Grammig, Joachim; Hujer, Reinhard; Kokot, Stefan; Maurer, Kai-Oliver

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1 econstor Der Open-Access-Publkatonsserver der ZBW Lebnz-Informatonszentrum Wrtschaft The Open Access Publcaton Server of the ZBW Lebnz Informaton Centre for Economcs Grammg, Joachm; Hujer, Renhard; Kokot, Stefan; Maurer, Ka-Olver Workng Paper Ökonometrsche Modellerung von Transaktonsntenstäten auf Fnanzmärkten Workng Paper Seres: Fnance & Accountng, Johann Wolfgang Goethe-Unverstät Frankfurt a. M., No. 8 Provded n Cooperaton wth: Faculty of Economcs and Busness Admnstraton, Goethe Unversty Frankfurt Suggested Ctaton: Grammg, Joachm; Hujer, Renhard; Kokot, Stefan; Maurer, Ka-Olver (998) : Ökonometrsche Modellerung von Transaktonsntenstäten auf Fnanzmärkten, Workng Paper Seres: Fnance & Accountng, Johann Wolfgang Goethe-Unverstät Frankfurt a. M., No. 8, Ths Verson s avalable at: Nutzungsbedngungen: De ZBW räumt Ihnen als Nutzern/Nutzer das unentgeltlche, räumlch unbeschränkte und zetlch auf de Dauer des Schutzrechts beschränkte enfache Recht en, das ausgewählte Werk m Rahmen der unter nachzulesenden vollständgen Nutzungsbedngungen zu vervelfältgen, mt denen de Nutzern/der Nutzer sch durch de erste Nutzung enverstanden erklärt. Terms of use: The ZBW grants you, the user, the non-exclusve rght to use the selected work free of charge, terrtorally unrestrcted and wthn the tme lmt of the term of the property rghts accordng to the terms specfed at By the frst use of the selected work the user agrees and declares to comply wth these terms of use. zbw Lebnz-Informatonszentrum Wrtschaft Lebnz Informaton Centre for Economcs

2 Johann Wolfgang Goethe-Unverstät, Frankfurt am Man Fachberech Wrtschaftswssenschaften Workng Paper Seres: Fnance & Accountng Joachm Grammg, Renhard Hujer, Stefan Kokot, Ka-Olver Maurer * Ökonometrsche Modellerung von Transaktonsntenstäten auf Fnanzmärkten No. 8 August 998 Ene Anwendung von Autoregressve Condtonal Duraton Modellen auf de IPO der Deutschen Telekom Korrespondenz: Dr. Joachm Grammg Insttute for Statstcs and Econometrcs Johann Wolfgang Goethe-Unversty Frankfurt Mertonstr Frankfurt Germany grammg@ww.un-frankfurt.de ISSN * Wr danken R. Elsas, K.H. Fscher, T. Frehube, G. Hansen, J. P. Krahnen, H. Lütkepohl, P. Panther, E. Thessen, M. Wellner und J. Wolters und den Telnehmern von Semnaren der Unverstäten Frankfurt, Kel und Mannhem für Kommentare zu früheren Versonen. Besonders danken wr M. J. Bertsch, SBC Warburg für sene praktsche Enführung n das IBIS Handelssystem. Wr danken außerdem A. Hallett, D. Nguyen, D. Radc and P. Soler-Schubert für hre Unterstützung unserer Forschungsarbeten. Für fnanzelle Unterstützung danken wr Roland Berger & Partner, Internatonal Management Consultants, nsbesondere Dr. Phlpp Goedekng. Für de Beretstellung der IBIS Daten snd wr der Karlruher Kaptalmarktdatenbank zu Dank verpflchtet.

3 Ökonometrsche Modellerung von Transaktonsntenstäten auf Fnanzmärkten Ene Anwendung von Autoregressve Condtonal Duraton Modellen auf de IPO der Deutschen Telekom August 998 Zusammenfassung: Wr verwenden ene neue, auf der Burr-Vertelung baserende Spezfkaton aus der Famle der Autoregressve Condtonal Duraton (ACD) Modelle zur ökonometrschen Analyse der Transaktonsntenstäten während der Börsenenführung (IPO) der Deutsche Telekom Akte. In desem Fallbespel wrd de Lestungsfähgket des neu entwckelten Burr-ACD-Modells mt den Standardmodellen von Engle und Russell verglchen, de m Burr-ACD Modell als Spezalfälle enthalten snd. Wr dskuteren außerdem alternatve Möglchketen, Intra- Tagessasonaltäten der Handelsntenstät n ACD Modellen zu berückschtgen. JEL-classfcaon: C4;C;G4;G5 Keywords: Transacton duratons, ACD; Hgh Frequency Data n Fnance, Intra Day Seasonalty of the Tradng Process.

4 ÖKONOMETRISCHE MODELLIERUNG VON TRANSAKTIONSINTENSITÄTEN AUF FINANZMÄRKTEN EINE ANWENDUNG VON AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL DURATION MODELLEN AUF DIE IPO DER DEUTSCHEN TELEKOM. EINFÜHRUNG De Klasse der Autoregressve Condtonal Duraton (ACD)-Modelle wurde von Engle und Russell (994, 995a) entwckelt, um Transaktonsntenstäten nsbesondere auf Fnanzmärkten zu modelleren. De Modellklasse basert auf enem ökonometrschen Ansatz, der de Methodk der ARCH (Autoregressve Condtonal Heteroscedastcty)- Modelle mt ökonometrschen Modellen zur Verweldaueranalyse kombnert. Das wchtgste Anwendungsgebet von ACD Modellen st de Modellerung von Transaktonsntenstäten auf Akten-Märkten (Engle 996, Engle and Russell 994, 995a, Ghysels and Jasak 998a, Ghysels and Jasak 998b) und FX- Märkten (Engle and Russell 995b, 997). Dabe snd ACD-Modelle ncht nur geegnet, um Dauern zwschen Transaktonen zu modelleren, sondern auch, n der Kombnaton mt GARCH- Ansätzen, um de Interakton von Volatltät und Transaktonsntenstät zu analyseren (Engle 996, Engle and Russell 997, Ghysels and Jasak 998a). Ghysels and Jasak (998a) zegen, we Ergebnsse zur zetlchen Aggregaton von GARCH Prozessen (Drost and Njman 993 und Drost and Werker s 996) dazu genutzt werden können, ACD und ARCH Modelle n enem konsstenten ökonometrschen Rahmen zu verbnden. De Anwendung des ACD-Ansatzes zur Modellerung von Prozessen auf Fnanzmärkten wrd nsbesondere mt der hohen Autokorrelaton der Länge der Intervalle zwschen zwe aufenanderfolgenden Transaktonen - m folgenden als Inter-Handelsdauern bezechnet - begründet. Dese ntertemporale Abhänggket entsteht zuächst durch de nsttutonellen Gegebenheten des Intratages-Handelsprozesses, we zum Bespel Öffnen und Schleßen von nternatonalen Börsenplätzen n unterschedlchen Zetzonen, Mttagspausen etc.. De Schätzung von ACD-Modellen, we se n der Arbet von Engle und Russell (994) vorgeschlagen wurde, st daher als zwestufger Prozess konzpert. Im ersten Schrtt der Schätzung wrd de beobachtbare Zetrehe der Inter-Handelsdauern um Intratages- Effekte berengt. De sasonberengte Zetrehe wrd dann mt dem ACD-Ansatz modellert. Engle und Russell (994) schlagen zwe alternatve ACD Spezfkatonen vor, de auf der Exponental-, bzw. Webull-Vertelung baseren (EACD- und WACD- Modell). Der zwestufge Ansatz basert auf der Annahme, daß de Sasonaltäts-Korrektur zu ener sgnfkant gerngeren Autokorrelaton der um Sason-Effekte berengten Zetrehe

5 der Inter-Handelsdauern führt. De von Engle und Russell (994) vorgeschlagene Prozedur besteht aus ener Schätzung ener lnearen Splne-Funkton, wobe ganze Stunden als Knotenpunkte der Splne-Funkton angenommen werden. Mt desem zwestufgen Ansatz snd jedoch enge Probleme verbunden. In hrer Anwendung der ACD Modelle telen Engle and Russell (995a) hre Stchprobe (Transaktonsdaten der IBM Akte) n zwe Zeträume und erzelen nur für ene der beden Unterstchproben für de ACD Modelle zufredenstellende Schätzergebnsse. En besonders bemerkenswertes Resultat st es, daß für ene Unterstchprobe de Sasonkorrektur zu ener höheren Autokorrelaton der um Sason-Effekte korrgerten Zetrehe der Inter-Handesdauern führte. Dese Resultate machen deutlch, daß de erste Stufe der Spezfkaton enes ACD-Modells, de Korrektur um Intratages-Sasoneffekte, von entschedender Bedeutung für de Lestungsfähgket des ACD-Ansatzes st. In desem Betrag nutzen wr de Ergebnsse von Grammg und Kokot (998), de alternatve Möglchketen der Modellerung von Intratages-Sasonaltäten n ACD- Modellen, z. B. durch de Schätzung von Splne-Polynomen höherer Ordnung, durch de Varaton der Splne-Knotenpunkte und durch de Zulassung von Strukturbrüchen (oder Regme-Änderungen) zwschen Handelstagen untersucht haben. Als ACD-Spezfkaton wrd neben EACD- und WACD-Modellen das von Grammg und Maurer (998) entwckelte Burr-ACD-Modell verwendet. Deses Modell enthält de von Engle und Russell (994) vorgeschlagenen EACD- und WACD-Modelle als Spezalfälle. In der emprschen Analyse verwenden wr IBIS-Transaktonsdaten aus der Karlsruher Kaptalmarktdatenbank, um de ersten sechs Wochen der Deutschen Telekom IPO zu untersuchen. Wr erwetern desen Datensatz um datums-spezfsche Indkatoren, we etwa bundesland-spezfsche Feertage, Verfalltage an der DTB (Deutsche Termnbörse) und nternatonale Feertagsdaten. Der Betrag st we folgt aufgebaut: In Abschntt zwe begründen wr den Ensatz von ACD-Modellen m Hnblck auf de emprsche Vertelung der Inter-Handelsdauern und de Autokorrelaton derselben. Nach der Dskusson von alternatven Ansätzen zur Berückschtgung von Intratages-Sasonaltäten werden de ACD-Spezfkatonen von Engle und Russell (994) skzzert. In Abschntt ver stellen wr en alternatves ACD- Modell vor, das auf der Burr-Vertelung aufbaut und das EACD- und WACD-Modell als Spezalfälle enthält. Abschntt fünf enthält de emprsche Anwendung. Wr verwenden dort de EACD-, WACD- sowe de Burr-ACD-Spezfkaton, um de Transaktonsntenstäten n den ersten Wochen der Deutsche Telekom IPO zu modelleren. Wr testen dabe nsbesondere de Lestungsfähgket des Burr-ACD Models und alternatve Möglchketen, Intratages-Sasonaltäten m Schätzansatz zu berückschtgen. Abschntt 6 benhaltet de Zusammenfassung und enen Ausblck.

6 . INTER-HANDELSDAUERN AUF AKTIENMÄRKTEN: EMPIRISCHE EVIDENZ UND ACD-MODELLE. Häufgketsvertelung von Inter-Handelsdauern Abhängg vom Handelssystem snd zum Zetpunkt t, an dem ene Transakton während des Handelstages stattfndet, Informatonen über den Transaktonspres y, das Volumen der Transakton, V, den Geld und Brefkurs, B bzw. A, möglcherwese auch das komplette Orderbuch, O, sowe wetere Informatonen (Nachrchten, Ankündgungen, etc), zusammengefasst m Vektor Ξ, verfügbar. Heraus können de Presveränderung, r y y, und de Transaktonsntervall-Dauer, x t t, berechnet werden. De Zetrehe der Inter-Handelsdauern auf Fnanzmärkten st typscherwese dadurch charaktersert, daß deren Hstogramm enen sehr stel abfallenden, fast eckgen Verlauf aufwest. In Abbldung wrd das Hstogramm der Inter-Handelsdauern für de ersten fünf Wochen der Deutsche Telekom IPO dargestellt. 400 Abbldung : Hstogramm der Inter-Handelsdauern der DeutscheTelekom IPO a Häufgket (absolut) Dauer (Sekunden) a 355 Inter-Handelsdauern auf dem IBIS-System vom 8. Nov Dez Korrgert man de Zetrehe der Inter-Handelsdauern um Intra-Tages-Sasonaltäten (sehe dazu Abschntt 3), so ergbt sch der n Abbldung dargestellte Verlauf. 3

7 Abbldung : Hstogramm der sasonberengten Inter-Handelsdauern der DeutscheTelekom IPO a absolut) Sasonberengte Dauer a 355 Inter-Handelsdauern auf dem IBIS-System vom 8. Nov Dez De typsche Form der Vertelung der Inter-Handelsdauern kann auch durch ene mt ener nchtparametrschen Kaplan-Meer-Schätzung ermttelten Überlebensfunkton gezegt werden. De Überlebensfunkton, evaluert an ener Stelle t, gbt de Wahrschenlchket dafür an, daß de Inter-Handelsdauer größer st als t. Zwe Überlebensfunktonen, de aus den Inter-Handelsdauern der ersten fünf Wochen der IPO der Deutschen Telekom geschätzt wurden, snd n den Abbldungen 3 (ncht sasonberengt) und 4 (sasonberengt) dargestellt. 4

8 Abbldung 3: Kaplan-Meer-Schätzer der Überlebensfunkton auf Bass von Inter-Handelsdauern der Telekom IPO a. a 355 Inter-Handelsdauern auf dem IBIS-System vom 8. Nov Dez Abbldung 4: Kaplan-Meer-Schätzer der Überlebensfunkton auf Bass sasonberengter Inter-Handelsdauern der Telekom IPO a a 355 Inter-Handelsdauern auf dem IBIS-System vom 8. Nov Dez

9 . Autokorrelaton der Inter-Handelsdauern Ene wetere charakterstsche Egenschaft von Inter-Handelsdauern st deren sgnfkante Autokorrelaton. Peroden mt ener Häufung von Transaktonen und kurzen Zetntervallen zwschen den Transaktonen wechseln mt Peroden, n denen Transaktonen seltener und demzufolge de Inter-Handelsdauer länger st. Für Intratages-Fnanzdaten st en Tel deser Autokorrelaton mt nsttutonellen Besonderheten, we z. B. der Eröffnung und Schleßung von nternatonalen Börsenplätzen n anderen Zetzonen oder etwa Mttags-Pausen, erklärbar. Selbst wenn man jedoch de Zetrehe der Inter-Handelsdauern um dese Effekte berengt, st Autokorrelaton weterhn deutlch feststellbar. Als emprsches Bespel enthält Abbldung 5 de Autokorrelatonen zu verschedenen Lags der Inter-Handelsdauern der ersten fünf Wochen der Deutsche Telekom IPO (mt und ohne Intratages-Korrektur). Abbldung 5: Autokorrelaton der Inter-Handelsdauern der Deutsche Telekom IPO a Autokorrelatonskoeffzent Sasonberengte Dauer Dauer Lag Quelle: Grammg und Kokot (998) a 355 Inter-Handelsdauern auf dem IBIS-System vom 8. Nov Dez Engle und Russell (994, 995a) haben de Analoge deses Phänomens zu den Volatltäts-Clustern erkannt und ene dem (G)ARCH-Ansatz verwandte Methode entwckelt, um de genannten emprschen Phänomene mt ökonometrschen Methoden zu modelleren. 6

10 3. MODELLIERUNG VON INTRATAGES-SAISONALITÄTEN UND ALTERNATIVE ACD SPEZIFIKATIONEN 3. De Modellerung von Intratages-Sasonaltäten Um Intratages-Sasoneffekte zu modelleren, haben Engle und Russell (994, 995a) vorgeschlagenen, zunächst ene Splne-Funkton an de Daten anzupassen. Dabe wrd als abhängge Varable der Splne-Schätzung Inter-Handelsdauer, x, und als erklärende Varable der Zetstempel der letzten Transakton, t Russell (994, 995a) st de Splne-Funkton,, gewählt. Im Ansatz von Engle und x = Φ ( ) t, lnear und volle Stunden werden als Knotenpunkte für de Splnes verwendet. De OLS-Schätzung wrd unter der Berückschtgung der Restrkton durchgeführt, daß de Funktonswerte an den Knotenpunkten dentsch snd. De sasonberengte Zetrehe ergbt sch, ndem man de Inter-Handelsdauer durch den entsprechenden Wert der Splne-Funkton zum Zetpunkt t dvdert: x x Φ ( t ) () Dese Ansatz wurde u.a. von Engle (996), Engle and Russell (997), Ghysels and Jasak (998a) übernommen. Zur Illustraton zegen de Abbldungen 6 und 7 de Splne- Funkton für de ersten fünf Wochen der Deutsche Telekom IPO. Abbldung 6: Lneare vs. kubsche Splne-Funkton (Sasonfgur) mt vollen Stunden als Knotenpunkten a sehe Grammg und Kokot (998) für ene detallertere Dskusson 7

11 Abbldung 7: Lneare vs. kubsche Splne-Funkton (Sasonfgur) mt halben Stunden als Knotenpunkten a Quelle: Grammg und Kokot (998) a 355 Inter-Handelsdauern auf dem IBIS-System vom 8. Nov Dez Dese Vorgehenswese kann aus dre Gründen krtsert werden. We Abbldung 6 deutlch macht, st de Splne-Funkton an den Knotenpunkten ncht kontnuerlch. Da de Korrektur um sasonale Effekte gemäß Glechung () erfolgt, werden de resulterenden sasonberengten Inter-Handelsdauern von deser Dskontnutät drekt betroffen. Zum Zweten st de Annahme ener lnearen Funkton zwschen den Knotenpunkten restrktv, nsbesondere dann, wenn man recht große Intervalle zwschen den Knotenpunkten zuläßt. Da wchtge Eregnsse, we z. B. das Öffnen un Schleßen von Präsenzbörsen m In- und Ausland, während des Handelstages zwschen zwe vollen Stunden auftreten, erschent de Annahme enes monoton fallenden oder stegenden Verlaufs der Splne-Funkton n desem Stundenntervall besonders problematsch. Drttens st de Annahme ener dentschen Sasonfgur für alle Handelstage problematsch: De emprschen Befunde zu Tages-Effekten auf Fnanzmärkten (z. B. Arel 990, Kem and Stambaugh 984, Krämer and Runde 993) legen de Vermutung nahe, daß de Intratages-Sasonaltät der Handelsntenstät zwschen bestmmten Typen von Handelstagen unterschedlch sen wrd (Feertage an nternatonalen Börsenplätzen, Verfalltage an der Termnbörse etc.). Den ersten beden Enwänden kann durch de Anpassung ener Splne-Funkton mt enem Polynom höherer Ordnung Rechnung getragen werden. Unter Verwendung der Ergebnsse von Buse und Lm (977) kann dann etwa ene kubsche Splne-Funkton mt der Restrcted Least Squares-Methode geschätzt werden. Dem Problem ener dentschen Sasonfgur für alle Handelstage kann durch den Enbezug von 0/ (Dummy-) 8

12 t Indkatorvarablen n de Splne-Funkton ( ) Φ - etwa durch Wochentags-Dummes oder durch ene Grupperung der Handelstage n homogene Zellen (z.b. mt ener Zellgrupperung nach Wochentagen, Verfalltag an der Termnbörse, Feertag n US, usw.), und ener separaten Schätzung von Splne-Funktonen für jede Zelle begegnet werden (Grammg und Kokot 998). Wll man de Dauern zwschen Transaktonen für enen neuen Handelstag prognostzeren, so hat dese Methode Vortele gegenüber der von Engle and Russell (994) vorgeschlagenen zetlchen Auftelung n Unterstchproben, da de entsprechende Zelle für den Prognosetag endeutg defnert st und de zu verwendende Splne-Funkton bekannt st. 3. Grundlagen der ACD Modellerung Zur Modellerung der sasonberengten Inter-Handelsdauern, x, wurde von Engle und Russell (994,995a) der ACD-Ansatz vorgeschlagen. Herzu wrd zunächst der Erwartungswert der sasonberengten Transaktonsntervall-Dauern, gegeben de n t verfügbare Informaton, F, defnert: ψ ( x F ) = E De zentrale Annahme des ACD-Ansatzes besteht darn, daß de ntertemporale Abhänggket der Inter-Handelsdauern vollständg durch den bedngten Erwartungswert der Dauern, ψ, erklärt wrd. Das heßt, es wrd angenommen, daß de standardserten Inter-Handelsdauern, x, unabhängge Zusfallsvarablen mt ener noch zu ψ bestmmenden parametrschen Dchtefunkton ( ) x x g F θ = ; θ ; g ψ ψ Als Spezfkaton für ( x F ) g snd: ψ = E wrd m allgemenen ene lneare Dfferenzenglechung gewählt, welche verzögerte bedngten Erwartungswerte der Inter- Handelsdauern, ψ ψ,..., sowe verzögerte Inter-Handelsdauern, x, x,... enthält. ψ, = ω + α x + + α q x q L + β ψ + L+ β ψ (4) Glechung (4) defnert en ACD(p,q) Modell. De Stabltät und Ncht-Negatvtät deser Dfferenzenglechung erfordert, daß p p () (3) p q p j q < = = ϖ > 0 und β + α (5) 9

13 Dese dynamsche Spezfkaton der bedngten erwarteten Inter-Handelsdauern kann verallgemenert werden, ndem zusätzlche erklärende Varablen aufgenommen werden (Geld-Bref-Spannen, Transaktonsvolumna, usw.) ( x, x,...,x, ψ, ψ,..., ψ, z, z θ) ψ = f q p,...; (6) 3.3 EACD-und WACD-Modell De enfachste Spezfkaton enes ACD-Modells st das Exponental-ACD-Modell (EACD), das aus der Annahme unabhängg exponentalvertelter standardserter Inter- Handelsdauern, x ψ, folgt. Dabe wrd de Restrkton auferlegt, daß der λ-parameter der Exponentalvertelung glech ens st : x x g F θ = θ ; g ; ψ ψ = x exp (7) ψ Es kann enfach gezegt werden (unter Verwendung des Theorems n Ramanathan (993), S ), daß x ebenfalls exponentalvertelt st, wobe der λ-parameter der Exponentalvertelung glech ψ st: ( x ) = ψ ψ ; θ = exp exp ψ ψ x x g (8) Unter Kondtonerung auf Pre-Sample-Werte der erklärenden Varablen n Glechung (4) oder (6) kann nun de Lkelhood-Funkton ener Stchprobe von Inter-Handelsdauern rekursv bestmmt und de Maxmum-Lkelhood-Methode zur Schätzung der Modellparameter verwendet werden. De Lkelhood-Funkton enes EACD Modells und de Bedngungen erster Ordnung für deren Maxmum fnden sch n Engle and Russell (994, S. ). Verglecht man de Überlebens- und Dchtefunkton der Exponentalfunkton mt der deskrptven/nchtparametrschen Analyse der Inter-Handelsdauern n Abbldung und, so st de Egnung der Exponentalvertelung, de charakterstsche emprschen Vertelung nachzublden, scherlch zwefelhaft. We de Abbldungen und zegen, st der stele Abfall des Hstogramms der Inter-Handesdauern wetaus stärker ausgeprägt als n der Dchtefunkton der Exponentalvertelung. Es erschent daher snnvoll, nach ener Spezfkaton zu suchen, de ene größere Flexbltät der Modellerung erlaubt. Engle and Russell (994) haben vorgeschlagen, de Dchte, Vertelungs- und Hazard-Funkton der Exponentalvertelung snd n der Überschtstabelle A des Anhangs enthalten. 0

14 Webull-Vertelung für de standardserten Inter-Handelsdauern anzunehmen 3. Aus deser Spezfkaton folgt das WACD-Modell, das das EACD-Modell als Spezalfall enthält 4. Zur Herletung des WACD- Modells kann man de Zufallsvarablen x φ (9) defneren, wobe [ Γ( + γ) ] φ, γ > 0 ψ und Γ ( ) de Gamma Funkton bezechnet. Nmmt man nun an, daß de Zufallsvarablen x φ unabhängg und Webull-vertelt snd, mt der Restrkton, daß der λ-parameter der Webull-Vertelung glech ens st, dann st wederum enfach zu zegen (unter Verwendung des Theorems n Ramanathan (993), S ),daß de Inter- Handelsdauern ebenfalls Webull-vertelt snd, mt der Dchtefunkton γ γ γ x ( ) x θ = g x ; exp, (0) x ψ [ ( )] [ ( )] Γ + γ ψ Γ + γ wobe der λ-parameter der Webull-Vertelung glech [ Γ( + γ) ] ψ st. Mt der Kondtonerung auf Pre-Sample-Werte n der dynamschen Spezfkaton (4) or (6), kann de Lkelhood-Funkton ener Stchprobe von Dauern zwschen Transaktonen rekursv evaluert und n Abhänggket der unbekannten Parameter maxmert werden. 4. EIN ALLGEMEINES ACD-MODELL: SPEZIFIKATION, SCHÄTZUNG UND 4. Motvaton für das Burr-ACD-Modell TESTS DES BURR-ACD-MODELLS Im EACD-Modell determnert en Parameter, ψ, de Form der Vertelungsfunkton der Inter-Handelsdauern. Das WACD betet her ene größere Flexbltät durch Enführung enes weteren Lageparameters, γ. De Größe deses Parameters beenflußt Form und Lage der bedngten Dchte-, Survvor- und Hazard-Funkton der Inter- Handelsdauern. Es ergbt sch das EACD-Modell, wenn der γ -Parameter den Wert ens annmmt. Das restrktvere EACD- st somt en Spezalfall des allgemeneren WACD- Modells. Um nsbesondere de beobachtete Häufung von Inter-Handelsdauern be kurzen Zetntervallen geegnet zu modelleren, kann es jedoch notwendg sen, enen noch allgemeneren Modellansatz zu verwenden. 3 4 Dchte, Vertelungs- und Hazard-Funkton der Webullvertelung snd n der Überschtstabelle A des Anhangs enthalten. De Webull-Vertelung konvergert zur Exponentalvertelung, wenn γ -Parameter der Webull- Vertelung gegen ens geht (sehe Tabelle A m Anhang)

15 Grammg und Maurer (998) haben ene ACD-Spezfkaton vorgeschlagen, mt deren Hlfe ene größe Flexbltät der Modellerung möglch st. Das Modell basert auf der Burr-Vertelung und wrd daher als Burr-ACD- oder auch BACD-Modell bezechnet. De Burr-Vertelung st ene n der Ökonometre wenger gebräuchlche Vertelung (Lancaster 990) und enthält de log-logstsche, de Webull- und de Exponental- Vertelung als Spezalfälle (Lancaster 990). Ene Burr-vertelte Zufallsvarable T hat de Dchtefunkton ( t) mt η = σ κ µ κ t =, σ > 0 () f + S κ η ( + σ µ t ). De Überlebensfunkton st gegeben mt κ ( t) = ( + σ µ t ) η. () Der Erwartungswert ener Burr-vertelten Zufallsvarablen st E ( T) = µ κ Γ + Γ η κ κ σ + κ Γ ( η + ) (3) Deser Erwartungswert exstert für κ < < κσ (4) Wenn der Parameter σ sch der Untergrenze von Null annähert, fällt de Burr- Vertelung mt der Webull-Vertelung zusammen, und der κ -Parameter der Burr- Vertelung entsprcht dem Parameter γ der Webull-Vertelung. Wenn σ nahe be Null und κ glech ens st, entsprcht de Burr- daher der Exponentalvertelung. Ist σ =, dann st de Burr-Vertelung mt der log-logstschen Vertelung dentsch. Um de größere Flexbltät der Burr- gegenüber der Webull-Vertelung zu veranschaulchen, wrd n Abbldung 8 de Dchtefunkton der Webull- mt der Burr-Vertelung verglchen. Es zegt sch, daß für größere Werte σ de Dchtefunkton der Burr Vertelung den gewünschten, annähernd eckgen Verlauf annehmen kann.

16 Abbldung 8: Dchtefunktonen von Webull- and Burr-Vertelung mt Webull- γ und Burr- κ = 0.5, Webull- λ und Burr-µ = be verschedenen Werten des Burr-Vertelungsparameters σ Webull Dchte Burr mt σ = Burr mt σ = Burr mt σ = t 4. Spezfkaton, Schätzung und Tests des Burr-ACD Modells Um das Burr-ACD-Modell zu entwckeln, defneren Grammg und Maurer (998) de folgende Transformaton der bedngten erwarteten Dauer ψ = E( x F ) + ( η + ) κ σ Γ ξ ψ (5) Γ + Γ η κ κ Wr nehmen an, daß de Zufallsvarablen weterhn, daß der Parameter µ der Burr-Vertelung glech ens st: x ξ unabhängg und Burr-vertelt und x κ κ x κ ξ x g F = g = + ξ ξ κ [ κ η + σ ξ x ] (6) Dabe wrd de grundsätzlche Annahme des ACD-Ansatzes bebehalten, daß de standardserten Inter-Handelsdauern x ψ unabhängge Zufallsvarablen snd. Es kann nun gezegt werden (unter Verwendung des Theorems n Ramanathan (993), S ), daß de Inter-Handelsdauern, x, ebenfalls Burr-vertelt snd: 3

17 ( x F ) κ κ κ ξ g = + κ κ η [ + σ ξ x ] x (7) wobe der Vertelungsparameter µ der Burr-Vertelung den Wert κ ξ annmmt. We m ACD-Grundansatz verwenden wr ene dynamsche Spezfkaton für ( x F ) ψ = E : ψ = ω + α x + L + α x + β ψ + L+ β ψ + δ z + δ z + L+ δ z (8) q q p p s s Glechung (8) defnert en BACD(p,q)-Modell mt zusätzlchen erklärenden Varablen. Dabe glt wegen Glechung (5), wobe ξ = ω + α x + L + α x + β ξ + L+ β ξ + δ z + δ z + L+ δ z (9) q q ω = ω c ; α = α c ;...; α q = α q c ; δ = δ c ;...; δs = δ s c p p s s + ( η + ) κ σ Γ c Γ + Γ η κ κ (0) Nach Kondtonerung auf Presample-Werte x,...,x, x q, z,... z s kann de aus der Burr-ACD-Spezfkaton folgende Log-Lkelhood ener Stchprobe von N Dauern zwschen Transaktonen geschreben werden als: log L ( x, x,..., x x, x,..., x, z,..,z ; θ) N κ κ ( ln κ κ ln ξ + ( κ ) ( η + ) ( + σ ln x ln ξ x ) = mt: N + ( η + ) q s = () κ σ Γ ξ ψ () Γ + Γ η κ κ ψ = ω + α x + L+ α q x q + β ψ + L+ β p ψ p + δ z + δ z + L+ δ s z s De Maxmerung von () st unter Beachtung von Unglechhets-Restrktonen durchzuführen: σ > 0; κ < < κσ η = σ und der folgenden (4) 4

18 p q p j q < = = ϖ > 0 and β + α (5) De Spezfkatonstests, de von Engle and Russell (994, 995a) für EACD und WACD- Modelle vorgeschlagen wurden, können für das Burr-ACD Modell enfach angepaßt werden. De zentrale Annahme des Burr-ACD-Modells besteht darn, daß de Zufallsvarablen unabhängg und Burr-vertelt snd, mt der Restrkton, daß der Parameter µ der Burr-Vertelung glech ens st. De ersten zwe Momente der Zufallsvarablen x ξ können aus der Tabelle A m Anhang berechnet werden. Unter Verwendung der ML-Schätzer des Burr-ACD-Modells kann man de Zetrehen ˆψ, ˆξ und x ξ berechnen. Abwechungen zwschen Mttelwert und Varanz der Rehe x ξ ˆ und den ersten beden Momenten von Parameter der Burr-Vertelung ˆ x ξ, evaluert an der Stelle der geschätzten σ and κ, wesen auf Spezfkatonsfehler hn. De Unabhänggketsannahme für x ψ kann getestet werden, ndem man de Ljung-Box- Statstk für de geschätzte Rehe x ψ berechnet. Be korrekter Spezfkaton wrd de ˆ Whte-Nose Null-Hypothese ncht zu verwerfen sen. Durch de Konstrukton der sasonberengten Dauern n Glechung () hat de Zufallsvarable x enen Erwartungswert von ens. Benutzt man de obge dynamsche Spezfkaton für den bedngten Erwartungswert ψ sowe de ML-Schätzer, dann sollte ene langfrstge Prognose des bedngten Erwartunswertes der Dauer zwschen Transaktonen unter Verwendung der dynamschen Glechung (4) nahe be ens sen. Abwechungen deses langfrstgen Prognosewertes von ens deuten auf enen Spezfkatonsfehler hn. 5. EMPIRSCHE ANALYSE DER TRANSAKTIONSINTENSITÄTEN DER IPO DER DEUTSCHEN TELEKOM MIT ACD MODELLEN 5. Insttutonelle Rahmenbedngungen Zum emprschen ökonometrschen Analyse werden Transaktonsdaten der ersten 5 Wochen der Deutschen Telekom IPO aus dem IBIS Handelssystem (Integrated Stock Exchange Tradng and Informaton System) verwendet. De IPO der Deutschen Telekom m November 996 war der erste Schrtt des größten Prvatserungsprojektes n Deutschland und hatte enem sgnfkanten Enfluß auf das Anlageverhalten prvater Haushalte n Deutschland. Mt der Deutschen Bank, der Dresdner Bank und Goldman Sachs als globalen Koordnatoren sowe umfangrechen Marketng-Aufwendungen wurden m November 996 als erste Tranche 73 Mo. Akten, ca. 5 % der Gesamtzahl der Akten des damals zu 00 % n öffentlcher Hand befndlchen Telekommunkatons- Monopolsten, prvaten Investoren angeboten. Spezelle Anrezprogramme für prvate Haushalte, z. B. Presnachlässe und Bonus-Akten, führten zu ener 5-6 fachen Überzechnung der Telekom-Akte. 3 Mo. der angebotenen Akten wurden an Mtarbeter der Deutschen Telekom verkauft. 67 % der verblebenden Akten wurden 5

19 von deutschen prvaten (74 Mo. Akten) und nsttutonellen Investoren (54 Mo. Akten) gezechnet. In den USA wurden 4 %, n Großbrtannen 8 %, m sonstgen Europa 6 % und n Asen 5% der Telekom-Akten plazert. Der Ausgabepres je Akten betrug 8.5 DM (8.89 $) und führte zu enen Emmssonserlös von 0 Mrd. DM. Der 8. November 996 war der erste Handelstag der Deutsche Telekom-Akte auf den Börsenplätzen Frankfurt und New York. In Toko begann der Handel mt der Telekom- Akte enen Tag später. Wegen der erwarteten außerordentlchen Handelsntenstät wurden de Handelszeten des IBIS-Systems von 08:30 h 7:00 h auf 08:30 h 9:00 h verlängert. De Akte der Deutschen Telekom wurde sofort n den DAX aufgenommen (de Metallgesellschaft ersetzend). Gemessen an der Marktkaptalserung nahm de Deutsche Telekom den 9. Rang m 30 Ttel umfasssenden DAX en (Abbldung 9). Abbldung 9: Relatve Marktkaptalserung der Deutsche Telekom und anderer Akten m Deutschen Akten Index (DAX) a 5 0 % a Berechnet am 9.Nov Allanz Damler Veba Bayer Semens Hoechst RWE Dt. Bank Dt. Telekom Münchn. Rück BASF Mannesm. VW SAP Dresdner Bank Rest Um de m vorhergen Abschntt vorgestellten Modelle anwenden zu können, werden IBIS Transaktonsdaten benutzt, de von der Karlsruher Kaptalmarktdatenbank (Lüdecke 996) zur Verfügung gestellt werden. IBIS st en elektronsches Handelssystem der Deutsche Börse AG, be dem de Mtgleder des Systems Wertpapere 6

20 m Rahmen ener doppelten Aukton handeln 5. Jeder Händler hat de Möglchket, sch auf senem Computer-Dsplay das vollständge Orderbuch des IBIS-Systems für en hn/se nteresserendes Wertpaper anzegen zu lassen. Das Orderbuch enthält de Wertpaper-Kennummer, den Geld- bzw. Brefkurs und das Volumen (Anzahl Wertpapere) des jewelgen Angebotes. Händler können aus dem Orderbuch, das abstegend nach Brefkursen und aufstegend nach Geldkursen geordnet angezegt wrd, kaufen und verkaufen und selbst Kauf- und Verkaufsangebote enstellen und gegebenfalls weder löschen. De n das System engestellten Angebote snd für den Anbeter verbndlch. En automatsches Matchng von Kauf- und Verkaufsangeboten fndet ncht statt, d.h. ene Transakton wrd m IBIS-System mmer von enem Händler durch das htten enes Kauf- oder Verkaufsangebotes ausgelöst. En Händler, der aus dem Orderbuch kaufen möchte, muß dabe grundsätzlch das bllgste Angebot auswählen. Ene Ausnahme von deser Regel st nur dann erlaubt, wenn das angebotene Verkaufsvolumen größer oder klener st als dasjenge, welches der kaufwllge Händler kaufen möchte. Zudem muß der Anbeter sen Verkaufsangebot mt dem Hnwes versehen haben, daß er ncht beret st, wenger als das von hm angebotene Volumen zu verkaufen. In desem Falle kann der potentelle Käufer das nächst-teurere Angebot auswählen, wenn de Volumenrestrkton her ncht glt. Es st durchaus möglch, daß en Händler mehrere Verkaufsangebote nnerhalb kurzer Zet hnterenander htted, evtl. also auch de Angebossete des Orderbuches abräumt. Für de Nachfragesete des Orderbuches glt entsprechendes. De IBIS Daten, we se von der Karlsruher Kaptalmarkt-Datenbank beretgestellt werden, enthalten für jede Transakton auf dem IBIS System enen Zelenentrag, n dem de Wertpaper-Kenn-Nummer, der Pres, das Volumen, das Datum und de lokale Zet der Transakton (Genaugket: /00 Sekunden) aufgeführt snd. Für de emprsche Analyse werden Transaktonen der Deutsche Telekom Akte vom 8. November 996 bs zum 0. Dezember 996 ausgewählt. Zur Schätzung der Modelle schleßen wr de jewels erste Beobachtung jedes Tages sowe de Transaktonen während der verlängerten Handelszet der ersten Woche des Telekom-Handels aus. Um zu verhndern, daß systemtechnsche Enflüsse de Modellschätzung verzerren, elmeren wr außerdem de Beobachtung der ersten Transakton nach enem Zusammenbruch des IBIS Systems am 3. Dezember 996 von 09:00 h 0:30 h. Nach deser Selekton werden 355 Transaktonen der Deutsche Telekom Akte auf dem IBIS System berückschtgt. 5 Im Jahre 997 wurde das IBIS- durch XETRA-System ersetzt, das de gleche Bassfunktonaltät beretstellt. 7

21 5. Schätz- und Testergebnsse Nach der Standard-ACD-Schätzprozedur, we se von Engle und Russell (994, 995a) vorgeschlagen wurde, st de Zetrehe der Dauern zwschen Transaktonen um determnstsche Intra-Tages-Sasonaltät zu berengen. Dem Vorgehen von Engle und Russell (994,995) folgend, schätzen wr zunächst ene lneare Splne-Funkton mt ganzen Stunden als Knotenpunkten. Durch ene Sasonberengung unter Verwendung von Glechung () konnte jedoch kene sgnfkante Verrngerung der Autokorrelaton der sasonberengten gegenüber der ursprünglchen Rehe der Dauern erzelt werden. Für de Zetrehe der Dauern zwschen Transaktonen der Deutsche Telekom-Akte st de Ljung-Box Statstk mt 8 zugelassenen Lags , der entsprechende Wert für de sasonberengte Rehe, de unter Verwendung von Glechung () erzeugt wurde, st Unter Verwendung der n Abschntt 3. vorgeschlagenen Modfkatonen der Standardprozedur wrd ene lneare Splne-Funkton mt halben Stunden als Knotenpunkten geschätzt, doch auch des konnte de Ljung-Box-Statstk der sasonberengten Rehe ncht sgnfkant reduzeren [Ljung-Box(8)= ]. Mt ener kubschen Splne-Funkton, geschätzt mt Hlfe der von Buse und Lm (977) vorgeschlagenen RLS-Prozedur, konnte ebenfalls ncht das gewünschte Ergebns ener Redukton der Autokorrelaton der Zetrehe der Dauern erzelt werden. De Sasonberengung mt ener kubschen Splne-Funkton und ganzen Stunden als Knotenpunkten ergab ene Ljung-Box(8)-Statstk von Mt halben Stunden als Knotenpunkten st de Ljung-Box(8)-Statstk De kubschen Splne- Funktonen, de über de gesamte Stchprobe geschätzt wurden, snd n den Abbldungen 6 and 7 enthalten. Engle and Russell (994, 995a) haben vorgeschlagen, de Stchprobe der Transaktonen n homogene Unterstchproben aufzutelen und de Splne-Schätzung für jede deser Stchproben getrennt durchzuführen. We n Abschntt 3.. dargelegt, st dese Prozedur jedoch dann problematsch, wenn das Modell für Prognosezwecke engesetzt werden soll, denn es st ncht endeutg, welches de korrekte Splne-Funkton für den Prognosetag st. Wr grupperen deshalb de Handelstage n dsjunkte Zellen, wobe Wochentage und Indkatoren für Verfalltage an der DTB, Feertage n den USA und de ersten beden Wochen der Telekom IPO als Segmentatons-Varablen denen. Auf Bass der sch heraus ergebenden Gruppen von Handelstagen schätzen wr mt der von Buse und Lm (977) vorgeschlagenen Methode separate kubsche Splne-Funktonen mt halben Stunden als Knotenpunkten. Mt den so erhaltenen Splne-Funktonen führen wr de Sasonberengung durch und erhalten ene Ljung-Box(8) Statstk von für de sasonberengten Dauern. Das Autokorrelogramm deser Rehe zegt Abbldung 5. 8

22 De nchtparametrsche Schätzung der Überlebensfunkton und das Hstogramm auf Bass deser sasonberengten Dauern haben wr berets n den Abbldungen und 4 gezegt. Mt deser sasonberengten Rehe werden nun de von Engle und Russell vorgschlagenen ACD-Modelle (EACD und WACD) und das n Abschntt 4 vorgestellte Burr-ACD-Modell mt der Maxmum Lkelhood-Methode 6 geschätzt. Zur Bestmmung der Lag-Längen n der dynamschen Glechung (4) für den bedngten Erwartungswert der Inter-Handelsdauern verwenden wr de Informatonskrteren von Akake und Schwartz. Tab : Schätzergebnsse für ACD-Modelle a b EACD(,) WACD (,) Schätzwert t-wert Schätzwert t-wert ω α α β γ Log Lkelhood AIC-Krterum Schwartz-Krterum a Sasonberengung: Kubsche Splnes mt halben Stunden als Knotenpunkten. Handelstage segmentert nach: Woche ens und zwe der Deutsche Telekom IPO, Wochentage, Verfalltag an der DTB. b Lag Länge determnert nach Schwartz and Akake (AIC) Krterum. 6 Wr haben de Prozeduren für de Evaluaton der Log-Lkelhood Funkton und der Scores m ökonometrschen Entwcklungssystem GAUSS mplementert. 9

23 Tabelle : Schätzergebnsse Burr-ACD model a b c Burr-ACD (,) ML-Schätzer t-wert ϖ α α β κ σ Log Lkelhood AIC- Krterum Schwartz- Krterum d a zur Methode der Sasonberengung sehe Tabelle b Lag Länge determnert nach Schwartz and Akake (AIC) Krterum. c untere Schranke des Parameterwertes In allen dre geschätzten ACD-Spezfkatonen wrd nach den beden Informatonskrteren ene ACD(,)-Spezfkaton gewählt. Tabelle und enthalten de ML-Schätzer, de t-werte und den Wert der Log -Lkelhood am Maxmum für de geschätzten EACD(,)- und WACD(,)-Modelle (Tabelle ) sowe für das Burr- ACD(,) Modell (Tabelle ). Jeder der geschätzten Parameter st auf dem % Sgnfkanznveau von Null verscheden. Mt Hlfe enes Lkelhood-Rato Tests kannn nun das WACD- gegen das EACD-Modell getestet werden. Herzu schätzen wr das WACD-Modell unter der Restrkton, daß γ = st. De heraus errechnete Lkelhood-Rato-Statstk st χ () = 4939, d. h. de EACD- Spezfkaton wrd klar zugunsten des WACD-Modells abgelehnt. Be der Analyse der Ergebnsse des Burr-ACD(,)-Modells fällt auf, daß de ML- Schätzer der dynamschen Glechung für den bedngten Erwartungswert der Dauern denen der WACD(,) Spezfkaton sehr ähnlch snd. Außerdem st der geschätzte κ - Parameter der Burr-Vertelung nahezu dentsch mt dem geschätzten Webull- γ der WACD-Spezfkaton. Am Maxmum der Log-Lkelhood-Funkton konvergert der Schätzer für den Burr-Vertelungsparameter σ gegen sene untere Grenze, de wr be 0

24 0.000 gesetzt haben, um numersche Instabltäten zu vermeden. Dese Ergebnsse mplzeren, daß das Burr-ACD Modell gegen das WACD Modell konvergert st. Um de grundlegende Annahme des ACD-Modells der Unabhänggket der Zufallsvarablen x ψ zu testen, werden de ML-Schätzwerte der dynamschen Spezfkaton für den bedngten Erwartungswert der Inter-Handelsdauer zur Berechnung der Zetrehe der standardserten Inter-Handelsdauern, x ˆ ψ verwendet. De Ljung- Box(8)-Statstk für de Zetrehe x ψ beträgt für das Burr-ACD Modell 6.7 ˆ (Sgnfkanznveau 8.5 %). De Whte Nose-Annahme kann damt ncht verworfen werden. Des glt ebenso für das EACD-Modell. Um wetere Tests auf Fehlspezfkaton durchzuführen, werden de theoretschen Momente der Zufallsvarablen x ψ m EACD-Modell bzw. x ξ m Burr-ACD-Modell gegen de emprschen Momente der Zetrehen x ˆ ψ bzw. ˆ x ξ getestet. Für das EACD-Model glt E[ x ψ ] = Var[ x ψ ] =. Für das Burr-ACD Modell verwenden wr de ML-Schätzer für de Parameter σ (0.000) und κ (0.6498) und berechnen de Momente der Zufallsvarablen x ξ mt E( x ξ ) =.367 und Var( x ξ ) =3.89. Im EACD-Modell st das emprsche Moment mt nahe be. Für das Burr-ACD-Modell st der entsprechende Wert von.346 ledglch.8 % klener als das durch de Burr-Vertelungs-Annahme mplzerte Moment. Das Varanz x ψ st jedoch.4039, dh. 40 % größer als de Varanz von ˆ x ψ. De Ergebnsse des Burr-ACD Modells snd deutlch besser: De emprsche Varanz der Zetrehe das zwete Moment von x ξ. x ξ beträgt 3.84 und st somt nur 0. % klener als ˆ Schleßlch verwenden wr n enem weteren Modell-Test de lneare Dfferenzenglechung für ψ n Glechung (4), um ene Prognose für den bedngten Erwartungswert der Inter-Handelsdauern durchführen zu können. Das langfrstge Glechgewcht deser Dfferenzglechung entsprcht dem unbedngten Erwartungswert der Inter-Handelsdauer. Wegen der Art der gewählten Intra-Tages-Sasonberengung sollte deser den Wert annehmen. Abbldung 0 zegt de Konvergenz der langfrstgen Prognose des bedngten Erwartungswertes der Inter-Handelsdauer begnnend von enem nedrgen und hohen Startwert.

25 Abbldung 0: Langfrstge Prognose der bedngten erwarteten Inter- Handelsdauer auf Bass des Burr-ACD(,)-Modells a ψ.3. Prognose Prognoseschrtte a berechnet auf Bass der ML-Schätzer aus Tabelle Das langfrstge Glechgewcht, berechnet mt den ML-Schätzern des Burr-ACD-Modells legt mt.06 nahe be und kann als Bestätgung der korrekten Modellspezfkaton aufgefaßt werden. Zusammengefaßt kann festgestellt werden, daß der Burr-ACD-Ansatz durchaus geegnet st, um de Dynamk der Transaktonsntenstät der Telekom-Akte während der ersten Wochen hrer Marktenführung zu modelleren. Ene zweckmäßge Anwendung des Modells st de Prognose der Überlebens- bzw. Dchtefunkton der Inter-Handelsdauern be alternatven bedngten Erwartungswerten derselben. Dazu wrd das Burr-ACD(,) Modell be unterschedlchen bedngten Erwartungswerten ψ = 0.;; 3 verwendet (sehe Abbldungen und )

26 Abbldung : Überlebensfunkton sasonberengte Inter- Handelsdauern auf Bass des Burr(,)-ACD Modells a be verschedenen bedngten Erwartungswerten der Inter-Handelsdauer ψ = ψ = ψ = x a berechnet auf Bass der ML-Schätzer aus Tabelle Abbldung : Bedngte Dchtefunkton der sasonberengten Inter- Handelsdauern auf Bass des Burr(,)-ACD Modells a be verschedenen bedngten Erwartungswerten der Inter-Handelsdauer.5 ψ = 0..5 Dchte ψ = 0.5 ψ = a berechnet auf Bass der ML-Schätzer aus Tabelle x 3

27 In Abbldung 3 wurden de beobachteten Inter-Handelsdauern mt deren bedngten Erwartungswerten (also der En-Schrtt-Prognose) mtenander verglchen. Es zegt sch auch her ene gute Anpassungsgüte des Burr-ACD-Modells. Abbldung 3: Tatsächlche Inter-Handelsdauern und bedngte erwartete Inter-Handelsdauer (En-Schrtt-Prognose) auf Bass des Burr-ACD(,)-Modells a Sekunden Dauer Kondtonale erwartete Dauer : :4 3:09 3:38 4:07 4:36 5:05 5:33 6:0 6:3 7:00 Datum und Zet a Erster Tag (8.Nov. 996) der Deutsche Telekom IPO. b Bedngter Erwartungswert berechnet aus ( I ) Φ( t ) ψ unter Verwendung der ML- Schätzer aus Tabelle 6. ZUSAMMENFASSUNG In deser Stude wrd ene neue Spezfkaton n der Klasse der ACD (Autoregressve Condtonal Duraton) Modelle zur Modellerung von Inter-Handelsdauern vorgestellt, de auf der Burr-Vertelung basert (Burr-ACD-Modell). Deser Ansatz hat den Vortel, daß er m Verglech zu den von Engle und Russell (994, 995) vorgeschlagenen Exponental-ACD- bzw. Webull-ACD-Modellen ene größere Flexbltät bestzt, darüber hnaus jedoch de beden Standard-Modelle als Spezalfälle enthält. De verschedenen ACD Modelle werden zur Modellerung der Transaktonsntenstät während der IPO der Deutschen Telekom engesetzt. Dabe erwest sch de Burr-ACD Spezfkaton als geegnetes Instrument zur Modellerung von Inter-Handelsdauern. Darüber hnaus werden verschedene Ansätze zur Berückschtung von Intra-Tages Sasonaltäten der Inter-Handelsdauer geprüft. Zur Berückschtgung von nsttutonellen Enflüßen schlagen wr ene Grupperung der Handelstage nach spezellen Eregns-Tagen vor, womt Unterscheden n der Intra-Tages Sasonfgur und der Handelsntenstät Rechnung getragen werden kann. In zukünftgen Forschungsarbeten beabschtgen wr, de Lestungsfähgket des Burr- ACD Modells nsbesondere n Tagen vor und nach wchtgen Eregnssen zu testen, 4

28 sowe wetere Alternatven zur Intra-Tages-Sasonberengung zu entwckeln und zu prüfen. Wr beabschtgen zudem den Ensatz der Burr-ACD Modells m Rahmen des ACD-GARCH-Ansatzes, um en smultanes Modell für Transaktonsntenstät und Volatltät spezfzeren zu können. 5

29 Anhang Tabelle A: Exponental-, Webull- und Burr-Vertelung: Überblck Dchtefunkton ( ) ( ) exponentalvertelte Zufallsvarable T f t = λ exp λt t 0, λ > 0 Hazardrate h( t) = λ Überlebensfunkton t 0, λ > 0 ( ) ( ) S t = exp λt t 0, λ > 0 webullvertelte Zufallsvarable T γ ( λ t ) γ ( ) ( ) ( ) f t = γ λ t exp t γ, λ, t > 0 h γ ( t) = λγ( λt) γ, λ, t > 0 ( λt γ ) ( ) ( ) S t = exp γ, λ, t > 0 Burr-vertelte Zufallsvarable T µ κ t κ f ( t) = + η = σ, κ η ( + σ µ t ) κ < < κσ, σ > 0 κ µ κ t + σ µ t ( t) = κ h η = σ, S κ < < κσ, σ > 0 κ ( t) = ( + σ µ t ) η η = σ, κ < < κσ, σ > 0 Erwartungswert E(T) = λ λ > 0 E(T) = Γ γ, λ, t > 0 ( + γ) λ E ( T) = µ κ Γ + Γ η κ κ σ + κ Γ ( η + ) η = σ, κ < < κσ, σ > 0 6

30 Fortsetzung Tabelle A: Exponental-, Webull- und Burr-Vertelung: Überblck Varanz exponentalvertelte Zufallsvarable T Var(t) = λ λ > 0 webullvertelte Zufallsvarable T Γ Var(T) = γ, λ, t > 0 ( + / γ) Γ( + / γ) λ Burr-vertelte Zufallsvarable T Var ( T) = µ E( T) κ Γ + Γ η κ κ σ + κ Γ ( η + ) η = σ, κ < < κσ, σ > 0 7

31 LITERATUR Amemya, Takesh (985), Advanced Econometrcs, Oxford: Basl Blackwell. Arel, R. A. (990), Hgh Stock Returns before Holdays: Exstence and Evdence on Possble Causes, The Journal of Fnance, Vol XLV, No. 5, Buse, A. und L. Lm (977), Cubc Splnes as a Specal Case of Restrcted Least Squares, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, Vol. 7, No. 7, Deutsche Börse AG (995), Integrated Stock Exchange Tradng and Informaton System- IBIS, Frankfurt. Drost, Feke C. und Bas J.M. Werker (996), Closng the GARCH gap: Contnuous tme GARCH modelng, Journal of Econometrcs Drost, Feke C. und Theo E. Njman (993), Temporal Aggregaton of GARCH Processes, Econometrca, Vol. 6, No. 4 (July, 993), Engle, Robert F. (996), The Econometrcs of Ultra-Hgh Frequency Data, Dscusson Paper 96-5, Unversty of Calforna, San Dego. Engle, Robert F. und Jeffrey R. Russell (994), Forecastng Transacton Rates: The Autoregressve Condtonal Duraton Model, Dscusson Paper 94-7, Unversty of Calforna, San Dego. Engle, Robert F. und Jeffrey R. Russell (995a), Autoregressve Condtonal Duraton: A New Model for Irregularly Spaced Tme Seres Data, Dscusson Paper 94-7R, Unversty of Calforna, San Dego. Engle, Robert F. und Jeffrey R. Russell (995b), Forecastng the Frequency of Changes n Quoted Foregn Exchange Prces wth the Autoregressve Condtonal Duraton Model, Dscusson Paper 95-33, Unversty of Calforna, San Dego. Engle, Robert F. und Jeffrey R. Russell (997), Forecastng the Frequency of Changes n Quoted Foregn Exchange Prces wth the Autoregressve Condtonal Duraton Model, Journal of Emprcal Fnance 4, 87-. Ghysels, Erc und Joanna Jasak (998a), GARCH for Irregularly Spaced Fnancal Data: The ACD- GARCH Model, Workng Paper, CIRANO. 8

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33 30