Statistik. Jahr Mittlerer Wasserstand in cm

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1 Statistik 1. In der folgenden Tabelle sind die mittleren Wasserstände der Donau an einer bestimmten Stelle in cm von 2007 bis 2014 dokumentiert: Jahr Mittlerer Wasserstand in cm Berechnen Sie das arithmetische Mittel x mithilfe der Daten aus der Tabelle. und den Median m der mittleren Wasserstände 2. x 1, x 2, x 24 seien die Anzahlen der Treffer des Spielers bei 24 Trainingsspielen. Für das arithmetische Mittel gilt: x=15. Die Standardabweichung der Datenreihe ist s x = 3. (a) Die Werte der Datenreihe y 1, y 2, y 24 entstehen, indem man zu den Werten der ersten Datenreihe jeweils 7 addiert. Geben Sie den Mittelwert y und die Standardabweichung s y dieser Datenreihe an. (b) Die Werte der Datenreihe z 1, z 2, z 24 entstehen, indem man die Werte der ersten Datenreihe jeweils verdoppelt. Geben Sie den Mittelwert z und die Standardabweichung s z dieser Datenreihe an. 3. Zur Erforschung der Kartoffelfäule wird ein Labor mit eiem Versuchsfeld und den zu untersuchenden Kartoffeln angelegt. Die Pflanzenversuchsanordnung sieht folgendermaßen aus: Auf jedem Quadartmeter wurden 100 Kartoffelpflanzen gepflanzt. Nach einer bestimmten Zeit wurden diese auf Kartoffelfäule untersucht. Von diesen zahlreichen Untersuchungen sind hier 15 Stichproben gegeben, die die Anzahl der von Kartoffelfäule befallenen Pflanzen pro Quadratmeter angeben: 7, 3, 6, 8, 1, 7, 7, 10, 4, 7, 8, 5, 7, 5, 8 Erklären Sie, wie sich arithmetisches Mittel und Standardabweichung dieser Liste ändern würde, wenn (a) alle Stichproben um 10 größer wären (b) alle Stichproben dreimal so groß wären. 4. Bei E-Control findet man folgende Statistik bezüglich der jährichen ungeplanten kundenbezogenen Nichtverfügbarkeit der Stromversorgung: Jahr Nichtverfügbarkeit in min 38,36 55,35 56,37 42,71 41,59 35,93 28,32 32,9 33,01 33,26 27,18 Berechnen Sie das arithmetische Mittel x Stromausfälle. und den Median m der Dauer der

2 5. Mitarbeitergehälter In einer Firma werden an die zwölf Mitarbeiter folgende monatliche Bruttogehälter bezahlt: 1 700, 1 500, 1 600, 1 700, 1 800, 1 600, 1 700, 1 800, 1 700, 2 400, 1 900, (a) Übertragung in ein tabellarisches und grafisches Modell Ordnen Sie den Merkmalsausprägungen x = 1500, 1600,, 2400 die relativen Häufigkeiten r(x) zu. i. Erstellen Sie eine Tabelle für diese Zuordnung. ii. Erstellen Sie ein Säulendiagramm für diese Zuordnung. (b) Zentralmaße der Liste der Mitarbeitergehälter i. Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung. ii. Erklären Sie die Berechnung des arithmetischen Mittels in Worten. iii. Ermitteln Sie Median und Quartile und erstellen Sie ein passendes Kastenschaubild (Boxplot). (c) Der Mitarbeiter mit dem höchsten Gehalt wird zum Leiter befördert und sein Gehalt verdoppelt. i. Welche der folgenden statistischen Kennzahlen der Gehälterliste ändern sich durch die Gehaltserhöhung NICHT? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an. Spannweite Minimum Modus Arithmetisches MIttel Standardabweichung ii. Begründen Sie, wieso sich die Quartile durch diese einzelne Gehaltserhöhung nicht ändern. iii. Argumentieren Sie, weshalb bei dieser neuen Liste (nach der Gehaltserhöhung) der Median das Durchschnittsgehalt eines normalen Mitarbeiters besser beschreibt als das arithmetische Mittel.

3 6. Blinddarmoperationen (a) In einem Spital wurde erhoben, wie viele Blinddarmoperationen pro Monat durchgeführt wurden. Das Ergebnis dieser Erhebung wurde in einem Boxplot dargestellt. Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen zutreffen: In manchen Monaten wurden mehr als 41 Operationen durchgeführt. Die Spannweite beträgt 26. In etwa drei Viertel aller Monate wurden mindestens 20 Operationen durchgeführt. In etwa der Hälfte aller Monate wurden mindestens 24, höchstens aber 30 Operationen durchgeführt. Der Median ist kleiner als 25 RICHTIG FALSCH (b) In einem anderen Spital wurden innerhalb von sechs Monaten Operationen an Gelenken durchgeführt. Die jeweilige Anzahl ist in der folgenden Tabelle angegeben: Monat Jänner Februar März April Mai Juni Anzahl Ermitteln Sie die folgenden statistishen Größen: i. Minimum, Maximum und Spannweite ii. Median iii. arithmetisches Mittel iv. Standardabweichung

4 7. Der Hersteller von Energydrinks der Marke White Cow füllt seine Dosen mit 250 ml Inhalt ab. Von 10 Dosen wurde die Füllmenge (in ml) gemessen: 248; 249; 249; 249; 249,5; 250; 250,5; 251; 251,5; 255 (a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Median der Füllmengen. (b) Erklären Sie die Berechnung des arithmetischen Mittels in Worten. (c) Angenommen, der kleinste Wert dieser Liste würde halbiert werden. Welche der folgenden Kennzahlen der Liste der Füllmengen ändern sich dadurch NICHT? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an. Spannweite Maximum Modus Arithmetisches Mittel Standardabweichung (d) Die nachfolgende Grafik zeigt einen Boxplot über die Füllmengen aller 120 geprüften Dosen. Die Füllmengen sind in ml angegeben. i. Ergänzen Sie folgende Aussagen, sodass sie zu obigem Boxplot-Diagramm passen: A.... Prozent aller geprüften Dosen enthalten mehr als 251 ml. B.... Prozent aller geprüften Dosen enthalten weniger als 251 ml. C. Keine geprüfte Dose enthält weniger als... ml. D.... Dosen enthalten 248 bis 250 ml. E. 30 Dosen enthalten... bis... ml. ii. Begründen Sie, ob und wie sichd as Diagramm ändern würde, wenn das arithmetische Mittel statt 250 ml 250,5 ml betragen würde.

5 8. Die Preise von 12 Bügeleisen wurden erhoben: 19, 25, 27, 29, 36, 39, 44, 48, 49, 54, 57, 65 (a) Teilen Sie die Preise in die Klassen 10 20, ein und zeichnen Sie ein Balkendiagramm. (b) Berechnen Sie arithmetisches Mittel und die Standardabweichung. (c) Geben Sie an, wie sich arithmetisches Mittel und Standardabweichung ändern würden, i. wenn alle Preise um 10 erhöht werden. ii. wenn alle Preise um 50 % erhöht werden. 9. Das Reiseportal goeuro hat die durchschnittlichen Preise fürunterkünfte in 150 Städten erhoben. Ane rster Stelle lag New York mit 198, an letzter Stelle Tirana (Albanien) mit 26. Die Verteilung der Preise wird im folenden Boxplot-Diagramm dargestellt: (a) Ergänzen Sie die folgenden Aussagen: In... % aller Städte kostet eine Übernachtung weniger als 45. Die mittleren 50 % der Preise liegen zwischen... und.... (b) In Wien kostet eine Unterkunft durchschnittlich 61. Innsbruck liegt auf Platz 34 (vom höchsten Preis aus gerechnet). Geben Sie an, in welchen Quartilsbereichen Wien und Innsbruck liegen. (c) Argumentieren Sie, ob das arithmetische Mittel der Preise ungefähr gleich hoch wie der Median, höher oder niedriger ist. 10.In 6 anderen Städten wurden folgende Preise erhoben (in ): 110, 150, 50, 90, 180, 120 Ermitteln Sie die folgenden statistischen Größen dieser Liste: (a) Minimum, Maximum und Spannweite (b) arithmetisches Mittel 11. Beim Poker kennt man die Einsätze von 15 verschiedenen Spielern (in ): 100, 200, 100, 700, 300, 400, 500, 700, 600, 200, 300, 800, 500, 500, 1100 (a) Ordnen Sie den Merkmalen x = 100 e, 200,, 110 die relativen Häufigkeiten r(x) zu. i. Erstellen Sie eine Tabelle für diese Zuordnung ii. Erstellen Sie ein Diagramm für diese Zuordnung. (b) Ermitteln Sie den Median und das arithmetische Mittel. (c) Zeichnen Sie dazu ein Boxplot-Diagramm.

6 12.In Wien findet jedes Jahr der Vienna City Marathon statt. Dabei ist es auch möglich, an Wertungen über kürzere Laufdistanzen teilzunehmen. (a) Eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern einer Maturaklasse hat beim 10-Kilometer- Lauf teilgenommen. In der foglenden Tabelle sind ihre Laufzeiten in Minuten angegeben: i. Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Median des Laufzeiten. ii. Begründen Sie, warum der Median gegenüber extremen Einzelwerten stabiler ist als das arithmetishe Mittel. (b) Die nachfolgende Grafik zeigt ein Boxplot-Diagramm über die Laufzeiten aller Teilnehmer/innen des 10-Kilometer-Laufes. Die Laufzeiten sind auch hier in Minuten angegeben. i. Lesen Sie die ungefähren Werte der 5 Kenngrößen des Boxplot ab. ii. Interpretieren Sie anhand der abgelesenen Kenngrößen das obere Quartil in Bezug auf die erreichten Laufzeiten. iii. Begründen Sie, warum man anhand des Boxplots keine Aussagen über die Anzahl der Teilnehmer/innen machen kann. 13.Zur Erforschung der Kartoffelfäule wird ein Labor mit einem Versuchsfeld und den zu untersuchenden Kartoffeln angelegt. Die Pflanzenversuchsanordnung sieht folgendermaßen aus: Auf jedem Quadratmeter wurden 100 Kartoffelpflanzen gepflanzt. Nach einer bestimmten Zeit wurden diese auf Kartoffelfäule untersucht. Von diesen zahlreichen Utnersuchungen sind hier 15 Stichproben gegeben, die die Anzahl der von Kartofeflfäule befallenen Pflanzen pro Quadratmeter angeben: 7, 3, 6, 8, 1, 7, 7, 10, 4, 7, 8, 5, 7, 5, 8 (a) Stellen Sie die gegebenen Daten in einem Boxplot-Diagramm dar. (b) Mit diesen Werten erhält man: x=6,2, σ=2,2. Interpretieren Sie diese Werte im Kontext und beschreiben Sie, wie das arithmetische Mittel berechnet wird.

7 14.In einer Firma werden an die zwölf Mitarbeiter folgende monatliche Bruttogehälter bezahlt: 1 700, 1 500, 1 600, 1 700, 1 800, 1 600, 1 700, 1 800, 1 700, 2 400, 1 900, Zentralmaße der Liste der Mitarbeitergehälter (a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung. (b) Erklären Sie die Berechnung des arithmetischen Mittels in Worten. (c) Ermitteln Sie Median und Quartile und erstellen Sie ein passendes Kastenschaubild (Boxplot). (d) Der Mitarbeiter mit dem höchsten Gehalt wird zum Leiter befördert und sein Gehalt verdoppelt. i. Welche der folgenden statistischen Kennzahlen der Gehälterliste ändern sich durch die Gehaltserhöhung NICHT? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an. Spannweite Minimum Modus Arithmetisches Mittel Standardabweichung i. Begründen Sie, wieso soch die Quartile durch diese einzelne Gehaltserhöhung nicht ändern. ii. Argumentieren Sie, weshalb bei dieser neuen Liste (nach der Gehaltserhöhung) der Median das Durchschnittsgehalt eines normalen Mitarbeiters besser beschreibt als das arithmetische Mittel.

8 15.Gefahr im Straßenverkehr (a) Bei Statistik Austria findet man eine Übersicht über die verletzten Kinder im Straßenverkehr in Wien. Für die Jahre 2004 bis 2012 sidn folgende Zahlen aufgelistet: Dabei ist die Zahl der verletzten Kinder im Jahr 2007 durch einen Fleck nicht lesbar. Man kennt aber das arithmetische Mittel der verletzten Kinder dieser 9 Jahre: 510,44. Wie viele im Straßenverkehr verletzte Kinder muss es daher im Jahr 2007 in Wien gegeben haben? Berechnen Sie außerdem die zugehörige Standardabweichung. (b) Folgende Tabelle zeigt die Einwohnerzahl der einzelnen Bundesländer und die im Straßenverkehr verletzten Kinder des Jahres 2012: 2012 B K NÖ OÖ Sb St T V W Einwohner Im Straßenverkehr verletzte Kinder i. Berechnen Sie die Prozentsätze der im Straßneverkehr verletzten Kinder gemessen an der Einwohnerzahl des jeweiligen Bundeslandes für Steiermark, Vorarlberg und Wien. ii. In welchem dieser drei Bundeländer war der ABSOLUTE Anteil an verletzten Kindern im Jahr 2012 am höchsten? iii. In welchem dieser drei Bundeländer war der REALTIVE Anteil an verletzten Kindern im Jahr 2012 am höchsten? Das folgende Box-Plot-Diagramm zeigt die Anzahl der Verkehrstoten der 27 EU- Länder im Jahre 2008: (c) Barbara meint: Die durchschnittliche Anzahl an Verkehrstoten betrug 2012 in der EU =2726. Argumentieren Sie, ob sie Recht hat. 2 (d) Füllen Sie die Lücken folgender Sätze mit Hilfe des Box-Plot-Diagramms: i. In... der EU-Länder gab es im Jahre 2008 mindestens 679 Verkehrstote. ii. In ca. 75% der EU-Länder gab es höchstens... Verkehrstote. iii. Etwa... EU-Länder htten im Jahr bis 2645 Verkehrstote zu beklagen.

9 Ergebnisse: 1) x=289,25 cm, m = 286,5 cm 2) a) y=22 s y =3 b) z=30s z =6 3) a) σ bleibt gleich x+10 b) 3σ, 3x 4) x=38,63 minm, m = 35,93 min 5) a) b) i. x=1766, 6 σ=217,31 ii. Alle Bruttogehälter werden addiert und anschließend durch ihre Anzahl, 12, dividiert. iii. q 1 =1650 q 2 =1700 q 3 =1800 c) i. 2. und 3. ii. Durch die Gehaltserhöhung wird nur eine Zahl, nämlich das einzige Maximum vergrößert. Die Größe und Reihenfolge der restlichen geordneten Liste ändert sich nicht. Somit liefert die Viertelteilung die gleichen Quartile. ODER iii. Der Bestverdienst ist extrem größer als die restlichen 11 Gehälter, die sich nicht sehr viel unterscheiden. Man spricht von einem Ausreißer. Das arithmetische Mittel wird von diesem Ausreißer stark beeinflusst, während der Median ( = q 2 ) unverändert bleibt und das Gehalt der meisten Mitarbeiter gut beschreibt. 6) a) frrfr b) i. 16, 38, 22 ii. 26 iii. 26 iv. 7,12

10 7) a) x=250,25 ml; z = 249,75 ml b) alle Werte werden addiert und durch ihre Anzahl dividiert c) Maximum, Modus d) i. 25%, 75%, 246,5, 30, mehrere Möglichkeiten (zb ) ii. Ändert sich nicht, da das arithmetische Mittel hier keine Rolle spielt 8) b) x=41, σ=14,24 c) i. x +10 σ bleibt gleich ii. x 1,5 σ 1,5 9) a) 25%, 45 und 75 b) Wien: zwischen Median und 3. Quartil, Innsbruck zwischen 3. Quartil und Maximum c) arithmetisches Mittel ist höher, da es Ausreißer nach oben gibt (größte Streuung im 4. Quartil) 10) a) 50, 180, 130 b) 116,67 11) a) b) x=466,67, z = 500 x r(x) ,33% ,33% ,33% 400 6,67% 500 0,00% 600 6,67% ,33% 800 6,67% 900 0,00% ,00% ,67% c) min = 100, q 1 = 200, q 2 = 500, q 3 = 700, max = ) a) i. x=42,5 min, z = 43 min ii. Median: Wert in der Mitte der geordneten Liste wird genommen, Daher haben Werte am Rand bei gleicher Anzahl der Werte keine Auswirkung. Arithmetisches Mittel: dafür werden alle Werte addiert. Bei sehr großem Einzelwert ist daher Summer sehr groß (bei kleinem Einzelwert sehr klein) b) i. min = 28, q 1 = 42, q 2 = 46, q 3 = 54, max = 68 ii. Die langsamsten 25% brauchten für die Strecke 54 bis 68 min iii. In einem Boxplot sieht man nur die Verteilung. In jedem Qurtil liegen 25% der Werte. 13) a) b) 6,2 ± 2,2 Pflanzen / m² sind von Kartoffelfäule befallen. Alle Werte werden addiert und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert. 14) a) 1766, 67; 217,31 b) Alle Werte werden addiert und anschließend durch die Anzahl aller Werte dividiert. c) 1650; 1700; 1800 d) i. Minimum, Modus ii. Die Quartile teilen die Liste in 4 gleiche Teile. Die Erhöhung des maximalen Wertes ändert nichts an der Anzahl in den einzelnen Quartilsabschnitten. Iii. Das arithmetische Mittel ist empfindlich gegen Ausreißer. Der Median ist es

11 nicht. 15) a) 2007: 504 verletzte Kinder, σ = 46,793 b) i. Steiermark: 0,0315%, Vorarlberg: 0,0525% Wien: 0,029% ii. absoluter Anteil am höchsten: Wien iii. relativer Anteil am höchsten: Vorarlberg c) Sie hat nicht Recht. Mit der durchschnittlichen Anzahl meint man üblicherweise das arithmetische Mittel, das man ebrechnet, indem man die Zahlen aller Verkehrstoten addiert unf durch die Gesamtzahl (hier 27) dividiert. Dieser Mittelwert ist aus der Grafik nicht zu ermitteln. Aus der Grafik kann man den Median ablesen, der 679 beträgt. d) i. 50% ii iii. 13/14