-Grundlagen der Elektrotechnik I

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1 -Gundlagen de Elektotechnik..5 6 Das elektomagnetische Feld / Magnetische Käfte sind schon seit dem Altetum bekannt (Thales). Gewisse Eiseneze (Magnetite) zeigen magnetische Eigenschaften. Ein Köpe mit deatigen Eigenschaften heißt Magnet. Jede Magnet hat einen Nodpol und einen Südpol. Zwei Magnete stoßen einande ab, wenn gleichnamige Pole einande gegenübestehen, sie ziehen einande an, wenn ungleichnamige Pole einande gegenübestehen. N S S N N S N S magnetische Kaft magnetische Kaft Die Ede hat ebenfalls magnetische Eigenschaften. De Nodpol eine Magnetnadel zeigt zum geogaphischen Nodpol de Ede. Seit etwa n. Ch. weden auf Schiffen Magnete zu Navigation benutzt. Ein Zusammenhang zwischen Elektizität und Magnetismus wude schon um 8 vemutet. Zunächst untesuchte man Voltasche Säulen, denen kein Stom entnommen wude, auf Magnetismus (Ritte 8). Oested (777-85) entdeckte 8, daß es auf den Stomfluß ankommt. Seine Entdeckung, daß eine Magnetnadel duch einen stomfühenden Daht ausgelenkt weden kann, fand goße eachtung. Vesuch von Oested: Daht > Daht S N S N De Vesuch von Oested zeigt die Wechselwikung zwischen einem Magneten und einem Stom.

2 -Gundlagen de Elektotechnik..5 Wie in Abschnitt.5 mitgeteilt, gibt es auch "magnetische" Käfte zwischen stomfühenden Leiten: F k δ Popotionalitätsfakto. (.5.) N 7 k A Einheiten: [ F ] N (Newton), [ / ] A (Ampèe), [,δ ] m (Mete). (im Vakuum; egibt sich aus Natubeobachtung) Diese Käfte heißen elektomagnetische Käfte. Auch die magnetischen Eigenschaften von "Natumagneten" können duch bewegte Ladungen eklät weden.die Umfomung von elektische in mechanische Leistung in Elektomotoen beuht auf dem dem Elektomagnetismus. Gundidee von Ampèe; späte ekannte man, daß die Usache de Spin de Elektonen ist.

3 -Gundlagen de Elektotechnik Gößen des elektomagnetischen Feldes 6.. Kaft zwischen bewegten Ladungen Eigentliche Usache de elektomagnetischen Kaft: Die duch (.5.) beschiebene Kaft geht letztlich zuück auf eine Kaft, die zwei bewegte Ladungen aufeinande ausüben. Diese Kaft titt zusätzlich zu elektostatischen Kaft nach (..) auf. Gegeben seien zwei feie Ladungen Q, Q, die sich mit den Geschwindigkeiten v, v im Abstand (momentan) paallel zueinande bewegen. Dann ist die elektomagnetische Kaft F µ 4π ( Q v )( Q v ), (6...) ( ) ( ) ( ) ( ) sign Q v sign Q v F > Anziehung, sign Q v sign Q v F < Abstoßung. Q v Q v De Zusammenhang (6...) egibt sich aus Natubeobachtungen. Die auf die bewegten Ladungen ausgeübte Kaftwikung ist also popotional zum Podukt de Ladungen mit deen Geschwindigkeiten; Usache fü die gegenseitige Kaftwikung ist also nicht allein in de Ladung, sonden im Zusammenwiken von Ladung und Geschwindigkeit zu sehen. µ ist eine von dem umgebenden Medium abhängige Mateialgöße und heißt Pemeabilität des Mediums, siehe Abschnitt (6...)

4 -Gundlagen de Elektotechnik 3..5 Die Göße 4π wude aus paktischen Gesichtspunkten in (6...) eingefüht, um gewisse andee / Fomeln handliche zu machen. µ heißt Pemeabilität und ist eine Mateialgöße des Mediums, in dem sich die Ladungen bewegen. n vielen Fällen ist µ eine Konstante, oft jedoch ist µ abhängig von veschiedenen physikalischen Gößen. µ egibt sich bei den hie vewendeten intenationalen Einheiten (S) aus (6...) und damit aus de Natubeobachtung. Die Pemeabilität ist eine Definitionsgöße, die alledings übe eine Gundgleichung definiet wude. Fü das Vakuum ist µ µ 4π 7 Vs Am. (6...) Ein Expeiment gemäß obige Abbildung mit feien Ladungen läßt sich nu schwe duchfühen aus folgenden Günden: ) Zusätzlich zu de magnetischen Kaft titt eine elektostatische Kaft auf. ) Die Vesuchsanodnung ändet sich dauend, weil sich die Ladungen aufgund von v, v und de auftetenden Käfte bewegen. Eine ealistische Vesuchsanodnung ehält man, wenn man zwei feststehende, kuze, paallele Leitestücke duch zu ihnen senkechte Stomzufühungen speist und die Kaft zwischen diesen Leitestücken betachtet. s F F s v v Leiteelement Leiteelement

5 -Gundlagen de Elektotechnik 4..5 Diese Anodnung hat folgende Voteile: ) Keine elektostatische Kaft zwischen den Leitestücken, da die negativen Ladungen de bewegten Elektonen duch die positiven Kenladungen kompensiet weden. ) Vesuchsanodnung ändet sich wähend des Vesuches nicht. 3) Ladungen, die in den Zuleitungen fließen, üben nu unwesentliche magnetische Käfte auf die in den betachteten Leiteelementen fließenden Ladungen aus, da die Zuleitungen echtwinklig zu den Leiteelementen velegt sind. Ladungsdichteinden Leiteelementen: η Ladung in LE: Q s A η, Ladung in LE : Q Q v v v v η η Q v A Q, s v A Q, s s, s. s A η, (6...3.a,b) (6...4.a,b) (6...5.a,b) (6...5.a,b) in (6...) eingesetzt egibt F µ 4π ( s)( s), (6...6) F > Anziehung, F < Abstoßung.

6 -Gundlagen de Elektotechnik Magnetische nduktion Die Gesetze (6..., 6...6) lassen sich folgendemaßen deuten: Die bewegte Ladung Q bzw. de Stom vesetzen den Raum in einen besondeen (magnetischen) Zustand. Diese Zustand wid duch eine magnetische Feldgöße, die magnetische nduktion, beschieben. Aufgund dieses Raumzustands wid auf die bewegte Ladung Q bzw. auf den Stom eine. Kaft ausgeübt. (6...) und (6...6) lassen sich folgendemaßen umscheiben: ( ) F Q v ( ) F s µ Qv, 4π am Ot von Q, v µ s 4π am Ot von, s. (6...) (6...) n diese Scheibweise dückt sich die Nahwikungs- ode Feldtheoie aus (Faaday ): Eine Kaftwikung auf einen Köpe kann nu vom Zustand de Umgebung des Köpes und von den Eigenschaften des Köpes bestimmt sein. is zu Faaday ging die damalige mechanistische Weltanschauung davon aus, daß es nu Fenkäfte gibt (Fenwikungstheoie). in (6...,) muß nicht unbedingt von Q v bzw. s heühen. Es kann auf veschiedene andee Weisen ezeugt weden. Einfühen vektoielle Gößen: Wenn das Leiteelement paallel zum Leiteelement ist (Fall ), ist die Kaft auf das Leiteelement maximal. Wenn das Leiteelement senkecht zum Leiteelement liegt (Fälle und 3), ist die Kaft Null. Die Natubeobachtung zeigt, daß die Kaft popotional zum Cosinus des Winkels ist, den die beiden Leiteachsen einschließen.

7 -Gundlagen de Elektotechnik 6..5 Fall Fall Fall 3 n den dei obigen Fällen ist die nach (6...) beechnete magnetische nduktion am Ot des Leiteelements gleich, totzdem ist die Kaftwikung auf das Leiteelement unteschiedlich. Die nach (6...) beechnete Göße ist deshalb zum eechnen de Kaft nicht auseichend. Da es auf die Richtung des Leiteelements ankommt (Fälle und 3), muß die magnetische nduktion eine vektoielle Göße sein. Da es jedoch auch auf die Richtung des Leiteelements ankommt (Fälle und ), muß auch dieses duch einen Vekto s beschieben weden. De Zählpfeil von und s sollen hiebei die gleiche Richtung haben. Wenn man die vektoielle Göße am Ot des Leiteelements so definiet, daß de etag duch (6...) gegeben ist, und ihe Richtung senkecht zu Achse des Leiteelements und echswendig zu diese Achse ist, so ehält man fü F den allgemein gültigen Ausduck F s. Hiebei ist s ein Vekto, de die gleiche Richtung und Länge hat wie das Stomelement. Die Zuodnung de Richtungen des Leiteelements und von ist wie in folgende Zeichnung zu wählen. s s µ 4π

8 -Gundlagen de Elektotechnik 7..5 Wenn eine magnetische Kaft F auf eine mit de Geschwindigkeit v bewegte Ladung Q wikt, kann man imme einen Vekto so definieen, daß F Q v ( Loentzkaft ). (6...3) ( ) Q: ewegte Ladung ( Q > und Q < möglich ) ei katesischem Koodinatensystem: v i vx + j vy + k vz Geschwindigkeit von Q, i x + jy + k z magnetische nduktion, F i Fx + jfy + k Fz Kaft auf Q. Dies zeigt die Natubeobachtung. Gleichung (6...3) ist die Definitionsgleichung fü die magnetische nduktion. Wenn F, Q und v gegeben sind, hat einen Wet, de (6...3) efüllt. F steht imme senkecht auf v und. Deht man den Vekto v auf den Vekto, weist F in die Richtung, in die sich ein Kokenziehe beim Eindehen bewegen wüde. v, und F bilden ein Rechtssystem. De etag von F egibt sich zu F F Q v sinα, α Q > v α ist de Winkel, um den man v dehen muß, damit v auf zu liegen kommt. Loentz ; Elektonentheoie

9 -Gundlagen de Elektotechnik 8..5 (6...3) kann man in einem katesischen Koodinatensystem auch folgendemaßen scheiben: i j k F i F + j F + k F Q v v v x y z x y z x y z { y z z y x z z x x y y x } Q i ( v v ) j ( v v ) + k ( v v ), somit ( ) F Q v v x y z z y ( ) F Q v v ( ) y z x x z F Q v v z x y y x,,. (6...4.a,b,c) Das Gleichungssystem (6...4.a,b,c) kann in die Fom v v z y Q vz vx vy vx A x y z F x Fy F z umgeschieben weden. Die Matix A ist singulä, d.h. det( A ). Wenn Q, v und F bekannt sind, kann aus (6...4.a,b,c) somit nu bis auf einen beliebig wählbaen Summanden in Richtung von v beechnet weden. Die magnetische nduktion ist definiet aus de Kaft F, die auf die mit de Geschwindigkeit v bewegte Ladung Q entspechend (6...3,6...4) wikt. Usache von sind bewegte Ladungen bzw. Stomfluß. Einheit von : Aus (6...3) folgt fü die Definitionseinheit de Definitionsgößenat kg m kg kg m s Vs 3 T (Tesla). m s As s As s A m m [ F ] Q v

10 -Gundlagen de Elektotechnik 9..5 eispiel: / Ein Poton bewegt sich mit de Geschwindigkeit v im homogenen magnetische nduktionsfeld. Es gelte: 7 kg. 7 m v, s,,, 4 T,, Qp,6-9 C, mp,67 - z y v y x Dann ist die auf das Poton wikende elektomagnetische Kaft F gegeben duch 9 7 m F Q ( v v ) q v, 6 C 4T 6, 4 N x p y z z y y z F Q ( v v ) N, y p z x x z F Q ( v v ) N. z p x y y x s, Die auf das Poton wikende eschleunigung a egibt sich aus dem dynamischen Gundgesetz zu a a x z Fx 6, 4 mp, 67 Fz m m s. p 7 N kg 5 m 3, 83, a s y Fy m m s, Da die eschleunigung stets senkecht zu ahnichtung des Potons wikt (denn P F v aus Vektopodukt), und F imme senkecht zu steht, bewegt sich das Poton mit konstante ahngeschwindigkeit auf eine Keisbahn mit dem Radius R. R kann duch Gleichsetzen de Loentzkaft F x mit de Zentipetalkaft 3 (z) F x gewonnen weden: v (z) y! Fx mp Qp v yz Fx, R 7 7 m m pv y, 67 kg s R 9 Q, 6 C 4T p z,6 cm. z y v y F R x 3 De etag de Zentipetalkaft egibt sich aus de Mechanik de gleichfömigen ewegungen mit de ahngeschwindigkeit v auf einem Keis des Radius R zu v F m. R

11 * -Gundlagen de Elektotechnik..5 Dastellen eines magnetischen nduktionsfeldes: ist im allgemeinen eine Funktion des Otes. Von zeitlichen Abhängigkeiten kann hie abgesehen weden, da nu statische Felde betachtet weden. Fü die anschauliche Dastellung gibt es folgende Möglichkeiten: ) Zeichnen viele Vektoen, die an vielen Stellen des Raumes Richtung und etag von angeben: " " " "! K K K H E D C A A. D C A A. ) Zeichnen von Feldlinien, deen Richtung an jede Stelle des Raumes mit de Richtung von übeeinstimmt. Velaufen alle Feldlinien in paallelen Ebenen, so kann man die Liniendichte so wählen, daß sie ein Maß fü den etag ist. Die Vewendung von Feldlinien geht auf Faaday zuück.

12 -Gundlagen de Elektotechnik..5 Das linke ild zeigt -Linien um einen unendlich langen, geaden Daht, duch den de Stom fließt, Das Feld ist inhomogen. Das echte Feldbild zeigt ein homogenes Feld. inhomogenes Feld bei geadem Daht homogenes Feld 3) Räumliche Dastellung von -Linien z.. duch gebogene Dähte möglich. Kaftwikung auf ein stomduchflossenes Leiteelement in einem magnetischen nduktionsfeld: Nach (6...5) ist Q v ds. d s ist ein vektoielles Leiteelement. Auf dieses wikt nach Gleichung (6...3) die elektomagnetische Kaft ds df ( ds ). 4 (6...5) df eim eechnen de Gesamtkaft F auf ein komplizietees stomduchflossenes Leitegebilde muß man ntegationspozesse duchfühen. Leite können auch Käfte auf sich selbst ausüben, wenn sie nicht geadlinig sind. 4 Stomzählpfeil und ds haben gleiche Richtungen.

13 -Gundlagen de Elektotechnik..5 Allgemeine Ausduck fü die Kaftbeechnung: Die Gesamtkaft auf eine stomduchflossene Leiteschleife in einem magnetischen nduktionsfeld egibt sich zu F df ds. (6...6) ds n diesem Ausduck ist die gesamte, d.h. selbst- und femdezeugte magnetische nduktion am Ot des Leitestücks ds. Die selbstezeugte magnetische nduktion tägt nicht zu Gesamtkaft bei, da sie sich in ihe Wikung am Leite geade aufhebt. Kaft auf einen geaden stomduchflossenen Leite im homogenen magnetischen nduktionsfeld: F df ds ds. epäsentiet ein homogenes magnetisches nduktionsfeld. Da ds, vgl. Skizze, gilt Leite F ds, F und man ehält F df d. (6...7) Die Kaft F wikt aus de Zeichenebene heaus, wenn die technischen Richtungen von und mit den in obige Skizze gezeigten Zählpfeilichtungen übeeinstimmen.

14 -Gundlagen de Elektotechnik 3..5 Schließt mit ds den Winkel α ein, so gilt Leite F df d sinα. α F Da homogen und somit keine Funktion von ds ist, gilt F df d sinα sin α. (6...8) Die Kaft F wikt aus de Zeichenebene heaus, wenn α im eeich < α < 8 ist. Andenfalls wikt die Kaft F in die Zeichenebene hinein.

15 -Gundlagen de Elektotechnik 4..5 eispiel: 5/99 Ein stomduchflossene Keising mit Mittelpunkt im Uspung und Radius ist in einem femdezeugten Magnetfeld, das im linken Halbaum, also fü x<, identisch Null ist. Fü x> gelten x y und z. z y ϕ x dϕ ϕ ds ds ϕ ds ds ds x dϕ ( sin ϕ), ds ds y dϕ (cos ϕ ), ds df i ( ) ds ds entgegen Zählichtung fü ds, dϕ i dϕ sin ϕ x j dϕ cos ϕ j ds y k k ds z cos ϕ dϕ sin ϕ dϕ, df cos ϕ dϕ; df sinϕ dϕ, x y F + 9 ϕ 9 (i df + j df ) i i sinϕ x y ϕ+ 9 ϕ ϕ 9 + j cosϕ ( ) cos ϕ dϕ + j ϕ+ 9 ϕ ϕ 9 i ( ) + j ( ) sin ϕ dϕ F.

16 -Gundlagen de Elektotechnik Magnetische Feldstäke Die Usache de magnetischen nduktion sind bewegte Ladungen bzw. Stöme. Als Veallgemeineung von (6...) ehält man fü die vom Leiteelement ds mit dem Gleichstom veusachte magnetische nduktion d an einem Ot, de vom Leiteelement die Entfenung hat, d µ d ds. (6..3.) 4π Voaussetzung: µ const ds d steht senkecht auf ds und. Zählpfeil von und ds haben gleiche Richtung. d, ds und bilden ein Rechtssystem. ist de Einheitsvekto in Richtung von. eispiel: d s und liegen in de Zeichenebene. Dann steht d senkecht auf de Zeichenebene. d d µ 4π ds. ds

17 -Gundlagen de Elektotechnik 6..5 d ds β ds d µ π sin β 4 ds d ds d µ 4π sin Die magnetische nduktion nach (6..3.) hängt u.a. von de Mateialgöße µ (Pemeabilität) ab. Dividiet man (6..3.) duch µ, so ehält man als mateialunabhängige Göße die magnetische Feldstäke d ds dh ds. (6..3.) 3 µ 4π 4π Die magnetische Feldstäke H ist de Quotient aus magnetische nduktion und Pemeabilität µ: H µ. (6..3.3) Einheiten: [] T Vs m, [µ] Vs Am, [H] Vs Vs m Am A. m

18 -Gundlagen de Elektotechnik 7..5 Magnetische Feldstäke außehalb eines Leites mit venachlässigbaen / Queschnittsabmessungen: Duch Übelagen de Einzelanteile (6..3.), d.h. duch ntegation übe die Gesamtlänge des Leites, ehält man die magnetische Feldstäke H nach folgende Voschift : H ds 3. (6..3.4) 4π ds ds H Geschlossene Stomkeis: Das magnetische Feld eines geschlossenen Stomkeises egibt sich außehalb des Leites bei venachlässigbaem Leitequeschnitt zu ds H 4. (6..3.5) 3 (iot-savatsches Gesetz 8, Ampèe 83, gilt bei µconst)

19 -Gundlagen de Elektotechnik 8..5 eispiel zum iot-savatschen Gesetz: / Es soll das magnetische Feld eines unendlich langen geaden stomduchflossenen Leites im Punkt ( x,, ) bestimmt weden. y ( x, y,), x (x,,) z y x + ( y) d s + ( dx, dy, dz) (, dy,) x + y (da nu ntegation längs de y - Achse)., ds i j k dy x y xdy k, H + xdy k 4π 3 (x + y ), H x H y, 5 Hz + xdy x y π 3 4π x x + y 4 ( x + y ) y+ y, H z. π x 5 Es gilt dx ( a + x ) 3 x a a + x, denn duch Diffeentiation kann gezeigt weden: x a + x x d x a + x a + x x dx a a + x a a + x a 3 ( a + x ) ( a + x ) 3.

20 -Gundlagen de Elektotechnik 9..5 Somit gilt fü den etag H de magnetischen Feldstäke um einen unendlich langen, stomduchflossenen Leite im Abstand R /99 H H x + H y + H z + + πr H πr. (6..3.6), Fü R, m, A egibt sich im Vakuum A A H,59, πr π,m m 7 Vs A 6 µ H 4π,59 T. Am m Mit dem Egebnis nach (6..3.6) läßt sich auch die magnetische Feldstäkeveteilung infolge zweie von entgegengesetzt gleich goßen Stömen duchflossene, unendlich lange geade Leite im Punkt P bestimmen. Dabei beechnet man die magnetische Feldstäke fü beide Leite getennt und übelaget die Egebnisse: Leite Leite + s P H ges H H π π( + s) π π,, H ges H + H s s + s ( + ) π π ( + s) π ( + s). Mit >> s ehält man schließlich s H ges π

21 -Gundlagen de Elektotechnik 3..5 Anschauliche Dastellung eines magnetischen Feldes: Man zeichnet Linie, die an jedem Punkt des Raums die Richtung de magnetischen Feldstäke haben (Feldlinien). ei zweidimensionalen Poblemen kann man den etag de magnetischen Feldstäke duch die Liniendichte dastellen. ) Einzelleite: H H ) Zwei paallele Leite, vom Stom gleichsinnig duchflossen: H

22 -Gundlagen de Elektotechnik ) Zwei paallele Leite, vom Stom gegensinnig duchflossen: H Magnetisches Feld eine Zylindespule: Längsschnitt

23 -Gundlagen de Elektotechnik 3..5 Anmekung zu enennung von und H: Nach DN 35 ist fü neben de enennung "magnetische nduktion" die enennung "magnetische Flußdichte" vewendba, fü H neben de enennung "magnetische Feldstäke" die enennung "magnetische Eegung". Andee nicht in die Nom aufgenommene enennungsvoschläge sind fü H magnetische Eegungsstäke, fü magnetische Feldstäke, magnetische Feldintensität, magnetische Felddichte, magnetische Feldbelag. Die enennung "magnetische Feldstäke" fü wude vogeschlagen, weil sich ähnlich wie die elektische Feldstäke E aus Feldkäften definieen läßt.

24 -Gundlagen de Elektotechnik Duchflutungsgesetz 6 ishe wude gezeigt, wie man im Falle µconst aus Stömen duch ntegation die magnetische Feldstäke H in jedem Punkt des Raumes beechnen kann. Die von den einzelnen Stomelementen in jedem Raumpunkt ezeugten magnetischen Feldstäken dh weden integiet und egeben so H. Ein allgemein gültige Zusammenhang ist das von Maxwell fomuliete Duchflutungsgesetz (. Maxwellsche Gleichung). Magnetische Spannung: n einem Magnetfeld wid ein Weg s von nach festgelegt. Man definiet als magnetische Spannung zwischen und H n H H s V H ds. (6..4..a) ds ( ds von nach geichtet) Anstelle von (6..4..a) kann man auch folgende Scheibweise vewenden: V H ds. (6..4..b) s Man beachte die Analogie zu elektischen Spannung: U E ds. ( ) 6 Das Duchflutungsgesetz wid häufig auch als Duchflutungssatz bezeichnet.

25 -Gundlagen de Elektotechnik Magnetische Spannung längs eines geschlossene Weges: Als eispiel wid ein unendlich lange, vom Gleichstom duchflossene Daht betachtet, um den zwei unteschiedliche Wege gelegt sind:. H ϕ ds dϕ R ϕ ϕ V H ds H R dϕ, s s π s ϕ π ϕ V R R d s ϕ π π ϕ ϕ π.. H ϕ Kein eitag zu V s R R ϕ ϕ Kein eitag zu V s V s π π H πr + ϕ R dϕ + R dϕ +. π π H π π ϕ R dϕ πr R dϕ H ϕ n beiden Fällen ehält man das gleiche Egebnis fü V s. Dieses Egebnis hätte man auch ehalten, wenn man einen beliebigen andeen geschlossenen Weg um den Leite gewählt hätte. Dagegen hätte sich V s egeben, wenn man einen Weg gewählt hätte, de den Leite nicht umschließt. Diese Sachvehalt wid duch das Duchflutungsgesetz (Maxwell) allgemein geschieben. n einem beliebigen von Stömen duchflossenen Raum ist das Wegintegal von H längs eines geschlossenen Wegs gleich de Summe alle Stöme, die von dem geschlossenen Weg umfaßt weden. Rechtswendig umschlossene Stöme sind positiv (k v ), linkswendig umschlossene Stöme negativ (k v -) einzusetzen: s N Hds SdA k A ν ν ν Θ. (6..4.) Θ heißt Duchflutung. (6..4.) gilt auch in Räumen mit otsabhängigem µ.

26 -Gundlagen de Elektotechnik De egiff echtswendig aus dem Duchflutungsgesetz läßt sich folgendemaßen definieen: Ein Weg / umschlingt den Stom echtswendig, wenn man im Leite in Richtung des Stomzählpfeiles blickt, und wenn de Duchlaufsinn des Weges hiebei dem Uhzeigesinn entspicht. eispiele: ) s 3 H ds + + S S 4 θ 4 ) Feld im nneen und Äußeen eines unendlich langen geaden Leites R y < R: H x SZ π R, S z π π H ϕ R Hϕ πr.!, H > R: ~ ~ π Hϕ, Hϕ. π R

27 -Gundlagen de Elektotechnik ) Zwei unendlich lange, von gleichem Stom entgegengesetzt duchflossene Leite x,yb xa,yb y x ds xa,y xa yb x y H x (x,)dx + H y(a,y)dy + H x (x,b)dx + H y(,y) dy -. x y xa yb Das Duchflutungsgesetz in de angegebenen Fom (6..4.) gestattet das schnelle eechnen magnetische Spannungen längs geschlossene Wege, nicht jedoch das eechnen de Feldstuktu. Hiezu kann man bei µ const. das iot-savatsche Gesetz zu benutzen. Anmekung: Das iot-savatsche Gesetz (8) gilt nu in Räumen mit µconst. Das Duchflutungsgesetz (Maxwell 86) gilt auch, wenn µ const ist. Das Duchflutungsgesetz ist somit allgemeine. Aus dem Duchflutungsgesetz kann man unte de Voaussetzung µconst das iot-savatsche Gesetz als Sondefall heleiten.

28 -Gundlagen de Elektotechnik Duchflutungsgesetz in diffeentielle Fom: 7 Es wid das diffeentielle Flächenelement dxdy in einem elektisch duchstömten Raum betachtet. y (x,y+dy) H x (y+dy) (x+dx,y+dy) dx H y (x) dy S z H y (x+dx) z (x,y) H x (y) (x+dx,y) x Sz dxdy - H y(x)dy + H y(x + dx)dy + H x(y)dx - H x(y + dy)dx, S z H y H x. x y Duch zyklische Vetauschung ehält man analog S S x y H H z y z y H x H z x z,. Fü diese dei Komponentengleichungen scheibt man zusammenfassend mit ot H S (6..4.3) H ot x H y H ot y H z H ot z H x z x y H z H x H y y z x,,. 7 Das Duchflutunggesetz stellt einen Sondefall de. Maxwellschen Gleichung da, die in diffeentielle Fom folgendemaßen geschieben weden kann: D ot H S + t

29 4 O N O O N N -Gundlagen de Elektotechnik Veanschaulichen von ot H S am eispiel des unendlich langen geaden Leites: K H K H K H K H S x Sy H y Hϕ cos ϕ H x Hϕ sin ϕ Zu ehalten ist nach (6..4.3) S z H y H x y x. etachtet wid die positive x-achse ( x>,ϕ ). Dann gilt mit dy xdϕ ( ϕ cosϕ) H y x x H H x ϕ ϕ, ( H ϕ ϕ) ( H ϕ ϕ) H H ϕ H x sin sin cosϕ y y x ϕ x x ϕ ϕ ϕ ϕ. Fü x < R gilt H ϕ x πr, S z π R. Damit ehält man H y x H Hϕ H x ϕ + y x x πr πr πr.

30 -Gundlagen de Elektotechnik Fü x > R gilt H ϕ πx, S. z Man ehält damit H y x H Hϕ H x ϕ + y x x πx πx. Die mit oth beechneten Egebnisse stimmen mit den zu ewatenden Weten fü S z übeein. Vektopotential: n einem homogenen Raum ist µconst und somit div H. (6..4.4) Wegen divota kann man H duch H ota (6..4.5) dastellen. A ist dabei ein Vekto, de duch (6..4.5) definiet ist. Aus (6..4.3) folgt mit (6..4.5) ot H ot ot A gad diva A S. (6..4.6) n (6..4.6) bedeutet de auf A angewandte Laplace-Opeato ( A ) ( A ) ( A ) x y z A A A + + x y z x x x, A A A + + x y z y y y, A A A + + x y z z z z.

31 -Gundlagen de Elektotechnik 4..5 Setzt man nun willkülich 5/99 diva, (6..4.7) so folgt aus (6..4.6) A S, (6..4.8a) d.h. A x A x A x A A + + S x, y z (6..4.8b) A A + + S y, y z (6..4.8c) A A + + S z. y z (6..4.8d) x x x y y y z z z Die Gleichungen (6..4.8b d) sind Poissonsche Gleichungen, wie sie auch beim Vostellen des Zusammenhangs zwischen elektostatischem Potential ϕ und Raumladungsdichte ρ aufteten, siehe Gundlagen. Anhand de Analogie zum elektischen Feld kann man fü (6..4.8) sofot die Lösung angeben: A ( ) x 4π A ( ) y 4π A ( ) z 4π V V V S ( ) x dv S ( ) y dv S ( ) z dv, (6..4.9a), (6..4.9b). (6..4.9c) Die dei Komponentengleichungen lassen sich zusammenfassen: A 4π V S dv. (6..4.9d) Hiebei sind dv das Volumenelement und de Abstand des Aufpunktes vom Volumenelement. Zu Eläuteung de Vektoen und in (6..4.9a c) diene folgendes ild:

32 -Gundlagen de Elektotechnik 4..5 A() - S( ) Koodinatenuspung

33 -Gundlagen de Elektotechnik 4..5 eispiel fü die eechnung des Vektopotentials: /99 y R Z ds x y - Punkt P x etachtet wid ein dünne, vom Gleichstom duchflossene Dahting mit dem Radius R und dem Duchmesse <<R. Gesucht ist das Vektopotential im Punkt P (R-,,). Aus (6..4.9) ehält man mit SdV ds, fü das Vektopotential in einem Punkt, de duch den Vekto chaakteisiet ist, A 4π s ds, siehe obiges Detailbild. Es ist A A A x z y,, so daß nu die y-komponente dy R cosϕ dϕ von ds beücksichtigt weden muß. Fü den etag des Vektos ehält man R R R R sin sin R R ϕ + (R ϕ + R + R + R + Rcosϕ) + R cos cos ϕ + R cos ϕ + R ϕ R cosϕ cosϕ. R cos ϕ + R cos ϕ

34 -Gundlagen de Elektotechnik ' wid besondes klein fü ϕ, und damit ist de Einfluß von im eeich ϕ auf den Wet von Ay besondes goß. Fü ϕ folgt aus obigem Ausduck fü ' die Näheung ' R o R o + R ϕ o ϕ + R R o R o + ϕ ϕ. R Setzt man weitehin voaus, daß o << R ist, so ehält man o ' R + ϕ. R So ehält man A y π 4π R sin ϕ + R cosϕ dϕ ( R R cosϕ) o 4 π π / 4 ϕ dϕ π / 4 o + ϕ R 4 ln π R o ln π R o. m zweiten ntegal wid übe -π/π ϕ π/4 integiet, weil die obigen Näheungen in diesem ntevall noch einigemaßen zulässig sind. eechnet man aus Ay gemäß H ota die magnetische Feldstäke im eeich des Punktes P, so ehält man H (,, / π( R x) ). [ ]

35 -Gundlagen de Elektotechnik Magnetische Fluß Es sei ein homogenes Magnetfeld mit de nduktion gegeben. Es wede eine ebene Fläche A definiet, die die Feldlinien senkecht duchsetzen. Dann bezeichnet man als magnetischen Fluß Φ duch die Fläche A / (homogen) A (eben, zu ) Φ A. (6..5.) Schließt die Flächennomale n mit de Richtung von anstelle von (6..5.) einen beliebigen Winkel ϕ ein, dann ehält man (homogen) n A ( eben ) Φ A cosϕ. (6..5.) d da cos da. (6..5.3) A A A x y z z ϕ da Nomalenvekto ( in Richtung Außenseite) Α da y x

36 -Gundlagen de Elektotechnik Die Flächennomale zeigt in Richtung de Außenseite. Wenn sich Φ > egibt, geht de Fluß von de nnenseite auf die Außenseite de Fläche A. /99 Definitionseinheit de Definitionsgößenat Φ: kg Vs m m Vs Tm Wb (Webe). As m [ ] [ ] Ebenso wie die magnetische nduktion und die magnetische Feldstäke ist de magnetische Fluß eine Definitionsgößenat, deen Einfühung zum Lösen technische und wissenschaftliche Pobleme zweckmäßig ist. Die skalae Göße Φ (magnetische Fluß) ist ein Maß fü die esultieende Wikung des magnetischen Feldes in eine Fläche A. Φ ist das ntegal des Skalapodukts aus magnetische nduktion und Flächenelement. Φ> bedeutet, daß de Fluß von de nnen- auf die Außenseite de Fläche A geht, Φ< bedeutet, daß de Fluß von de Außen- auf die nnenseite de Fläche A geht. Duch den magnetischen Fluß Φ wid im Gegensatz zum Stomfluß nichts tanspotiet.

37 -Gundlagen de Elektotechnik Quellenfeiheit von : De in ein Volumenelement eintetende magnetische Fluß ist gleich dem aus dem Volumenelement austetenden magnetischen Fluß. ist also quellenfei, div 8. (6..5.4) (6..5.4) gilt auch, wenn µ otsabhängig ist. Wegen (6..3.3) ist deshalb H H x y H z div div( µ H) µ + + x y z div H µ + x H µ y H µ z H x + y + z. (6..5.5) ei nicht otsabhängigem µ folgt aus (6..5.5) div H. ( µ nicht otsabhängig ) (6..5.6) eispiel: etachtet wid das Vehalten von und H, wenn das Magnetfeld senkecht duch eine Genzschicht titt: µ H µ µ > µ Die magnetische nduktion bleibt an de Genzfläche konstant. Fü H gilt das nicht, denn an de Genzfläche entstehen neue H -Feldlinien. 8 Die Quellenfeiheit von läßt sich in integale Fom scheiben als da. A

38 -Gundlagen de Elektotechnik Magnetische Fluß Φ und Vektopotential A: 5/99 ei µconst ist mit (6..4.5) und (6..5.3) Wendet man auf Φ µ ot ( A) cosϕ da. A A den Stokeschen ntegalsatz 9 an, so ehält man Φ µ A ds. (6..5.7) s Man ehält den magnetischen Fluß, de duch eine beliebig beandete Fläche hinduchgeht, indem man das Linienintegal des Vektopotentials längs de Randlinie de Fläche bildet. eispiel: Gesucht ist de magnetische Fluß Φ duch den im Abschnitt 6..4 betachteten Dahting. Mit (6..5.7) gilt R Φ µ A ds µ π R A y µ R ln. s 6..6 Magnetische Feldenegie Ein statisches magnetisches Feld kann bestehen, ohne daß man von außen ständig Enegie zufüht. Die ezeugenden Stöme können zwa ohmsche Veluste haben, abe diese Enegievebauch hat an sich nichts mit dem magnetischen Feld zu tun. Alledings ist zum Aufbau des magnetischen Feldes einmalig eine Enegiezufuh efodelich. Die zugefühte Enegie ist im Feld in Fom magnetische Feldenegie gespeichet. 9 De Stokesche ntegalsatz lautet ot ( A) cos da A ds, wobei s de Rand von A ist. A ϕ Mit dem gewonnen Egebnis fü den magnetische Fluß Φ läßt sich unmittelba eine Fomel fü die Selbstinduktivität angeben: Φ R L µ R ln. s

39 -Gundlagen de Elektotechnik Eine Spannungsquelle wid zum Zeitpunkt t an eine Leiteschleife mit dem Widestand R angeschlossen. Nach Schließen des Schaltes beobachtet man den dagestellten Velauf von Stom i und Spannung u. ( Vogiff auf 6.3 ) R i t i(t) U q p(t) U q G u(t) i(t) U q /R i u(t) t De Schalte wid bei t geschlossen. Obwohl die Schleife keinen ohmschen Widestand hat, ist nach dem Einschalten u. Damit ist auch die Momentanleistung p(t) u i >, d.h., die Schleife nimmt Leistung auf. Diese Leistung wid im magnetischen Feld gespeichet. Fü i(t) gegen U q / Ri. t geht Magnetische Feldenegie po Volumen: w m µ H H µ. (6..6.) Die Heleitung von (6..6.) efolgt, nachdem das nduktionsgesetz bekannt ist, siehe Abschnitt 6.3. Magnetische Feldenegie im Volumen V: Wm w m dv µ H dv H dv V V V V µ dv. (6..6.) (6..6.) gilt auch bei otsabhängigem µ.

40 -Gundlagen de Elektotechnik eispiel: Gesucht ist die magnetische Feldenegie im Raum zwischen nnen- und Außenleite eine Koaxialleitung de Länge. a H ϕ π, i H w m H µ µ 4 π ϕ, dv dϕ d W m ϕ π a µ dϕ d 4 π i ϕ d dϕ dϕd ϕ π a µ d 4 d π ϕ ϕ µ π ln 4 π µ a ln. 4π i i a i Anmekung: De oben beechnete Ausduck fü W m enthält nicht die magnetische Feldenegie in den Leiten selbst. Dazu müßte eine weitee Feldbetachtung fü das nnee de Leite de Koaxialleitung duchgefüht weden.

41 -Gundlagen de Elektotechnik Elektomagnetische Felde in feomagnetischen Stoffen 5/ Feomagnetische Stoffe, Hysteese ei den meisten Stoffen untescheidet sich die Pemeabilität µ von de Pemeabilität µ des Vakuums est in de vieten bis sechsten Dezimalen: 5 Kupfe µ µ ( ), 5 Silbe µ µ ( 5 ),, Luft ( + 4 ) 5, 6 O d µ µ ( + 86 ),. µ 4π 7 V s A m Man untescheidet dei Guppen von Stoffen:. Die Anwesenheit des Stoffes este At im magnetischen Feld hat eine magnetische nduktion zu Folge, die kleine ist als die magnetische nduktion bei gleiche magnetische Feldstäke im Vakuum: µ < µ. Diese Stoffe weden diamagnetische Stoffe genannt. Dazu gehöen zum eispiel Kupfe, Wasse, Gold, Zink, Stickstoff.. ei einem Stoff de zweiten At ist die magnetische nduktion bei gleiche magnetische Feldstäke göße als im Vakuum: µ > µ. Diese Stoffe weden paamagnetische Stoffe genannt. Aluminium, Luft, Platin sind eispiele. 3. Feomagnetische Stoffe vehalten sich im magnetischen Feld ähnlich den paamagnetischen Stoffen, jedoch ist de Effekt de Vegößeung de magnetischen nduktion um mehee Gößenodnungen stäke als bei den paamagnetischen Stoffen: Es ist µ >> µ,

42 -Gundlagen de Elektotechnik 5..5 d.h. eine gewisse magnetische Feldstäke H hat eine wesentlich gößee nduktion zu Folge als im Vakuum: 5/99 µ H >> µ H. (6..3.3) Technisch wichtige feomagnetische Stoffe sind Eisen, Nickel, Kobalt und deen Legieungen. Das Aufteten eine gößeen magnetischen nduktion als im Vakuum bei gleiche magnetische Feldstäke, d.h. bei gleichem eegenden äußeen Stom, kommt duch magnetische Elementadipole zustande. Diese weden duch die stak ausgepägte magnetische Wikung de Eigenotation de Elektonen (Elektonenspin) auf de äußesten Schale ezeugt. Ein äußees magnetisches Feld ichtet diese Dipole einheitlich aus, so daß sie sich in ihe Wikung addieen. Die gegenübe dem Vakuum zusätzliche magnetische Flußdichte J µ H (6...) heißt magnetische Polaisation. De zusätzlichen magnetischen Flußdichte entspicht dabei eine Ehöhung de magnetischen Feldstäke von H auf µ. Diese Ehöhung M H µ (6...) heißt Magnetisieung. M ist eine magnetische Feldstäke, die nicht auf äußee Stöme zuückzufühen ist und die dahe auch z.. beim Duchflutungsgesetz nicht zu beücksichtigen ist. Die Göße χ m M J H µ H (6...3) heißt magnetische Suszeptibilität. Es ist χ m J µ H µ. (6...4)

43 -Gundlagen de Elektotechnik 5..5 Weiss -ezike (Elementabezike): Feomagnetische Stoffe sind daduch gekennzeichnet, daß beeits bei schwachen magnetischen Felden eine vollkommene Ausichtung de Elementamagnete eeicht weden kann. Es wid angenommen, daß im Vegleich zu den paamagnetischen Stoffen in ihnen Ausichtungskäfte wiksam sind, die die einheitliche Oientieung de Elementamagnete entgegen de Wikung de Wämebewegung untestützen. Weiss nahm an, daß infolge des estehens innee Ausichtungskäfte eine paallele Oientieung de Elementamagnete beeits ohne äußees Feld eintitt, d.h., daß es zu eine spontanen Magnetisieung kommt. Wenn neben de magnetischen auch eine elektostatische Wechselwikung zwischen den Elektonen vohanden ist, so ist das Elektonensystem dann im enegetisch günstigsten Zustand, wenn die Elementamagnete gleichsinnig oientiet sind. So bewiken elektische und magnetische Wechselwikung die Ausbildung kleine eeiche spontane Magnetisieung entgegen de Wämebewegung. Diese eeiche heißen Elementabezike ode Weiß-ezike; de gesamte Köpe ist ohne ein äußees Feld in eine goße Anzahl diese ezike aufgeteilt, wobei die Magnetisieungsichtungen von ezik zu ezik veschieden sind. Die Wikung de einzelnen ezike heben sich gegenseitig auf, und de feomagnetische Köpe escheint nach außen hin unmagnetisch. H H H Unte de Wikung schwache und mittlee Feldstäken findet ein Umklappen de Richtungen de einzelnen ezike spontane Magnetisieung in Richtung de leichtesten Magnetisiebakeit, die am nächsten zu de Richtung des äußeen magnetischen Feldes liegt, statt. Das Volumen de günstig oientieten ezike wächst auf Kosten andee ezike. Vogänge diese At heißen Genzveschiebungen. Wid die magnetische Feldstäke weite ehöht, so wid die Genzveschiebung abgeschlossen, und es efolgt die Dehung de Richtung des ezikes spontane Magnetisieung in die Richtung des äußeen Feldes. st diese Dehvogang ab eine bestimmten magnetischen Feldstäke vollendet und vollkommene Ausichtung eeicht, dann ist das feomagnetische Mateial im Sättigungszustand. Wid die magnetische Feldstäke noch weite ehöht, so spielen sich nu noch paamagnetische Pozesse ab, denen die Wämebewegung entgegenwikt und die so zu keine eheblichen Steigeung de magnetische nduktion fühen. Aus diesem unteschiedlichen Vehalten des feomagnetischen Mateials bei veschiedenen Feldstäken Weiss, Chistian Samuel, (78-856), Kistallogaph, Pofesso in Leipzig und elin.

44 -Gundlagen de Elektotechnik egibt sich ein nichtlineae Zusammenhang zwischen und H, de als Magnetisieungskuve bezeichnet wid. - bezeichnen dabei die einzelnen Phasen de Genzveschiebungen und Dehungen de Weiss-ezike H Relative Pemeabilität (Pemeabilitätszahl): Die Vestäkung de magnetischen nduktion in einem feomagnetischen Mateial wid in de Pemeabilität µ beücksichtigt. De Fakto, um den die magnetischen nduktion göße wid als im Vakuum bei gleiche magnetische Feldstäke, wid als elative Pemeabilität µ bezeichnet, deen Göße vom Mateial abhängig ist; bei dia- und paamagnetischen Stoffen ist sie ungefäh eins, bei feomagnetischen Stoffen mehee Zehnepotenzen goß. µ µ µ, µ µ. µ (6...5) Fü Vakuum gilt µ, bei feomagnetischen Stoffen << µ 5.

45 -Gundlagen de Elektotechnik Hysteese: ei feomagnetischen Stoffen ist µ keine Konstante. µ hängt von de magnetischen Vogeschichte des Mateials ab. Zwischen und H hat man den dagestellten Zusammenhang: Hysteeseschleife bei Sättigung (Genzkuve) Neukuve H Hysteeseschleife bei geingee Aussteueung H feomagnetische Stoff Stoff mit µconst. Die Annahme µ const ist bei feomagnetischen Stoffen nu näheungsweise bei kleine Aussteueung geechtfetigt. : Remanenzinduktion (lat. emanee: zuückbleiben) H k H H k : Koezitivfeldstäke (lat. coecee: zwingen) Magnetisch hate Stoffe zeigen ausgepägte, magnetisch weiche Stoffe wenige ausgepägte Hysteese.

46 -Gundlagen de Elektotechnik Anwendung feomagnetische Wekstoffe. Ehöhen von bei vogegebenem H, d.h. vogegebenen Stömen.. Fühen des magnetischen Flusses in elektischen Maschinen, Spulen, Tansfomatoen. µ >> eispiel: Es weden die magnetischen Zustände in magnetisietem Eisen ( feomagnetisch ) fü einen geschlossenen und geschlitzten Tousken betachtet. eim geschlossenen Ken ist die magnetische Feldstäke konstant Null. Es fließen keine Stöme und somit gilt unte eachtung de geometischen Symmetie nach dem Duchflutungsgesetz H ds H π. s Die magnetische Spannung entlang des geschlossenen Weges ist hie Null. Es liegt ein magnetische Kuzschluß vo. s H k H H

47 -Gundlagen de Elektotechnik eim geschlitzten Tous hingegen wid die Symmetie duch den Luftspalt gestöt. Man findet, daß die magnetische Feldstäke von Null veschieden ist. <. µ d. H H d d H L H H k H H < Mit (6..5.4) ehält man < L. Außedem liefet das Duchflutungsgesetz fü eine ntegation entlang de gestichelten Linie! H ds H + H L d s Setzt man in diese Gleichung H L L µ µ. ein, so ehält man die Geadengleichung µ H d. Auf de duch diese Gleichung beschiebenen Geaden liegt de sich einstellende magnetische Abeitspunkt. Den Abeitspunkt ehält man als Schnittpunkt diese Geaden mit de Hysteesekuve, die das Mateialvehalten bescheibt. Man sieht also, daß sich die Feldstäken so einstellen, daß H < und H L > gelten. Nu dann ist das Duchflutungsgesetz efüllt.

48 -Gundlagen de Elektotechnik Feite: Feite entstehen duch Sinten von Eisenoxyd Fe O 3 mit Oxyden zweiwetige Metalle (Ni, Zn, Ma). Diese Stoffe haben ebenfalls hohe Pemeabilität. Diese kommt jedoch duch einen andeen Mechanismus zustande als bei den feomagnetsichen Stoffen. Man bezeichnet Feite als feimagnetisch. Die Leitfähigkeit κ liegt unte -3 S/cm. Feite lassen sich aufgund geinge Wibelstom- und Hysteeseveluste bis zu Fequenzen übe GHz in de Hochfequenztechnik nutzen. Die Pemeabilität und die Sättigungsmagnetisieung ist jedoch geinge als bei den feomagnetischen Wekstoffen. 6.. Magnetische nduktionslinien an de Genzschicht zweie Medien Duchsetzt eine magnetische nduktionslinie die Genzschicht zweie Medien, so wid die nduktionslinie gebochen. Es soll de Zusammenhang zwischen α, α, µ und µ emittelt weden. t α n µ n α t µ µ > µ Zum Emitteln des echungsvehaltens stehen zu Vefügung. div,. Duchflutungsgesetz.

49 -Gundlagen de Elektotechnik Zuest weden die Nomalkomponenten n und n betachtet. Duch oden- und Deckfläche des dagestellten Quades muß wegen div de gleiche magnetische Fluß gehen, wenn man den magnetischen Fluß duch die Seitenflächen venachlässigt. da α µ α µ cosα da cosα da, cosα cosα, (6...). (6...) n n Zum estimmen de Zusammenhänge fü die Tangentialkomponenten t und t wid vom Duchflutungsgesetz (6..4.) Gebauch gemacht. α H t µ H t α ds s µ Fü den eingezeichneten Weg s muß H ds s gelten, da vom Weg s keine Stöme umschlossen weden. Somit gilt H ds H ds, t t was gleichbedeutend ist mit

50 -Gundlagen de Elektotechnik H H. (6...3) t t 5/ Mit (6..3.3) und de Geometie gilt nun t t µ µ, (6...4) sinα µ sinα µ. (6...5) echungsgesetz: Aus (6...) und (6...5) folgt duch Division tanα tanα µ µ. (6...6) Fü den in de Technik häufig auftetenden Fall fü die Genzschicht Feomagnetikum/Luft egibt sich mit µ >> µ unmittelba aus (6...6). tanα >> tanα µ >> µ α µ µ Magnetische nduktionslinien teten paktisch ohne Einfluß des Winkel α im Feomagnetikum senkecht aus dem Feomagnetikum aus. Es gilt α.

51 -Gundlagen de Elektotechnik 6..5 eispiel: Es seien µ 5, µ, α 45. tanα µ tan α, µ 5, α 8 4 π π,.

52 -Gundlagen de Elektotechnik Ohmsches Gesetz des magnetischen Keises Pinzip eines veeinfachten Feldbeechnungsvefahens bei inhomogenem Medium: Die magnetische nduktionslinien eines Keisstomes haben bei homogenem Medium ( µconst ) den unten dagestellten Velauf. Die eechnung von H und ist mittels des iot-savatschen Gesetzes (6..3.5) möglich. De Keisstom umschlinge nun einen Rahmen aus hochpemeablem Mateial (Eisen, Feite etc.) mit µ >>. Das den Rahmen umgebende Medium sei beispielsweise Luft. >> Zum eechnen von H und kann wegen des insgesamt inhomogenen Mediums nicht meh das iot-savatsche Gesetz vewendet weden. Man muß vom Duchflutungsgesetz (6..4.) ausgehen. Die zu Feldbeechnung efodelichen theoetischen Zusammenhänge sind im Duchflutungsgesetz voll efaßt. Alledings ist die Anwendung dieses Gesetzes zu tatsächlichen Feldbeechnung oft schwieig. Selten bestehen geschlossene Lösungen, häufig sind numeische eechnungen nötig.

53 -Gundlagen de Elektotechnik 6..5 ei de Feldbeechnung müssen 5/99. die Richtung. de etag de Gößen H und emittelt weden. Wenn man Anodnungen hat, die teils aus hochpemeablen, teils aus niedigpemeablen Stoffen bestehen, kann man aufgund de feldfühenden Wikung de hochpemeablen Stoffe häufig die Richtungsinfomation näheungsweise in einem esten einfachen Schitt gewinnen. n einem zweiten, ebenfalls einfachen Schitt emittelt man dann den etag. Die beiden Möglichkeiten de Feldbeechnung sind in folgendem Diagamm gegenübegestellt. feldfühende Wikung de hochpem. Stoffe Anodnung mit teils hoch-, teils niedigpemeablen Stoffen Diffeentialfom des Duchflutungsgesetzes Richtung von H, H, als Näheung ntegalfom des Duchflutungsgesetzes zum Emitteln de etäge Anwendung des veeinfachten Feldbeechnungsvefahens: De im obigen Diagamm mit duchgezogenen Pfeilen makiete, veeinfachte Weg soll im folgenden nähe eläutet weden. m obigen eispiel mit Eisenahmen haben die magnetischen nduktionslinien aufgund de feldfühenden Wikung des hochpemeablen Mateial etwa folgenden Velauf: >>

54 -Gundlagen de Elektotechnik Je göße die Pemeabilität des Rahmes im Vegleich zu de des umgebenden Mediums ist, desto wenige magnetische nduktionslinien velassen den Rahmen. Den oben gezeigten Velauf de magnetischen nduktionslinien kann man duch ein im wesentlichen homogenes Feld annähen. >> nhomogenitätsbeeich Die Annäheung stimmt um so besse,. je göße die Pemeabilität des Rahmens gegenübe de Pemeabilität de Umgebung ist (Feldfühung),. je kleine die Queschnittsabmessungen des Rahmens gegenübe seinen Längsabmessungen sind (Homogenität). Magnetische Fluß im Rahmen: Setzt man den obigen quasihomogenen Feldvelauf fü alle weiteen etachtungen voaus, dann läßt sich de magnetische Fluß in einem Eisenahmen näheungsweise ohne goßen mathematischen Aufwand bestimmen. effektive magnetische Weglänge e n Windungen Φ Queschnittsfläche A µ >> µ

55 -Gundlagen de Elektotechnik Duch Anwendung des Duchflutungsgesetzes (6..4.) ehält man /! Hds H e n e. Hieaus folgt fü den magnetischen Fluß Φ im Rahmen n Φ A µ H A µ A, µ A Φ n e Θ Λ e. (6..3.) Wäe in den Rahmen eine Spannungsquelle mit de Klemmenspannung U eingebaut und hätte de Rahmen die spezifische Leitfähigkeit κ, so wäe de Stom duch den Rahmen nach (3.3..) und (3.3..) R κ A U. e G U R Aufgund de Analogie zwischen (6..3.) und dem ohmschen Gesetz bezeichnet man (6..3.) als ohmsches Gesetz des magnetischen Keises. Esatzschaltbild des magnetischen Rahmens: Die magnetischen Vehältnisse im Rahmen können duch folgendes Esatzschaltbild beschieben weden: Φ Θ G m R m Λ Θ : Duchflutung Λ : magnetische Leitwet R m : magnetische Widestand Φ : magnetische Fluß

56 -Gundlagen de Elektotechnik Magnetische Spannung: Ebenso wie im elektischen Stomkeis Teilspannungen längs einzelne Abschnitte des Stomkeises eingefüht weden können, so können im magnetischen Keis magnetische Teilspannungen eingefüht weden. Entspechend kann de gesamte magnetische Widestand in magnetische Teilwidestände aufgeteilt weden. Φ A, µ n Windungen H V V Φ H µ A µ Φ Φ R m. A µ Analogie: n folgende Tabelle ist die Analogie zwischen einem magnetischen Keis aus hochpemeablem Mateial und einem elektischen Stomkeis zusammenfassend dagestellt: Magnetische Keis Elektische Stomkeis Magnetische Fluß Φ Elektische Stom Magnetische Widestand R m, /Λ Elektische Widestand R/G Duchflutung Θ Magnetische Spannung Angelegte elektische Spannung Elektische Spannung

57 -Gundlagen de Elektotechnik eispiel: Φ cm µ A cm e 4 cm D cm cm A n n Θ A cm µ A 4π V s m 7 Wb Λ 3, 4, R, 4 A m m A m e 7 Wb 6 Φ Λ Θ 3, 4 A 3, 4 Wb, ( nach (6..3.) ) A H n A 5, 4 m e A m. ( nach (6..4.) ) Mit (6..6.) läßt sich die Enegiedichte im magnetischen Keis bestimmen: Ws Ws Ws w m H π µ π m 6 m m,. Daaus läßt sich mittels ntegation die Gesamtenegie gewinnen: 4 5 W w dv A w, 4, 39 Ws, 56 Ws. m V m e m ei de Enegiebeechnung wude die magnetische Feldenegie außehalb des Rahmens venachlässigt.

58 -Gundlagen de Elektotechnik Magnetische Fluß in komplizieteen feomagnetischen Stuktuen Rahmen mit nicht konstantem Queschnitt und nicht konstante Pemeabilität: Φ R m Θ 4 A, µ A, µ n Windungen G m Θ n R m R mges A, 4 µ 4 Φ 3 µ << µ, µ, µ, µ 3 4 A, µ 3 3 R m3 R m4 Allgemein ehält man: Rmges N Rmv ν N ν µ ν ν A ν, (6..4.) Φ n R mges Θ R mges. (6..4.)

59 -Gundlagen de Elektotechnik Rahmen mit Luftspalt: / De Luftspalt velaufe senkecht zu den magnetischen nduktionslinien und sei schmal im Vegleich zu seinen Queschnittsabmessungen. Φ Α n Windungen δ R m Α Dann ist das Feld im Luftspalt nahezu homogen, und de Luftspalt kann beim eechnen des gesamten magnetischen Widestands als Teilstück mit µµ betachtet weden. De magnetische Widestand des Luftspalts ist R ml δ A µ. (6..4.3) Damit gilt das folgende Esatzschaltbild: Φ R m Θ n Gm R mges R ml

60 -Gundlagen de Elektotechnik Vezweigte Rahmen: / Φ R m n Windungen Φ Φ 3 R m R m3 R m Φ Φ Φ 3 Θ n G m R m R m3 m Esatzschaltbild des vezweigten Rahmens gelten die in Abschnitt 5. eingefühten Kichhoffschen Sätze in gleiche Weise fü die magnetischen Gößen, wie fü die entspechenden Gößen im elektischen Netzwek, siehe die Analogietabelle in Abschnitt 6..3.

61 -Gundlagen de Elektotechnik 7..5 Rahmen mit meheen Wicklungen: / Φ Φ 3 R m n Windungen Φ n Windungen R m R m3 R m R m3 Φ Φ 3 Θ n G m R m G m Θ -n

62 -Gundlagen de Elektotechnik Kaftwikung auf magnetische Mateialien im magnetischen Feld 5/99 Ein magnetisches Mateial ist daduch gekennzeichnet, daß seine Pemeabilität µ göße ist als die Pemeabilität des Vakuums ( µ > µ ). Diese gößee Pemeabilität entsteht daduch, daß in dem Mateial Elementamagnete vohanden sind, die duch ein äußees Magnetfeld ausgeichtet weden. Diese Elementamagnete kommen, wie schon Ampèe vemutete, duch Ladungsbewegungen zustande (Spin de Elektonen). Solche Ladungsbewegungen im magnetischen Feld sind jedoch mit Kaftwikungen vebunden, und deshalb weden auf Stoffe mit µ > µ im magnetischen Feld Käfte ausgeübt. Hiebei handelt es sich um Volumenkäfte, da diese Käfte ähnlich wie die Gavitationskaft an den einzelnen Patikeln des Köpes angeifen. st ein Köpe aus magnetischem Mateial von andeen de Kaftwikung des Feldes unteliegenden Köpen umgeben, so geifen an seine Obefläche zusätzlich zu den oben genannten Volumenkäften Spannungen (Duckkäfte) de umgebenden Mateie an, vgl. die Auftiebskäfte im Schweefeld. Die eechnung de esultieenden Gesamtkaft ist mühsam, denn hiezu muß de Feldvelauf im gesamten Köpe bekannt sein. m Fall des elektomagnetischen Feldes gelingt es, die duch die Summe eines Raum- und eines Obeflächenintegals gegebene magnetische Kaft auf einen Köpe mittels ein mathematische Umfomung allein in ein Obeflächenintegal übe die Obefläche des Köpes umzuwandeln. Aufgund diese Umwandlung kann die Kaft auf einen magnetischen Köpe im Magnetfeld als ntegal übe eine mechanische Zug- bzw. Duckspannung σ m auf seine Obefläche gedeutet weden. Diese mechanische Spannung wikt senkecht zu Obefläche des betachteten Köpes. F µ < µ µ Volumenkäfte; Kaftwikung auf die Elementamagnete duch nduktionsfeld (vgl. Schwekaft) µ Obeflächenkäfte; Kaftwikung auf die Obefläche duch benachbate magn. Köpe (vgl. Auftieb)

63 -Gundlagen de Elektotechnik 7..5 Volumen- und Obeflächenkäfte auf einen Köpe mit de Obefläche A sind somit in de Fom F σ A m da dastellba. d A ist ein vektoielles Obeflächenelement, dessen Richtung mit de äußeen Nomalen de Köpeobefläche übeeinstimmt. σ m ist eine mechanische Spannung, die übeall senkecht zu Köpeobefläche in Richtung des Mediums mit de geingeen Pemeabilität wikt. m folgenden wid gezeigt, wie diese mechanische Spannung σ m beechnet weden kann. Anodnung: t F n µ Obeflächenausschnitt A eines Köpes mit de Pemeabilität µ, de an einen t Köpe mit de Pemeabilität µ genzt. n µ > µ µ Die eobachtung zeigt, daß die genannte mechanische Spannung σ m sich so äußet, als ob eine Kaft F auf den Obeflächenausschnitt A des Köpes wikte. Diese mechanische Spannung ist zum Köpe mit de geingeen Pemeabilität geichtet. eechnen von F mit dem Pinzip de vituellen Veschiebung: eim Pinzip de vituellen Veschiebung läßt man eine diffeentielle gedachte, d.h. vituelle ewegung de Köpeobefläche in Richtung de Kaft zu, wobei sich de uspüngliche Feldzustand nicht änden soll. Man stellt dann die ilanz zwischen mechanische, magnetische und eventuell elektische Enegieändeung auf und beechnet hieaus die gesuchte Kaft.

64 -Gundlagen de Elektotechnik eechnen von F fü den Fall t t : eim Pinzip de vituellen Veschiebung stellt man sich eine diffeentielle Veschiebung ds de Genzfläche in Richtung de Kaft F vo und stellt die Enegiebilanz zwischen magnetische und mechanische Enegie auf. ei de Veschiebung soll sich de uspüngliche Feldzustand nicht änden. F n µ F Fläche A ds n µ µ > µ Mit (6...) gilt. n n n Fü die vom Feld geleistete mechanische Abeit gilt d W Fds mech. (6..5.) Die Abnahme de magnetischen Feldenegie läßt sich mit (6..6.) bestimmen: d W m n n A ds A ds n µ µ µ µ. (6..5.) Enegiebilanz: d W mech! d W, m Fds A ds n µ µ, F A µ n µ A H n H n µ µ. (6..5.3) σm

65 -Gundlagen de Elektotechnik /99 Die Obefläche eines Köpes mit de Pemeabilität µ genze an einen Köpe mit de Pemeabilität µ. Die Genzschicht wede senkecht von einem magnetischen Feld duchsetzt. Dann kann die Kaftwikung auf den Köpe beschieben weden duch die auf seine Obefläche wikende mechanische Zugspannung σ µ µ µ µ H H m n n n µ µ. (6..5.4) Sondefälle: n. µ >> µ σ m, ( Medium maßgebend) µ n. µ >> µ µ σ m. µ eechnen von F fü den Fall n n : F H t µ F Fläche A ds H t µ µ > µ Wiede wid das Pinzip de vituellen Veschiebung angewandt. Dem Feld entnommene mechanische Abeit: d W Fds mech. (6..5.5) Abnahme de magnetischen Feldenegie mit (6..6.): d Wm A ds µ H t µ H t A ds H t ( µ µ ). (6..5.6)

66 -Gundlagen de Elektotechnik /99 Um bei de vituellen Veschiebung H t const zu halten, muß von de das magnetische Feld ezeugenden Stomquelle Enegie aufgebacht weden. Diese elektische Enegie, sie wid in Abschnitt 6.3 beechnet, ist ( µ µ ) ( µ µ ) d W Ads H H A dsh el t t t. (6..5.7) Enegiebilanz: dwmech dwm + dwel. ( ) Fds A ds H t µ µ, ( ) F A H t µ µ. (6..5.8) Die Obefläche eines Köpes mit de Pemeabilität µ genze an einen Köpe mit de Pemeabilität µ. Paallel zu Genzschicht velaufe ein magnetisches Feld. Dann kann die Kaftwikung auf den Köpe beschieben weden duch die auf seine Obefläche wikende mechanische Zugspannung σ m µ µ µ µ H t t µ µ t. (6..5.9) Sondefall: µ µ >> µ σ m H t. (Medium ist maßgebend)

67 -Gundlagen de Elektotechnik Kombination von (6..5.4) und (6..5.9): 5/99 σ m µ µ > µ µ m allgemeinen Fall wid die Obeflächenspannung σ m als Kombination de Wikungen von Hoizontal- und Vetikalkomponente bestimmt: σ µ µ ( H + H H ) m t n n. (6..5.) Elektomagnet: Zum eechnen von F müßte das gesamte Magnetfeld beechnet weden, und dann müßte man σ m nach (6..5.) übe die Obefläche de beiden Köpe integieen. Dies ist ein schwieiges Poblem, das nu numeisch gelöst weden kann. δ e e F Α F n Windungen µ >> µ Α µ µ >> µ