Funktionen einer reellen Veränderlichen

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1 KAPITEL Funktionen einer reellen Veränderlichen.1 Eigenschaften von Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Trigonometrische Funktionen Umkehrfunktionen: Zyklometrische Funktionen Lernziele Grundlegende Eigenschaften von Funktionen als eindeutige Abbildung, typischer Verlauf des Graphen, Symmetrie (gerade, ungerade), Beschränktheit, Monotonie, Zusammenhang mit Umkehrfunktion..1 Eigenschaften von Funktionen 39

2 Funktionen einer reellen Veränderlichen Definition.1 Eine Abbildung oder Funktion f ist eine Zuordnung(svorschrift), die jeder Zahl x aus dem Definitionsbereich D(f ) der Funktion f eine Zahl y = f (x) W (f ) aus der Wertebereich der Funktion zurordnet. Die Bildmenge bzw. dem Bild f (D), d.h. der Menge aller y für die es ein (oder mehrere) x D(f ) gibt mit y = f (x). Im Allgemeinen gibt als Wertebereich das Bild von f an. Abbildung/Funktion y=f(x) Definitionsbereich D(f)=[-;6] Wertebereich W(f)=f(D) Bild der Funktion f Eine Funktion ist eindeutig, aber nicht immer eineindeutig. A Eine Funktion kann explizit als y = f (x) gegeben sein, oder implizit als F (x, y) = 0, oder auch in Parameterform x = φ(t), y = ψ(t). Definition. Der Graph einer Funktion ist die Menge aller geordneten Paare (x, f (x)) für x D(f ). Eine Funktion kann in expliziter Form y = f (x) oder in impliziter Form F(x, y) = 0 gegeben sein. Definition.3 Eine Funktion f : D(f ) W (f ) R heißt monoton wachsend, wenn aus x 1 < x stets f (x 1 ) f (x ) folgt, streng monoton wachsend, wenn aus x 1 < x stets f (x 1 ) < f (x ) folgt, monoton fallend, wenn aus x 1 < x stets f (x 1 ) f (x ) folgt, 0

3 . Potenz- und Wurzelfunktionen streng monoton fallend, wenn aus x 1 < x stets f (x 1 ) > f (x ) folgt, gerade oder achsensymmetrisch, wenn f (x) = f ( x) für alle x D(f ) gilt, ungerade oder punktsymmetrisch, wenn f (x) = f ( x) für alle x D(f ) gilt, nach unten beschränkt, wenn es eine reelle Zahl c mit f (x) c für alle x D(f ) gibt, nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl C mit f (x) C für alle x D(f ) gibt, beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k mit f (x) k für alle x D(f ) gibt, periodisch mit der Periode T, wenn f (x) = f (x + T ) für alle x D(f ) gilt, injektiv oder eineindeutig, wenn aus x 1 x folgt f (x 1 ) f (x ), surjektiv oder Abbildung auf, wenn es zu jedem y W (f ) mindestens ein x D(f ) gibt mit y = f (x), bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Eine wichtige Eigenschaft bijektiver Funktionen besteht darin, dass sie eine Umkehrfunktion besitzen. Definition. Ist f : A B eine bijektive Funktion, die jedem x A genau ein y B zuordnet, dann existiert die Umkehrfunktion f 1 : B A, f 1 (y) = x, die jedem y B genau ein x A zuordnet, d.h. y = f (x) x = f 1 (y).. Potenz- und Wurzelfunktionen Die Potenzfunktionen y = x n, n = 1,,... sind definiert auf (, + ), haben den Wertebereich [0, ), sind gerade Funktionen, nach unten beschränkt durch c = 0, 1

4 Funktionen einer reellen Veränderlichen streng monoton fallend auf (, 0], streng monoton wachsend auf [0, ), nicht injektiv, da ( x) n = x n ist. Die Potenzfunktionen y = x n 1, n = 1,,... sind definiert auf (, + ), haben den Wertebereich (, ), sind ungerade Funktionen, streng monoton wachsend auf (, ), injektiv. y=x n, n=1,,... y=x n-1, n=1,,... A Bestimmung der Umkehrfunktion Auflösen von y = f (x) nach x : x = f 1 (y), Spiegeln des Graphen der Funktion an der Geraden y = x, dies entspricht dem Vertauschen von x und y. Beispiel.5 y = f (x) = x 1

5 . Potenz- und Wurzelfunktionen wird nach x aufgelöst: d.h. die Umkehrfunktion zu f (x) = x 1 ist y = x 1 y + 1 = x x = 1 (y + 1), f 1 (x) = 1 (x + 1). Man beachte, dass wir die Standardbezeichnung f (x) für Funktionen auch bei der Umkehrfunktion verwenden. 11 y=x y=f(x)=x-1 3 y=f -1 (x)=¼(x+1) = ¼x+¼ Definition.6 Die n-te Wurzel, n N, aus einer reellen Zahl a, a 0, ist diejenige nichtnegative reelle Zahl b (also b 0), für die gilt b n = a. Man schreibt b = n a. Die n-te Wurzel bzw. die Wurzelfunktion f (x) = n (x) ist nur für nichtnegative x 0 definiert. Wurzeln können nur aus nichtnegativen reellen Zahlen gezogen werden! 3

6 Funktionen einer reellen Veränderlichen Beispiel.7 Wurzeln sind deshalb nur für nichtnegative reelle Zahlen x 0 definiert, weil man die Potenzgesetze ohne Einschränkungen anwenden will. Das folgende Beispiel zeigt wie sich sonst ein Widerspruch ergeben könnte. Wir nehmen fälschlicherweise an, dass 3 8 = sei, dann ergibt sich: = 3 8 = ( 8) 1 3 = ( 8) 1 3 = ( 8) 6 = 6 ( 8) = 6 6 = + Widerspruch! Trotzdem besitzt die Gleichung x 3 = 8 eine reelle Lösung, nämlich x =, wie man durch x 3 = ( ) 3 = 8 bestätigt. Der Trick bei der Lösung besteht darin äquivalent umzuformen und dann die 3. Wurzel aus 8 zu ziehen: x 3 = 8 x 3 = ( x) 3 = 8 x = x =..3 Trigonometrische Funktionen Die Sinusfunktion f (x) = sin x ergibt sich aus den Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck. a b β α c Wir haben: sin α = a c. Oft wird statt eines Winkels die Länge des zum Winkel α gehörigen Bogenstücks = Bogenmaß x des Einheitskreises in die Sinusfunktion eingesetzt. Auf diese Weise ist sin x für alle x R erklärt, sie ist eine periodische Funktion mit Periodenlänge T = :, d.h. sin x = sin(x + k), k Z, und alle x R. Die Kosinusfunktion, am rechtwinkligen Dreieck ist: cos α = b c. Wiederum nimmt an Stelle des Winkels α das Bogenmaß x und erhalten die Kosinusfunktion cos x für alle x R. Die Cosinusfunktion ist auch ein -periodische Funktion, d.h. cos x = cos(x + k) für alle k Z und alle x R.

7 . Umkehrfunktionen: Zyklometrische Funktionen.3.1 Nützliche Formeln Am rechtwinkligen Dreieck ergibt sich die Beziehung: Spezielle Werte: sin α + cos α = 1 bzw. im Bogenmaß sin x + cos x = 1, x R. Weitere Werte im Gradmaß: φ 0 sin φ cos φ Winkel Bogenlänge Zum Umformen von Gleichungen sind die folgenden Formeln nützlich: sin( x) = sin x ungerade Funktion, 3 cos( x) = cos x gerade Funktion, sin ( x + ) = cos x Weitere trigonometrische Funktionen Weiterhin gibt es die Tangensfunktion tan x = sin x cos x. Sie ist offensichtlich für cos x = 0, also für x = + k, k Z nicht erklärt, außerdem ist sie eine periodische Funktion mit der Periodenlänge T =. Sowie die Kotangensfunktion cot x = cos x sin x. Sie ist offensichtlich für sin x = 0, also für x = k, k Z nicht erklärt, außerdem ist sie eine periodische Funktion mit der Periodenlänge T =.. Umkehrfunktionen: Zyklometrische Funktionen Wie man leicht an den abgebildeten Graphen der trigonometrischen Funktionen sieht, sind die 5

8 Funktionen einer reellen Veränderlichen trigonometrischen Funktionen nicht bijektiv, da sie nicht injektiv sind. Das bedeutet aber, dass es nicht so einfach ist, eine Umkehrfunktion zu definieren. Die Idee besteht nun darin, einen maximalen Bereich für die entsprechende trigonometrische Funktion zu finden, so dass sie bijektiv ist...1 Arcussinus Offensichtlich durchläuft die Sinusfunktion alle Werte des Intervalls [ 1, 1] für x [, genau einmal, d.h. die Funktion [ sin :, ] [ 1, 1], bijekiv. Die Umkehrfunktion arcsin y ist damit erklärt als arcsin y = x y = sin x, y [ 1, 1], x [, ]. ] Deshalb bezeichnet man die Werte x [, ] als Hauptwerte und bezeichnet die mit Arcsin x : [ 1, 1] [, ]. Für Werte außerhalb von [, ] benutzt man dann, dass die Sinusfunktion auch für sin : [ + k, ] + k [ 1, 1], bijekiv ist und definiert (mit kleinem a :) arcsin : [ 1, 1] [ + k, ] + k, arcsin y = x y = sin x... Arcuscosinus Analoges gilt für die Cosinus-funktion und den Arcuscosinus; arccos : [ 1, 1] [k, (k + 1)], arccos y = x y = cos x. Die Hauptwerte sind hier x [0, ] : Arccos x : [ 1, 1] [0, ]...3 Arcustangens und Arcuskotangens Desgleichen besitzen die Tangens- und die Kotangensfunktion über den offenen Intervallen ( + k, + k) bzw. (k, (k + 1)) für k Z jeweils eine Umkehrfunktion. Wir betrachten 6

9 . Umkehrfunktionen: Zyklometrische Funktionen nur die Hauptwerte (k = 0). Wir haben: [ Arctan : R, ], Arctan y = x y = tan x. und analog Arccot : R [0, ], Arccot y = x y = cot x. Bemerkung.8 Zusammenfassung inverse trigonometrische Funktionen (Hauptwerte) Funktion Definitionsbereich Wertebereich y = arcsin x sin y = x 1 x 1 y y = arccos x cos y = x 1 x 1 0 y y = arctan x tan y = x x < y < y = arccot x cot y = x x 0 < y < 7