Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit

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1 Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom SoSe 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU 5.1

2 Das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit. 1 Herleitung anhand relativer Häufigkeiten 2 Stochastische Unabhängigkeit von zwei Ereignissen 3 Globale stochastische Unabhängigkeit 4 Stochastische Unabhängigkeit von σ-algebren 5 Stochastische Unabhängigkeit von Zufallsexperimenten 5.2

3 Herleitung der Definition. A und B seien Ereignisse aus einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) Relative Häufigkeiten B hat offensichtlich keinen Einfluss auf das Eintreten von A, wenn H N (A B) H N (A). Übersetzen in bedingte Wahrscheinlichkeiten A ist stochastisch unabhängig von B, wenn P(A B) = P(A). Falls P(B) > 0, ist P(A B) = wenn P(A B) = P(A)P(B). Definition P(A B) P(B) = P(A) genau dann Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn P(A B) = P(A)P(B). 5.3

4 Achtung! Die Eigenschaften disjunkt und stochastisch unabhängig für zwei Ereignisse schließen sich gegenseitig aus, wenn P(A) > 0 und P(B) > 0! Sind A und B disjunkt, so ist P(A B) = P( ) = 0 P(A)P(B) A und B sind dann nicht unabhängig. Sind A und B stochastisch unabhängig, so ist P(A B) = P(A)P(B) > 0 also A B, d.h. A und B sind nicht disjunkt. 5.4

5 Beispiel 1 Zwei reguläre Würfel werden nacheinander geworfen. A 1 : Beim ersten Wurf erscheint eine gerade Zahl. A 2 : Beim zweiten Wurf erscheint eine gerade Zahl. Es ist gefühlsmäßig klar, dass diese beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind. Laplace-Experiment mit Ω = 36 Ω = {(1, 1), (1, 2),..., (i, k),..., (6, 6)} 5.5

6 Beispiel 1 A 1 = (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) A 1 = 18 A 2 = (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) A 2 = 18 A 1 A 2 = (2, 2) (2, 4) (2, 6) (4, 2) (4, 4) (4, 6) (6, 2) (6, 4) (6, 6) A 1 A 2 = 9 P(A 1 A 2 ) = 9 36 = 1 4 = = = P(A 1)P(A 2 ) 5.6

7 Beispiel 2 Zwei reguläre Würfel werden nacheinander geworfen. A: Die Augensumme ist eine gerade Zahl. B: Beim zweiten Wurf erscheint eine gerade Zahl. Hier scheint gefühlsmäßig eine Abhängigkeit zu bestehen. A = { (1, 1) (1, 3) (1, 5) (3, 1) (3, 3) (3, 5) (5, 1) (5, 3) (5, 5) (2, 2) (2, 4) (2, 6) (4, 2) (4, 4) (4, 6) (6, 2) (6, 4) (6, 6) B = (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) A B = (2, 2) (2, 4) (2, 6) (4, 2) (4, 4) (4, 6) (6, 2) (6, 4) (6, 6) P(A B) = 9 36 = 1 4 = = = P(A)P(B) } 5.7

8 Beispiel 3 Die beiden Würfel seien so gefälscht, dass P(A 1 ) = P(A 2 ) = 2 5. Wir setzen aber sinnvollerweise fest, dass A 1 und A 2 stochastisch unabhängig sein sollen: P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ). Wie gleich anschließend gezeigt wird, sind dann auch die Paare A 1, A 2, A 1, A 2 und A 1, A 2 stochastisch unabhängig. P(A) = P(A 1 A 2 + A 1 A 2 ) = P(A 1 A 2 ) + P(A 1 A 2 ) ( ) 2 ( ) = P(A 1 )P(A 2 ) + P(A 1 )P(A 2 ) = =

9 Beispiel 3 P(A) = P(B) = P(A 2 ) = 2 5 P(A)P(B) = = P(A B) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) = ( ) 2 2 = Bei gefälschten Würfeln sind A und B nicht notwendig stochastisch unabhängig. 5.9

10 Rechenregeln Satz Mit A, B sind auch die Paare A, B, A, B und A, B stochastisch unabhängig. Beweis. B = AB + AB P(B) = P(A)P(B) + P(AB) P(AB) = (1 P(A)) P(B) = P(A)P(B) usw. 5.10

11 Rechenregeln Satz Ist P(A) = 0 oder P(A) = 1, so sind A und B für beliebige Ereignisse B stochastisch unabhängig. Beweis. Ist P(A) = 0, so ist wegen AB A auch P(AB) = 0. Daher gilt P(AB) = 0 = P(A)P(B). Ist P(A) = 1 so ist P(A) = 0, somit A und B und folglich auch das Paar A = A und B stochastisch unabhängig. 5.11

12 Mehr als zwei Ereignisse Bei mehr als zwei Ereignissen A 1, A 2, A 3,... reicht es im allgemeinen nicht aus, nur die stochastische Unabhängigkeit aller Paare A i, A k zu fordern. Beispiel Laplace-Experiment mit Ergebnismenge Ω = {1, 2, 3, 4}. A = {1, 2} B = {2, 3} C = {1, 3} Die Paare A, B, B, C und A, C sind jeweils stochastisch unabhängig: usw. P(A B) = P{2} = 1 4 = = P(A)P(B) A ist aber nicht stochastisch unabhängig vom Verbundereignis B C, dass B und C gleichzeitig eintreten. Denn A (B C) =. 5.12

13 Globale stochastische Unabhängigkeit Definition Ereignisse A 1, A 2,... A n aus einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) heißen global stochastisch unabhängig, wenn für jeden der Indizes i = 1, 2,..., n gilt: Das Ereignis A i ist stochastisch unabhängig von allen Verbundereignissen, die man aus den übrigen Ereignissen A j mit j i bilden kann. Theorem Ereignisse A 1, A 2,... A n aus einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) sind genau dann global stochastisch unabhängig, wenn für jede Teilmenge {i 1, i 2,..., i m } {1, 2,..., n} von Indizes gilt P(A i1 A i2... A im ) = P(A i1 )P(A i2 ) P(A im ) 5.13

14 Stochastische Unabhängigkeit von σ-algebren Die Eigenschaft der globalen stochastischen Unabhängigkeit kann man auch folgendermaßen formulieren: Theorem Ereignisse A 1, A 2,... A n aus einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) sind genau dann global stochastisch unabhängig, wenn für jede Auswahl von Ereignissen B i aus den Teil-σ-Algebren A i = {, A i, A i, Ω} von A gilt: P(B 1 B 2... B n ) = P(B 1 )P(B 2 ) P(B n ) Daraus ergibt sich als logische Folge eine Definition für die stochastische Unabhängigkeit von σ-algebren: Definition Sind A 1, A 2,..., A n Teil-σ-Algebren der σ-algebra A eines Wahrscheinlichkeitsraums (Ω, A, P), so heißen die A i stochastisch unabhängig, wenn für jede Auswahl von Ereignissen B i A i gilt P(B 1 B 2... B n ) = P(B 1 )P(B 2 ) P(B n ) 5.14

15 Produktexperimente Wie beschreibt man die stochastisch unabhängige Durchführung von einzelnen Zufallsexperimenten, die durch Wahrscheinlichkeitsräume (Ω 1, A 1, P 1 ), (Ω 2, A 2, P 2 ),..., (Ω n, A n, P n ) repräsentiert werden? Damit man die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen aus den verschiedenen Wahrscheinlichkeitsräumen formulieren kann, muss man sie in einen gößeren Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) einbetten. (Ω, A, P) {}}{ (Ω 1, A 1, P 1 ), (Ω 2, A 2, P 2 )... (Ω n, A n, P n ) Diesen Wahrscheinlichkeitsraum werden wir den Produktraum nennen. 5.15

16 Die Ergebnismenge des Produktraums Liste der Ergebnisse der einzelnen Experimente: Ω = {ω = (ω 1, ω 2,..., ω n ) ; ω k Ω k } = Ω 1 Ω 2 Ω n n =: k=1 Ω k Ω = n k=1 Ω k heißt das kartesische Produkt der Mengen Ω k. 5.16

17 Die σ-algebra des Produktraums Ereignisse, die auf jeden Fall in der σ-algebra enthalten sein müssen, sind: Beim k-ten Einzelexperiment tritt das Ereignis A k A k ein : Z (A k ) = {ω = (ω 1, ω 2,..., ω n ) ; ω k A k } = Ω 1 Ω k 1 A k Ω k+1 Ω n Bei der Unabhängigkeit muss man Durchschnitte betrachten: Z (A 1 ) Z (A 2 )... Z (A n ) = {ω = (ω 1, ω 2,..., ω n ) ; ω 1 A 1,..., ω n A n } = A 1 A 2 A n Definition Die kleinste σ-algebra, die alle Mengen der obigen Form enthält, heißt die Produkt-σ-Algebra und wird mit A = A 1 A 2 A n = n k=1 A k bezeichnet. 5.17

18 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung P eines Produktexperiments muss zwei Bedingungen erfüllen: 1 Die Wahrscheinlichkeitsgesetze der Einzelexperimente müssen erhalten bleiben, d.h. P(Z (A k )) = P k (A k ) für alle Ereignisse A k A k und alle k. 2 Für beliebige A k A k müssen die Mengen Z (A 1 ), Z (A 2 ),... Z (A n ) global stochastisch unabhängig sein. Insbesondere muss also gelten P (Z (A 1 ) Z (A 2 )... Z (A n )) = P (Z (A 1 )) P (Z (A 2 )) P (Z (A n )) Die beiden Formeln kann man zusammenfassen zu P (A 1 A 2 A n ) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 ) P n (A n ) 5.18

19 Die Produktwahrscheinlichkeit Theorem Es gibt genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf A mit P (A 1 A 2 A n ) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 ) P n (A n ) für beliebige A k A k. Diese heißt die Produktwahrscheinlichkeit der P k und wird mit P = P 1 P 2 P n = n i=1 P i bezeichnet. Definition Der Wahrscheinlichkeitsraum ( n k=1 Ω k, n k=1 A k, n k=1 P k) heißt der Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume (Ω k, A k, P k ). 5.19

20 Versuchsreihen Ist (Ω k, A k, P k ) = (Ω 0, A 0, P 0 ) für alle k = 1, 2,..., n, so repräsentiert der Produktraum die n-fache unabhängige Wiederholung eines Zufallsexperiments. Man spricht in diesem Fall von einer Versuchsreihe der Länge n mit dem Experiment (Ω 0, A 0, P 0 ). 5.20

21 Bernoulli-Experimente und -Versuchsreihen Definition Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω 0, A 0, P 0 ) mit Ω 0 = {0, 1} A 0 = 2 Ω 0 P{1} = p heißt ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. P{0} = P{1} = 1 p. Diese Wahrscheinlichkeit wird in diesem Zusammenhang immer mit q bezeichnet. Definition Eine Versuchsreihe der Länge n mit einem Bernoulli-Experiment heißt eine Bernoulli-Versuchsreihe der Länge n mit Erfolgswahrscheinlichkeit p 5.21

22 Bernoulli-Versuchsreihen Ist (Ω n, A n, P n ) eine eine Bernoulli-Versuchsreihe der Länge n mit Erfolgswahrscheinlichkeit p, so ist Wegen Ω n = {δ = (δ 1, δ 2,..., δ n ) ; δ i {0, 1}} {(δ 1, δ 2,..., δ n )} = {δ 1 } {δ 2 } {δ n } ist A n die Menge aller Teilmengen von Ω n. Für die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses erhält man daher P n {(δ 1, δ 2,..., δ n )} = P 0 {δ 1 }P 0 {δ 2 } P 0 {δ n } Dieses Produkt enthält so viele Faktoren p, wie es Einsen unter den δ i gibt, und so viele Faktoren q, wie Nullen vorhanden sind. 5.22

23 Bernoulli-Versuchsreihen P n {(δ 1, δ 2,..., δ n )} = P 0 {δ 1 }P 0 {δ 2 } P 0 {δ n } = p (δ 1+δ 2 + δ n) q n (δ 1+δ 2 + δ n) = p δ q n δ mit δ = δ 1 + δ 2 + δ n. 5.23

24 Die Summe der Erfolge Häufigkeit des Eintretens einer Eins bei Durchführung einer Bernoulli-Versuchsreihe. Bei einem schiefen Galton-Brett (Sprung nach rechts mit Wahrscheinlichkeit p) landet die Kugel in Fach Nummer k: A k = {δ ; δ = k} wobei C n k P n (A k ) = δ A k P n {δ} = δ, δ =k = δ, δ =k p δ q n δ p k q n k = C n k p k q n k die Anzahl der Elemente der Menge {δ ; δ = k} ist: ( ) n P n (A k ) = p k q n k k 5.24

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