f(1, 1) = 1, f(x, y) = 0 sonst üblicherweise Konjunktion, manchmal auch

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1 Belegungen, Wahrheitsfunktionen 1. Wie viele binäre Funktionen gibt es auf der Menge {0, 1} (d.h., Funktionen von {0, 1} 2 nach {0, 1})? Geben Sie alle diese Funktionen an, und finden Sie sinnvolle Namen für jede dieser Funktionen (z.b. heißt die Funktion f mit f(1, 1) = 1, f(x, y) = 0 sonst üblicherweise Konjunktion, manchmal auch Multiplikation. Wir sagen, dass eine Belegung b eine Formel A erfüllt, wenn b(a) = 1 ist (wobei die Funktion b die eindeutig bestimmte Wahrheitsfunktion ist, die b fortsetzt). 2. Sei n 2. Wieviele Belegungen (der Variablen p 1,..., p n ) gibt es, die die Formel erfüllen? (p 1 p 2 ) (p 2 p 3 ) (p n 1 p n ) 3. Sei n 2. Geben Sie eine Formel (in den Variablen p 1,..., p n ) an, die von genau n Belegungen erfüllt wird. 4. Sei n 2 eine gerade Zahl. Geben Sie eine Formel (in den Variablen p 1,..., p n ) an, die von genau 2 n 2 Belegungen erfüllt wird. 5. Sei n 2. Geben Sie eine Formel (in den Variablen p 1,..., p n ) an, die von genau n 2 Belegungen erfüllt wird. Präfix und Postfix 6. Schreiben Sie die folgenden Formeln in Baumnotation, Prefix-, Infix- und Postfixnotation. (p q) ( p) pq qp pqrp Tautologien; und 7. Zeigen Sie: (a) (p 1 p 2 ) p 1 p 2. (b) Für alle Formeln A und B gilt (A B) A B. (c) Für alle Formeln A und B gilt (A B) A B. 8. Zeigen Sie: (p q) ( p q) (p q) (q p). 9. Seien A und B aussagenlogische Formeln. Dann gilt A B genau dann, wenn A B gilt, d.h., wenn die Formel A B eine Tautologie ist. 10. Seien A und B aussagenlogische Formeln. Dann gilt A B genau dann, wenn A ( B) gilt. 1

2 CNF, DNF 11. Geben Sie Formeln in konjunktiver und in disjunktiver Form an, die zu den folgenden Formeln äquivalent sind: (a) p 1 p 2 (b) (p 1 p 2 ) (c) (p 1 p 2 ) (p 3 p 1 ) 12. (a) Sei A eine Klausel (Disjunktion von Literalen). Wie kann man einfach feststellen, ob A erfüllbar bzw. eine Tautologie ist? (b) Sei A eine Konjunktion von Klauseln. Wie kann man einfach feststellen, ob A eine Tautologie ist? (c) Sei A eine Disjunktion von dualen Klauseln (duale Klause = Konjunktion von Literalen). Wie kann man einfach feststellen, ob A erfüllbar ist? 13. Sei A eine Formel, die nur die Variablen p 1,..., p n verwendet, und sei B eine Formel, die nur die Variablen p k,..., p k+l verwendet, 1 < k n < k + l. Nehmen wir weiters an, dass A B gilt. Zeigen Sie, dass es dann eine Formel C geben muss, die nur die Variablen p k,..., p n verwendet, sodass sowohl A C als auch C B gilt. (Wir nennen so eine Formel C einen Interpolanten.) (Hinweis: Betrachten Sie alle dualen Klauseln D in den Variablen p k,..., p n, für die D B gilt. Sei C die Disjunktion dieser dualen Klauseln. Zeigen Sie nun C B (leicht) und A C (schwieriger, indirekt).) Ableitungskalküle In den folgenden Beispielen betrachten wir Zeichenfolgen (Strings), die aus den Zeichen 1, +, = zusammengesetzt sind. Gewisse Zeichenfolgen zeichen wir als ableitbar aus. Gewisse Zeichenfolgen nennen wir Axiome ; Axiome A schreiben wir in der Form an. Wir lesen dies als A ist ableitbar. Eine Regel, die wir in der Form A A 1,..., A n B schreiben, lesen wir als Wenn A 1,..., A n ableitbar sind, dann auch B. Die Menge der ableitbaren Zeichenfolgen ist die kleinste Menge, die alle Axiome enthält und unter allen Regeln abgeschlossen ist. 14. Wir betrachten ein Ableitungssystem mit dem einzigen Axiom und den = 11 Regeln A (für jede Zeichenfolge A) und A = B für beliebige Zeichenfolgen A, B. 1A1 A1 = 1B Zeigen Sie, dass die Zeichenfolgen = 1111 und = ableitbar sind. 2

3 15. Zeigen Sie, dass die folgenden Zeichenfolgen alle nicht ableitbar sind: = 111, = 111, 1 = Geben Sie ein Kriterium an, das entscheidet, ob eine vorgegebene Zeichenfolge ableitbar ist. In den folgenden Beispielen betrachten wir Zeichenfolgen, die aus 1, +,!, = zusammengesetzt sind. Unser Ableitungssystem enthält nun das einzige Axiom 1! Regeln: A! A! A + B = C 1A! A + 1 = A A + B1 = CA (für beliebige Zeichenfolgen A, B, C). und die folgenden 17. Zeigen Sie, dass die Zeichenfolgen 1111! und = ableitbar sind. 18. Geben Sie ein Kriterium an, das entscheidet, ob eine vorgegebene Zeichenfolge ableitbar ist. 19. Geben Sie ein (möglchst einfaches) Ableitungssystem an, in dem eine Zeichenfolge der Form 1 n (also n aufeinanderfolgende Einser) genau dann ableitbar ist, wenn n > 1 ist und keine Primzahl ist. In den folgenden Beispielen betrachten wir Zeichenfolgen, die aus 0, 1, = zusammengesetzt sind. Unser Ableitungssystem enthält nun das einzige Axiom und die folgenden 1 = 1 Regeln: A = B A = B A0 = BB A1 = BB1 (für beliebige Zeichenfolgen A, B). 20. Zeigen Sie, dass in diesem System die Zeichenfolgen 11 = 111 und 110 = ableitbar sind. 21. Geben Sie ein Kriterium an, das entscheidet, ob eine vorgegebene Zeichenfolge ableitbar ist. Resolution 22. Wir interpretieren p q als Abküerzung für (p q). Bilden Sie unter Verwendung der Regeln A A eine zur Negation von ( p q) (p q) äquivalente Formel in konjunktiver Form, schreiben Sie sie als Klauselmenge, und zeigen Sie dann mit dem Resolutionsverfahren, dass diese Klauselmenge unterfüllbar (und somit die ursprüngliche Formel eine Tautologie) ist. 23. Analog für (p q) ((q r) (p r)). (Verwenden Sie hier auch die Äquivalenz p q ( p q). 3

4 Prädikatenlogik: Gültigkeit Wir betrachten in den folgenden Übungsbeispielen eine prädikatenlogische Sprache mit Relationssymbolen P, Q, R, sowie (wenn nötig oder sinnvoll) weiteren Funktions- und Konstantensymbolen f, g, c, d,... (Die Stelligkeit ist jeweils der Angabe zu entnehmen.) Welche der Formeln in???? sind allgemeingültig (d.h., gelten in jedem Modell unserer Sprache, unter jeder Belegung)? Geben Sie gegebenenfalls ein Gegenbeispiel an (wenn möglich, ein endliches). 24. ( x y R(x, y)) ( y x R(x, y)) 25. ( x y R(x, y)) ( y x R(y, x)) 26. ( y x R(x, y)) ( x y R(x, y)) ( ( )) 27. x y z (R(x, y) R(y, z)) R(x, z) ( ) x y R(x, y) x R(x, x) 28. x( y P (y) P (x)) 29. x(p x Qx) (( x P x) ( x Qx)) Modelle von Formeln, = 30. Geben Sie eine Formel A (ohne freie Variable) an, sodass für jede endliche Menge U die folgenden Aussagen äquivalent sind: (a) Die Anzahl der Elemente von U ist gerade (b) Es gibt ein Modell U mit Universum U, sodass U = A (Hinweis: Bijektion) 31. Geben Sie eine Formel A (ohne freie Variable) an, sodass für jedes Modell U mit endlichem Universum U die folgenden Aussagen äquivalent sind: (a) Die Anzahl der Elemente von U ist gerade (b) U = A 32. Geben Sie eine Formel A (ohne freie Variable) an, sodass für jedes Modell U mit Universum U die folgenden Aussagen äquivalent sind: (a) U hat genau 3 Elemente (b) U = A 4

5 Formale Beweise, 33. Wir wissen bereits, dass für alle logischen Axiome A gilt: = A. Zeigen Sie: Wenn A, dann = A gilt für alle Formeln A. Das Deduktionstheorem besagt: Wenn Γ {A} B (also wenn B aus den nichtlogischen Axiomen Γ, zusammen mit A beweisbar ist), dann gilt auch Γ (A B). Das Generalisierungstheorem besagt: Wenn Γ A(c), wobei die Konstante c nicht in den Formeln von Γ vorkommt (und nicht in A(x)), dann gilt auch Γ x A(x). 34. Gilt die Umkehrung des Deduktionstheorems? Gilt die Umkehrung des Generalisierungstheorems? (In welchem Sinn?) 35. Verwenden Sie das Deduktionstheorem, um ( x A(x)) ( x A(x)) zu beweisen. (Hinweis: Zeigen Sie zuerst { x A(x), x A(x) }.) 36. Verwenden Sie das Deduktionstheorem und das Generalisierungstheorem, um x [A(x) B(x)] [ x A(x)] [ x B(x)] zu zeigen. 37. Sei A(x) eine Formel, in der weder x noch y gebunden vorkommen. Zeigen Sie: (a) = x = y (A(x) A(y)) (b) x = y (A(x) A(y)). (Hinweis: Induktion nach Formelaufbau. Verwenden Sie das Generalisierungstheorem.) 38. Welche der folgenden Formeln sind allgemeingültig? (a) x [A(x) B(x)] [ x A(x)] [ x B(x)] (b) x [A(x) B(x)] [ x A(x)] [ x B(x)] (c) x [A(x) B(x)] [ x A(x)] [ x B(x)] (d) x [A(x) B(x)] [ x A(x)] [ x B(x)] 39. Welche der folgenden Formeln sind allgemeingültig? (A B bedeutet B A.) (a) x [A(x) B(x)] [ x A(x)] [ x B(x)] (b) x [A(x) B(x)] [ x A(x)] [ x B(x)] (c) x [A(x) B(x)] [ x A(x)] [ x B(x)] (d) x [A(x) B(x)] [ x A(x)] [ x B(x)] 40. Skizzieren Sie einen formalen Beweis einer der Formeln aus dem vorigen Beispiel. 41. Sei Γ eine Menge von Formeln ohne freie Variable, A eine Formel, und B eine Formel, in der x nicht frei vorkommt. Zeigen Sie: Wenn Γ A B, dann Γ ( x A) B. [ x A ist hier wieder als Abkürzung für x A zu sehen.] (Hinweis: (p q) ( q p) ist Tautologie.) 5

6 Einführung des Existenzquantors 42. Zeigen Sie: Wenn Σ A B, dann auch Σ A x B. und = Für jede Formel A sei A der universelle Abschluss von A; d.h., seien x i1,..., x in freien Variablen von A (mit i 1 < < i n ), dann ist A die Formel x i1 x in A. die 43. Wir betrachten eine fixe Sprache L der Prädikatenlogik erster Stufe. Zeigen Sie: Für alle Axiome A unseres Kalküls (in L ) und alle Modelle M (für L ) gilt M = A. (a)... für alle Tautologieaxiome (b)... für alle Substitutionsaxiome (c)... für alle Distributivitätsaxiome (d)... für alle Generalisierungsaxiome (e)... für alle Gleichheits- und Leibnizaxiome 44. Zeigen Sie: Wenn M = A und M = (A B), dann M = B. Schließen Sie (mit Induktion über Beweislänge): Wenn Σ A, dann Σ = A. Generalisierungstheorem 45. Sei Σ eine Menge abgeschlossener Formeln, und sei A eine Formel, in der nur x frei vorkommt. Sei c eine neue Konstante. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind (indem sie jeweils aus einem formalen Beweis einer Aussage einen formalen Beweis für die andere konstruieren): (a) Σ A (b) Σ x A (c) Σ A(x/c). (Hinweis: (a) (b) wurde bereits in der Vorlesung gemacht, (b) (c) und (b) (a) sind leicht. Zeigen Sie (c) (a). ) Vollständigkeitsbeweis 46. Sei L eine Sprache der Prädikatenlogik, Σ eine vollständige Theorie in L (das heißt: für alle Formeln A [der Sprache L ] ohne freie Variable gilt A Σ oder A Σ. Sei Σ konsistent (also Σ ). Zeigen Sie: A Σ genau dann, wenn Σ A. A B Σ genau dann, wenn A Σ oder B Σ. 6

7 A B Σ genau dann, wenn A Σ und B Σ. A Σ genau dann, wenn A / Σ. 47. Sei L eine Sprache der Prädikatenlogik, Σ 0 eine konsistente Theorie in L. Sei P die Menge aller konsistenten Theorien Σ Σ 0 in der Sprache L. Durch die Relation wird P partiell geordnet. Zeigen Sie: Jede Kette in P (d.h., jede durch total geordnete Teilmenge P P ) ist beschränkt. (Das heißt, für jede Kette P P gibt es Σ, sodass für alle Σ P die Beziehung Σ Σ gilt. Wenn Σ P L maximal ist (also: es gibt kein Σ Σ in P ), dann ist Σ vollständig. Schließen Sie aus dem Lemma von Zorn, dass es zu jeder konsistenten Theorie Σ 0 eine vollständige konsistente Theorie Σ 1 Σ 0 gibt. 48. Sei Σ eine konsistente Theorie. Sei A eine Formel, in der (höchstens) die Variable x frei vorkommt. Sei c eine Konstante, die in keiner Formel in Σ {A} vorkommt. Zeigen Sie, dass dann auch die Theorie Σ {A(x/c) x A} konsistent ist. (Hinweis: Generalisierungstheorem, oder ein ähnlicher Satz aus der Vorlesung.) 49. Für Terme s, t und Variable x bezeichne t(x/s) den Term, der aus t dadurch entsteht, dass man alle Vorkommnisse von x durch s ersetzt. Sei M ein Modell, seien s 1, s 2 Terme ohne freie Variable, sei t ein Term, in dem höchstens x frei vorkommt. Wenn s M 1 = s M 2 gilt, dann auch t(x/s 1 ) M = t(x/s 2 ) M. (Hinweis: Induktion nach Termaufbau.) 50. Sei M ein Modell. Sei A eine Formel, in der nur x frei vorkommt, und seien s 1 und s 2 Terme ohne freie Variable, mit s M 1 = s M 2. Dann gilt M = A(x/s 1 ) genau dann, wenn M = A(x/s 2 ) (Hinweis: Induktion nach Formelaufbau plus voriges Beispiel.) Eine Menge Σ von aussagenlogischen Formeln heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung b der in Σ vorkommenden aussagenlogischen Variablen gibt, die für alle A Σ die Bedingung b(a) = 1 erfüllt. Wir nennen eine Menge Σ *erfüllbar, wenn jede endliche Teilmenge von Σ erfüllbar ist. 51. Sei Σ eine Menge von aussagenlogischen Formeln, A eine aussagenlogische Formel. Zeigen Sie: (a) Σ ist genau dann erfüllbar, wenn zumindest eine der Mengen Σ {A}, Σ { A} erfüllbar ist. (b) Σ ist genau dann *erfüllbar, wenn zumindest eine der Mengen Σ {A}, Σ { A} *erfüllbar ist. 52. Zeigen Sie: 7

8 (a) Wenn Σ *erfüllbar ist, und für jede aussagenlogische Variable p entweder p Σ oder ( p) Σ gilt, dann ist Σ auch erfüllbar (und zwar durch genau eine Belegung). (b) Wenn Σ *erfüllbar ist, dann gibt es eine *erfüllbare Menge Σ Bedingung in (a) erfüllt. (c) Schließen Sie, dass jede *erfüllbare Menge auch erfüllbar ist. Σ die die 53. Finden Sie zu jeder der folgenden Formeln eine äquivalente Formel in Pränexform: (a) ( x P (x) x P (x)). (b) ( x P (x) y P (y)). (c) ( x P (x) y P (y)). 54. Finden Sie (durch Skolemisierung) eine Formel in Pränexform ohne Existenzquantoren, die zur Formel x y z ((P (x) P (y)) P (z)) erfüllungsäquivalent ist. 55. Finden Sie (durch Skolemisierung) eine Formel in Pränexform ohne Existenzquantoren, die zur Formel z x y ((P (x) P (y)) P (z)) erfüllungsäquivalent ist. 56. Schreiben Sie die Matrix der Formel z((p (c) P (d)) P (z)) (hier sind c und d Konstantensymbole) als Klauselmenge an, und finden sie Grundinstanzen der Klauseln, aus denen sie durch Resolution die leere Klausel herleiten können. Was folgt daraus über die genannte Formel? 57. Kann man aus der Klauselmenge {{P (c)}, { P (d)}} durch Resolution die leere Klausel erhalten? Was hat die genannte Klausel mit Beispiel??(c) zu tun? 58. Formulieren Sie die folgenden Sätze in der Sprache der Peanoarithmetik, und skizzieren Sie formale Beweise (mit den Peano-Axiomen) für 4 dieser Sätze. (In jedem der Beispiele dürfen sie alle vorigen Resultate verwenden.) (a) Assoziativität der Addition. (b) 0 + x = x + 0, 1 + x = x + 1 (c) Kommutativität der Addition. (d) Distributivität x (y + z) = x y + x z. (e) Assoziativität der Multiplikation. (f) Transitivität von. (g) Transitivität der Relation x y, wobei x y Abkürzung für die t x t = y definiert ist. 8

9 59. Beweisen Sie (mit den Peano-Axiomen): x y (x = y + y x = y y). Für jede natürliche Zahl n sei das Numeral von n, Num(n) so definiert: Num(0) ist das Konstantensymbol 0. Num(n + 1) ist der Term (Num(n)) + 1. (Also zb Num(3) ist der Term ((0 + 1) + 1) + 1.) 60. Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n und m aus den Peanoaxiomen die Formeln N um(n)+n um(m) = N um(n+m) und N um(n) N um(m) = N um(n m) beweisbar sind. 61. Zeigen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n und m gilt: (a) Wenn n m, dann PA Num(n) Num(m). (b) Wenn n > m, dann PA (Num(n) Num(m)). (c) n m genau dann, wenn PA Num(n) Num(m). Anmerkung: Eine dieser 3 Aussagen hat einen wesentlich anderen Charakter als die anderen beiden. 62. Wie das vorige Beispiel, aber mit statt. 63. Sei ψ die Negation der Formel ϕ. Skizzieren Sie einen formalen Beweis (in dem nur logische Axiome verwendet werden) dafür, dass die Aussagen x[( y<x ϕ(y)) ϕ(x)] und x ψ(x) x [ψ(x) y<x ψ(x)] äquivalent sind. 9

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