Versuch P1-31,40,41 Geometrische Optik. Vorbereitung. Von Jan Oertlin. 2. Dezember 2009

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1 Versuch P1-31,40,41 Geometrische Optik Vorbereitung Von Jan Oertlin 2. Dezember 2009 Inhaltsverzeichnis 1. Brennweitenbestimmung Kontrolle der Brennweite Genaue Bestimmung der Brennweite mit dem Besselschen Verfahren Brennweitenbestimmung nach Abbe Aufbau optischer Instrumente Keplersches und Galileisches Fernrohr Keplersches Fernrohr Galileisches Fernrohr Diaprojektor Mikroskop...6 Jan Oertlin Vorbereitung: P1 31,40,41 1

2 1. Brennweitenbestimmung 1.1. Kontrolle der Brennweite Hier sollen wir die Brennweiter einer dünnen Sammellinse nur mithilfe eines Maßstabes und eines Schirmes überprüfen. Dies machen wir so, indem wir die Linse zwischen einer Lampe und einem Schirm aufbauen. Dann verändern wir den Abstand zwischen Linsemitte und Schirm so, bis wir nur noch einen Punkt sehen. Dieser Abstand ist nun unsere Brennweite f. Abb. 1: Brennweitenbestimmung 1.2. Genaue Bestimmung der Brennweite mit dem Besselschen Verfahren Der Versuchsaufbau nach Bessel sieht wie folgt aus: Der Abstand e zwischen Objekt (z.b. eine Lampe) und Schirm wird größer als 4f gewählt. Nun stellen wir die zu untersuchende Linse dazwischen. Es gibt genau zwei Stellungen für die Linse, damit wir ein scharfes Bild auf dem Schirm sehen. Diese Messung führen wir einmal bei festem e mehrmals durch und mitteln dann über den Abstand der beiden Linsenstellungen d. Es ergibt sich dann für die Brennweite: Die Herleitung dazu: Aus der Vorbereitungshilfe entnehmen wir: Mit a a'=e ergibt sich: Der Abstand d ist gegeben durch f = e2 d 2 4e 1 a 1 a' = 1 f 1 a 1 e a = 1 f a 1/2 = e 2 1± 1 4 f d = a 1 a 2 =e 1 4 f e f = d 2 e 2 4e e Abb. 2: Versuchsaufbau nach Bessel Jan Oertlin Vorbereitung: P1 31,40,41 2

3 Wie man sehen kann, ist die Einschränkung für e sinnvoll: Ist e < 4f gibt es keine reelle Lösung für a i. Bei e = 4f gibt es nur eine Lösung, weshalb man, um zwei Lösungen zu erhalten, e > 4f wählen muss. Wenn wir e zu groß wählen, könnten wir evtl. Probleme mit dem Bild auf dem Schirm bekommen, da dieses sehr klein wird. Dann führen wir Messungen mit unterschiedlichen e durch. Desweiteren untersuchen wir noch zwei Linsenfehler: 1. Sphärische Aberration Dieser Fehler führt dazu, dass das Bild unscharf wird. Beim Einfall von monochromatischem Licht gehen nur die Lichtstrahlen, die das Paraxialgebiet passieren, durch den richtign Brennpunkt. Je weiter der Lichtstrahl von der optischen Achse entfernt ist, desto kleiner wird die Brennweite dieses Strahles. Dies führt dazu, dass nicht alle Lichtstrahlen durch den gleichen Brennpunkt gehen, was eine Unschärfe hervorruft. 2. Chromatische Aberration Dieser Fehler führt dazu, dass man eine Aufspaltung des weißen Lichtes erkennen kann. Wie man aus der Vorbereitungshilfe entnehmen kann, ist z.b. die Brennweite einer dünnen Linse abhängig von der Brechzahl des Materials: f = 1 n r 1 r 2 Da aber n abhängig von der Wellenlänge ist, werden unterschiedliche Wellenlängen unterschiedlich gebrochen und haben eine andere Brennweite. Dies führt dazu, dass z.b. der Brennpunkt für blaues Licht vor dem von rotem Licht ist Brennweitenbestimmung nach Abbe Nun bestimmen wir die Brennweite eines Zweilinsensystems. Da wir die Lage der Hauptebene nicht kennen, wählen wir einen beliebigen Bezugspunkt m in unserem Versuchsaufbau. Nun stellen wir das Objekt und den Schirm so ein, dass wir ein scharfes Abbild erhalten. Dann messen den Bild- und Objektabstand, sowie die Vergrößerung des abgebildeten Objekts. Um die Brennweite zu bestimmen, messen wir diese Werte bei unterschiedlichen Abständen des Objekts und des Schirms. Dann kann wir aus folgendem Zusammenhang die Brennweite bestimmen: a f = y ' y 1 / 1 Abb. 3: Sphärische Aberration Abb. 4: Chromatische Aberration Abb. 5: Der Versuchsaufbau Jan Oertlin Vorbereitung: P1 31,40,41 3

4 Wobei y' die Bild- und y die Objektgröße und a der Abstand zwischen Bildebene und bildseitiger Hauptebene ist. Mit m=a h folgt, wobei h der Abstand zwischen m und der bildseitigen Hauptebene ist: m= f 1 1 h Mit linearer Regression können wir also sowohl f als auch h bestimmen. Wiederholt man nun die Messung mit gedrehtem Linsensystem, kann man auch die Lage der zweiten Hauptebene bestimmen und somit den Abstand derer. 2. Aufbau optischer Instrumente 2.1. Keplersches und Galileisches Fernrohr Keplersches Fernrohr Das Keplersche Fernrohr ist aus zwei konvexen Linsen aufgebaut: Dem Objektiv und dem Okular. Dabei sind die beiden Linsen so angeordnet, dass der Brennpunkt des Objektives F 1 und der des Okulars F 2 zusammen fallen. Somit ergibt sich für die Länge des Fernrohrs l= f 1 f 2. Die Funktionsweise ist so, dass das Objektiv ein Bild aus den fast parallel eintreffenden Lichtstrahlen in der gemeinsamen Brennebene erzeugt. Dieses (auf dem Kopf stehende Bild) wird dann durch das Okular, welches wie eine Lupe wirkt, (im Unendlichen) betrachtet. Die Vergrößerung des Fernrohrs ist ungefähr gegeben durch: Kepler f 1 f 2 Abb. 6: Das Keplersche Fernrohr Da wir im Versuch ein Fernrohr mit einer Vergrößerung von Kepler 6 aufbauen sollen, bietet es sich an, das Fernrohr aus den beiden Linsen mit den Brennweiten von f 1 = 50 cm und f 2 = 7 cm zu bauen Galileisches Fernrohr Das Galileische Fernrohr hat ebenfalls eine konvexe Linse (Brennweite f 1 ) als Objektiv, aber als Okular dient diesmal eine konkave mit negativer Brennweite f 2. Auch hier werden die Linsen so angeordnet, dass beide Brennpunkte zusammen fallen. Somit ergibt sich sofort die Baulänge des Fernrohrs mit l= f 1 f 2. Auch hier würde das Objektiv in der Brennebene ein reelles Bild aus den fast parallel einfallenden Strahlen erzeugen. Durch die konkave Linse wird nun wieder ein virtuelles Bild im Unendlichen erzeugt. Abb. 7: Das Galileische Fernrohr Jan Oertlin Vorbereitung: P1 31,40,41 4

5 Die Vergrößerung errechnet sich gleich wie in : Galilei = f 1 f 2 Somit erreicht man mit dem Fernrohr nach Galilei im Gegensatz zu Kepler bei kürzerer Bauweise die gleiche Vergrößerung Diaprojektor Mit dem Diaprojektor kann man ein Bild stark vergrößert auf einen Projektionsschirm abbilden. Ein Diaprojektor ist im Wesentlichen aus drei Elementen Aufgebaut: 1. Lampe 2. Kondensor 3. Objektiv Mit der Lampe wird das transparente Diapositiv ausgeleuchtet, welches dann durch das Objektiv vergrößert wird (das Dia befindet sich zwischen Lampe und Objektiv). Bei dieser Anordnung aber wäre das Diapositiv nicht gleichmäßig ausgeleuchtet, weshalb zwischen der Lampe und dem Dia noch der Kondensor eingebaut wird. Dieser ändert den Strahlengang des Lichtes der Lampe so, dass das Dia möglichst homogen beleuchtet ist (Köhlerscher Strahlengang). Dabei befindet sich das Dia sehr dicht hinter dem Kondensor. Häufig wird an der Rückseite der Lampe noch ein Spiegel angebracht, um das in die andere Richtung abgestrahlte Licht zu nutzen. Da das erzeugte Bild des Diaprojektors sowohl auf dem Kopf steht als auch seitenverkehrt ist, muss das Diapositiv dementsprechend gedreht in den Diaprojektor eingesetzt werden. Unser Diaprojektor soll das Bild =10 mal vergrößert an ein ca. a' = 1,5 m entfernten Schirm werfen. Es ergibt sich somit für die Brennweite f und für den Abstand a des Dias zum Objektiv: Also muss a 15cm und f 13,6 cm sein. = a ' a a= a ' f a = y' y' y f = a 1 1 = a ' 1 Abb. 8: Der Diaprojektor Jan Oertlin Vorbereitung: P1 31,40,41 5

6 2.3. Mikroskop Ein Mikroskop dient dazu, sehr kleine Dinge stark zu vergrößern. In unserem Fall bauen wir ein einfaches Lichtmikroskop. Dieses ist wieder aus zwei konvexen Linsen aufgebaut, dem Objektiv (Brennweite f 1 ) und dem Okular (Brennweite f 2 ). Das zu untersuchende Objekt muss dabei recht nah am Brennpunkt F 1 liegen. Der Abstand des Okulars zum Objektiv muss so sein, dass der Brennpunkt F 2 in der Bildebene des Objektives liegt. Somit wird wieder ein virtuelles Bild erzeugt, dass das vergrößerte Objekt auf dem Kopf darstellt. Wir wollen nun ein Lichtmikroskop bauen mit einer Vergrößerung von mindestens 20 Mal. Dafür berechnen wir nun die Vergrößerung Mikroskop : Mikroskop = Objektiv Okular Objektiv erhalten wir in Abhängigkeit der Brennweite f 1 und dem Objektabstand a durch Umformen der Gleichungen und Es ergibt sich: Die Vergrößerung des Okulars ist gegeben durch Objektiv = a ' a 1 f 1 = 1 a 1 a' Objektiv = a ' f 1 1= a ' f 1 f 1 Abb. 9: Das Mikroskop Okular = s 0 f 2 wobei s 0 die Bezugsweite des Auges ist (in der Vorbereitungshilfe mit s 0 = 25 cm angegeben). Somit ergibt sich für die Gesamtvergrößerung: Mikroskop = Objektiv Okular = a' f 1 s 0 f 1 f 2 Man könnte versuchen, mit immer kleineren Brennweiten sehr große Vergrößerungen zu erzeugen. Dies funktioniert aber nur in gewissen Grenzen. So kann z.b. nicht jede beliebige Brennweite mit Linsen erzeugt werden. Außerdem ist das Auflösungsvermögen durch das Lichtes beschränkt und hängt von der Wellenlänge ab. Jan Oertlin Vorbereitung: P1 31,40,41 6

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