10 Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Variablen

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1 6 Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Variablen Die meisten Funktionen in den Naturwissenschaften hängen von mehreren Variablen ab. In diesem Kapitel behandeln wir deshalb Methoden zur Untersuchung von Funktionen in mehreren Variablen. Im letzten Semester haben wir Funktionen f : R R betrachtet, in den Kapiteln 8 und 9 in diesem Semester (lineare) Abbildungen T : R n R m. In diesem Kapitel geht es nun hauptsächlich um Funktionen f : R n R. Sei D R eine Teilmenge. Wir wissen schon von Kapitel 8 (Seite 8), dass eine (reellwertige) Funktion f : D R von zwei reellen Variablen eine Vorschrift ist, die jedem Punkt (,) D eine reelle Zahl z = f(,) zuordnet, f : D R (,) z = f(,). Ist D eine Teilmenge von R oder allgemeiner R n, dann definiert die Zuordnung f : D R (,,..., n ) f(,,..., n ) eine (reellwertige) Funktion in n Variablen. e haben wir schon in Kapitel 8 gesehen. Wir werden in diesem Kapitel vor allem (reellwertige) Funktionen mit Definitionsbereich in R untersuchen. Die meisten Begriffe und Resultate lassen sich problemlos auf den Fall von drei und mehreren Variablen übertragen. Im Gegensatz zum allgemeinen Fall hilft uns bei zwei Variablen jedoch die geometrische Anschauung.. Graphische Darstellung Sei D R und f : D R. Analog zu reellen Funktionen können wir die Funktion f mit Hilfe ihres Graphen veranschaulichen. Der Graph von f ist definiert durch Graph(f) = { (,,f(,)) (,) D }. Wir errichten eine Strecke der Länge z = f(,) über jedem Punkt (,) D (bzw. unter (,) D falls z < ). Die Endpunkte aller dieser Strecken bilden eine Fläche im Raum, welche der Graph von f ist. (,,z) z = f(,) (,)

2 7 e z = f(,) = 8 z = f(,) = z = f(,) = z = f(,) = e ( + ),,7,, , Wir können die Funktion f : D R in zwei Variablen auch durch Niveaulinien (wie die Höhenkurven auf Landkarten) veranschaulichen. Wir schneiden den Graphen von f mit horizontalen Ebenen, das heisst, parallel zur (, )-Ebene in einer bestimmten Höhe z = c. Die Schnittkurve projizieren wir senkrecht in die (, )-Ebene. Die Niveaulinie für z = c ist also gegeben durch N c = { (,) D f(,) = c } R.

3 8 e. z = f(,) = 8 Als Niveaulinien erhalten wir eine Familie paralleler Geraden:. z = f(,) = 8 Als Niveaulinien erhalten wir eine Familie konzentrischer Kreise: z > 8 : keine Lösung 8 = z = 8 = + = 4 = z = 8 = + = 4 = z = 8 = + =

4 9. z = f(,) = Als Niveaulinien erhalten wir eine Familie von Hperbeln: = z = = = oder = ± 4 = z = = = 4 4 = z = = = z = f(,) = e ( + ) Für einen konstanten Wert z = c gilt c = e ( + ) = ln(c) = + und die Niveaulinien sind eine Familie konzentrischer Kreise.,,,,,,,,,,,,,,

5 . Partielle Ableitungen und das Differential Eines unserer Ziele ist, Etremalstellen von Funktionen in mehreren Variablen zu finden und zu untersuchen. Wie für reelle Funktionen brauchen wir dazu Ableitungen. Partielle Ableitungen Sei D R und f : D R eine Funktion. Definition Die partiellen Ableitungen von f im Punkt (, ) sind definiert durch f (, ) = f ( f( +h, ) f(, ) f(, ) f(, ), ) = lim = lim h h die partielle Ableitung nach und f (, ) = f ( f(, +h) f(, ) f(,) f(, ), ) = lim = lim h h die partielle Ableitung nach. e. f(,) = f(,) = e +ln() Wie für reelle Funktionen brauchen wir zusätzlich höhere Ableitungen. Definition Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind definiert durch f = f = ( ) f f = f = ( ) f und f = f = ( ) f f = f = ( ) f.

6 f(,) = mit f (,) = + und f (,) = +6 Satz. Sind die partiellen Ableitungen f und f stetige Funktionen, dann gilt f = f. Die partiellen Ableitungen haben die folgende geometrische Bedeutung. Sei z = f(, ) eine Funktion und P = (,,z ) mit z = f(, ) ein Punkt auf dem Graphen von f. Durch diesen Punkt gibt es drei spezielle Kurven auf dem Graphen: -Kurve durch P : { (,,z) z = f(,) } -Kurve durch P : { (,,z) z = f(, ) } z-kurve durch P : { (,,z ) z = f(,) } Sei z = f(,) = + und P = (,,). -Kurve durch P : -Kurve durch P : z-kurve durch P : { (,,) = f(,) = + },, -,,, -, - -, -, 8 6 4,,,, -, -, - - -,,

7 Bedeutung der partiellen Ableitungen im Punkt P = (,,z ): f (, ): Steigung der -Kurve in P f (, ) = = die -Kurve hat in P eine horizontale Tangente f (, ) < = die -Kurve beschreibt eine Rechtskurve in der Nähe von P f (, ) > = die -Kurve beschreibt eine Linkskurve in der Nähe von P f (, ): Steigung der -Kurve in P f (, ) = = die -Kurve hat in P eine horizontale Tangente f (, ) < = die -Kurve beschreibt eine Rechtskurve in der Nähe von P f (, ) > = die -Kurve beschreibt eine Linkskurve in der Nähe von P Sei z = f(,) = + und P = (,,). Tangentialebene Wir haben im letzten Semester (Kapitel 4) gesehen, dass eine reelle Funktion f : R R in der Nähe eines Punktes (,f( )) durch eine Gerade, nämlich durch die Tangente an den Graphen von f, approimiert werden kann, f() f( )+f ( )( ). Wir wollen nun analog eine Funktion f : D R in zwei Variablen in der Nähe des Punktes P = (,,z ), mit z = f(, ), linear approimieren. Da der Graph von f eine Fläche ist, suchen wir eine Ebene welche. den Graphen in P berührt, z = T(,) = c+a( )+b( ),. in P die gleiche Steigung wie f in -Richtung hat,. in P die gleiche Steigung wie f in -Richtung hat. Wir erhalten damit die Ebene z = T(,) = f(, )+f (, )( )+f (, )( ), welche Tangentialebene genannt wird.

8 Gesucht ist die Tangentialebene an den Graphen der Funktion z = f(,) = an der Stelle (,) = (,). Wie für reelle Funktionen kann nun eine (ev. komplizierte) Funktion in zwei Variablen in der Nähe eines Punktes durch ihre Tangentialebene in diesem Punkt approimiert werden, f(,) T(,) = f(, )+f (, )( )+f (, )( ) für (,) in der Nähe von (, ). Für f wie im vorhergehenden bestimme man eine Näherung für f(8,;,94).

9 4 Das Differential In Analogie zu Satz 4. vom letzten Semester für reelle Funktionen heisst eine Funktion f : D R in zwei Variablen (total) differenzierbar in (, ) D, wenn f(,) = f(, )+f (, )( )+f (, )( )+r(,) mit r(, ) ( ) +( ) für (,) (, ). Einein(, )differenzierbarefunktionistalsoin(, )sehrgutdurchdietangentialebene approimierbar. Benutzen wir die Tangentialebene in (, ) als Näherung von f in der Nähe von (, ), dann erhalten wir eine Näherung für die Änderung f von f, wenn sich um den kleinen Wert = d und um den kleinen Wert = d ändert, f = f( +d, +d) f(, ) f (, )d+f (, )d. Definition Man nennt df(, ) = f (, )d+f (, )d oder kurz das (totale) Differential von f. df = f d+f d ImFall einervariablen giltf() = f( )+f ( )( )+r()unddamitistdf = f ()d. Das Differential ist also die Verallgemeinerung der Ableitung auf mehrere Variablen. Kettenregel Ist = (t) und = f() = f((t)) eine Funktion in einer Variablen, dann gilt die Kettenregel (t) = df dt = f ((t)) (t) = f ((t)) d dt. Diese Regel kann auf zwei (und mehrere) Variablen verallgemeinert werden. Sei z = f(, ) eine Funktion und = (t), = (t) eine sogenannte Parametrisierung von und. Dann ist z = z(t) = f((t),(t)) eine Funktion von t und kann wie folgt abgeleitet werden. Satz. (Kettenregel) z (t) = df dt = f d dt +f d dt = f ((t),(t)) (t)+f ((t),(t)) (t) Sei f(,) = mit = (t) = e t und = (t) = sin(t).