Kapitel 0: Grundbegriffe Gliederung

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1 Gliederung 0. Grundbegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechenbarkeitstheorie 4. Komplexitätstheorie 5. Kryptographie 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

2 Alphabete / Zeichenketten / Sprachen Alphabet Ein Alphabet Σ ist eine endliche Menge von Symbolen (bzw. Zeichen). Σ = { a,b,c,...,z }; Σ 1 = { A,B,C,...,Z }; Σ 2 = { 0,1,...,9 } Zeichenketten und ihre Länge Eine Zeichenkette (/* ein Wort */) ist eine endliche Folge von Symbolen. anton (/* bzgl. Σ */), 123 (/* bzgl. Σ 2 */), ACHTUNG (/* bzgl. Σ 1 */) besondere Zeichenkette: ε (/* das leere Wort */) Die Länge einer Zeichenkette u ist die Anzahl der Symbole von u. anton = = 3 ε = 0 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

3 Alphabete / Zeichenketten / Sprachen Verkettung von zwei Zeichenketten Das Ergebnis der Verkettung von zwei Zeichenketten u und v ist die Zeichenkette, die entsteht, wenn v an u angehängt wird. Gebräuchliche Abkürzungen u = abc ; v = DEF u v = abc DEF = abcdef u 1 = aa ; v 1 = bb u 1 v 1 = aa bb = aabb u 2 = aba; v 2 = ε u 2 v 2 = aba ε = aba v 2 u 2 = ε aba = aba a 3 a 3 b 3 bzw. a 3 b 3 a 2 b 1 c 2 bzw. a 2 b 1 c 2 aaa aaabbb aabcc 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

4 Alphabete / Zeichenketten / Sprachen Menge aller Zeichenketten (/* informell */) Σ* ist die Menge aller Zeichenketten (/* aller Wörter */) über dem Alphabet Σ. es sei Σ = { a, b }; dann ist... Σ* = { ε,a,b, aa,ab,ba,bb, aaa,...,bbb, aaaa,...,bbbb,... } 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

5 Alphabete / Zeichenketten / Sprachen Menge aller Zeichenketten (/* formal; induktive Definition */) es sei Σ das zugrunde liegende Alphabet wir definieren für alle n N die Menge Σ n wie folgt: Induktionsanfang: Σ 0 = { ε } Induktionsschritt: Σ n+1 = { x w x Σ und w Σ n } (/* = { w x w Σ n und x Σ } */)... und verwenden Σ* als Abkürzung für: Sprachen Σ* = Σ i (/* = Σ 0 Σ 1 Σ 2... */) i N... Σ* enthält alle Zeichenketten, die aufgrund von endlich vielen Anwendung des Induktionsschrittes aus den Wörtern in Σ 0 gebildet werden können Eine Menge L Σ* ist eine (/* formale */) Sprache. 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

6 Alphabete / Zeichenketten / Sprachen Präfix / Suffix (/* informell */) Jedes Anfangsstück einer Zeichenkette u heißt Präfix von u. u = anton ε, a, an, ant, anto, anton u 1 = 123 ε, 1, 12, 123 Jedes Endstück einer Zeichenkette u heißt Suffix von u. u = anton ε, n, on, ton, nton, anton u 1 = 123 ε, 3, 23, 123 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

7 Alphabete / Zeichenketten / Sprachen Präfix / Suffix (/* formal */) es sei Σ das zugrunde liegende Alphabet es sei u Σ* Ein Wort p Σ* ist ein Präfix von u gdw. es gibt ein Wort w Σ* mit p w = u. Ein Wort s Σ* ist ein Suffix von u gdw. es gibt ein Wort w Σ* mit w s = u. 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

8 Mengen / Relationen Mengen Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Elementen. M = { n n N und n mod 2 = 0 } M 1 = { v 111 v Σ* }, wobei Σ = { 0,1 } gelte besondere Menge: Teilmenge / Obermenge A B jedes Element von A ist auch ein Element von B A B jedes Element von B ist auch ein Element von A 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

9 Mengen / Relationen Durchschnitt / Vereinigung / Differenz / Potenzmenge A B A B = { x x A oder x B } A B = { x x A und x B } A \ B = { x x A und x B } 2 A = { M M A } A B A B A A B B A \ B Einfache Zusammenhänge A (A B), B (A B) (A B) A, (A B) B (A \ B) A 2 A, A 2 A 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

10 Mengen / Relationen binäre Relationen Eine binäre Relation R über A und B ist eine Menge von geordneten Paaren, d.h. R { (a,b) a A und b B }. arb ist eine andere Schreibweise für (a,b) R Falls A = B gilt, so nennt man R Relation auf A Beispiel A = { 0,1,2,3,4,5 } R = { (0,1),(0,3),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,4),(2,5),(3,4),(4,5) } /2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

11 Mengen / Relationen Reflexivität / Symmetrie / Transitivität Eine Relation R auf A ist reflexiv gdw. für alle a A gilt: (a,a) R. Eine Relation R auf A ist symmetrisch, falls für alle a,b A gilt: Wenn (a,b) R, so (b,a) R. Eine Relation R auf A ist transitiv gdw. für alle a,b,c A gilt: Wenn (a,b) R und (b,c) R, so auch (a,c) R 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

12 Mengen / Relationen Transitive Hülle Die transitive Hülle Trans(R) einer Relation R über A ist die kleinste Relation mit folgenden Eigenschaften: wenn (a,b) R, so (a,b) Trans(R) wenn (a,b) Trans(R) und (b,c) Trans(R), so (a,c) Trans(R)... statt Trans(R) ist auch die Bezeichnung R + üblich Reflexive Hülle Die reflexive Hülle Refl(R) einer Relation R über A ist die wie folgt definierte Relation: Refl(R) = R { (a,a) a A }. 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

13 Mengen / Relationen Ein einfacher Zusammenhang es sei R eine Relation R über A Dann gilt: Refl(Trans(R)) = Trans(Refl(R)).... es ist egal, ob man erst die transitive und dann die reflexive Hülle oder erst die reflexive und dann die transitive Hülle bildet Reflexive und transitive Hülle Die reflexive und transitive Hülle R* einer Relation R über A ist die wie folgt definierte Relation: R* = Refl(Trans(R)).... per Definition gilt: R* = R + { (a,a) a A } 0/2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

14 Mengen / Relationen Beispiel A = { 0,1,2,3,4,5 } R = { (0,1),(0,3),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,4),(2,5),(3,4),(4,5) } R + = { (0,1),(0,3),(0,2),(0,4),(0,5), (1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(2,4), (2,5),(3,4),(3,5),(4,5) } /2, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik