Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt N dl. y 3

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1 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS / Blatt 9.. Aufgabe 5: Berechnen Sie das Integral K ( x y N dl über den Rand des Kreises K {(x, y x + y } einmal direkt mit Hilfe einer geeigneten Parametrisierung von K als Kurve und einmal, indem Sie es mit Hilfe des Satz von Gauß in ein Integral über K umschreiben. Dabei bezeichnet N die äußere Normale. Tipp: ( e cos 4 t + sin 4 it + e it 4 ( e it e it 4 t + i 4 cos 4t + 4 Lösung: a Um das Integral auf direktem Weg zu berechnen, geben wir als erstes eine Parametrisierung von K als Kurve an: ( cos t γ : [, π R, γ(t. sin t Bei der Kurve handelt es sich um eine geschlossene Kreiskurve um den( Ursprung N mit Radius. Der Normalenvektor an die Kurve ist der Vektor N ( N cos t. Somit ergibt sich sin t K ( x y N dl π π π π ( cos t sin t ( cos t sin t (cos 4 t + sin 4 tdt ( 4 cos 4t + 4 dt ( sin t cos t dt b Alternativ kann man das Integral auch mit Hilfe des Satz von Gauß berechnen. Danach gilt ( ( x x K y N dl div K y dx dy x + y dx dy K

2 Unter Verwendung von Polarkoordinaten folgt ( x π ( N dl (r cos ϕ + (r sin ϕ r dr dϕ K y 6π π π r dϕ dr r dr Aufgabe 6: Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Kurve γ(t t π eingeschlossen wird. Tipp: ( cos t + cos t sin t sin t, cos t cos t 4 (eit + e it + e it + e it (cos t + cos t Lösung: Die Kurve beschreibt eine sog. Hypozykloide: ( ( γ (t cos t + cos t γ(t γ (t sin t sin t ( ( ( γ(, γ( π, γ(π, t π, γ( π ( (, γ(π Gesucht: Vol ( dx Vol ( dx F N dl Γ div F dx dy mit div F, z.b. F (x, y ( x nach Gauß, wobei N äußere Normale

3 π π π π ( γ (t γ (t γ (t dt ( γ (t γ (t ( cos t + cos t( cos t cos tdt ( γ(t γ(t dt, N γ (t γ(t γ (t (4 cos t 4 cos t cos t + cos t cos t cos tdt cos t (eit + e it cos t 4 (eit + e it + cos t +, also cos t cos t 4 (eit + e it + e it + e it (cos t + cos t Vol ( π [( cos t + (cos t + cos t (cos 4t + ]dt + 4π π π Aufgabe 7: Sei γ : [, π] R mit γ(ϕ ( r(ϕ cos ϕ r(ϕ sin ϕ eine Kurve in R mit r( r(π und r(ϕ >, d.h. es ist eine geschlossene Kurve, die gegen den Uhrzeigersinn einmal um den Ursprung verläuft und zu einem Winkel ϕ den Abstand r(ϕ zum Ursprung hat. Zeigen Sie mit Hilfe des Gauß schen Integralsatzes, dass die eingeschlossene Fläche gegeben ist durch F π (r(ϕ dϕ. ( ( γ (ϕ r(ϕ cos ϕ Lösung: Kurve Γ : γ(ϕ ( γ (ϕ r(ϕ ( sin ϕ γ Normale N (ϕ r γ (ϕ γ (ϕ (ϕ sin ϕ + r(ϕ cos ϕ γ (ϕ r (ϕ cos ϕ + r(ϕ sin ϕ Sei die von Γ eingeschlossene Fläche. Gesucht: Vol ( dx dy Setze F (x, y ( x. Dann gilt div F und der Gaußsche Integralsatz liefert: y

4 dx dy divf dx dy F N dl Γ π π ( r(ϕ cos ϕ r(ϕ sin ϕ (r(ϕcos ϕ(r (ϕsin ϕ + r(ϕcos ϕ π +r(ϕsin ϕ( r (ϕcos ϕ + r(ϕsin ϕdϕ π π π π r (ϕ cos ϕ + r (ϕ sin ϕdϕ r (ϕ dϕ ( r (ϕ sin ϕ + r(ϕ cos ϕ γ (ϕ r (ϕ cos ϕ + r(ϕ sin ϕ γ (ϕ dϕ Aufgabe 8: (a Leiten Sie für einen Kreiszylinder mit Höhe h und Radius R des Basiskreises die Formel zur Berechnung des Volumens mittels des Satzes von Gauß her. x i (b Leiten Sie für ein Tetraeder mit den Eckpunkten P i y i ( i im R die folgende Formel für das Volumen V mit Hilfe des Satzes von Gauß her: V x x x x x x 6 det y y y y y y z z z z z z. Hinweis: Was gilt für Richtung (inklusive Vorzeichen! und Norm des Kreuzproduktes zweier Vektoren? Erinnern Sie sich weiterhin an den Zusammenhang zwischen Determinante und Kreuzprodukt. (c (Zusatzaufgabe: Wie würde man das Volumen eines beliebigen Polyeders im R mit Hilfe von Dreiecksoberflächen berechnen? Lösung: a Herzuleiten ist die Formel V πr h für das Volumen eines Kreiszylinders. Nach Gauss gilt: V ol ( dx div( x dx x N(x da z i

5 für eine offene, beschränkte Menge R, für welche eine glatte Fläche ist. F(x, y, z x y divf ( + +. z Z Kreiszylinder {(x, y, z R : z h, x + y R }, Z R R R mit R {(x, y, z R : z, x + y R } Boden, R {(x, y, z R : < z < h, x + y R } Mantelfläche, R {(x, y, z R : z h, x + y R } Deckel. Auf R gilt N, x cos φ R auf R gilt N sin φ y, wobei x R cos φ, y R sin φ ist. R Schließlich gilt auf R, dass N. Es folgt, dass V ol (Z { ( x } ( da + R R + y da + h da R R wobei wir zur Abkürzung R {R O(R + h O(R } { } R πrh + h πr πr h, O(R Oberfläche (R πr h Umfang des Kreises Höhe und O(R Oberfläche (R πr Fläche des Kreises! gesetzt und benutzt haben. b Wie in a benutzen wir die Formel V ol ( x N(x da, die sich aus dem Satz von Gauss ergibt. Diesmal ist T Tetraeder und T Rand des Tetraeders S S S S 4

6 und dies ist die Vereinigung der 4 Seitenflächen des Tetraeders. Jede Seitenfläche wird von Eckpunkten des Tetraeders bestimmt und ist ein Dreieck, welches in der von den Eckpunkten festgelegten Ebene liegt. Wir bezeichnen das von den Punkten P, P, P bestimmte Dreieck S mit S S (P, P, P. Entsprechendes gilt für S S (P, P, P, S S (P, P, P, S 4 S 4 (P, P, P. Dabei ist zu beachten, dass wir in allen Dreiecken die Punkte in gleicher Orientierung (in Bezug auf Innen und Außen des Tetraeders aufzählen. Dies verifiziert man leicht an einer Skizze. Nur auf diese Weise sind später die Vorzeichen der Normalen konsistent. P P P P Es gilt: S S (P, P, P { x R : x P + λ(p P + µ(p P, λ, µ, λ + µ }, wobei wir zur Abkürzung uns der Bezeichnung P i haben. Entsprechendes gilt natürlich für S, S, S 4. Auf S gilt: Hieraus folgt, dass auf S gilt: x i y i z i (i,,, bedient N : N a b a b, mit ( a P P, b P P und ( x P + λ(p P + µ(p P ( P + λb + µa. (4 x N P N, da N senkrecht auf a und b steht. In diese Rechnung geht die Richtung ein, in der die Punkte des Dreiecks aufgezählt wurden. Zwar ist wegen der Betragsbildung egal, ob man die äußere oder die innere

7 Normale verwendet; da die Beiträge der einzelnen Seiten jedoch später addiert werden, muss man konsistent stets die innere oder stets die äußere Normale verwenden. Mit O(S sei die Oberfläche von S bezeichnet, also die Fläche des durch P, P, P bestimmten Dreiecks. Die Definition des Kreuzproduktes zweier Vektoren und eine (entsprechende Skizze zeigen, dass O(S a b (P P (P P gilt. Dies entspricht der aus der Schule bekannten Regel, dass sich die Fläche eines Dreieckes nach der Formel Grundseite mal Höhe berechnet. Damit ergibt sich x N(x da ( a b P S a b a b 6 (P (a b 6 (P [(P P (P P ] 6 det (P, P P, P P 6 det (P, P, P 6 det (P, P, P, wobei die Koordinaten von P, P, P als Spaltenvektoren einzusetzen sind. Die vorletzte Umformung erfolgt durch das Addieren der ersten Spalte der Matrix auf die zweite und dritte Spalte, eine Operation die die Determinante unverändert lässt (vgl. Zeilenoperationen im Gauß-Algorithmus. Die abschließende Spaltenvertauschung ändert schließlich das Vorzeichen. Entsprechende Formeln ergeben sich natürlich für S, S, S 4. Das Vorzeichen hängt dabei jeweils von der Anzahl der abschließend durchgeführten Spaltenvertauschungen ab. Sie lauten: x N(x da S 6 det (P, P, P, x N(x da S 6 det (P, P, P, x N(x da S 4 6 det (P, P, P. Betrachtet man nun die in der Aufgabenstellung gegebene Formel, so kann man sie unter Ausnutzung der Spaltenlinearität der Determinanten ausmultiplizieren zu det (P P, P P, P P det (P, P, P det (P, P, P det (P, P, P det (P, P, P +, wobei alle Determinanten, bei denen in der Matrix mindestens zwei Spalten gleich P sind, Null sind und daher wegfallen.

8 Zur Kontrolle kann man die erhaltenen Formeln (im Sinne einer Stichprobe überprüfen mit den vier Punkten P, P, P, P. Es sollte als Ergebnis herauskommen. 6 c Nach den vorhergehenden beiden Teilaufgaben sollte klar sein, wie man diese Frage zu beantworten hat. Man nimmt die Formel von Gauss zur Berechnung des Volumens und zerlegt den Rand des Polyeders in Dreiecksflächen. Für jede Dreiecksfläche erhält man eine Formel wie in b. Aufsummieren der erhaltenen Formeln ergibt dann die gesuchte Formel zur Berechnung des Volumens eines Polyeders vermöge Dreiecksflächen. Auch hier muss man selbstverständlich auf eine einheitliche Orientierung der Dreiecke achten.