Tricks Funktionen für Biologen

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1 Tricks Funktionen für Biologen Die reellen Funktionen in der Biologie sind oft Verkettungen von bekannten Funktionen, oder kleine Variationen davon (genauer, Verkettungen mit elementaren Transformationen wie Translationen, Streckungen/Stauchungen und Spiegelungen). Translationen x-translation: f(x + a) Sei f(x) eine reelle Funktion. Sei a eine reelle Zahl. Die Funktion f(x + a) ist die Verkettung der Translation x x + a mit der Funktion f. Der Graph von f(x + a) ist die Translation des Graphen von f(x) um a in der x-richtung: falls a > 0 nach links, falls a < 0 nach rechts. Beispiel: Am besten veranschaulicht man sich diese Translation mit Hilfe der einfachen Funktion f(x) = x. Dann ist f(x + ) = x + und f(x ) = x. Die Graphen dieser drei Funktionen sind Geraden, die man leicht zeichnen kann. Man kann verifizieren, dass die Gerade y = x + links von y = x befindet und die Gerade y = x rechts von y = x befindet. Als Probe, die Nullstelle für f(x) = x hat man in x = 0; die Nullstelle für f(x + ) = x + hat man in x = ; die Nullstelle für f(x ) = x hat man in x =. Man sieht dann, wie die Nullstelle nach links bzw. nach rechts verschoben wird. Der ganze Graph wird (nach links oder nach rechts) um a verschoben: die maximale Definitionsmenge, Lücken in der Definitionsmenge (falls vorhanden); Nullstellen (falls vorhanden); Stelle von Extremwerten (falls vorhanden). Abstände zwischen x-stellen sind aber invariant: wenn zwei Nullstellen Abstand haben, werden die neuen (um dasselbe verschobenen) Nullstellen immer noch Abstand haben. Der Wertebereich bleibt gleich. Dieselben Werte sind Bilder von anderen Stellen. Für eine periodische Funktion bleibt die minimale Periode gleich, da die minimale Periode insbesondere ein Abstand zwischen x-stellen ist.

2 y-translation: f(x) + b Sei f(x) eine reelle Funktion. Sei a eine reelle Zahl. Die Funktion f(x)+b ist die Verkettung der Funktion f mit der Translation y y + b. Der Graph von f(x) + b ist die Translation des Graphen von f(x) um b in der y-richtung: falls b > 0 nach oben, falls b < 0 nach unten. Beispiel: Am besten veranschaulicht man sich diese Translation mit Hilfe der einfachen Funktion f(x) = x. Dann ist f(x) + = x + und f(x) = x. Die Graphen dieser drei Funktionen sind Geraden, die man leicht zeichnen kann. Man kann verifizieren, dass die Gerade y = x + oben von y = x steht und die Gerade y = x unten von y = x steht. Als Probe, der Wert in x = 0 ist für f(x) gleich 0, für f(x) + gleich und für f(x) gleich. Der ganze Graph wird nach unten oder nach oben um b verschoben. Die maximale Definitionsmenge und Lücken in der Definitionsmenge (falls vorhanden), Stellen von Extremwerten und vertikale Asymptoten bleiben gleich. Nullstellen (falls vorhanden) werden ganz anders sein. Extremwerte (falls vorhanden) bleiben an denselben Stellen, die Werte sind aber um b verschoben. Der Wertebereich wird um b verschoben. Die neuen Bilder sind nicht unbedingt alte Bilder von anderen Punkten. Für eine periodische Funktion bleibt die minimale Periode gleich, da die minimale Periode nicht mit den Werten sondern mit der Gleichheit von Werten zu tun hat. Zwei Translationen: f(x + a) + b Sei f(x) eine reelle Funktion. Die Funktion f(x + a) + b bekommt man mit zwei Translationen: f(x) f(x + a) f(x + a) + b f(x) f(x) + b f(x + a) + b Die Reihenfolge der zwei Translationen ist äquivalent, wird aber empfohlen immer die y-translation am Ende durchzuführen.

3 Beispiel: Nach einer quadratischen Ergänzung ist jede Parabel mit vertikaler Symmetrieachse der Form y = a(x x S ) + y s a 0 Also ergibt sich die Parabel y = ax nach einer Translation in der x-richtung um x S und nach einer Translation in der y-richtung um y S. Der Scheitel von y = ax ist der Punkt (0, 0) der xy-ebene. Nach den Translationen wird der Scheitel genau der Punkt (x S, y S ). y = x und y = (x ) bzw. y = x und y = (x + ) + Streckungen/Stauchungen x-streckung/stauchung, f(cx) mit c > 0 Sei f(x) eine reelle Funktion. Sei c > 0 eine reelle Zahl. Die Funktion f(cx) ist die Verkettung der Streckung/Stauchung x cx mit der Funktion f. Der Graph von f(cx) ist die Streckung/Stauchung in der x-richtung des Graphen von f(x) mit Faktor c : falls c > eine Stauchung, falls 0 < c < eine Streckung. Beispiel: Am besten veranschaulicht sich diese Translation mit Hilfe der einfachen Funktion f(x) = x. Dann ist f(x) = x und f( x) = x. Die Graphen dieser drei Funktionen sind Geraden, die man leicht zeichnen kann.

4 Ein anderes Beispiel ist die Sinusfunktion, nämlich sin(x) und sin(x) bzw. sin(x) und sin( x) Die maximale Definitionsmenge wird gestreckt/gestaucht mit dem Faktor c, Abstände zwischen x-stellen sind nicht invariant (alle werden mit demselben Faktor c multipliziert). Entsprechende Werte bleiben aber gleich. Der Wertebereich bleibt gleich. Für eine periodische Funktion wird sich die minimale Periode ändern, da diese ein Abstand zwischen x-stellen ist. Falls P die alte minimale Periode war, ist die neue minimale Periode c P. y-streckung/stauchung, df(x) mit d > 0 Sei f(x) eine reelle Funktion. Sei d > 0 eine reelle Zahl. Die Funktion df(x) ist die Verkettung der Funktion f mit der Streckung/Stauchung y dy. Der Graph von df(x) ist die Streckung/Stauchung in der y-richtung des Graphen von f(x) mit Faktor d: falls d > eine Streckung, falls 0 < d < eine Stauchung. Beispiel: Am besten veranschaulicht sich diese Translation mit Hilfe der einfachen Funktion f(x) = x. Dann ist f(x) = x und f( x) = x. Die Graphen dieser drei Funktionen sind Geraden, die man leicht zeichnen kann. Ein anderes Beispiel ist die Sinusfunktion: sin(x) und sin(x) bzw. sin(x) und sin(x). 4

5 Hier bleiben die x-stellen invariant, insbesondere die Nullstellen. Die Werte, die von Null verschieden sind, werden aber geändert. Der Wertebereich wird gestreckt/gestaucht. Für eine periodische Funktion bleibt die minimale Periode gleich, da die minimale Periode nicht mit den Werten sondern mit der Gleichheit von Werten zu tun hat. Spiegelungen Spiegelung bzgl. der y-achse: f( x) Sei f(x) eine reelle Funktion. Die Funktion f( x) ist die Verkettung von x x mit der Funktion f. In der Figur: x + und ( x) + = x + Die maximale Definitionsmenge wird gespiegelt, Abstände zwischen x-stellen sind invariant. Entsprechende Werten bleiben aber gleich. Der Wertebereich bleibt gleich. Für eine periodische Funktion wird sich die minimale Periode nicht ändern, da diese ein Abstand zwischen x-stellen ist. 5

6 Spiegelung bzgl. der x-achse: f(x) Sei f(x) eine reelle Funktion. Die Funktion f(x) ist die Verkettung der Funktion f mit der Funktion y y. In der Figur: x + und (x + ) = x. Hier bleiben die x-stellen invariant, insbesondere die Nullstellen. Die Werte, die von Null verschieden sind, werden aber geändert (die Bilder sind nicht unbedingt alte Bilder von anderen Stellen). Der Wertebereich wird gespiegelt. Für eine periodische Funktion bleibt die minimale Periode gleich, da die minimale Periode nicht mit den Werten sondern mit der Gleichheit von Werten zu tun hat. Zusammenfassung Kochrezept Seien A, B, C, D reelle Zahlen mit C, D 0. Sei die Funktion f bekannt. Wir kennen auch die Funktion Df(C(x + A)) + B Wir führen die folgenden Schritte in der folgenden Reihenfolge durch:. A: x-translation. C: x-streckung/stauchung (falls C < 0, dazu eine Spiegelung bzgl. der y-achse). D: y-streckung/stauchung (falls D < 0, dazu eine Spiegelung bzgl. der x-achse) 4. B: y-translation x x + A C(x + A) f(c(x + A)) Df(C(x + A)) Df(C(x + A)) + B 6

7 Vorsicht! Wenn man f(c(x + A)) = f(cx + a) mit a = AC schreibt, darf man zunächst die Streckung/Stauchung (inkl. Spiegelung) durchführen, und dann die Translation. Die Translation ist dann aber immer um A, und nicht um a. Wenn man Df(x) + B = D(f(x) + b) schreibt, darf man zunächst die Translation um b = B/D durchführen, und dann die Streckung/Stauchung (inkl. Spiegelung). Wenn man zunächst die Translation macht, dann um b; wenn man die Translation als letztes macht, dann um B. Die maximale Definitionsmenge Die maximale Definitionsmenge der Funktion Df(C(x+A))+B ist gleich der maximalen Definitionsmenge der Funktion f(c(x + A)) da eine y-streckung/stauchung, eine Spiegelung bzgl. der x-achse und eine y-translation die maximale Definitionsmenge nicht ändern. Wichtig sind also nur A und C: die Definitionsmenge wird (wegen A) verschoben und (wegen C) gestreckt/gestaucht (falls C < 0 gespiegelt). Grund: Sei D die maximale Definitionsmenge von f und schreibe X = C(x + A). Das Bild f(x ) ist sinnvoll für X D also für C(x + A) D. Das heisst, x D A C. Also ist die neue maximale Definitionsmenge für f(c(x + A)) gleich f(x) f(c(x + A)) D D A C Der Wertebereich Wir betrachten jetzt die Funktionen mit ihren maximalen Definitionsmengen. Der Wertebereich der Funktion Df(C(x + A)) + B ist gleich dem Wertebereich der Funktion Df(x) + B Wichtig sind also nur D und B: die Definitionsmenge wird (wegen D) gestreckt/gestaucht (falls D < 0 dazu gespiegelt) und (wegen B) verschoben. f(x) Df(x) + B W DW + B Die minimale Periode Falls f periodisch ist, ist die Funktion Df(C(x + A)) + B auch periodisch. Die minimale Periode der Funktion Df(C(x + A)) + B ist gleich der minimalen Periode der Funktion f( C x), da nur die x-streckung/stauchung einen Einfluss auf die Periode hat. Wichtig 7

8 ist also nur C, und das Vorzeichen von C spielt keine Rolle. Falls die minimale Periode von f(x) gleich P ist, dann ist die minimale Periode von f(cx) gleich C P. f(x) f( C x) P C P Man sollte mathematische Kochrezepte nicht einfach auswendig lernen. Man sollte Sie nur als Hinweis benutzen. Man muss sich immer daran erinneren, was man macht und warum. Ansonsten macht man Fehler! In konkreten Beispielen immer die Plausibilität der Ergebnisse sorgfältig überprüfen! 8