Mengenoperationen, Abbildungen
|
|
- Laura Dressler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Z6 Rechengesetze für Mengenoperationen Lineare Algebra 1 WS 2006/07 en Blatt Mengenoperationen, Abbildungen Zentralübungsaufgaben a) Zeigen Sie für beliebige Mengen A, B und C: A B = B A, A B = B A, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) (A C). A (B C) = (A B) (A C). b) Zeigen Sie weiter: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). Ähnlich wie bei Summen schreibt man für den Durchschnitt bzw. die Vereinigung mehrerer Mengen A 1,..., A n kurz c) Zeigen Sie: ( n A 1... A n =: B \ A i ) B = A i = A i und A 1... A n =: (A i B), ( n ) A i B = (B \ A i ), B \ A i = A i. (A i B), (B \ A i ). Arbeitet man in einer festen Menge X und betrachtet A P(X) (also eine Teilmenge A X), so schreibt man für X \ A auch C X A und nennt dies das Komplement von A (in X). d) Formulieren Sie die Aussagen von b) für den Fall B, C A in Komplementschreibweise, ebenso die untere Zeile von c) im Fall A 1,..., A n B. (Bei Mengenaufgaben sind Venn-Diagramme stets ein nützliches Hilfmittel.) a) Alle hier angegebenen Gesetze beruhen auf den entsprechenden Gesetzen für die Operatoren (einschließendes oder ) und ( und ) der Aussagenlogik. Man prüft im Detail: A B = B A: x A B ( x liegt in der Vereinigung von A und B ) Def. von x A x B ( x liegt in A oder x liegt in B ) ( x B x A ( x liegt in B oder x liegt in A ) Def. x B A ( x liegt in der Vereinigung von B und A ). oder ) ist kommutativ 1
2 A (B C) = (A B) C: A (B C) = (A B) (A C): x A (B C) x A x B C nochmal Def. x A (x B x C) (x A x B) x C 2 Def. x (A B) C. Def. ist assoziativ x A (B C) x A x B C Def. x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) Def. x A B x B C Def. x (A B) (A C). Def. Distributivgesetz für und Die Beweise für die rechts stehenden Aussagen gehen völlig analog (Dualitätsprinzip). b) Es bezeichne die logische Negation. Für Aussagen Auss1 und Auss2 gilt (wie man sich leicht an alltäglichen Beispielen veranschaulicht) (Auss1 Auss2) (Auss1) (Auss2), (Auss1 Auss2) (Auss1) (Auss2). Auf die Aussagen x A und x B angewendet bedeutet dies (x A x B) (x A) (x B), (x A x B) (x A) (x B), oder in vertrauterer Schreibweise: x A B x A x B, x A B x A x B. ( ) Damit ist der Beweis für A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) leicht: x A \ (B C) x A x B C ( ) x A (x B x C) assoziativ x A x B x C x A x B x A x C assoziativ (x A x B) (x A x C) Def. x A \ B x A \ C Def. x (A \ B) (A \ C). Def. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) zeigt man analog. Wiederholung derselben Aussage c) Wegen der Kommutativität und Assoziativität von und sind die großen Ausdrücke für alle n N wohldefiniert. Sie lassen sich wie folgt charakterisieren: x x A i i {1,... n} : x A i, A i i {1,... n} : x A i. 2
3 Durch Negation folgt x x A i i {1,... n} : x A i, A i i {1,... n} : x A i. Damit gehen die Beweise der Rechengesetze nach gewohnter Manier: ( n ) ( n ) x A i B Def. x A i x B (entscheidender Schritt überlegen!) s. Charakterisierung oben ( i {1,... n} : x A i ) x B i {1,... n} : (x A i x B) Def. i {1,... n} : x A i B s.o. x (A i B) ; x B \ A i Def. x B x A i s.o. (entscheidender Schritt überlegen!) x B ( i {1,... n} : x A i ) i {1,... n} : (x B x A i ) Def. i {1,... n} : x B \ A i s.o. x (B \ A i ) ; übrige Aussagen analog. d) Die Aussagen aus b) lauten dann C A (B C) = (C A B) (C A C), C A (B C) = (C A B) (C A C), und die aus der unteren Zeile von c) lauten C B n A i = n C B A i, C B A i = C B A i. Z7 Ein Ausflug in die Zahlentheorie In der Vorlesung haben Sie von MERSENNEschen Primzahlen (Primzahlen von der Form 2 n 1) und FERMATschen Primzahlen (solche von der Form 2 n + 1) gehört als Beispiele für Zahlenmengen, von denen nicht bekannt ist, ob sie endlich oder unendlich sind. Zeigen Sie: a) Ist 2 n 1 eine Primzahl, so ist n prim. b) Ist 2 n + 1 eine Primzahl, so ist n eine Zweierpotenz. a) Behauptung: 2 n 1 prim n prim. Beweis: durch Kontraposition, d.h. wir zeigen: n zusammengesetzt 2 n 1 zusammengesetzt. Sei also n = ab mit a, b N \ {1}. Setze A := 2 a 1 und B := 2 (b 1)a + 2 (b 2)a a + 1, 3
4 dann ist A N \ {1} (wegen a > 1) und auch B N \ {1} (denn wegen b > 1 hat die Summe, durch die B definiert ist, mindestens zwei Summanden). Und es gilt A B = (2 a 1) (2 (b 1)a + 2 (b 2)a + + 1) = = 2 a+(b 1)a + 2 a+(b 2)a a 2 (b 1)a 2 a 1 = 2 ab 1 = 2 n 1, also ist 2 n 1 zusammengesetzt. b) Behauptung: 2 n + 1 prim n ist eine Zweierpotenz. Beweis: wiederum durch Kontraposition. Sei also n keine Potenz von 2. Dann ist n = ab mit a, b N und b 3 ungerade. Es gilt 2 n + 1 = (2 a ) b + 1 = [(2 a + 1) 1] b + 1 = b ( ) = b (2 a + 1) j ( 1) b j + 1 j j=0 b ( ) = 1 + b (2 a + 1) j ( 1) b j + 1 = j j=1 b ( ) b = (2 a + 1) (2 a + 1) j 1 ( 1) b j. j j=1 }{{} =:B Z Binomischer Lehrsatz, vgl. Analysis = Summand für j = 0 rausziehen, b ungerade! Also ist 2 n + 1 = (2 a + 1) B, und wegen 1 < 2 a + 1 < 2 n + 1 muss auch 1 < B < 2 n + 1 sein, somit ist 2 n + 1 zusammengesetzt. (Wenn man modulares Rechnen kennt, geht es schneller: 2 n + 1 = (2 a ) b + 1 ( 1) b + 1 = = 0 (mod 2 a + 1), d.h. 2 a + 1 teilt 2 n + 1.) Tutoraufgaben T6 Symmetrische Differenz von Mengen Es bezeichne A B := (A \ B) (B \ A) die symmetrische Differenz der Mengen A und B. a) Zeigen Sie: A B = (A B) \ (A B). b) Untersuchen Sie die Mengenoperationen \ und auf Kommutativität und Assoziativität. a) Für eine logische Aussage ist stets wahr. Damit: ( ) Aussage (Aussage) x A B Def. x (A \ B) (B \ A) Def. x A \ B x B \ A Def. (x A x B) (x B x A) Distributivgesetz [(x A x B) x B] [(x B x A) x A] nochmal Distributivgesetz [(x A x B) (x B x B)] [(x A x A) (x B x A)] ( ) (x A x B) (x B x A) vgl. Lsg. zu Z6 b) (x A B) (x B A) Def., Kommutativgesetz für x (A B) \ (A B). 4
5 b) \ ist nicht kommutativ: Ein Gegenbeispiel: A := {1, 2}, B := {2, 3}. Dann ist A \ B = {1} {3} = B \ A. \ ist nicht assoziativ: Ein Gegenbeispiel: A := {1, 2}, B := {2, 3}, C := {2}. Dann ist (A\B)\C = {1}\{2} = {1}, aber A \ (B \ C) = {1, 2} \ {3} = {1, 2} {1}. ist kommutativ: Dies folgt unmittelbar aus der Kommutativität von und : ist assoziativ: A B a) = (A B) \ (A B) = (B A) \ (B A) = B A. (Dies ist aufwendiger.) Nach Definition ist x M N (x M x N) (x N x M). (1) Angewendet auf M := A B und N := C bedeutet dies x (A B) C (x A B x C) (x C x A B). (2) Hierin kann man x A B nochmal gemäß (1) ersetzen. Was aber bedeutet x A B? Unter Verwendung von findet man dafür x A \ B (x A x B) x A x B (3) (3) x A B x (A \ B) (B \ A) x A \ B x (B \ A) (x A x B) (x B x A) 2 Distributivgesetz (x A x B) (x A x A) (x B x B) (x B x A) (x A x B) (x B x A), (4) wobei im letzten Schritt benutzt wurde, dass eine Aussage X X trivialerweise nie wahr ist. Nun können wir (1) und (4) in (2) einsetzen: x (A B) C (x A B x C) (x C x A B) [( (x A x B) (x B x A) ) x C ] [ x C ( (x A x B) (x B x A) )] (x A x B x C) (x A x B x C) (x A x B x C) (x A x B x C) (5) ( x liegt in genau einer der Mengen A, B, C oder in allen dreien ) Damit kennen wir also (A B) C. Andererseits gilt A (B C) = (B C) A, und das Ergebnis hierfür erhält man, wenn man in der obigen Rechnung überall A durch B, B durch C und C durch A ersetzt. Es zeigt sich, dass (5) symmetrisch in A, B, C ist, d.h. der Ausdruck bleibt bei dieser Vertauschung gleich. Dies zeigt A (B C) = (A B) C. 5
6 T7 Bild und Urbild unter Abbildungen Es sei f : X Y eine Abbildung. Für A X heißt f(a) := {f(a) : a A} Y das Bild von A unter f. Für B Y heißt f 1 (B) := {x X : f(x) B} X das Urbild von B unter f. a) Zeigen Sie: f 1 (f(a)) A und f(f 1 (B)) B. Geben Sie je ein Beispiel dafür an, dass dabei Gleichheit im Allgemeinen nicht gilt. b) Es seien A 1, A 2 X, B 1, B 2 Y. Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel: (i) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) (iii) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (ii) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) (iv) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) a) Beweis zu A f 1 (f(a)): Sei x A. Dann folgt f(x) f(a) nach Definition des Bildes von A, und nach Definition des Urbildes von f(a) bedeutet dies x f 1 (f(a)). Beweis zu f(f 1 (B)) B: Sei y f(f 1 (B)), d.h. y liege im Bild von f 1 (B) unter f. Das bedeutet, dass es in der Menge f 1 (B) ein Element x geben muss mit f(x) = y. Aber x f 1 (B) bedeutet f(x) B. Also y B. Ein Beispiel für A f 1 (f(a)): Betrachte f : Menge aller Hände Menge aller Menschen Hand Besitzer der Hand und A := {Prof. Roeslers rechte Hand}. Dann gilt f(a) = {Prof. Roesler} und f 1 (f(a)) = {Prof. Roeslers rechte Hand, Prof. Roeslers linke Hand}. Ein Beispiel für f(f 1 (B)) B: Betrachte f : Menge unserer LA1-Tutorgruppen Menge aller Wochentage Gruppe i Wochentag, an dem Gruppe i stattfindet und B := {Donnerstag, Sonntag}. Dann gilt f 1 (B) = {Gruppe 5,..., Gruppe 11} und f(f 1 (B)) = {Donnerstag}. b) Aussage (i) ist wahr. Beweis: für alle y Y gilt y f(a 1 A 2 ) x A 1 A 2 : f(x) = y ( x A 1 : f(x) = y) ( x A 2 : f(x) = y) y f(a 1 ) y f(a 2 ) y f(a 1 ) f(a 2 ). Aussage (ii) ist falsch. Ein Gegenbeispiel: betrachte die konstante Abbildung f : N N n 2006 und A 1 := {n N : n ungerade}, A 2 := {n N : n gerade}. Dann ist f(a 1 A 2 ) = f( ) = und f(a 1 ) f(a 2 ) = {2006} {2006} = {2006}. Es gilt jedoch f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ): für alle y Y gilt y f(a 1 A 2 ) x A 1 A 2 : f(x) = y x X : x A 1 x A 2 f(x) = y x X : f(x) f(a 1 ) f(x) f(a 2 ) f(x) = y y f(a 1 ) f(a 2 ). (Warum kommt man beim vorletzten Schritt nicht zurück?) 6
7 Aussage (iii) ist wahr. Beweis: für alle x X gilt x f 1 (B 1 B 2 ) f(x) B 1 B 2 f(x) B 1 f(x) B 2 x f 1 (B 1 ) x f 1 (B 2 ) x f 1 (B 1 ) f 1 (A 2 ). Aussage (iv) ist ebenfalls wahr. Den Beweis erhält man, wenn man im Beweis zur Aussage (iii) überall durch und durch ersetzt (nachprüfen!). Hausaufgaben H6 Zwei weitere Distributivgesetze? Geben Sie an, in welcher Beziehung (Gleichheit, Inklusion,...) die nachfolgenden Paare von Mengen jeweils zueinander stehen, und beweisen Sie Ihre Aussagen. a) A (B \ C)? (A B) \ (A C) b) A (B \ C)? (A B) \ (A C) a) Es gilt A (B \ C) (A B) \ (A C), aber im Allgemeinen nicht Gleichheit. Beweis der Inklusion: x (A B) \ (A C) x A B x A C (x A x B) (x A x C) Distributivgesetz [ ] [ ] x A (x A x C) x B (x A x C) }{{} niemals wahr x B x A x C x A x B \ C x A (B \ C). x B \ C x A x B \ C (Bemerkung. Das Symbol oben markiert die Stellen, wo die Schlussfolgerung nicht umkehrbar ist. Dies zeigt an, wie man ein Gegenbeispiel für die umgekehrte Inklusion zu konstruieren hat.) Ein Beispiel, dass Gleichheit im Allgemeinen nicht gilt: A beliebige nichtleere Menge, B beliebige Menge, C := B. Dann ist (A B) \ (A C) =, aber A (B \ C) = A = A. b) Es gilt A (B \ C) = (A B) \ (A C). Den Beweis findet man am leichtesten, wenn man auf der rechten Seite beginnt: x (A B) \ (A C) x A B x A C (x A x B) (x A x C) Distributivgesetz [ ] [ ] (x A x B) x A) (x A x B) x C) }{{} niemals wahr x A (x B x C) x A x B \ C x A (B \ C). H7 Disjunktheit mehrerer Mengen a) Was sagen Sie zu folgender Behauptung? (Beweisen oder widerlegen Sie jede Richtung separat.) A B C = A B = A C = B C =. 7
8 b) Es sei k N. Konstruieren Sie Mengen M 1,..., M k, so dass (gleichzeitig) gilt: (i) M i M j für alle i, j {1,..., k} ; (ii) Für welche k ist das nicht möglich? a) Die Richtung ist korrekt: Für beliebige Mengen M und N gilt k M i =. x M N x M x N x M (klar!), also M N M. Angewendet auf M := A B und N := C bedeutet dies hier A B C A B = ; also A B C =, da die einzige Teilmenge der leeren Menge die leere Menge selbst ist. (Bemerkung. Dabei wurde A C = B C = gar nicht benutzt! Die Aussage läßt sich also erheblich verschärfen der obige Beweis zeigt, dass der Durchschnitt einer Familie von Mengen ist bereits dann leer ist, wenn zwei der Mengen disjunkt sind.) Die Richtung ist dagegen falsch: Betrachte etwa A := {b, c}, B := {a, c} und C := {a, b}. Dann ist A B C = (es gibt kein Element, das in allen drei Mengen liegt), aber alle paarweisen Durchschnitte sind nichtleer: b) Für k = 1 ist A B = {c}, A C = {b} und B C = {a}. k M i = M 1 = M 1 M 1 und die Bedingung damit nicht erfüllbar, da diese Menge nach (i) nichtleer und nach (ii) zugleich leer sein müßte. Aus dem gleichen Grund ist die Bedingung für k = 2 nicht erfüllbar, denn k M i = M 1 M 2. Für k = 3 wurde oben schon ein Beispiel in a) angegeben, das die Bedingung erfüllt. Dieses läßt sich auf beliebige k 3 verallgemeinern: Setze M i := {1,..., k} \ {i}. Dann gilt (i) für alle i, j {1,..., k} gibt es ein l {1,..., k} mit l i und l j, und für dieses gilt l M i M j ; k (ii) M i =, denn für jedes x {1,..., k} gibt es eine Menge M i (nämlich M x ), die x nicht enthält. Damit sind beide Forderungen erfüllt. (Bemerkung. Im vorliegenden Beispiel ließe sich (i) sogar noch verschärfen zu (i ) j {1,..., k} : k M i, d.h. der Durchschnitt ist schon nicht mehr leer, wenn nur eine einzige Menge M j ausgenommen wird.) i j 8
9 H8 Beweisen oder widerlegen Sie! (M 1, M 2, N 1, N 2 seien Mengen, f : X Y eine Abbildung, A 1, A 2 X.) (i) M 1 M 2 N 1 N 2 M 1 N 1 M 2 N 2 (iii) f(a 1 \ A 2 ) = f(a 1 ) \ f(a 2 ) (ii) (M 1 N 1 ) (M 2 N 2 ) = (M 1 M 2 ) (N 1 N 2 ) (iv) C X (A 1 A 2 ) = (C X A 1 ) A 2 Aussage (i) ist wahr. Beweis: Sei (m, n) M 1 N 1, zu zeigen ist (m, n) M 2 N 2. Es gilt (m, n) M 1 N 1 Def. von n. Vor. m M 1 n N 1 m M 2 n N 2 Def. von (m, n) M 2 N 2. Aussage (ii) ist falsch. Ein Gegenbeispiel: Betrachte {1,..., 10} {a,... j} ( Schiffe versenken ). Hier gilt etwa für M 1 := {2}, M 2 := {7}, N 1 := {d} und N 2 := {g}: (M 1 N 1 ) (M 2 N 2 ) = {(2, d), (7, g)} (nur zwei Segelschiffchen ), (M 1 N 1 ) (M 2 N 2 ) = {(2, d), (2, g), (7, d), (7, g)} (vier Segelschiffchen ). (Bemerkung. Es gilt jedoch. Nach (i) ist jede der Mengen M i N i (i = 1, 2) Teilmenge der rechten Seite, also auch deren Vereinigung.) Aussage (iii) ist falsch. Als Gegenbeipiel läßt sich etwa das Beispiel aus T7(ii) wieder heranziehen. Hier gilt f(a 1 \ A 2 ) = f(a 1 ) = {2006}, f(a 1 ) \ f(a 2 ) = {2006} \ {2006} =. (Bemerkung. Es gilt jedoch. Denn liegt y in f(a 1 ) \ f(a 2 ), so gibt es ein x 1 A 1 mit f(x 1 ) = y, während f(x) y für alle x A 2. Also muss x 1 A 1 \ A 2 sein, somit y = f(x 1 ) f(a 1 \ A 2 ).) Aussage (iv) ist wahr. Beweis: für alle x X (andere werden hier nicht betrachtet!) gilt x C X (A 1 A 2 ) x A 1 A 2 x ( A 1 \ A 2 ) (A 2 \ A 1 ) x A 1 \ A 2 x A 2 \ A 1 (x A 1 x A 2 ) (x A 2 x A 1 ) (x C X A 1 x A 2 ) (x C X A 1 x A 2 ) x (C X A 1 ) A 2 x (C X A 1 ) A 2 x ( ) ( ) (C X A 1 ) A 2 \ (CX A 1 ) A 2 x (C X A 1 ) A 2. (Alternativ kann man das natürlich auch rein mit Mengenoperationen und Komplementen formulieren.) 9
10 H9 Widerlegung der Kommutativität der Addition von Flächen Erklären Sie, woher das Loch im rechten Teil der Skizze kommt! (Die Ecken der Teilfiguren liegen jeweils auf Gitterpunkten.) Natürlich haben die beiden Figuren, da sie aus vier kongruenten Flächenstücken zusammengesetzt sind, den gleichen Flächeninhalt (nämlich 32 Flächeneinheiten). In beiden Figuren ist jedoch die obere Begrenzungslinie keine Gerade! Beim Dreieck A hat die obere Seite die Steigung 3 : 8 = 0, 375, beim Dreieck D dagegen die Steigung 2 : 5 = 0, 4 (dieser Unterschied ist optisch kaum wahrnehmbar). Somit ist die obere Begrenzungslinie in der linken Figur leicht nach unten und in der rechten Figur leicht nach oben geknickt. Die dadurch rechts hinzugewonnene Fläche wird gerade durch das fehlende Einheitsquadrat kompensiert.
Zusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 1
Mathematik I für E-Techniker C. Erdmann WS 011/1, Universität Rostock, 1. Vorlesungswoche Zusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 1 Wiederholung - Theorie: Mengen Der grundlegende Begriff
MehrGrundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 3 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P4) Wir betrachten die Menge M := P({1, 2, 3, 4}). Dann gilt 1 / M,
MehrWarum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz. 1 Mengen Mengenoperationen Rechenregeln Mengen 4. Funktionen 7
Warum Mathe? IG/StV-Mathematik der KFU-Graz März 2011 Inhalt 1 Mengen 1 1.1 Mengenoperationen.............................. 2 1.2 Rechenregeln.................................. 3 2 Übungsbeispiele zum
MehrGrundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 6 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P9) Die Ordnung der natürlichen Zahlen I Wir hatten in der Vorlesung
MehrLösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }
Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird
MehrLösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }
Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird
MehrFormale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz
Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Definition Sei A eine Menge und ɛ A A A eine zweistellige
MehrKapitel 1. Mengen und Abbildungen. 1.1 Mengen
Kapitel 1 Mengen und Abbildungen 1.1 Mengen Die Objekte der modernen Mathematik sind die Mengen. Obwohl die Logik einen axiomatischen Zugang zur Mengenlehre bietet, wollen wir uns in dieser Vorlesung auf
Mehr0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper
0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper In diesem Paragrafen behandeln wir einige für die Lineare Algebra und für die Analysis wichtige Grundbegriffe. Wir beginnen mit dem Begriff der Menge. Auf Cantor
MehrElementare Mengenlehre
Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Einführung in die Matrizenrechnung
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra WS 006/07 en Blatt 3.0.006 Einführung in die Matrizenrechnung Zentralübungsaufgaben
Mehr2 Mengen und Abbildungen
2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:
MehrVorkurs Mathematik 2016
Vorkurs Mathematik 2016 WWU Münster, Fachbereich Mathematik und Informatik PD Dr. K. Halupczok Skript VK3 vom 15.9.2016 VK3: Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen
MehrFür unseren Gebrauch ist eine Menge bestimmt durch die in ihr enthaltenen Elemente. Ist M eine Menge, so ist ein beliebiges Objekt m wieder so ein
Mengen 1.2 9 1.2 Mengen 7 Der Begriff der Menge wurde am Ende des 19. Jahrhunderts von Georg Cantor wie folgt eingeführt. Definition (Cantor 1895) Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von bestimmten,
MehrFachwissenschaftliche Grundlagen
Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 4. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4. Vorlesung 1 / 21 Themen
MehrAufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009
Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009 Schulstoffbeispiele 1. Lineare Gleichungssysteme. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme.
MehrMengen und Abbildungen
Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen
MehrGrundbegriffe aus Logik und Mengenlehre
Prof. Dr. B. Niethammer Dr. C. Seis, R. Schubert Institut fr Angewandte Mathematik Universitt Bonn Grundbegriffe aus Logik und Mengenlehre Wir wollen im Folgenden eine kurze Einführung in die Grundbegriffe
MehrRückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen
Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung
MehrMengenlehre. ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname:
Mengenlehre ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 21. August 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre 1 1.1 Die Menge im mathematischen
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume
MehrRückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen
Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Mengen und Mengenoperationen (Teil I) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014 Table of Contents Mengen und ihre Darstellung Darstellung endlicher Mengen Darstellung unendlicher
MehrMengenlehre. Begriff der Mengenzugehörigkeit x M, x Ê M >x : x { a 1. e e x = a n. } 2 x = a 1. >x : x { y P(y) } 2 P(x) Begriff der leeren Menge
Mengenlehre Grundbegriff ist die Menge Definition (Naive Mengenlehre). Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung
MehrVorkurs Mathematik. Prof. Udo Hebisch WS 2017/18
Vorkurs Mathematik Prof. Udo Hebisch WS 2017/18 1 1 Logik 2 1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig
MehrAufgaben zur Verbandstheorie
TU Bergakademie Freiberg WS 2005/06 Institut für Diskrete Mathematik & Algebra Prof. Dr. Udo Hebisch Aufgaben zur Verbandstheorie 1. Für ein beliebiges n IN sei X n die Menge aller Teiler von n. Definiert
Mehr1. Gruppen. 1. Gruppen 7
1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.
MehrKapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
MehrMengen. (Nicht-) Elemente einer Menge { 3, 4 } { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } } 3 { 1, { 2 }, { 3, 4 }, { 5 } }
Mengen Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor) Notation 1. Aufzählung aller Elemente: { 1,
Mehr(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.)
3. Untergruppen 19 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten
MehrTeilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik
Vorlesung Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik.1 Gruppentheorie WiewirinVorlesung2gesehenhaben,hatdieMengeZmitderAdditiongewisse Eigenschaften. Wir fassen nun bestimmte Eigenschaften zusammen und
MehrTechnische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. 21. März 2011.
Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen 21. März 2011 Tanja Geib Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen 1 2 Mengenlehre 3 2.1 Grundlegende Definitionen
MehrWiederholungsblatt zur Gruppentheorie
Wiederholungsblatt zur Gruppentheorie von Christian Elsholtz, TU Clausthal, WS 1999/2000 Um Ihnen zu helfen, die Gruppentheorie zu wiederholen, stelle ich hier einige wichtige Beispiele und einige Lösungen
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Lineare Algebra 1 WS 2006/07 Lösungen Blatt 13/ Probeklausur. Lösungen zur. Zentrum Mathematik
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 13/2 29.1.27 en zur Probeklausur Aufgabe 1 (ca. 6 Punkte) Sei
MehrÜbungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger Ein leeres Produkt ist gleich 1, eine leere Summe 0. ***
Universität Bonn Mathematisches Institut Dr. Michael Welter Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2013 Einige Zeichen und Konventionen: IN := {1, 2, 3, 4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen
MehrKapitel 1. Grundlagen Mengen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
Mehr5. Äquivalenzrelationen
5. Äquivalenzrelationen 35 5. Äquivalenzrelationen Wenn man eine große und komplizierte Menge (bzw. Gruppe) untersuchen will, so kann es sinnvoll sein, zunächst kleinere, einfachere Mengen (bzw. Gruppen)
MehrGrundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n
MehrLineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n
Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n Fachbereich Mathematik WS 2010/2011 Prof. Dr. Kollross 19. November 2010 Dr. Le Roux Dipl.-Math. Susanne Kürsten Aufgaben In diesem Tutrorium soll
MehrMathematische Grundlagen der Computerlinguistik I. Mengen und Mengenoperationen (Teil 1)
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik I Mengen und Mengenoperationen (Teil 1) Exzerpt aus dem Skript von Prof. Dr. Klaus U. Schulz Michaela Geierhos M.A. Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung
Mehr1. Gruppen. 1. Gruppen 7
1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.
MehrMATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016
MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/17 MARK HAMILTON LMU MÜNCHEN 1.1. Grundbegriffe zu Mengen. 1. 17. OKTOBER 2016 Definition 1.1 (Mengen und Elemente). Eine Menge ist die Zusammenfassung
MehrMengen. Eigenschaften. Spezielle Mengen (1) Prominente Mengen. ! Mengenzugehörigkeit
Mengen! Definition (Intuitive Mengenlehre) Eine Menge ist die Zusammenfassung von Elementen unserer Anschauung zu einem wohldefinierten Ganzen. (Georg Cantor)! Notation 1. Aufzählung aller Elemente: {
MehrVorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG
Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
Mehr1.2 Klassen und Mengen
14 1.2 Klassen und Mengen Als undefinierten Grundbegriff verwenden wir den Begriff der Klasse. Dieser ist allgemeiner als der Mengenbegriff und wird in der Algebra zur Definition sogenannter Kategorien
MehrVorlesung 3: Logik und Mengenlehre
28102013 Erinnerung: Zeilen-Stufen-Form (ZSF) eines LGS 0 0 1 c 1 0 0 0 1 0 0 1 c r 0 0 0 c r+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 c m Erinnerung: Information der Zeilen-Stufen-Form Aus der ZSF liest man ab: Folgerung
Mehrb liegt zwischen a und c.
2 DIE ANORDNUNGSAXIOME 5 (2.4) a, b, c R : (a < b 0 < c) ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation Bezeichnungen a > b : b < a (> wird gelesen: größer als ) a b : a < b oder a = b a b : a > b oder a =
MehrÜbungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2009 ***
Universität Bonn Mathematisches Institut Dr. Michael Welter Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2009 Einige Zeichen und Konventionen: IN := {1, 2, 3, 4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen
Mehr1.1 Mengen und Abbildungen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 3 1.1 Mengen und Abbildungen In diesem Abschnitt stellen wir die grundlegende mathematische Sprache und Notation zusammen, die für jede Art von heutiger Mathematik
MehrIndexmengen. Definition. n n n. i=1 A i := A 1... A n
Indexmengen Definition Es sei n N. Für Zahlen a 1,..., a n, Mengen M 1,..., M n und Aussagen A 1,..., A n definieren wir: n i=1 a i := a 1 +... + a n n i=1 a i := a 1... a n n i=1 M i := M 1... M n n i=1
Mehr1.3 Aussagen. Beispiel: Das Bruttosozialprodukt der Bundesrepublik Deutschland ist höher als das der USA ist eine offenbar falsche Aussage.
1.3 Aussagen In der Mathematik geht es um Aussagen. Eine Aussage ist ein statement, das entweder wahr oder falsch sein kann. Beides geht nicht! Äußerungen, die nicht die Eigenschaft haben, wahr oder falsch
MehrBevor wir mit Analysis anfangen, legen wir erst einige mathematische Symbole fest.
Analysis, Woche Zahlen A. Elementares Bevor wir mit Analysis anfangen, legen wir erst einige mathematische Symbole fest... Logische Symbole Seien A und B Aussagen. So eine Aussage ist zum Beispiel: Gras
MehrWS 20013/14. Diskrete Strukturen
WS 20013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
Mehr3. Untergruppen. 3. Untergruppen 23
3. Untergruppen 23 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten
MehrMengenlehre. Ist M eine Menge und x ein Element von M, so schreiben wir x M. Ist x kein Element von M, so schreiben wir x M.
Mengenlehre Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter und unterschiedlicher Objekte. Für jedes Objekt lässt sich eindeutig sagen, ob es zu der Menge gehört. Die Objekte heißen Elemente der Menge.
Mehr3 Werkzeuge der Mathematik
3.1 Mengen (18.11.2011) Definition 3.1 Die Menge heißt leere Menge. :=»x M x x Definition 3.2 Es seien N und M Mengen. Wir definieren: und analog M N : (x M x N). N M : (x N x M). Wir sagen M ist Teilmenge
Mehr13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma
13 Auswahlaxiom und Zornsches Lemma Handout zur Funktionalanalysis I von H. Glöckner, 25.11.2008 Wichtige Teile der modernen Mathematik beruhen auf dem sogenannten Auswahlaxiom der Mengenlehre. Dieses
MehrGrundlagen der Mengenlehre
mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener
MehrDonnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.
Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrDiskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier
Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 8. November 2012 1 Diskrete Strukturen Gesamtübersicht Organisatorisches und Einführung Mengenlehre Relationen
MehrTutorium: Diskrete Mathematik
Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 24.11.2016 (Teil 2) 23. November 2016 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016
Mehr2 Mengen, Abbildungen und Relationen
Vorlesung WS 08 09 Analysis 1 Dr. Siegfried Echterhoff 2 Mengen, Abbildungen und Relationen Definition 2.1 (Mengen von Cantor, 1845 1918) Eine Menge M ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohl
Mehr1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente:
Lösung 1. Übung Elemente der Algebra WS018/19 1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: (e) {(x,y) IR 7x+3y 6}.
MehrSkriptbausteine zur Vorlesung Maßtheorie
Skriptbausteine zur Vorlesung Maßtheorie Vorlesender: Prof. Dr. Bernd Hofmann Der folgende Text soll die Nacharbeit der Vorlesung erleichtern und dabei an Definitionen, Sätze und Beispiele erinnern. Das
MehrAbbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe
Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:
MehrLineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund
Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer
MehrGrundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Lösungsskizzen 8 Grundlagen der Mathematik Präsenzaufgaben (P13) Primfaktorzerlegungen Die Primfaktorzerlegungen lauten: a) 66 =
Mehr2 Mengen. Menge. Die Summenformel. Die leere Menge. Das kartesische Produkt. Die Produktformel. Die Potenzmenge. Die Binomialzahlen.
2 Mengen Menge Die Summenformel Die leere Menge Das kartesische Produkt Die Produktformel Die Potenzmenge Die Binomialzahlen Der Binomialsatz Unendliche Mengen Springer Fachmedien Wiesbaden 2016 A. Beutelspacher,
MehrMengenlehre und vollständige Induktion
Fachschaft MathPhys Heidelberg Mengenlehre und vollständige Induktion Vladislav Olkhovskiy Vorkurs 018 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 1 Mengen.1 Grundbegriffe.................................. Kostruktionen
Mehr1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung
Loesungen ausgewaehlter Beispiele zu Analysis I, G. Bergauer, Seite 1 1 Loesungen zu Analysis 1/ 1.Uebung 1.1 Einleitung Gegeben Mengen X, A mit A X. Sei die Menge durch A = {a X : a erfuellt B} gegeben,
MehrLogische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15
Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Thomas Timmermann 26. November 2014 Was kommt nach den natürlichen Zahlen? Mehr als die natürlichen Zahlen braucht man nicht, um einige der schwierigsten
MehrKapitel 1. Grundlagen
Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig
Mehr2 Grundstrukturen. 2.1 Gruppen. Prof. Dr. Peter Schneider. Vorlesung WS Lineare Algebra 1 2 GRUNDSTRUKTUREN
Vorlesung WS 08 09 Lineare Algebra 1 Prof. Dr. Peter Schneider 2 Grundstrukturen Notation: Sind M und N zwei Mengen, so heißt die Menge M N := {(m, n) : m M, n N} das cartesische Produkt oder auch die
Mehr2 Mengen, Relationen, Funktionen
Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 2 Mengen, Relationen, Funktionen 2.1 Mengen Definition 2.1 [Georg Cantor 1895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Dinge unserer
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Basisdarstellung und das Skalarprodukt (Teil 2)
TECHNISCHE UNIERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 006/07 en Blatt 11 15.01.007 Basisdarstellung und das Skalarprodukt (Teil )
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Mehr2 Mengen, Relationen, Funktionen
Grundlagen der Mathematik für Informatiker Grundlagen der Mathematik für Informatiker Mengen, Relationen, Funktionen. Mengen Definition. [Georg Cantor 895] Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter,
Mehr2 ZAHLEN UND VARIABLE
Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als
Mehr1 Grundlagen. 1.1 Aussagen
1 Grundlagen 1.1 Aussagen In der Mathematik geht es um Aussagen. Eine Aussage ist ein statement, das entweder wahr oder falsch sein kann. Beides geht nicht! Äußerungen, die nicht die Eigenschaft haben,
MehrKapitel 1: Grundbegriffe
Kapitel 1: Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) 1 / 20 Gliederung 1 Logik Ein ganz kurzer Ausflug in die Kombinatorik Stefan Ruzika (KO) 2
MehrGrundkurs Mathematik I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2016/2017 Grundkurs Mathematik I Vorlesung 11 Kultur ist Reichtum an Problemen. Egon Friedell Axiomatik Wir haben schon für die intuitiv bekannten natürlichen Zahlen ein
Mehr1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente:
Lösung 1. Übung Elemente der Algebra WS017/18 1. Beschreiben Sie folgende Zahlenmengen durch Markierung auf der Zahlengeraden, der Zahlenebene bzw. durch Aufzählen der Elemente: (e) {(x,y) IR 3x+4y 1}.
MehrHöhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz WS 2018/2019 18.10.2018 Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum
Mehr4 Vollkommene Zahlen
Sei a > 0 4 Vollkommene Zahlen T (a) bezeichnet die Anzahl der positiven Teiler von a. S(a) bezeichnet die Summe der positiven Teiler von a. Es ist also T (1) = S(1) = 1. Jede Zahl a > 1 hat eine eindeutige
MehrLineare Algebra I. Lösung 3.1:
Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik Lösungsblatt 3 Prof. Dr. Markus Schweighofer 18.11.2009 Aaron Kunert / Sven Wagner Lineare Algebra I Lösung 3.1: (a) Sei
MehrAufgabensammlung Grundbegriffe der Topologie
Aufgabensammlung Grundbegriffe der Topologie Günther Hörmann, Roland Steinbauer Die vorliegende Aufgabensammlung dient als Grundlage für die Übungen zu Grundbegriffe der Topologie, das die gleichnamige
Mehr: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch
% 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!
MehrGrundlegendes der Mathematik
Kapitel 2 Grundlegendes der Mathematik (Prof. Udo Hebisch) 2.1 Logik Unter einer Aussage versteht man in der Mathematik einen in einer natürlichen oder formalen Sprache formulierten Satz, für den eindeutig
MehrPrimzahlen und Primfaktorzerlegung
Primzahlen und Primfaktorzerlegung Yasin Hamdan Inhaltsverzeichnis 1 Das Sieb des Eratosthenes 1 2 Primfaktorzerlegung 4 2.1 Existenz und Eindeutigkeit.......................... 4 2.2 Hasse-Diagramme...............................
MehrMusterlösung Serie 8
D-MATH Lineare Algebra I HS 018 Prof. Richard Pink Musterlösung Serie 8 Dimension, Direkte Summe & Komplemente 1. Zeige: Für jedes Erzeugendensystem E eines Vektorraums V und jede linear unabhängige Teilmenge
Mehr2. Grundlagen. A) Mengen
Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2019) 5 A) Mengen 2. Grundlagen Eine Menge ist durch Angabe ihrer Elemente bestimmt. Man kann eine Menge aufzählend oder beschreibend definieren. Im ersten Falle werden
Mehr6. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker II, SS 2004
6 Musterlösung zu Mathematik für Informatiker II, SS 2004 MARTIN LOTZ &MICHAEL NÜSKEN Aufgabe 61 (Quadrismus) (7 Punkte) Wir wollen untersuchen, was Quadrieren in den multiplikativen Gruppen Z p mit p
MehrB Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen
B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen Die Sprache der Mengen und Abbildungen hat sich als Basissprache in der modernen Mathematik durchgesetzt. Da sie sehr praktisch ist, wird sie auch in diesem Buch
Mehr5 Grundlagen der Zahlentheorie
5 Grundlagen der Zahlentheorie 1 Primfaktorzerlegung Seienm, n N + := {k N k > 0} Man schreibt n n, gesprochen m teilt n oder m ist ein Teiler von n, wenn es eine positive natürliche Zahl k gibt mit mk
Mehraus der Bedingung/Annahme A folgt ein Widerspruch ), so ist A falsch!
Bemerkungen: 1 Die Bedeutung von (und damit ) ist klar. wird oft, vor allem in Beweisen, auch als geschrieben (im Englischen: iff, if and only if). 2 Für zwei boolesche Aussagen A und B ist A B falsch
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Sei G eine Gruppe. Zeige, dass ( 1 ) 1 = Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Arbeitsblatt 3 Die Pausenaufgabe Aufgabe 3.1. Formuliere die binomischen
Mehr