Aufgabenblatt zum Seminar 13 PHYS70357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

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1 Aufgabenblatt zum Seminar 3 PHYS7357 Elektrizitätslehre und Magnetismus (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik) Othmar Marti, Aufgaben. Zwei gleiche Ladungen Q = 3 C verschiedenen Vorzeichens im mittleren Abstand von d = cm schwingen harmonisch und gegenphasig mit einer Frequenz von MHz und einer Amplitude von Δ = 5 µm. Wie gross ist das elektrische und magnetische Feld im grösseren Abstand (z.b. m) in der Ebene durch den gemeinsamen Schwerpunkt der Ladungen mit der Ebenennormalen parallel zur Schwingungsrichtung der Ladungen?. In Medien wird die Richtung und der Betrag des Energieusses einer elektromagnetischen Welle durch den Poynting-Vektor beschrieben. S (r, t) = E (r, t) H (r, t) Die Einheit von S ist J m s. Die Intensität an einer durch die Normale a denierten Ebene ist I a (r) = S(r) t, = S (r) a a Berechnen Sie mit den Fresnelschen Formeln für nichtmagnetische Substanzen für die s-polarisation sin (γ(α)) cos (α) sin (α) cos (γ(α)) E r = E e sin (γ(α)) cos (α) + sin (α) cos (γ(α)) sin(α γ(α)) = E e sin(α + γ(α)) sin (γ(α)) cos (α) E t = E e sin (γ(α)) cos (α) + sin (α) cos (γ(α)) sin (γ(α)) cos (α) = E e sin(α + γ(α)) sin (α) = sin γ und die p-polarisation tan[α γ(α)] E r = E e tan[α + γ(α)] sin (γ(α)) cos (α) E t = E e sin[α + γ(α)] cos[α γ(α)]

2 EM 9, Aufgabenblatt Nr. 3 die reektierte Intensität für s- und p-polarisation bei gegebener fester einfallender Intensität I und variablem Einfallswinkel α π. Dabei soll > ε sein. 3. Berechnen Sie für die folgenden Materialien den Reexionskoezienten I R /I bei senkrechtem Einfall auf die Grenzäche Luft/Material und auf die Grenzäche Material/Luft. Material ε μ GaAs 9 InSb 5.7 Diamant Ein Polarisator (Durchlassrichtung d) schwächt eine auf ihn fallende Welle (mit einer Intensität I und einer Polarisationsrichtung p) ab gemäss I = I K ( ) d p dp mit K = allgemeiner Schwächungskoezient. Um die Polarisationsrichtung einer Welle um π zu drehen, werden nun N solcher Polarisatoren hintereinandergestellt, jeder um π gegenüber den vorderen verdreht bzw. 4 gegenüber der Einfallsrichtung p. Wie gross ist die ankommende Intensität? Bei welchem N ist diese Intensität maximal (für K =, 9;, 95;, 99;, 999)? 5. Ein Sender werde mit einer Intensität von 5 pw m empfangen. Wie gross sind die Eektivwerte der elektrischen und magnetischen Feldstärke? 6. Eine elektromagnetische Welle mit einer Wellenlänge λ = 5 µm trit senkrecht auf eine planparallele Platte aus Diamant mit der Dicke D. Berechnen Sie für Dicken D mm die Intensität des transmittierten und reektierten Lichtes. 7. Die Leuchtkraft der Sonne beträgt 3.8 MW. Nehmen Sie an, Sie können die Sonnenstrahlung durch harmonische Schwingungen beschreiben. a) Wie gross ist dann der Poyntingvektor in Erdentfernung (mittlerer Bahnradius der Erde 5 6 km)? b) Wie gross ist der mittlere Betrag des elektrischen und magnetischen Feldes hier? c) Wie gross ist die Sonneneinstrahlung (pro m und s) in Ulm (48.4 nördliche Breite, östliche Länge) am Frühjahrsanfang Frühjahrsanfang um : Uhr MEZ? c 9 Ulm University, Othmar Marti

3 3 EM 9, Aufgabenblatt Nr (Im Seminar Minuten) Welchen Winkel muss die Sonne mit dem Horizont bilden, damit das von der Oberäche eines (ruhigen) Sees reektierte Licht vollständig polarisiert ist? Die relative Dielektrizitätszahl des Wassers ist ε = 6 9 = n. s-polarisation p-polarisation E r = E e sin(α γ(α)) sin(α + γ(α)) E r = E e tan[α γ(α)] tan[α + γ(α)] = sin(γ) c 9 Ulm University, Othmar Marti 3

4 EM 9, Aufgabenblatt Nr. 3 4 Lösungen. Laut Skript (Gleichung 6.49) ist das elektrische Feld im Abstand r von einer mit ω harmonisch schwingender Ladung Q (Amplitude z ) zur Zeit t und dem Winkel Θ zwischen Richtung der Schwingung und Ausbreitungsrichtung, also dem Ortsvektor r, E (r, Θ, t) = Qz ω 4πε c r sin [ ω ( t r c )] sin Θ Der Winkel Θ ergibt sich (mit d = Abstand des Strahlers von der Mittelebene) zu Θ = π + arcsin d r Eine schwingende Ladung Q würde im Abstand a von der Verbindungsgeraden der Ladungen (d.h. r = a + d ) ein Feld mit der Amplitude E = Q z ( oω π 4πε c a + d sin + arctan d ).4 V m a verursachen (Zahlenwert gilt für a = m). Da die zweite Ladung entgegengesetzt zur ersten schwingt, also um π phasenversetzt, heben sich in grosser Entfernung die Felder, herrührend von den Schwingungen beider Ladungen, auf. Im Nahbereich allerdings bleibt ein Anteil bestehen, da die Ausbreitungsrichtungen der beiden Wellen verschieden ist. Der Restanteil wäre E rest = E d a =.8 V m Ob allerdings die Voraussetzungen beim Berechnen von Gleichung (6,49) hier im Nahbereich noch erfüllt sind, muss extra geprüft werden.. Wir benötigen und sin (γ(α)) = cos (γ(α)) = ( ) ( ) Für den Intensität können wir die skalare Variante des Pointing-Vektors verwenden Weiter ist I = S = EH = μ c E sin (γ(α)) cos (α) sin (α) cos (γ(α)) E r,s = E e sin (γ(α)) cos (α) + sin (α) cos (γ(α)) ( ) ( cos (α) sin (α) = E e ( ) ( cos (α) + sin (α) ) ) 4 c 9 Ulm University, Othmar Marti

5 5 EM 9, Aufgabenblatt Nr Für die Intensität erhält man I r,s = μ c E r = μ c E e = μ c E e = Ie ( ( ) ( cos (α) sin (α) ( ) ( cos (α) + sin (α) ( ) ( cos (α) sin (α) ( ) ( cos (α) + sin (α) ) ( ) cos (α) sin (α) ) ( ) cos (α) + sin (α) ( ) ) ) ) Bei der p-polarisation erhält man E r,p = E e sin (α) cos (α) sin γ cos γ sin γ cos γ + sin (α) cos (α) ( sin (α) cos (α) E r,p = E e ( ) ( ) ) ( ) + sin (α) cos (α) I r,p = μ c E r,p = μ c E e = μ c E e ( sin (α) cos (α) ) ( ( ) ( sin (α) cos (α) ) ( ) ( ( ) ) + sin (α) cos (α) ( ) ) + sin (α) cos (α) ( sin (α) cos (α) = Ie ) ( ) ( ) ( ) + sin (α) cos (α) c 9 Ulm University, Othmar Marti 5

6 EM 9, Aufgabenblatt Nr. 3 6 Reflektierte Intensität (s Polarisation).6 I r,s, ε =. I r,s, ε =.5 I r,s, ε =. I r,s, ε = 3. Reflektierte Intensität (p Polarisation).6 I r,p, ε =. I r,p, ε =.5 I r,p, ε =. I r,p, ε = 3. I/I.4 I/I α α 3. Die Lösungen sind: Reflektierte Intensität (s Polarisation).6 I r,s, ε = 9 (GaAs) I r,s, ε = 5.7 (InSb) I r,s, ε = 5.7 (Diamant) Reflektierte Intensität (p Polarisation).6 I r,p, ε = 9 (GaAs) I r,p, ε = 5.7 (InSb) I r,p, ε = 5.7 (Diamant) I/I.4 I/I α α 4. Bei einem Polarisator, dessen Durchlassrichtung gegenüber dem einfallenden polarisierten Licht um Δφ gedreht ist, berechnet sich die durchkommende Intensität in Richtung des Polarisators zu I = I K (cos (Δφ)) (mit K = Abschwächungskoezient, unabhängig von der Polarisationsrichtung). Sind N solcher Polarisatoren hintereinander gestellt mit jeweils gleichem Δφ so ergibt sich die Intensität des polarisierten Lichtes nach dem letzten zu I = I K N (cos Δφ) N Hier ist Δφ = π für N Polarisatoren zur Drehung der Richtung des polarisierten Lichtes um π. Wenn im Polarisator keine Dämpfung auftritt, also K = gilt, kann die ganze 4 Intenstität des einfallenden Lichtes in die gewünschte Richtung gebracht werden, wenn die Zahl der Polarisatoren gegen geht. Bei Dämpfung im Polarisator (K < ) gibt es eine optimale Anzahl N zum Erreichen der grössten Intensität. ) N Diese ergibt sich aus I = I K N ( cos π Zum Bestimmen des Maximums dieser Funktion ist es einfacher, diese vorher zu logarithmieren (Maximum wird dabei erhalten): ( ( π )) ln (I) = ln (I ) + N ln (K) + N ln cos 6 c 9 Ulm University, Othmar Marti

7 7 EM 9, Aufgabenblatt Nr Die Ableitung nach N des Logarithmus der Funktion ist: d [ ln (I ) + N ln (K) + N ln ( cos ( ))] π dn ( ( π )) = ln (K) + ln cos + N sin ( ) π ( cos ( ) π ) π ( ( π )) = ln (K) + ln cos + π sin ( ) π N cos ( ) π Die Lösung wird am einfachsten graphisch gesucht. d ln(i)/dn Ladungsverteilung N K=.9 K=.95 K=.99 K=.999 Bei der Darstellung sieht man nichts. Es ist besser die N-Achse zu logarithmieren..4 Ladungsverteilung d ln(i)/dn...4 K=.9 K=.95 K=.99 K=.999 K N N 5. Aus S (r, t) = E (r, t) H (r, t) c 9 Ulm University, Othmar Marti 7

8 EM 9, Aufgabenblatt Nr. 3 8 ( ) ( Gegeben ist hier S eff = S max. Dann ist S max = E max H max und S eff = E max H max ). Also ist mit E eff = E max und H eff = H max. folgt im Vakuum (oder in der Luft) mit μ H = B = E c oder H = E μ c und E = μ c H S eff = E eff H eff = E eff μ c S eff = E eff H eff =μ c H E eff = S eff μ c S eff H eff = μ c E eff = 5 W m 4π 7 N A 3 8 m s 5 H eff = W m 4π 7 N A 3 8 m s =37.9 µv m =364.8 na m 6. Das Licht läuft wie folgt durch denn Diamanten Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Hecht) 8 c 9 Ulm University, Othmar Marti

9 9 EM 9, Aufgabenblatt Nr Wir verwenden die Gleichung E r, = E e n n n + n E t, = E e n n + n E r, = E t, n n n + n E t, = E t, n n + n Reexion an der ersten Grenze Transmission an der ersten Grenze Reexion an der zweiten Grenze Transmission an der zweiten Grenze und E r, = r = n n E e n + n E t, = t = n E e n + n E r, Reexion an der ersten Grenze Transmission an der ersten Grenze = r = n n E t, n + n = r Reexion an der zweiten Grenze E t, = t = n E t, n + n Transmission an der zweiten Grenze t t = r Die Diamantplatte mit dem Brechungsindex ε D hat planparallelen Oberächen. Im Aussenraum sei auf beiden Seiten ε =. Die Abbildung zeigt die reektierten und gebrochenen Strahlen. Die reektierten Strahlen interferieren in dem weit entfernten Punkt P, die transmittierten Strahlen im weit entfernten Punkt P. Wenn der Diamant die Dicke D hat und der Winkel der Strahlen zur Normalen im Inneren des Etalons β = ist, dann ist der Gangunterschied zweier benachbarter Strahlen Λ = ε D D Den allgemeinen Fall kann man berechnen, indem man die durch die einfallende Welle E (t) = E e iωt angeregten reektierten Teilwellen aufschreibt, wobei zwischen zwei Teilwellen die Phasenverschiebung δ = k Λ = π λ Λ sind E r (t) = E re iωt E r (t) = E t r te i(ωt δ) E 3r (t) = E t r 3 te i(ωt δ) E 4r (t) = E t r 5 te i(ωt 3δ). E Nr (t) = E t r (N 3) e i(ωt (N )δ). c 9 Ulm University, Othmar Marti 9

10 EM 9, Aufgabenblatt Nr. 3 Die resultierende Welle ist die Summe aller Teilwellen Eingesetzt ergibt sich E r = E r + E r + E 3r + E 4r +... E r = E re iωt + E t r te i(ωt δ) + E t r 3 te i(ωt δ) + E t r 5 te i(ωt 3δ) +... Zusammengefasst ergibt sich E r = E e iωt { r + t r te iδ [ + r te iδ + r 4 e iδ + +r 6 e i3δ +... ]} = E e iωt { r + t r te iδ [ + ( r te iδ) + ( r te iδ) + ( r te iδ) ]} Für r e iδ < konvergiert die geometrische Reihe. Wir erhalten [ ] E r = E e iωt r + t r te iδ r e iδ Mit den Stokeschen Relationen r = r und t t = r bekommt man [ E r = E e iωt r r( ] [ ] r )e iδ r( e = E r e iδ e iωt iδ ) r e iδ Die reektierte optische Intensität ist r ( cos δ) I r == I e ( + r 4 ) r cos δ Mit einer analogen Ableitung berechnet man die transmittierte Intensität I t = I e ( r ) ( + r 4 ) r cos δ da das transmittierte Licht sich im gleichen Medium wie das einfallende Licht sich bewegt. Wenn wir den Wert ε D = 5.7 einsetzen erhält man mit δ = πλ = π ε λ λ D D = 4π D ε D λ 5.7 r = = = r ( cos ( 4π ) D ε D λ ) I r == I e ( + r 4 ) r cos ( 4π ) = D ε D λ ( r ) I t = I e ( + r 4 ) r cos ( 4π ) = D ε D λ ( cos ( π D)) cos ( π D) cos ( π D) I r It Diamantplatte I r /I I t /I D c 9 Ulm University, Othmar Marti

11 EM 9, Aufgabenblatt Nr a) Der Poyntingvektor der Sonnenstrahlung in Erdentfernung R zur Sonne ist - mit P S = 3.8 MW Strahlungsleistung der Sonne - S R = P S =.35 kw m 4πR b) Daraus ergeben sich die mittleren (eektiven) Feldstärken zu E = μ c S = 74 V m bzw. H = S E = S μ c =.9 A m c) Am Frühjahrsanfang (und Herbstanfang) ist die Schrägstellung der Erdachse nicht zu berücksichtigen. Zum lokalen Mittag, der bei Frühjahrsanfang in Ulm : Uhr MEZ ist (MEZ ˆ=5 östliche Länge, 5 Dierenz ˆ= min), ist dann, unter Beachtung der geographischen Breite φ = 48.4, die einfallende Sonneneinstrahlung S Ulm = S R cos φ = 896 W m 8. Das Sonnenlicht ist auf der Erde in guter Näherung eine ebene Welle. Wenn das reektierte Licht vollständig polarisiert sein soll, erfolgt die Einstrahlung unter dem Brewsterwinkel, bei dem das reektierte und gebrochene Licht einen Winkel von π einschliessen. Für Wasser und Luft ist der Brechungsindex n = 4/3 und damit der Brewsterwinkel φ B = arctan n = 53,. Damit ist der Winkel gegenüber dem Horizont φ p = π φ B = 36, 9 c 9 Ulm University, Othmar Marti

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