48 3 EXCEL: Mathematik

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1 48 3 EXCEL: Mathematik Mit Hilfe des Dialogfeldes Funktion einfügen des Funktions-Assistenten kann man benötigte EXCEL-Funktionen in Zellen der aktuellen Tabelle eingeben. Diese Vorgehensweise wird empfohlen: Man erhält die exakte EXCEL-Schreibweise einer Funktion. Nach Mausklick auf OK im Dialogfeld Funktion einfügen können im erscheinenden Dialogfeld Funktionsargumente alle von einer Funktion benötigten Argumente eingegeben werden, wie im Beisp.2.2 illustriert ist. Beispiel 3.2: Es gibt Add-Ins (Zusatzprogramme, Erweiterungsprogramme) für EXCEL, die für eine Reihe von Gebieten der Wirtschaftsmathematik einsetzbar sind. Im Rahmen des Buches stellen wir folgende vor: Lösung von Gleichungen, Ungleichungen und Optimierungsaufgaben: Hierfür kann das von der Firma FRONTLINE SYSTEMS entwickelte Add-In SOL- VER eingesetzt werden, von dem sich eine Standardversion auf der Installations-CD von EXCEL befindet: Der SOLVER wird bei der Installation von EXCEL mit installiert, muss aber beim ersten Start von EXCEL mittels der Menüfolge Extras Add-Ins im erscheinenden Dialogfeld Add-Ins bei Verfügbare Add-Ins aktiviert werden. Es gibt von FRONTLINE SYSTEMS eine Weiterentwicklung unter dem Namen PREMIUM-SOLVER, der z.b. dem Buch [156] beigefügt ist. Wenn der SOLVER in EXCEL aktiviert ist, kann er mittels der Menüfolge Extras Solver aufgerufen werden und es erscheint das folgende Dialogfeld Solver-Parameter:

2 100 5 Matrizenrechnung Beispiel 5.5: Im folgenden Tabellenausschnitt ist ein Beispiel für die Multiplikation zweier Matrizen A und B mittels der EXCEL-Matrizenfunktion MMULT zu sehen, wobei A für den Bereich Z1S1:Z2S2 und B für den Bereich Z4S1:Z5S3 definiert sind: Die mittels =MMULT ( A ; B ) durch Anwendung der Schritte I-III aus Abschn berechnete Ergebnismatrix befindet sich im Bereich Z1S4:Z2S6. Zusätzlich wird im Bereich Z4S4:Z5S6 die Formel =A B angewandt, die die Multiplikation der entsprechenden Elemente der Matrizen A und B bewirkt. In den Zellen Z4S6 und Z5S6 wird als Ergebnis die Fehlermeldung #NV angezeigt, da die Matrix A nur zwei Spalten besitzt. im Bereich Z7S4:Z8S6 die Multiplikation =MMULT ( B ; A ) angewandt, die jedoch nicht möglich ist, da B nicht mit A verkettet ist. EXCEL erkennt dies und gibt die Fehlermeldung #WERT! aus. Beispiel 5.6: Illustrieren wir die Berechnung inverser Matrizen mittels der EXCEL-Matrizenfunktion MINV: a) Im folgenden Tabellenausschnitt wird die zur Matrix A gehörige Inverse berechnet, wobei A als Name für den Bereich Z1S1:Z3S3 definiert ist:

3 5.7 Inversion von Matrizen Einsatz von EXCEL Für die Multiplikation von Matrizen stellt EXCEL die Matrizenfunktion MMULT zur Verfügung: Mit ihr geschieht die Multiplikation zweier in der aktuellen Tabelle befindlicher Matrizen, für die Namen A bzw. B definiert sind, in folgenden Schritten (siehe Beisp.5.5): I. In der Tabelle ist ein freier Bereich (Ergebnisbereich) für die zu berechnende Ergebnismatrix mittels gedrückter Maustaste zu markieren. II. Danach ist =MMULT ( A ; B ) als Formel in die linke obere Zelle des markierten Ergebnisbereichs einzugeben. III. Die abschließende Betätigung der Tastenkombination SHÜ löst die Berechnung der Multiplikation aus, wobei die Formel von EXCEL in geschweifte Klammern gesetzt wird, d.h. { =MMULT ( A ; B ) }. Bei der Multiplikation von Matrizen mittels EXCEL ist Folgendes zu beachten: Falls man versehentlich die Multiplikation zweier Matrizen A und B durch Eingabe der Formel = A B durchführt, so berechnet EXCEL eine Ergebnismatrix C, deren Elemente c ij sich als Produkt der entsprechenden Elemente der Matrizen A und B berechnen (siehe Beisp.5.5), d.h. c ij = a ij b ij Dies ist jedoch nicht das Ergebnis der in der Mathematik definierten Matrizenmultiplikation. Falls man zwei Matrizen miteinander multipliziert, die nicht verkettet sind, so gibt EXCEL bei Anwendung der Matrizenfunktion MMULT die Fehlermeldung #WERT! aus (siehe Beisp.5.5). 5.7 Inversion von Matrizen Definition Inverse Matrizen werden u.a. zur Lösung linearer Gleichungssysteme A x = b und von Matrizengleichungen der Form A X = B benötigt: Man kann diese Gleichungen nicht unmittelbar nach dem Vektor x bzw. der Matrix X auflösen, da eine Division für Matrizen nicht definiert ist. Eine Auflösung gelingt jedoch für reguläre quadratische Matrizen A durch Einführung 1 A durch die Matrizenglei- der Inversen (inversen Matrix): Für quadratische Matrizen A definiert sich die Inverse chung 1 1 A A = A A = E Grundlagen und Methoden

4 114 6 Gleichungen und Ungleichungen b) Eine wesentliche Anwendung linearer Gleichungen liefern Input-Output-Modelle. Derartige Modelle beschreiben den Austausch und die wechselseitige Verflechtung wirtschaftlicher Größen. In der Regel sind Input-Output-Modelle linear, wofür im Folgenden ein Beispiel zu sehen ist: Vom Walrasschen Gleichgewichtsbegriff ausgehend, stellte Leontief ein Verflechtungsmodell (statisches Input-Output-Modell) auf: Das Modell geht davon aus, dass ein wirtschaftlicher Bereich (Volkswirtschaft, Firma) in n Sektoren aufgeteilt ist. Der Anteil der Produktion des Sektors i, der nicht wieder in einen anderen Sektor k fließt, wird durch die Modellgleichungen n y = x a ( i = 1, 2,..., n ) beschrieben, mit i i ik k= 1 x 0 - Bruttoproduktion im Sektor i (Output). i yi 0 - Anteil der Produktion im Sektor i, der nicht wieder in einen anderen Sektor k fließt (Endnachfrage). a 0 - für xk aus dem Sektor i benötigte Produktionsmenge. ik Praktisch bedeutet dies, dass nicht die gesamte Produktion x i zum Verkauf bereitsteht, sondern nur die Menge y i, d.h. der Eigenverbrauch muss von x i abgezogen werden. Im Weiteren verwendet man Produktionskoeffizienten aik α ik = ( i = 1, 2,..., n ; k = 1, 2,..., n ) x k die angeben, wieviel von der Produktion aus dem Sektor i (in ME) in den Sektor k geliefert werden muss, um hier eine Einheit des Produkts zu produzieren. Mit diesen Produktionskoeffizienten gehen die Gleichungen des Input-Output-Modells (Leontief-Modells) in folgende Form über: n yi = xi αik xk ( i = 1, 2,..., n ) k= 1 Die quadratische Matrix P der Produktionskoeffizienten der Ordnung n α11 α12... α1n α21 α22... α2n P = M M... M αn1 αn2... α nn charakterisiert den Eigenverbrauch der einzelnen Sektoren: Unter Anwendung von P lassen sich die n Gleichungen des Input-Output-Modells (Modellgleichungen) in folgender Matrizenschreibweise darstellen: y = ( E P ) x ( E - Einheitsmatrix )

5 150 7 Funktionen Beispiel 7.1: Die im Folgenden betrachteten ökonomischen Funktionen enthalten frei wählbare Konstanten (Parameter), die wir mit a, b, c, d,... bezeichnen und für die bei konkreten Anwendungen reelle Zahlen bestimmt werden müssen (siehe Abschn.7.2.2): a) Nachfragefunktionen: Sie beschreiben Zusammenhänge zwischen Preis und Nachfrage (Absatz) bzw. Nachfrage (Absatz) und Preis einer Ware. Sie werden durch Funktionen f(x)einer reellen Variablen x realisiert, wobei x für den Preis oder abgesetzte Ware stehen kann. Sie teilen sich auf in: Preis-Nachfrage-Funktionen (Preis-Absatz-Funktionen): Hier bezeichnet x (>0) den Preis einer Ware in Geldeinheiten GE und f(x) die abgesetzte Menge der Ware in einer Bezugsperiode in Mengeneinheiten ME, d.h. die abgesetzte Ware (Nachfrage) wird als Funktion des Preises betrachtet. Nachfrage-Preis-Funktionen (Absatz-Preis-Funktionen): Hier bezeichnet x die abgesetzte Menge der Ware und f(x)den Preis der Ware, d.h. der Preis wird als Funktion der abgesetzten Ware x betrachtet. Aus ökonomischen Gesichtspunkten werden Nachfragefunktionen als monoton fallend vorausgesetzt, da mit wachsendem Preis der Absatz bzw. mit wachsendem Absatz der Preis sinkt. N Mögliche Realisierungen von Preis-Nachfrage-Funktionen (mit P N (x) bezeichnet): P N (x) = a b x ( a>0, b>0 ) d P N (x) = c x ( c>0, d<0 ) cx P N (x) = a b ( a>0, b>0, c<0 ) 1 Falls Umkehrfunktionen P (y) von Preis-Nachfrage-Funktionen existieren, so realisieren sie Nachfrage-Preis-Funktionen. Bei Nachfragefunktionen treten auch Funktionen mehrerer Variablen auf, wenn man einen Markt mit m Waren betrachtet, auf dem die Nachfrage nach einer Ware von den Preisen aller m Waren abhängt. So können z.b. bei zwei Waren lineare Preis-Nachfrage-Funktionen P N (x 1,x 2) folgende Gestalt haben 1 2 P (x,x ) = a b x + c x, P (x,x ) = a + b x c x N N P N(x 1,x 2) und N 1 2 wobei P (x,x )die abgesetzten Mengen der ersten bzw. zweiten Ware und x1 bzw. x2 die Preise der Waren darstellen. b) Angebotsfunktionen: Hier steht die unabhängige Variable x (>0) für den Preis in GE einer Ware und f(x) für die angebotene Menge in ME der Ware, d.h. die angebotene Ware wird als Funktion des Preises betrachtet. Sie werden als monoton wachsend vorausgesetzt, da i.allg. die Angebotsmenge erhöht wird, wenn der Preis steigt.

6 162 7 Funktionen Im abschließend erscheinenden Dialogfeld Schritt 4 von 4 - Diagrammplatzierung kann man festlegen, wo die Grafik (Diagramm) erscheinen soll. Abb.7.2: Diagramm-Assistent: Schritt 1 von 4 zur Darstellung von Flächen Beispiel 7.5: Eine Preis-Nachfrage-Funktion (siehe Beisp.7.1a und 14.7b2) sei durch fünf Punkte ( 2, 95 ), ( 3, 96 ), ( 4, 92 ), ( 5, 89 ), ( 8, 83 ) gegeben: In EXCEL gibt es mehrere Möglichkeiten zur grafischen Darstellung von Funktionen, die nur durch Punkte gegeben sind. Diese können im Schritt 1 beim Durchlauf des Diagramm-Assistenten bei Diagrammuntertyp ausgewählt werden: Es können nur die gegebenen Punkte der Funktion grafisch dargestellt werden. Die gegebenen Punkte können durch Geraden- oder Kurvenstücke miteinander verbunden werden: Bei der Verbindung durch Geradenstücke wird linear zwischen den gegebenen Punkten interpoliert und man erhält als Interpolationskurve einen Polygonzug. Wir stellen sowohl die gegebenen Punkte als auch den Polygonzug grafisch dar. Zur grafischen Darstellung ergeben sich aus der in Abschn und und Beisp.7.4 beschriebenen Vorgehensweise folgende konkrete Schritte: I. Man schreibt in eine Spalte Z1S1:Z5S1 der aktiven Tabelle die gegebenen x-werte 2, 3, 4, 5, 8. II. In die danebenliegende Spalte Z1S2:Z5S2 trägt man die zugehörigen Funktionswerte f(x)ein, d.h. 95, 96, 92, 89, 83.

7 164 7 Funktionen III. Anschließend markiert man die beiden ausgefüllten Spalten und startet den Diagramm-Assistenten (siehe Beisp.7.4). IV. Im ersten erscheinenden Dialogfeld Schritt 1 von 4 wählt man als Diagrammtyp Punkt (XY). Bei Diagrammuntertyp hat man mehrere Darstellungsmöglichkeiten. Wir wählen Punkte mit Linien ohne Datenpunkte. V. Nach dem weiteren Durchlauf von Schritt 2 bis 4 des Diagramm-Assistenten erhält man die folgende abgebildete Funktionskurve, in der die gegebenen Punkte durch Quadrate dargestellt sind: Beispiel 7.6: Im Folgenden sieht man die grafische Darstellung (Funktionskurve) einer speziellen Preis- Nachfrage-Funktion (siehe Beisp.7.1a) 1 f(x) = 2 x 3 für x [0,25, 3] Die von EXCEL gezeichnete Funktionskurve wird durch Anwendung der im Abschn.7.4 und Beisp.7.4 gegebenen Vorgehensweise unter Verwendung gleichabständiger x-werte erhalten: Die x-werte werden erzeugt, indem man in die beiden ersten Zellen Z1S1 und Z2S1 die Werte x-werte 0,25 bzw. 0,5 einträgt und markiert und dann am Ausfüllkästchen bis zu 3 (Zelle Z12S1) nach unten zieht. Damit hat man für das Intervall [0,3] die Schrittweite 0,25 gewählt.

8 166 7 Funktionen Danach markiert man die so erzeugten x-werte und definiert hierfür den Namen x. Anschließend trägt man in Zelle Z1S2 den Funktionsausdruck als Formel =2 x^( 1/3) ein und zieht am Ausfüllkästchen nach unten bis zur Zelle Z12S2, so dass man die zu den eingetragenen x-werten gehörenden Funktionswerte erhält. Abschließend liefert ein Durchlauf des Diagramm-Assistenten für den Diagrammtyp Punkt (XY) und Diagrammuntertyp Punkte mit Linien ohne Datenpunkte (siehe Abschn , und Beisp.7.4) die abgebildete Funktionskurve, die im folgenden Tabellenausschnitt zu sehen ist:

9 Finanzmathematik Mit der Funktion für den Rentenbarwert (siehe Beisp.13.3b) folgt für die konkreten Werte R (1000, 1+ 0,05 /12, ) = ,35 0 wobei zu beachten ist, dass sich der Zinsfuß auf ein Jahr bezieht, d.h. man muss bei monatlicher Zahlung durch 12 dividieren. Der berechnete Rentenbarwert von ,35 Euro bedeutet, dass man monatlich 1000 Euro für 10 Jahre abheben kann, bis der eingezahlte Betrag und gezahlte Zinsen aufgebraucht sind. Der berechnete Rentenbarwert zeigt, dass die von der Versicherung angebotene Rente nicht günstig ist, da Euro verlangt werden, obwohl schon ,35 Euro reichen. Beispiel 13.4: Betrachten wir zur Tilgungsrechnung (siehe Abschn ): a) Wie hoch ist bei Annuitätentilgung für einen Kredit von Euro bei einem Zinsfuß von 6,2% pro Jahr und einer Tilgungszeit von 60 Monaten die Annuität: Die Annuität A als Funktion der Gesamtschuld S 0, des Zinsfaktors q = i+1 und der Laufzeit T ergibt sich zu T 1 q A(S 0,q,T) = S0 q T 1 q so dass für die konkreten Werte folgt A(60000, 1+0,062/12, 60) = 1165,56 d.h. die Annuität (konstanter Rückzahlungsbetrag) beträgt 1165,56 Euro pro Monat. Es ist zu beachten, dass sich der Zinssatz i auf ein Jahr bezieht und somit für die Berechnung pro Monat durch 12 zu teilen ist. b) Berechnen wir für Beisp.13.4a die Laufzeit T: Es ist die Zeit T gesucht, um einen Kredit von Euro bei einem Zinsfuß von 6,2% pro Jahr mit einer monatlichen Rate von 1165,56 Euro abzuzahlen. Die Laufzeit T als Funktion von Gesamtschuld S 0, Annuität A und Zinssatz i ergibt sich zu lna ln(a S0 i) T(A,S 0,i) = ln(1 + i) so dass für die konkreten Werte folgt T(60000, 1165,56, 0,062/12) = 60 Der Kredit ist in Übereinstimmung mit Beisp.13.4a. nach 60 Monaten abgezahlt. Beispiel 13.5: Wenden wir die finanzmathematische Funktion LIA ( Ansch-Wert ; Restwert ; Nutzungsdauer ) von EXCEL zur Abschreibungsrechnung an: LIA kann die lineare Abschreibung bei gegebenen Anschaffungswert, Restwert und Nutzungsdauer berechnen. Geben wir eine Illustration, indem wir die Aufgabe aus Beisp.13.1a lösen:

10 Finanzmathematik Es ist eine Maschine mit Anschaffungswert = Euro, Restwert = Euro und Nutzungsdauer = 10 Jahre linear abzuschreiben. EXCEL liefert mittels LIA ( ; ; 10 ) den Abschreibungsbetrag von Euro pro Jahr, wie aus folgendem Dialogfeld Funktionsargumente des Funktions-Assistenten ersichtlich ist. Beispiel 13.6: Wenden wir die finanzmathematische Funktion GDA2 ( Ansch_Wert ; Restwert ; Nutzungsdauer ; Periode ) von EXCEL zur Abschreibungsrechnung an: GDA2 kann die geometrisch-degressive Abschreibung bei gegebenen Anschaffungswert, Restwert, Nutzungsdauer und Periode berechnen. Geben wir eine Illustration, indem wir die Aufgabe aus Beisp.13.1a lösen: Es ist die Abschreibung einer Maschine mit Ansch_Wert = Euro, Restwert = Euro, Nutzungsdauer = 10 Jahre nach dem ersten Jahr ( Periode = 1 Jahr) zu berechnen. EXCEL liefert mittels GDA2 ( ; ; 10 ; 1 ) den Abschreibungsbetrag im ersten Jahr von Euro, wie aus folgendem Dialogfeld Funktionsargumente des Funktions-Assistenten ersichtlich ist: