion f mit f (x) = 0,5x ist die Ableitungsfunktion (Tangentensteigungsfunktion) von f. 1 f (x 0) 0 f(x o + ) f(x o ) Aufgabe 8 (Tangentengleicung mittels -Metode bestimmen) a) Ermittle mittels -Metode die Ableitungsfunktion f für die Funktion f mit f(x) = x 2. b) Berecne die Ableitung an der Stelle 1 und bestimme damit die Gleicung der Tangente an den Grafen an der Stelle 1. Aufgabe 9 (Klippenspringen) Klippenspringen ist eine Sportart, bei der die Sportler von Felsklippen aus über zen Metern Höe in Gewässer springen. Sie verbindet Tecniken des Turmspringens mit den Anforderungen, die die freie Natur an die Sportler stellt. Die Absprungöen von Klippenspringern bewegen sic auf europäiscem Wettkampfniveau zwiscen 13 und 22 Metern. Bei Worldcup-Veranstaltungen wird aus bis zu 28 Metern gesprungen. Bei öeren Höen tauct der Klippenspringer in der Regel mit den Füßen im Wasser ein.

16 Ein Klippenspringer springt mit einem Fußsprung von einem 20 Meter oen Felsen. Sein Weg-Zeit- Verlauf kann näerungsweise durc die Funktion s mit s(t) = 5 t 2 angegeben werden (t: Zeit in Sekunden; s(t): zurückgelegte Strecke in Metern; der Vorfaktor 5 at die Eineit m s2 und entsprict etwa der alben Erdbescleunigung g = 9,81 m s 2.) a) Untersuce, nac welcer Zeit der Klippenspringer ins Wasser eintauct. b) Zeicne mit dem GRT den Grafenverlauf zur Funktion s vom Absprung bis zum Eintaucen ins Wasser. [Hinweis: Denke an einen geeigneten Darstellungsbereic.] c) Zeicne mit dem GRT die Tangente an den Grapen von s an der Stelle 1. Gib mit dem GTR ire Steigung sowie ire Funktionsgleicung an. Überprüfe die Funktionsgleicung der Tangente mit einer Recnung. [Hinweis: Über Sketc und Tangent kannst Du die Tangente zeicnen. Wenn Du im Setup-Menu den Unterpunkt Derivative auf On einstellst, wird die Steigung der Tangente in einem Punkt immer mitangezeigt.] d) Gib die Bedeutung der Tangentensteigung an der Stelle 1 an. e) Berecne mit der -Metode die Steigung von s an der Stelle t = 1. f) Bestimme mit der -Metode die Steigung von s an einer beliebigen Stelle t. g) Interpretiere die Werte von e) und f) im Saczusammenang. ) Ermittle die Gescwindigkeit, mit der der Klippenspringer ins Wasser eintauct. 15 Merksätze zu den Kapiteln mittlere und momentane Änderungsraten Kontext Mittlere Momentane Innermatematisc Zeitlicen Verläufe Allgemein Steigung in einem Intervall [x 0; x 0 + ] Gescwindigkeit in einem Zeitintervall [x 0; x 0 + ] Änderungsrate in einem Intervall [x 0; x 0 + ] Steigung an einer Stelle x 0 des Grapen von f = Steigung der Tangente an den Grapen von f an der Stelle x 0 Gescwindigkeit zu einem Zeitpunkt x 0 Änderungsrate an einer Stelle x 0 = Ableitung an einer Stelle x 0 = f ( x 0) matematiscer Ausdruck m Sekante = f(x 0 + ) f(x 0 ) f (x 0 ) = m Tangente = lim 0 f(x 0 + ) f(x 0 )

17 16

18 17 4 Ableitungsregeln und öere Ableitungen 9 Aufgabe 1 (Ableitungsregeln) a) Ermittle für die Potenzfunktionen f 1(x) = x 1, f 2(x) = x 2 und f 3(x) = x 3 mittels -Metode die Ableitungsfunktion. Erkennst Du eine Regelmäßigkeit? b) Ermittle für die Funktionen g 1(x) = 2x 2, g 2(x) = x 2 + x und g 3(x) = c (c R) mittels -Metode die Ableitungsfunktion. Erkennst Du weitere Regelmäßigkeiten? Es lassen sic nun aus den Aufgaben a) und b) vier wictige Ableitungsregeln ableiten: 1 Potenzregel: (x n ) = n x n 1 (n N). Beispiel: f(x) = x 11 f (x) = 11 x 10 2 Konstantenregel: Für k R gilt k = 0. Beispiel: f(x) = 5 f (x) = 0 3 Faktorregel: (c f (x)) = c f (x) (c R). Beispiel: (x) = 5 x 11 (x) = 5 11 x 10 = 55 x 10 4 Summenregel: [ f (x) + g(x)] = f (x) + g (x). Beispiel: (x) = 5 x x 2 (x) = 10 x x c) Bestimme den Ableitungsterm der Funktionen f. Gib die verwendeten Ableitungsregeln an. (1) f(x) = x 8 (2) f(x) = x (3) f(x) = 0,5 x 2 (4) f(x) = 0,1 x 6 (5) f(x) = 2 (6) f(x) = x n+1 (7) f(a) = 0,4 a 10 x 4 (8) f(x) = 6 x 8 (9) f(x) = 0,1 x 10 (10) f(x) = 0,5 x (11) f(x) = 3 x 3 + 0,6 x 5 x (12) f(x) = x 8 + x 2 (13) f(x) = x 3 + x (14) f(x) = x 4 x (15) f(x) = x 11 x 9 + x 2 (16) f(z) = z 101 x 9 + z (17) f(a) = a x 9 + x 2 (18) f(y) = y 4 y 3 + y 2 y + 27 d) Begründe mit den obigen Regeln, dass [f(x) g(x)] = f (x) g (x) gilt. e) Interpretiere die Summen- Faktor- und Konstantenregel geometrisc. f) Beweise mitilfe der -Metode die Summen- und Faktorregel. g) Die Grafen 1 bis 4 zeigen Grafen von Ableitungsfunktionen zu Funktionen, deren Grafen durc die Grafen A bis D dargestellt werden. Begründe, welcer der Ableitungsgrafen 1 4 zu welcem der Funktionsgrafen A D geört. 9 fakultativ

19 18 Aufgabe 2 (Höere Ableitungen) Definition: Wird die Ableitungsfunktion f (x) einer Funktion f, auc 1. Ableitung oder f-stric genannt, erneut abgeleitet, so erält man die 2. Ableitung von f (x), screibt f (x) und liest f-zwei-stric von x. Falls weitere Ableitungen von f (x) existieren, folgt mit f (x) die 3. Ableitung von f (x), gelesen f-drei-stric von x. Von der 4. Ableitung an werden statt der Strice ocgestellte und geklammerte Indizes benutzt: f (4) (x), f (5) (x) Bei der praktiscen Ausfürung der Recnungen gelten die üblicen Ableitungsregeln. a) Bestimme von den angegebenen Funktionen f die jeweiligen Ableitungsfunktionen. f (x) = x 3 + x 2 x + 1 f (x) = 0,25 x 8 x 7 + π f (x) = f '(x) = f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = f (4) (x) = f (6) (x) = f (x) = x(x 2 + 7) = f (x) = x 2 (x 2) 2 = f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = f (8) (x) = f (4) (x) = b) Fülle die Lücken aus. Dabei sollen die Lücken mitilfe der Funktionen A bis F ausgefüllt werden. Begründe Deine Auswal unter Angabe von 2 Argumenten.

20 19 5 Kontrollaufgaben Kompetenzraster Ic kann Wo? sicer ziemlic sicer unsicer ser unsicer eine Funktionsgleicung aufstellen, indem ic geeignete Parameter in die Parameterform einsetze. 3a) die Strecke einer Lawine nac einer bestimmten Zeit mitilfe einer Weg-Zeit-Funktion berecnen. 3b) mittels Spiegelmetode eine Tangente an einen Grafen in einem Punkt einzeicnen und deren Steigung ablesen. 1a) den Ableitungsterm einer GRF bestimmen und die angewendeten Ableitungsregeln angeben. 1b), 3f) eine Tangentengleicung recnerisc bestimmen. 1c), 3)(3) einen Bestand mitilfe einer Bestandsfunktion berecnen. 2a) eine durcscnittlice Änderungsrate bestimmen. 2b), 3c) 3g) eine mittlere Steigung berecnen. 4b) den Ableitungswert an einer bestimmten Stelle berecnen und im Saczusammenang deuten. 2c), 3g) den Neigungswinkel eines Hanges berecnen. 3i) Steigungswinkel in Steigung umrecnen und damit ein Sacproblem lösen. 4d) den Geländepunkt mit der größten momentanen Steigung in ein Höenprofil einzeicnen. 4c) den Grafen der Ableitung skizzieren, wenn der Graf einer Funktion gegeben ist. 2d) mittels -Metode die Momentangescwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt berecnen 3e) einem Ableitungsterm im Saczusammenang deuten. 3f) km pro Stunde in m pro Sekunde umwandeln und umgekert. 3g) Bedeutung der Tangentensteigung im Sackontext deuten. 3i) Angaben aus einem Höenprofil ablesen. 4a) eine zu einer Strecke parallele Tangente einzeicnen und zur Problemlösung eranzieen. 4e) einen Streckenverlauf einzeicnen, wenn das Gefälle angegeben ist. 4f) mit dem GTR unter Beactung eines passenden Darstellungsbereics den Grafen einer GRF zeicnen (MENU 5). 3)(1) mit dem GTR die Tangente an einer bestimmten Stelle an den Grafen einzeicnen und deren Steigung und Funktionsgleicung angeben 3)(2) (MENU 5).

21 20 Teil I: Hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1: Rund um die Tangente a) Zeicne mit dem Tascenspiegel die Tangente an den Grapen von f im Punkt P ein und bestimme durc Ablesung die dazugeörige Tangentengleicung t(x). b) Gib für die Funktionen f mit f(x) = 0, 25x den Ableitungsterm f (x) an. Erläutere, welce Ableitungsregeln Du angewendet ast. c) Berecne f (2) und ermittle recnerisc die Gleicungen t(x) der Tangenten an den Grapen von f im Punkt P. Aufgabe 2: Zuscauerandrang wärend eines Reitturniers Die Anzal der Zuscauer wärend eines Reitturniers wird für 0 x 4,85 näerungsweise durc die Funktion A mit A(x) = 4x x bescrieben, wobei x die seit dem Einlass um 15:00 vergangene Zeit ist. Der Grap ist im Folgenden dargestellt. Anzal A(x) der Besucer a) Zeige recnerisc, dass um 16: Besucer im Stadion sind. x Stunden seit Einlass b) Nac 3 Stunden sind 586 Zuscauer im Stadion. Ermittle die durcscnittlice Änderung der Besucerzal pro Stunde im Zeitraum von 16 Ur bis 18 Ur. c) Bestimme A (1) und gib die Bedeutung dieses Wertes im Saczusammenang an. d) Um 18:21 sind die meisten Besucer im Stadion. Der Besucerandrang in das Stadion inein ist um 16:56 am größten. Skizziere im obigen Diagramm den Grapen zu A für die Zeitspanne vom Einlass bis zum Zeitpunkt des Besucerzalmaximums.

22 21 Teil II: Aufgaben unter Nutzung des GTR Aufgabe 3: Scneebrettlawinen 10 Kennzeicen für Scneebrettlawinen ist ein linienförmiger Anriss etwa quer zum Hang. Ausgedente Scicten der Scneedecke oft aus Triebscnee rutscen zunäcst zusammenängend ab. Die Scneebrettlawinen stellen die klassisce Gefarenlawine für Scneesportler und Bergsteiger dar. Opfer einer solcen Lawine sterben oftmals nict durc Ersticken, sondern an Verletzungen durc Aufprall an Felsen, Absturz oder Druck der oft tonnenscweren Scneemassen. a) Ein Hang at einen Neigungswinkel α von 30 Grad. Das fast reibungslose Gleiten dieser Scneebrettlawinen auf einem Bergang mit oer Gescwindigkeit ist ein Beispiel für die Bewegung eines Körpers auf der sciefen Ebene. Es gilt für den zurückgelegten Weg s des Körpers: s(t) = g 2 si n(α) t2 (t: Zeit nac Auslösen der Lawine in Sekunden, g: Erdbescleunigung beträgt ca. 10 ms -2, α: Neigungswinkel des Hanges) Zeige, dass für die zurückgelegte Strecke einer Scneebrettlawine nac t Sekunden folgende Gleicung gilt: s(t) = 2, 5 t 2 gilt. b) Berecne die Strecke, die eine Lawine in den ersten 3 Sekunden zurückgelegt at. c) Bestimme die zurückgelegte Strecke der Lawine zwiscen der 2. und 3. Sekunde. d) Berecne die Durcscnittgescwindigkeit einer Lawine in der 3. Sekunde in km/. e) Bestimme mitilfe der -Metode die momentane Gescwindigkeit einer Scneebrettlawine nac 2 Sekunden in Metern pro Sekunde und Kilometer pro Stunde. f) Ermittle unter Angabe der angewendeten Ableitungsregeln einen Term für s (t) und interpretiere diesen Term im obigen Saczusammenang. g) Bestimme, nac welcer Zeit das Scneebrett eine momentane Gescwindigkeit von 305 km/ erreict und berecne die dabei zurückgelegte Strecke. [Hinweis: Wandle die momentane Gescwindigkeit zunäcst in Meter pro Sekunde um.] ) Auf einem zweiten Hang kann der zurückgelegte Weg x(t) einer Lawine durc die Funktionsgleicung x(t) = 0, 5 t 2 bescrieben werden. (1) Zeicne mit dem GTR den Weg-Zeit-Verlauf x(t) für die ersten zen Sekunden sowie die Tangente an den Grapen von x nac 5 Sekunden. (2) Gib mitilfe des GTR die Steigung und die Gleicung der Tangenten an. (3) Überprüfe recnerisc den Wert für die Tangentensteigung an der Stelle 5. i) Gib die Bedeutung der obigen Tangentensteigung im Sackontext an, ermittle die Gleicung dieser Tangenten und berecne den Neigungswinkel des zweiten Hanges. 10 Idee aus Elemente der Matematik, Jargang 11, Scroedel (1999)

23 22 Aufgabe 4: Höenprofil In der folgenden Abbildung siest Du ein Geländeprofil. a) Gib an, a1) in welcer Höe der öcste Punkt liegt. a2) in welcer Höe man sic 250 m vom Punkt P 0 entfernt befindet. a3) nac welcer Horizontalentfernung man erstmalig 300 m Höe erreict. b) Berecne die mittlere Steigung zwiscen den Punkten P 3 und P 5, das mittlere Gefälle zwiscen den Punkten P 7 und P 9 und den mittleren Anstieg über die gesamte Entfernung von 1,5 km. c) Zeicne im Geländeprofil näerungsweise den Geländepunkt P mit dem größten momentanen Anstieg ein und ermittle einen Näerungswert für die dazugeörige momentane Steigung. d) Ein neuer Geländewagen scafft Steigungen von bis zu 68 Grad. Scafft es der Geländewagen teoretisc bis zum öcsten Punkt, wenn dabei allein die Höe der Steigung eine Rolle spielen soll? Begründe Deine Entsceidung. [Hinweis: Denke an die Winkeleinstellung DEG im SET UP!] e) Zeicne mitilfe einer geeigneten Konstruktion den Geländepunkt Q zwiscen den Punkten P 7 und P 9 ein, in dem die momentane Steigung genauso groß ist wie das mittlere Gefälle zwiscen den Punkten P 7 und P 9. f) Ab dem Punkt P 10 fällt das Gelände konstant mit 240 % bis zum einem Punkt P 11, der sic in 0 m Höe befindet. Zeicne im obigen Grapen den Geländeverlauf von P 10 bis P 11 ein und gib die Entfernung des Punktes P 11 vom Startpunkt P 0 an.

24 23 Lösungen 2 Mittlere Änderungsraten 1a) P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 Entfernung x Entfernung Höe f(x 0) über NN Höenunterscied Höenunterscied Entfernung 0,5% 3,04% 5,83% 3,33% 2% -1,83% -12,67% -5,44% 1b) Der Höenunterscied ist zwiscen Hundskopf und Stiefelsagen mit 95 m am größten. 1c) Beide Strecken sind untersciedlic anstrengend, weil der Höenunterscied bezogen auf eine untersciedlice orizontale Wegstrecke erfolgt. Zwiscen Kaltenbac und Weggabelung erfolgt der Höenunterscied bei einer orizontalen Entfernung von nur 1200 m (statt 2300 m zwiscen P 2 und P 3). Sie ist daer anstrengender. 1d) Man untersuct die mittleren Steigungen, die durc den Quotienten aus Höenunterscied und orizontaler Entfernung zu berecnen sind. Daer ist der Anstieg zwiscen P 3 und P 4 mit 5,83% durcscnittlic am anstrengendsten. 1e) Der Term bescreibt die mittlere Steigung (Wert > 0) bzw. das mittlere Gefälle (Wert < 0) zweier Nacbarpunkte. 1f) Es könnte Stellen geben die lokal wesentlic steiler sind als die mittleren Steigungen zwiscen zwei Strecken-punkten. 1g) Hier sind untersciedlice Lösungen möglic. Die steilsten Anstiege sind zwiscen P 2 und P 3 und in der Näe von P 4. Das größte Gefälle ist in der Näe von P 8. 1) m = = tan ( ), = tan-1 (8%) 4,6, m = -12% = = tan ( ), = tan-1 (-12 %) -6,8 = 173,2 2a) Es aben am dritten Tag Menscen das Gerüct zu ersten Mal geört. Am fünften Tag aben am meisten Menscen ( = 3630 Menscen) das Gerüct zum ersten Mal geört. 2b) Die mittlere Änderungsrate im Zeitintervall [3; 5] beträgt N(5) N(3) = = 2375 Menscen pro Tag. Die mittlere Gescwindigkeit vom zweiten bis zum vierten Tag beträgt N(4) N(2) = = 665 Menscen pro Tag. 2c) Die mittlere täglice Verbreitungsgescwindigkeit ist am fünften Tag am größten, da dort die meisten Menscen zum ersten Mal das Gerüct geört aben. Sie beträgt nac 2a) 1630 Menscen pro Tag. 2d) Bis zum Tag 5 nimmt die Steigung des Grapen bis zu seinem Maximalwert zu, anscließend nimmt die Steigung des Grapen kontinuierlic ab. Daer erfolgt bis zum Tag 5 eine Zuname der Verbreitungsgescwindigkeit, bevor anscließend eine Abname der Verbreitungsrate bescrieben werden kann. 2e) Am Tag 5 ist die Verbreitungsgescwindigkeit am größten, da dort der Grap am steilsten ist. 3) Verkersdicte oder Verkersfluss; Kostenanstieg; Zuflussgescwindigkeit; Bakterienwacstum oder Wacstumsgescwindigkeit der Bakterienkultur; Scadstoffanstieg. 4 2

25 24 3 Momentane Änderungsraten Aufgabe 1 1a) f (3) 0,5, f (2,25) 8, f (0) = 1, f (π) 0,9, f (7,25) 0,46 1c 1b) f (1,75) = 2, f (25) = 0,75, f (-3) -0,46, f (1250) -0,4 1d) Möglice Fälle für Tangenten: Tangente at genau einen Punkt mit dem Grapen gemeinsam (a) Bild 1) durcsetzt den Grapen (a) Bild 2) scneidet oder berürt den Grapen in einem zweiten oder weiteren Punkten (a) Bild 3, P 5) Aufgabe 2 x f (x 0) 6,5 3,2 1,2 0-0,4-0,6-0,4-0,2-0,1 0-0,1 x f (x 0) -0,25-0,8-1,1-1,6-1,9-1,9-1,2 0 2,2 6 Aufgabe 3 a) f(1) = 0,25, P(1/0,25) b) f (1) = 0,75, Der Steigungswinkel der Tangenten beträgt tan -1 (0,75) 37, d.. das Auto färt in Rictung = 53 NO. c) y = 0,75x + b und P(1/0,25) ergeben0,25 = 0, b b = -0,5, also: y = t(x) = 0,75x 0,5 d) Verwende im Menu A (Gleicungen) F3 (Allgemeine Gleicung) und gib die Gleicung

26 25 t(x) = g(x) 0, 75x 0, 5 = 0, 2 (x 0, 2) 3 0, 47 (Abbildungen links) ein, die für die Scnittpunktberecnung von Tangente und Leitplankengleicung notwendig ist. Setze als Startwert (der sic in der Näe von der Scnittstelle liegt) x = 2 und als obere und untere Grenzen 1 und 4. Es ergibt sic x 2,21. Also gilt Q(2,21/1,16). Im Menu 5 (Grap) erält man eine Lösung nac Eingabe der Funktionsgleicungen und durc Einstellen eines passenden Darstellungsbereics mit dem Befel INTSEC die Scnittpunkte von beiden Grapen (Abbildungen rects). Aufgabe 4 5a) 100 = 9,81 2 t2 t = 200 9,81 4,52 s 5b) s(2) = 9, ,62, s(3) = 9, ,15, s(4) = 9, = 78,48, nac 2 Sekunden befindet sic das Auto 80,38 m, nac 3 Sekunden 55,85 m und nac 4 Sekunden 21,52 m über dem Boden.

27 5c) Nac Einstellen des Darstellungsbereics und Eingabe der Funktionsgleicung erält man den Parabelast einer nac oben geöffneten Parabel. 26 5d) 1 0,5 0,1 0,01 s(3+) s(3) s(4) s(3) 1 s(3,5) s(3) 0,1 s(3,1) s(3) 0,1 s(3,01) s(3) 0,01 (in Metern pro Sekunde) = 34,33 = 31,88 = 29,92 = 29,48 s(3) s(3 ) s(3) s(2) 1 s(3) s(2,5) 0,1 s(3) s(2,9) 0,1 s(3) s(2,99) 0,01 (in Metern pro Sekunde) = 24,53 = 26,98 = 28,94 = 29,38 5e) (1) Die Terme geben die mittlere Gescwindigkeit über dem Zeitintervall von 3 bis 3 + bzw. von 3 bis 3 an. (2) Geometrisc entsprict der Term der Steigung der Sekante durc die beiden Punkte (3/s(3)) und (3 + /s(3 + ) bzw. (3 /s(3 )) und (3/s(3)). (3) Die Veranscaulicung kann durc ein Steigungsdreieck erfolgen, wobei ΔS = s(3 +) s(3) bzw. s(3) s(3 ) und Δt =. (4) s(3+) s(3) = 6 4,905 +4,905 2 = 4,905 (3+)2 4, = 4,905( ) 4, = 4, ,905 +4, , = 29,43 + 4,95. Für ser kleines kann der Term 4,95 vernaclässigt werden und man erält man als Momentangescwindigkeit des fallenden Autos nac 3 Sekunden 29,43 Meter pro Sekunde. Dies entsprict 29,43 3,6 = 105, 948 Kilometer pro Stunde. Damit stimmt die Aussage in der Überscrift. 6a) Peter betractet den Quotient aus zurückgelegter Strecke (2,5 km) und benötigter Zeit (3 Minuten). Dies entsprict genau = 1 = 50. Alternativ kann man auc folgendermaßen argu- 2,5 km 2,5 km k 3 min km min 20 mentieren. Wenn er in 3 Minuten 2,5 km zurücklegt, legt er in 60 Minuten die zwanzigface Strecke (also 50 km) zurück. 6b) One GTR: Würde er konstant mit 50 km pro Stunde durc den Ort faren, entspräce der Verlauf einer Geraden mit der Steigung 2,5. Durc Parallelversciebung dieser Geraden, so dass die 3

28 Parallelen Tangenten an den Grapen zum Weg-Zeit-Verlauf des Autos erkennt man, dass zwiscen etwa 0,6 Minuten und 2,4 Minuten eine stärke Steigung vorliegt, also eine Gescwindigkeit über 50 km pro Stunde. 27 Mit GTR: Im Menu 5 (Grap) wird die Funktionsgleicung eingegeben und das entsprecende Betractungsfenster festgelegt. Anscließend gelangt man über SKETCH zum Anzeigen der Tangente. Ist im SET UP die Funktion DERIVATIVE angestellt wird die Steigung der Tangenten angezeigt. Scrollt man nun an die entsprecenden Stellen erkennt man, dass bis ca. 0,63 eine Steigung unter 50 km pro Stunde (entsprict etwa der Steigung 0,83 km pro Minute) vorliegt sowie ab einer Dauer von ca. 2,36 Minuten. 6c) g(x) = 5 6 x 6d) Mitilfe der Spiegelmetode oder dem GTR ergibt sic f (1,5) = 1,25. Diese Steigung entsprict einer Gescwindigkeit von 75 km pro Stunde, was einen Bußgeldbesceid von 70 und einen Punkt zur Folge at Bußgeldkatalog 2016

29 28 7) x y 7a) Die Tangente at die Steigung m Tangente = y x = 1 1 = 1. 7b) Für die Sekantensteigungen gilt m PQ = y x = 1,25 1 = 1,25 und m OP = y x = 0,75 1 = 0,75 Diese Werte sind gute Näerungswerte für die Steigung des Funktionsgrapen im Punkt P (2/3), d.. für die Steigung der Tangenten im Punkt P. 7c) (1) f(2+) f(2) (2) f(2) f(2 ) = 0,25 (2+) = 3 0,25 (2 )2 2 = 0,25 (4+4+2 )+2 3 = 1 0,25 (4 4+2 ) (3) Es ergibt sic die folgende Tabelle: = 1++0, = ,25 2 = +0,25 2 = 0,25 2 = 1 + 0,25 = 1 0,25 Q(2 + /f(2 + )) m PQ O(2 /f(2 )) m OP 1 Q(3/4,25) 1,25 1 O(1/2,25) 0,75 0,5 Q(2,5/ 3,5625) 1,125 0,5 O(1,5/2,5625) 0,875 0,1 Q(2,1/ 3,1025) 1,025 0,1 O(1,9/2,9025) 0,975 0,01 Q(2,01/3,010025) 1,0025 0,01 O(1,99/ 2,990025) 0,9975 (4) Es gilt: lim m PQ = 1 und lim m OP = 1, da der Term 0,25 für ser kleine vernaclässigt werden 0 0 kann. Unabängig davon, von welcer Seite sic der zweite Grafenpunkt dem Punkt P näert, strebt die Steigung der Sekante gegen 1: Der Grap besitzt im Punkt P(2/3) die Steigung 1. Dieser Wert entsprict der Steigung der Tangenten im Punkt P(2/3) an der Grapen und wird mit f (2) bezeicnet ( Ableitung von f an der Stelle 2 ). 7d) (1) Die Steigung der linkseitigen Sekanten beträgt wegen < 0: f(x o ) f(x o+) f(x o +) f(x o ) = f(x o ) f(x o+). Es reict aus, diesen Term für eine Näerung von rects und von links zu betracten, da sowol positives als auc negatives bei der Grenzwertbildung beliebig klein werden können. =

30 (2) f(x o+) f(x o ) = 0,25 (x 0+) ,25 x ,25 x ,5 x 0 +0,25 2 0,25 x 2 0 = 0,5 x 0+0,25 2 = 0,25 (x x )+2 0,25 x f(x (3) Durc Grenzwertbildung ergibt sic lim o +) f(x o ) 0 = 0,5 x 0 + 0,25. = = lim 0 (0,5 x 0 + 0,25 ) = 0,5 x 0. Dieser Grenzwert entsprict der Tangentensteigung an den Grafen an der Stelle x 0 und wird mit f (x 0) bezeicnet. Die Tangentensteigungsfunktion bzw. Ableitungsfunktion lautet also: f (x) = 0,5x. 8a) f(x o+) f(x o ) = (x 0+) 2 x 2 0 = x x x 2 0 = 2x 0+ 2 einer beliebigen Stelle x 0 : f (x 0 ) = lim 0 (2x 0 + ) = 2x 0. = 2x 0 +. Daer gilt für die Ableitung an 8b) Setzt man 1 in f ein erält man f (1) = 2. Für die Tangentengleicung gilt daer t(x) = 2x + b. Setzt man di Koordinaten des Berürpunktes (1/f(1) = 1) in die Gleicung der Tangente ein ergibt sic 1 = b also b = -1, also t(x) = 2x 1. 9a) 20 = 5 t 2 t 2 = 4 t = 2 9b) Wäle z. B. den Darstellungsbereic 0 x 2 und 0 y 20 9c) Die Tangente an der Stelle 2 at eine Steigung mit dem Wert 10 und entsprict der Steigung des Grapen im Punkt (1/5). Herleitung der Tangentengleicung: y = 10x + b und (1/5) liegt auf der Tangente 5 = b b = -5 y = 10x d) Die Tangentensteigung im Punkt (1/5) entsprict der momentanen Gescwindigkeit des Turmspringers nac 1 Sekunde. 9e) s(1+) s(1) = 5 (1+)2 5 = 5 (1+2+2 ) 5 = = des Ausdrucks lim(10 + 5) = 10 screibt man auc gegen Null gegen 10. = = s (1). Statt 0 10 und liest strebt für

31 30 9f) s(t+) s(t) = 5 (t+)2 5 t 2 = 5 (t2 +2t+ 2 ) 5 t 2 = 5 t2 +10t t 2 s (t) = momentane Gescwindigkeit des Springers nac t Sekunden. = 10t+52 = 10t t = 0 9g) Der Turmspringer at nac 1 Sekunde eine momentane Gescwindigkeit von 10 Meter pro Sekunde (= 36 km pro Stunde), nac t Sekunden eine momentane Gescwindigkeit von 10t. 9) Da der Springer nac 2 Sekunden ins Wasser eintauct, at er eine momentane Eintaucgescwindigkeit von 20 Meter pro Sekunde (= 72 km pro Stunde!!!). 4 Ableitungsregeln und öere Ableitungen 1a) f(x) = x x 2 x 3 f(x o +) f(x o ) = x o + x o = 1 (x 0 +) 2 x 0 2 = x x x 2 0 = 2x 0+ 2 = 2x 0 + (x 0 +) 3 x 0 3 = x x x x 0 2 = 3x x = 3x x f(x f(x 0 ) = lim 0 +) f(x 0 ) = 1 2 x 0 3 x Vermutung: f(x) = x n f (x) = nx n 1 1b) f(x) = c 2x 2 x 2 + x f(x o +) f(x o ) = c c = 0 2(x 0 +) 2 2x 0 2 = 2x x x 2 0 = 4x = 4x (x 0 +) 2 +x 0 + x 2 0 x 0 = x x x 2 0 = 2x = 2x f(x f(x 0 ) = lim 0 +) f(x 0 ) = 0 4 x 0 2x Vermutungen: f(x) = k g(x) f (x) = k g (x) und f(x) = g(x) + (x) f (x) = g (x) + (x) 1c) 1 Potenzregel: (x n ) = n x n 1 (n N). Beispiel: f(x) = x 11 f (x) = 11 x 10 2 Konstantenregel: Für k R gilt k = 0. Beispiel: f(x) = 5 f (x) = 0 3 Faktorregel: (c f (x)) = c f (x) (c R). Beispiel: (x) = 5 x 11 (x) = 5 11 x 10 = 55 x 10 4 Summenregel: [ f (x) + g(x)] = f (x) + g (x). Beispiel: (x) = 5 x x 2 (x) = 10 x x (1) f (x) = 8x 7 (1) (2) f (x) = 1 (1) (3) f (x) = x (1, 3) (4) f (x) = 0,6 x 5 (1, 3) (5) f (x) = 0 (2) (6) f (x) = (n + 1) x n (1) (7) f (a) = 4x 4 a 9 (1, 3) (8) f (x) = 48 x 7 (1, 3) (9) f (x) = x 9 (1, 3) (10) f (x) = 0,5 (1, 3) (11) f (x) = 9 x x 4 1 (1, 3, 4) (12) f (x) = 8x 7 + 2x (1, 4) (13) f (x) = 3x (1, 4) (14) f (x) = 4x 3 2x (1, 2, 4) (15) f (x) = 11x 10 9x (1, 2, 4) (16) f (z) = 101z (1, 2, 4) (17) f (a) = 1 (1, 2, 4) (18) f (y) = 4y 3 3y 2 + 2y 1 (1, 2, 4)

32 31 1d) Es gilt f (x) g(x) = f(x) + (-1) g(x). Daer gilt nac Faktor und Summenregel [f(x) g(x)] = f (x) + (-1) g (x) = f (x) g (x) 1e) Die Summenregel besagt, dass die Momentansteigung der Summe zweier Funktionen an einer bestimmten Stelle gleic der Summe der einzelnen Momentansteigungen an derselben Stelle ist. Anscaulic liegt das daran, dass sic im Differenzenquotient bei gleicem Δx = der Wert für Δy aus der Summe der Differenzen der Einzelfunktionen zusammensetzt. Die Faktorregel impliziert, dass die Momentansteigung der mit dem Faktor c multiplizierten Funktion an einer Stelle c-mal so groß ist wie die Momentansteigung der Einzelfunktion an derselben Stelle. Die geometrisce Begründung basiert auf der Tatsace, dass im Differenzenquotient bei gleicem Δx = der Wert für Δy mit dem Faktor c multipliziert wird. Die Konstantenregel ist anscaulic klar, da der Grap einer konstanten Funktion an jeder Stelle die Steigung Null at, also Grap der Nullfunktion darstellt. 1f) f(x Summenregel: Es gelte lim 0 +) f(x 0 ) g(x = f (x 0 0 ) und lim 0 +) g(x 0 ) = g (x 0 0 ). Zu zeigen ist, dass gilt: (f+g)(x lim 0 +) (f+g)(x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). Betracte den Differenzenquotient von f + g an der Stelle x 0: 0 (f+g)(x 0 +) (f+g)(x 0 ) Faktorregel: Es gelte lim lim (c f)(x 0 +) (c f)(x 0 ) 0 (c f)(x 0 +) (c f)(x 0 ) 1g) = f(x 0+)+g(x 0 +) f(x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 +) f(x 0 ) 0 = f(x 0+) f(x 0 ) + g(x 0+) g(x 0 ) f (x 0 ) + g (x 0 ), q. e. d. 0 = f (x 0 ) und sei c R. Zu zeigen ist, dass gilt: = c f (x 0 ). Betracte den Differenzenquotient von c f an der Stelle x 0: == c f(x 0+) c f(x 0 ) = c f(x 0+) f(x 0 ) c f (x 0 ), q. e. d. 0 1 geört zu C: Eine nac oben geöffnete Parabel ist Graf einer quadratiscen Funktion, deren Ableitungsgraf eine steigende Gerade sein muss, da beim Ableiten sic der Grad um 1 reduziert und die Gerade im fallenden Bereic der Parabel im negativen Bereic liegen muss. Mit der analogen Begründung geört A zu 3, da der Ableitungsgraf einer nac unten geöffneten Parabel eine fallende Gerade sein muss. 2 geört zu D, da aufgrund des Veraltens im Unendlicen D einen geraden Grad besitzen muss und 2 einen ungeraden. Darüber inaus stimmen die Nullstellen von 2 mit den Extremstellen von D überein. 4 geört zu B mit den analogen Begründungen wie bei 2 und D: 4 und B aben wegen des Veraltens im Unendlicen geraden und ungeraden Grad, Extremstellen von B entsprecen den Nullstellen von 4. 2a) f(x) = x 3 + x 2 x + 1 f(x) = 0,25 x 8 x 7 + π f (x) = 3x 2 + 2x 1 f (x) = 2x 7 7x 6 f (x) = 6x + 2 f (x) = 14x 6 42x 5 f (x) = 6 f (x) = 84x 5 210x 4 f (4) (x) = 0 f (6) (x) = 5040x x

33 32 f(x) = x(x 2 + 7) = x 3 + 7x f(x) = x 2 (x 2) 2 = x 4 2x 3 + x 2 f (x) = 3x f (x) = 4x 3 6x 2 + 2x f (x) = 6x f (x) = 12x 2 12x + 2 f (x) = 6 f (x) = 24x 12 f (8) (x) = 0 f (4) (x) = 24 2b) Argumente können z. B. sein: Extremstellen von f sind Nullstellen von f, Extremstellen von f sind Nullstellen von f, Grad der Funktion muss sic beim Ableiten immer um 1 reduzieren, Graf von f steigt (fällt) Graf von f liegt oberalb (unteralb) der x-acse 5 Kontrollaufgaben Hilfsmittelfrei 1a) t(x) = x + 5

34 1b) f (x) = 0,5x. Dabei wurden die Potenzregel (für x 2 ), die Faktorregel (für den Vorfaktor 0,25), die Summenregel (für die beiden Summanden 0,25x 2 und 4) und die Konstantenregel (für 4) angewendet. 1c) m Tangente = f (2) = 0,5 1 = 1. Berecnung der dazugeörigen Tangentengleicung t(x): t(x) = x + b; 3 = 2 + b b = 5 t(x) = x a) A(1) = = 186 Besucer 2b) A(3) A(1) 3 1 = = 150 Besucer Stunde 2c) A (x) = 16x x und A (1) = 164 Besucer. Um 16 Ur beträgt der momentane Besucerandrang 164 Besucer pro Stunde Stunde. 2d) Nullstellen von A bei 0 und etwa 3,35 (2P), Maximumstelle von A liegt etwa bei 2 (1,75 bis 2,25 wird akzeptiert). Besonders genau ist die Darstellung, wenn mitilfe der Spiegelmetode die Steigung der Tangente berecnet wird, um das globale Maximum von A zu bestimmen (ca. 232 Besucer pro Stunde). Aufgaben unter Nutzung von Hilfsmitteln 3a) s(t) = g 2 sin(α) t2 = 10 2 sin(30) t2 = 5 0,5 t 2 = 2,5 t 2 3b) s(3) = 2,5 3 2 = 22,5 [m] 3c) s(3) s(2) = 22,5 2,5 2 2 = 12,5 [m] 3d) v [2;3] = s(3) s(2) 3 2 3e) v [2;2+] = s(2+) s(2) = 12,5 1 = 12,5 [m s ] = 2,5 (2+)2 10 = 2,5 (4+4+2 ) 10 = ,52 10 = , Die momentane Gescwindigkeit der Lawine beträgt nac 2 Sekunden 10 m pro Sekunde. Dies sind 36 km pro Stunde. 3f) s (t) = 2,5 2 t = 5t = v(t) bescreibt die Momentangescwindigkeit der Lawine nac t Sekunden.

35 34 3g) 305 km pro Stunde sind (= 305 3,6) Meter pro Sekunde. Mit dem Ansatz 84 = 5t ergibt sic t = Sekunden. Setzt man diesen t-wert in die Funktion s ein, erält man für die zurückgelegte Strecke bis zu einer Gescwindigkeit von 305 km pro Stunde: s ( ) = 2,5 (16 717,79 m )2 3) Lasse zunäcst die Funktion zur x(t) unter Menu (Grap) mit entsprecendem Darstellungsbereic zeicnen. Anscließend kann mit Sketc und Tangent die Tangente eingezeicnet werden. Die Steigung beträgt an der Stelle 5 gleic 5. Durc nocmaliges Drücke von EXE wird die Tangentengleicung angezeigt. Recnerisc gilt: x (t) = 0,5 2 t = t, also x (5) = 5. 3i) x (5) = Momentangescwindigkeit der Lawine nac 5 Sekunden. Bestimmung der Tangentengleicung: 12,5 = b b = -12,5 y = 5x 12,5. Ansatz für die Bestimmung des Neigungswinkels: 10 2 sin(α) t2 = 0,5 t 2 sin(α) = 0,1 α = sin 1 (0,1) 5,74. 4a) a1) Höe des öcsten Punkts: 500 m a2) Höe 250 m vom Punkt P 0 entfernt: 220 m a3) Horizontalentfernung, wenn Gelände erstmalig 300 m erreict: 500 m. 4b) Mittlere Steigung zwiscen P 3 und P 5: = 160 = 16 = 64 %. Mittleres Gefälle zwiscen P und P 9: = = 2 5 = 40 %. Mittlere Steigung zwiscen P0 und P10: = 4 50 = 8 %. 4c) Der größte Anstieg ist zwiscen den Punkten P 4 und P 5, da dort der Grap am steilsten ist. Legt man an der steilsten Stelle eine Tangente an erält man eine Steigung von deutlic mer als 300 %. 4d) tan (68 ) 248 % ist deutlic unter 300 %. Daer wird der Geländewagen nur bis Punkt P 4 kommen, auc wenn die mittlere Steigung zwiscen P 4 und P 5 nur 240 % beträgt. 4e) Zeicne zur Strecke P 7 P 9 eine Parallele, die das Geländeprofil im gesucten Punkt Q berürt. 4f) Die Entfernung des Punktes P 11 vom Startpunkt P 0 beträgt 1550 m, da für das Gefälle von P 10 bis P 11 dann gilt: = 2,4 = 240 %.

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