Vorlesung Wirtschaftsmathematik. Studiengang Business Administration und Wirtschaftspsychologie

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1 Hochschule Fchbereich Wirtschft Rheibch Bo-Rhei-Sieg Dipl.th.A.Füllebch Uiversity of Applied Scieces Vorlesug Wirtschftsmthemtik Studiegg Busiess Admiistrtio ud Wirtschftspsychologie

2 . Alysis.. Fuktioe mit eier Vrible... Fuktiosbegriff... Beispiele..3. Ökoomische Fuktioe..4. Fuktiosklsse..5. Fuktiosdiskussio..6. Ableitug, Grezfuktio..7. Ableitugsregel..8. Diskussio ökoomischer Fuktioe..8.. Grudlge..8.. Produktiosfuktioe Kostefuktioe Gewifuktioe Courotscher Pukt..9. Elstizität.. Fuktioe mit mehrere Vrible... Grudlge... Prtielle Ableituge..3. Etremwerte ohe Nebebediguge..3.. Notwedige Bedigug..3.. trize ud Determite Die Hesse Determite Ökoomische Aweduge Erlösmimum bei zwei Produkte Produktiosmimum bei zwei Fktore..4. Etremwerte mit Nebebediguge..4.. Ds Verfhre vo grge..4.. Ökoomische Aweduge Gewimimierug iimlkostekombitio..5. Prtielle Elstizitäte..5.. Grudlge..5.. Kreuzpreiselstizität Cobb-Dougls-Fuktioe..6. Grezrte der Substitutio. iere Algebr.. Vektore... Grudbegriffe... Recheopertioe... Additio ud Subtrktio... Sklre ultipliktio...3. Sklrprodukt..3. Ökoomische Aweduge.. trize... Grudbegriffe... Defiitio... Spezielle trize Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - -

3 ... Recheopertioe... Additio, Subtrktio, sklre ultipliktio... ultipliktio vo trize mit Vektore...3. ultipliktio vo trize..3. Ökoomische Aweduge.3. iere Gleichugssysteme.3.. Grudbegriffe.3.. ösugsverfhre: Der Gußsche Algorithmus.3.3. ösbrkeit vo Gleichugssysteme.3.4. Ökoomische Aweduge Produktiosmegeberechug Kudeverhlte Ierbetriebliche eistugsverrechug.3.5. Berechug der iverse tri.3.6. Ökoomische Aweduge 3. iere Optimierug 3.. Grudlge 3.. Ds liere imierugsproblem 3... Grfische ösug 3... Ds Simple-Verfhre 3... ösugsweg 3... Soderfälle 3... ehrdeutigkeit 3... Degeertio Ds liere iimierugsproblem Allgemeie liere Optimierugsprobleme 4. Fizmthemtik 4.. Grudlge 4... Folge ud Reihe 4... Arithmetische Folge ud Reihe Geometrische Folge ud Reihe 4.. Eifche Verzisug 4... Grudlge 4... Ökoomische Aweduge 4... Redite bei Geldlge 4... Effektivzis bei Rtekreditgeschäfte 4.3. Ziseszis Grudlge Beispiele Uterjährige ud stetige Verzisug 4.4. Rte Grudlge Beispiele Uterjährige Rte 4.5. Rete Grudlge Beispiele Reterestwert Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 3 -

4 Uterjährige Rete 4.6. Tilgug Grudlge Rtetilgug Auitätetilgug Ökoomische Aweduge 4.7. Abschreibug Grudlge iere Abschreibug Geometrisch degressive Abschreibug 5. itertur Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 4 -

5 Vorbemerkug Vorbemerkug Die vorliegede Ausführuge stelle eie zusmmefssede Übersicht über die Vorlesug Wirtschftsmthemtik dr, die ich seit eiige Jhre der Hochschule Bo-Rhei- Sieg, Stdort Rheibch hlte. Die Vorlesug richtet sich gleichermße Studierede der Fchrichtug Busiess Admiistrtio ls uch der Fchrichtug Wirtschftspsychologie. Ziel dieses Skripts ist vor llem die Hilfestellug bei der Bewältigug des recht umfgreiche Stoffes der die Wirtschftsmthemtik tgierede mthemtische Bereiche. Dher wird uter Umstäde uf mthemtische Ektheit zuguste eier bessere Verstädlichkeit verzichtet. Im Verluf der Vorlesug werde uvermeidliche mthemtische Herleituge durch Plusibilitätsbetrchtuge begrüdet, uf ekte Beweise wird i der Regel verzichtet. Nicht die reie themtik steht im Rhme des Studiums der Wirtschftswisseschfte ud der Wirtschftspsychologie im Vordergrud. Die mthemtische ethode, die hier erläutert werde, stelle ber gleichwohl eie wichtige Bustei des Studiums dr. Der Chrkter der Uterstützug ud Awedug ht ber immer Vorrg vor mthemtischer Strege ud Striktheit. D beim Schreibe eies solche Skripts Fehler icht gz uszuschließe sid, bitte ich drum, mich im Sie ller dere eser uf lle Fehler, die sich beim Durchrbeite zeige, per il ufmerksm zu mche. Ich werde d umgehed eie Korrektur vorehme. Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 5 -

6 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible. Alysis.. Fuktioe mit eier Vrible... Fuktiosbegriff Um wirtschftliche Zusmmehäge zu beschreibe, zu lysiere oder zu optimiere, ist der mthemtische Fuktiosbegriff vo grudlegeder Bedeutug. I der Ökoomie werde häufig Elemete eier ege die Elemete eier dere ege zugeordet: - verschiedee ege eies Produktes werde die Erlöse zugeordet; - Briefgewichte wird ds Porto zugeordet; - dem Gsverbruch eies Hushltes wird der Rechugsbetrg zugeordet; - jedem ot wird der Betriebsumstz zugeordet. Diese Zuordug ist eideutig. Somit beschreibt eie Fuktio die eideutige Zuordug der Elemete eier ege zu de Elemete eier dere ege. Die übliche Fuktiosschreibweise f() y bedeutet, dss jedem Elemet us der Defiitiosmege durch die Fuktiosvorschrift f ei Elemet y der Wertemege eideutig zugeordet wird. Hierbei bezeichet m uch ls ubhägige Vrible ud y ls bhägige Vrible. Fuktioe köe i eiem zweidimesiole Koorditesystem grfisch drgestellt werde. Dbei wird die ubhägige Vrible uf der horizotle Achse (-Achse) ud die ubhägige Vrible uf der vertikle Achse (y-achse) bgetrge.... Beispiele Beispiel : f() 3 + (Gerde) Beispiel : f() (Prbel) 4 3 Beispiel 3: f() + (Polyom) 5 3 Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 6 -

7 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible..3. Ökoomische Fuktioe A eiem eifche Beispiel solle die wichtigste ökoomische Fuktioe, ihre Zusmmehäge ud dmit verbudee Begriffe erläutert werde: Ei gelerter Koch ht sich mit eiem Cterig-Service selbststädig gemcht ud beliefert Schule mit ittgesse. Pro Portio verlgt er 4,-. Dmit ergebe sich bei verkufte Portioe die Preis-Abstz-Fuktio: p() 4 ud die Erlösfuktio: E() 4 Allgemei gilt für die Erlösfuktio die Defiitio: Erlös Preis ml ege ( ege ml Preis), E() p() Der Erlös wird oft uch ls Umstz bezeichet. User Koch rechet mit Herstellugskoste (teril, Eergie) vo,5 je Portio (vrible Koste) ud ohkoste für eie Kochhelfer i Höhe vo 8,- (Fikoste). Drus ergibt sich die Kostefuktio: K(), Aus diese Gesmtkoste erhält m die K() 8 Stückkostefuktio: k (),5 + Der Gewi des Uterehmes ergibt sich ls Differez vo Erlös ud Koste, lso ist die Gewifuktio: G() 4 -(,5 + 8),5-8 Allgemei gilt die Defiitio: Gewi Erlös - Koste, G() E() - K() Gilt G() >, d liegt i der Gewizoe, für G() < liegt i der Verlustzoe. Der Pukt, bei dem die Verlustzoe i die Gewizoe übergeht, heißt Gewischwelle oder Brek-Eve-Poit. A dieser Stelle gilt: G(). Derrtige Stelle heiße i der themtik llgemei Nullstelle. User Koch erreicht lso de Brek-Eve-Poit bei G() :,5 8,5 8 3 Bei eiem Abstz vo über 3 Portioe motlich liegt er lso i der Gewizoe. Außer der Gewischwelle sid mthemtisch ud ökoomisch weitere Pukte vo hohem Iteresse. Etremwerte (Kostemiimum, Erlösmimum, Gewimimum) ud Wedepukte (Grezkostemiimum, Grezerlösmimum) köe mit Hilfe der Differetilrechug bestimmt werde...4. Fuktiosklsse Im Beispiel htte wir es mit recht eifche Fuktioe zu tu. Die Preis-Abstz-Fuktio wr eie kostte Fuktio, die Erlösfuktio eie liere Fuktio. Hier solle die wichtigste Fuktioe klssifiziert ud verschulicht werde. ) kostte Fuktioe: f() c Beispiel: f() Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 7 -

8 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible ) liere Fuktioe: f() m + b Hierbei ist m die Steigug, b der y-achsebschitt Beispiel: f(),5-3 3) Qudrtische Fuktioe: f() + b + c Die grfische Form heißt Prbel (speziell: Prbel. Grdes) Beispiel: f(), ) Allgemeie gzrtiole Fuktio oder Polyom: f() Der Grf ist eie Prbel vom Grd. Beispiel: f(), P() 5) Gebroche-rtiole Fuktioe: f(), wobei P ud P Polyome sid. P() Gebroche-rtiole Fuktioe köe Defiitioslücke i Form vo Uedlichkeitsstelle oder behebbre ücke ufweise. 3 Beispiel: f() + 6) Wurzelfuktioe: f () g() Ist gerde, muss zwische der positive ud der egtive Fuktio uterschiede werde. Beispiel: f () + 3 (positiv) Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 8 -

9 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible 7) Epoetilfuktioe: f() Beispiel f() 8) ogrithmusfuktioe: f() log ogrithmus- ud Epoetilfuktioe sid Umkehruge voeider. Beispiel: f() log Weitere Klsse vo Fuktioe (z.b. trigoometrische Fuktioe) sid für die Vorlesug icht vo Iteresse...5. Fuktiosdiskussio Uter Fuktios- oder Kurvediskussio versteht m die Utersuchug eier Fuktio uf ihre wesetliche erkmle. Dzu gehöre (s.o.) die Nullstelle, die Etremwerte sowie die Wedepukte, ber uch ootoie, Symmetrie, Stetigkeit ud Kurvekrümmug. Für die Vorlesug sid llerdigs ur die erste drei erkmle vo Bedeutug. I der ebestehede Grfik sid die Nullstelle der Fuktio f() rot mrkiert. Die Frge ch der Bestimmug vo Nullstelle wurde bereits im Zusmmehg mit dem Brek-Eve-Poit gesproche: Um eie Nullstelle zu bestimme, setzt m f() ud löst die etstehede Gleichug ch uf. Ds öse eier mthemtische Gleichug wird somit zu eier uverzichtbre Vorussetzug zur Behdlug der zur Verfügug gestellte Aufgbe. Beispiel: Bestimme Sie die Nullstelle der Fuktio f() ² ösug: + 4 : / / +,5 ± ± p,5,5 ±,5 qformel ( ) Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 9 -

10 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible Vo wesetlicher Bedeutug zur Bestimmug vo Etremwerte ist der Begriff der Steigug eier Fuktio. Die Etremwerte sid i der Grfik blu gekezeichet. Zum bessere Verstädis ist bei jedem Etremwert eie wgerechte iie, eie "Tgete" eigezeichet. erket umittelbr, dss eier Etremstelle uf jede Fll die Steigug der Fuktio Null wird (otwedige Bedigug), ubhägig dvo, ob es sich um ei iimum (Tiefpukt) oder imum (Hochpukt) hdelt. Um sich ei Bild vo der Qulität eies Etremwertes zu mche, ist i der ächste Grfik der Steigugsverluf der Fuktio f() zusätzlich ls rote iie eigezeichet. Der Steigugsverluf eier Fuktio f() lässt sich lso offebr selbst wieder durch eie Fuktio drstelle. Diese Steigugsfuktio wird mit f '() bezeichet ud heißt Ableitug vo f(). Der Begriff Ableitug ist lso gleichzusetze mit Steigug oder Astieg. Aus der Grfik wird ersichtlich, dss die Nullstelle der Ableitug (rot mrkiert) mit de Etremwerte der Fuktio f() zusmmeflle. Um etscheide zu köe, ob es sich um ei imum oder ei iimum hdelt, sehe wir us die Ableitug geuer. Wir beurteile ds Steigugsverhlte der Fuktio f() wie folgt: Vor eiem imum steigt (positive Steigug) die Fuktio ud ch dem imum fällt sie (egtive Steigug). Die Steigug immt lso b, ht demetspreched selbst wiederum eie egtive Steigug. Vor eiem iimum fällt die Fuktio, ch dem iimum steigt sie. Die Steigug immt zu, ht lso selbst eie positive Steigug. Im imum ist lso Steigug der Steigug oder die Ableitug der Ableitug oder die zweite Ableitug f ''() egtiv ud im iimum ist f ''() positiv (hireichede Bedigug). Dmit ergebe sich für die Bestimmug vo Etremwerte die beide Bediguge: ) f '() (ösug zeigt mögliche Etremwerte) ) f ''() >, es liegt ei iimum vor f ''() <, es liegt ei imum vor. f ''(), Hiweis uf Wedepukt (s.u.) Beispiele zur Bestimmug vo Etremwerte folge, we die Techike zur Bestimmug vo Ableituge (ächster Abschitt) besproche wurde. Als Wedepukte bezeichet m die Stelle, bei dee eie Krümmugsrichtug wechselt, lso die Übergäge vo eier Rechts- i eie ikskrümmug ud umgekehrt. I der Grfik sid die Wedepukte grü mrkiert. Bei Betrchte dieser Grfik erschließt sich umittelbr folgeder Zusmmehg: Beim Übergg vo eier Rechts- i eie ikskurve (i der Grfik der erste grüe Pukt liks) ht die Fuktio f() eie Zustd des stärkste Flles (größte egtive Steigug) erreicht, dch wird ds Flle der Fuktio im- Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - -

11 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible mer mehr bgeschwächt, bis es im folgede iimum de Wert Null erreicht. Drus ergibt sich: Im Übergg vo eier Rechts- i eie ikskurve ht die Steigug bzw. die Ableitug der Fuktio ei iimum. Geuso ergibt sich beim Übergg vo eier iks- i eie Rechtskurve ei imum der Ableitug f '(). Somit wird die Bestimmug vo Wedepukte eier Fuktio f() zur Bestimmug vo Etremwerte der Ableitug f '(). Diese wiederum werde kosequeterweise mit Hilfe der zweite Ableitug f ''() ud der dritte Ableitug f '''() bestimmt. Zur bessere Verschulichug ist i der ebestehede Grfik zusätzlich zur Fuktio f() (blu) ud der erste Ableitug f '() (rot) uch die zweite Ableitug f ''() ls grüe Kurve drgestellt. Dmit ergebe sich für die Bestimmug vo Wedepukte die beide Bediguge: ) f ''() (ösug zeigt mögliche Wedepukte) ) f '''() >, es liegt ei Rechts-liks-Übergg vor f '''() <, es liegt ei iks-rechts-übergg vor. f '''(), die Utersuchuge sid och icht bgeschlosse. Allgemei gilt folgeder Zusmmehg (ur zur Iformtio): Verschwide lle Ableituge eier Fuktio f() bis zum Grd, gilt lso f '(), f ''(), f '''(),..., f () ud ist d f (+), so liegt ei Etremwert vor, we ugerde ud ei Wedepukt, we gerde ist. I der Regel wird zwische de Krümmugsübergäge icht otwedig uterschiede. begügt sich zur Bestätigug eies Wedepuktes mit der Feststellug f '''(). Beispiele zur Bestimmug vo Wedepukte folge ebeflls, we die Techike zur Bestimmug vo Ableituge (ächster Abschitt) besproche wurde...6. Ableituge, Grezfuktio Bei liere Fuktioe, die durch eie gerde iie im Koorditekreuz drgestellt werde, ist die Bestimmug der Steigug ud dmit der Ableitug eifch. I der Grfik ist die Fuktio f(),5 + drgestellt. Ahd des Steigugsdreieckes, ds vo de Pukte P( y ) ud Q( y ) begrezt ist, berechet sich die Steigug durch Quotietebildug: y y 3,5,5 m,5 4 3 D die Steigug jeder Stelle gleich ist (Gerde), ht die Fuktio f(),5 + lso die Ableitug f '(),5. Allgemei ht lso jede Gerde f() m + b die Ableitug f '() m. Bei Kurve lässt sich ei Steigugsdreieck icht eizeiche, drüber hius hbe gekrümmte iie jeder Stelle eie dere Steigug. Wie m zur Bestimmug der Ableitug kommt, soll m Beispiel f(),5 + - (s. Grfik) erläutert werde. Wir betrchte de Pukt P( -) (rot mrkiert) Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - -

12 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible Die Fuktio wird vo eier Gerde (Sekte) i de Pukte P ud Q( 3) geschitte (Gerde ist rot eigezeichet). Die Steigug der Gerde lässt sich mit dem Steigugsdreiecks ls m bestimme. Dmit ht die Gerde die Gleichug g () -. Die Steigug der Gerde ist offesichtlich größer ls die Steigug der Fuktio f() im Pukt P. Um u die Steigug der Fuktio f() im Pukt P zu bestimme, lässt m de Pukt Q "zum Pukt P wder". Es etsteht zuächst eie eue Gerde (Sekte), die i der Grfik zusätzlich mit grü eigezeichet ist ud die Gleichug g (),5 - ht. Auch diese Gerde ht im Pukt P eie Steigug (m,5), die größer ls die der Fuktio f() ist. ässt m u de Pukt Q so he de Pukt P her komme, dss der Uterschied zwische de beide -Koordite uf eie Wizigkeit h schrumpft, d ergibt sich ch der Berechug im Steigugsdreieck für die Steigug vo f() äherugsweise f(+ h) f() f(h) f(),5h m (+ h) h h(,5h + ),5h + h We der Pukt Q so he de Pukt P her gewdert ist, dss m die beide icht mehr uterscheide k, verschwidet ds h ud die Sekte wird zur Tgete. Die Steigug dieser Tgete ht de Wert m ud etspricht der Steigug vo f() im Pukt P. schreibt: f'() lim(,5h + ) h Allgemei erhält m d f'() f(+ h) f() lim h h + h( ),5h + h h h Im Beispiel der Fuktio f(),5 + - (i der Skizze blu) ergibt sich die Ableitug (rot):,5( + h) + (+ h) (,5 + ) f'() lim h h,5( + h+ h ) + (+ h) (,5 + ) lim h h,5 + h+,5h + + h,5 + lim h h h+,5h + h h(+,5h + ) lim lim lim(+,5h + ) + h h h h h Somit erhält m die Ableitug der Fuktio f(),5 + - mit f '() +. Im Pukte P (s. obe) erhält m durch Eisetze de ebe bestimmte Wert f '(). Auf diese Weise k m zu jeder beliebige Fuktio f() die zugehörige Ableitugsfuktio f '() bestimme, we sie eistiert. Diese Ableitugsfuktio heißt im ökoomische Sprchgebruch Grezfuktio. Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - -

13 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible..7. Ableitugsregel Dmit ber icht zu jeder Fuktio ch der obige Grezwertbetrchtug die Ableitug berechet werde muss, wurde Ableitugsregel etwickelt, die i diesem Abschitt vorgestellt werde. Auch diese Regel müsse türlich mthemtisch bewiese werde, woruf wir hier ber verzichte wolle. Der Beweis dieser Regel folgt ebeflls der obe beschriebee Grezwertüberlegug. I der Wirtschftsmthemtik, so wie sie im Rhme dieser Vorlesug behdelt wird, kommt es wesetlich druf, die Ableitugsregel zur Bestimmug vo Etremwerte ud Wedepukte wede zu köe. Deshlb wird uf de Beweis dieser Regel verzichtet. Zuächst werde i eier tbellrische Übersicht ebeflls ohe Beweis bzw. Herleitug die Ableituge eiiger Grudfuktioe vorgestellt. Fuktio Ableitug Ableitug eier Kostte: f() c f '() Ableitug eiiger eifcher Poteze vo, ls Soderfälle der Potezregel (s. ute): f() f '() f() (kostter Fktor ) f '() f() f '() f() 3 f '() 3 Ableitug vo eifche gebroche-rtiole Terme: f() ( ) f'() f() ( ) f'() 3 Ableitug der Qudrtwurzelfuktio: f() ( ) f '() Ableitug der Epoetil- ud ogrithmusfuktioe f() e (Bsis e: Eulersche Zhl) f() (Bsis beliebige Kostte) f() l() f() log () f '() e f '() l() f '() f() l() Im folgede werde die wichtigste Ableitugsregel mit Beispiele drgestellt. Es wird ersichtlich, dss die meiste der obige Grudbleituge eifche Aweduge dieser Regel sid. Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 3 -

14 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible Fuktio Ableitug Kostteregel: Ei kostter Fktor bleibt bei der Ableitug erhlte. f() c f () f '() c f '() Summeregel: Besteht eie Fuktio us mehrere Summde, werde die Summde getret bgeleitet. f() f () ± f () Potezregel: f '() f '() ± f '() f() f '() - it diese Regel lsse sich lle gzrtiole Fuktioe bleite. Eiige Beispiele: ) f() f '() 6 - ) f() f '() ) f(),5 6 -, f '() Die Potezregel gilt uch für egtive ud gebrochee Epoete. Dmit köe eifche gebroche-rtiole Fuktioe sowie Wurzelfuktioe ebeflls mit dieser Regel bgeleitet werde. Beispiele (vgl. obe): 4) f() 5) f() f'() ) f() 3 7 ) f() f'() 3 f'() 3 f '() Produktregel: Aders ls bei Summde k eie Fuktio, die us mehrere Fktore besteht, icht fktorweise bgeleitet werde. f() f () f () f '() f () f '() + f '() f () Net m f () u ud f () v, d gilt die erkregel: f '() u v' + u' v Beispiel zur Produktregel: 8) f() 3 e f '() 3 e + 3 e e ( ) Quotieteregel: f() f() f () f() f'() f'() f() f'() ( f ()) Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 4 -

15 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible vu' uv' Net m f () u ud f () v, d gilt die erkregel: f'(), v NZ' ZN' oder mit Z für die Zählerfuktio ud N für die Neerfuktio: f'() N Beispiel zur Quotieteregel: 9) f() + (+ )() ( + f'() (+ ) ) (+ ) Ketteregel: f() f (f ()) erkregel: "äußere ml iere Ableitug" f '() f '(f ()) f '() Beispiel zur Ketteregel: )f() Ableitug der Umkehrfuktio: (ur ergäzed) f'() () f() g - () f '() g'(f()) Beispiel: (e-fuktio ud l-fuktio sid zueider Umkehruge) ) f() l(), dmit ist g() e f '() l( ) e..8. Diskussio ökoomischer Fuktioe..8.. Grudlge Um Fuktioe recherisch uf Nullstelle, Etremwerte ud Wedepukte utersuche zu köe, sid eiige mthemtische Techike ls Grudlge uvermeidlich. Zur Behdlug vo qudrtische Fuktioe brucht m die p-q-formel. iegt eie qudrtische Fuktio i der Form f() + p + q vor, d wird die zugehörige qudrtische Gleichug + p + q ch der folgede Formel gelöst: / p p ± q Es ergebe sich zwei ösuge ud, we der Term uter der Wurzel (Diskrimite) eie Wert > ht, ist die Diskrimite, erhält m eie ösug, ist sie <, ergibt sich keie ösug der Gleichug. Beispiel : / 5 ± 3 5 6,5 ±,5,5 ±,5 Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 5 -

16 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible Beispiel : Es solle die Nullstelle vo f() berechet werde, lso: Zuächst wird die Gleichug uf die pssede Form gebrcht: - -, idem die gesmte Gleichug durch 3 dividiert wird. Jetzt k die p-q-formel gewedet werde ud ergibt - ud. Die p-q-formel wird uch bei biqudrtische Gleichuge gewedet, idem m ds Verfhre der Substitutio beutzt. Beispiel 3: setzt z ud erhält z - 3z +. Awedug der p-q-formel ergibt: 3 3 z/ ±,5 ±,5,5 ±,5 z z Zum Abschluss muss die Substitutio wieder rückgägig gemcht werde durch ± z. Dmit erhält m die ösuge Ei wichtiges recherisches Hilfsmittel zur ösug vo Gleichuge ist ds Ausklmmer oder Fktorisiere. K eie Gleichug uf die Form A B (A, B sid Terme) gebrcht werde, werde die ösuge durch getretes öse vo A ud B bestimmt. Beispiel 4: soll gelöst werde. Ausklmmer vo ergibt: ( ). Die erste ösug ergibt sich ls, die p-q-formel liefert für die ösuge ud 3 3. Hiweis: I de folgede Beispiele wird häufig vo de übliche Bezeichuge für Fuktioe ud Vrible, lso f() y, bgewiche Produktiosfuktioe I der Produktiosfuktio (r) -,r 3 +,6r + 3,3r bezeichet die Vrible r eie Produktiosfktor (z.b. Rohstoff, Arbeitszeit, Ivestitiosmittel) ud die Fuktiosvrible die produzierte ege, uch Ertrg oder Produktivität get. Die mimle Produktivität ist zu bestimme. Dzu sid die erste beide Ableituge der Fuktio zu bilde ud zu utersuche: Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 6 -

17 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible '(r),3r '(r) :,3r r r / r +,r + 3,3 4r44 ± 9 +,r + 3,3 r ± 84 ± 9 ''(r),6r+, ''( 9) > ''(49) < Dmit liegt bei r 49 (Eiheite des Produktiosfktors) ei imum der Produktiosfuktio (mimler Ertrg, mimle Produktivität) vor. Dss sich bei r -9 ei iimum ergibt, ist rei mthemtischer Ntur. Ei egtiver Iput ist ökoomisch icht relevt. Der Wert der mimle Produktivität ergibt sich durch Eisetze i die Fuktio ls m (49) -, , ,3 49 9,3 Eiheite. Nebe dem mimle Ertrg k uch der mimle Durchschittsertrg (Stückertrg) ermittelt werde, lso der Ertrg der miml pro Eiheit des Produktiosfktors erreicht werde k. Dzu bildet m zuächst die Durchschittsfuktio (Stückfuktio). (r) (r),r +,6r + 3,3 r Der weitere Recheweg verläuft log zum vorige Beispiel: '(r),r+,6 ''(r), '(r) :,r+,6,r,6 r 3 ''(3),< Der mimle Stückertrg wird bei 3 Eiheite des Fktors r erreicht ud liegt bei (3),3 +,63+ 3,3,3Eiheite. Eie weitere Aufgbe besteht i der Bestimmug des mimle Grezertrges. Der Grezertrg ergibt sich mthemtisch ls die Ableitug des Ertrges (vgl...6.). A der Stelle des mimle Grezertrges ist die mimle Äderug der Produktivität bei Äderug des Iputs r um eie Eiheit erreicht. themtisch etspricht dies der Bestimmug eies Wedepuktes. Zuächst wird die Grezertrgsfuktio (Ableitug) gebildet. Der Recheweg verläuft wie obe. G (r) '(r) -,3r +,r + 3,3 G '(r) -,6r +, G ''(r) -,6 G '(r) :,6r+,,6r, r G ''() -,6 < Der mimle Grezertrg liegt lso bei r Eiheite Iput ud ht de Wert Gm -,3 +, + 3,3 5,3 Eiheite. Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 7 -

18 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible Kostefuktioe Abhägig vo der produzierte ege produziert ei Betrieb ch der Kostefuktio K(), 3 -,8 +,96 + 4,84 (Gesmtkoste). Diese Gesmtkoste sid zu miimiere. Dies geschieht mit Hilfe der Ableituge der Kostefuktio. K'(),3,36+,96 K''(),6,36 K'() :,3 / + 3 6±,36+, ± 4 6± 4 8 K''(4),4 -,36 < K''(8),48 -,36 > Dmit liegt bei eier Produktio vo 8 Eiheite ei iimum der Gesmtkostefuktio vor. Die miimle Gesmtkoste belufe sich uf: K(8), 8 3 -,8 8 +, ,84 6, GE (Geldeiheite). Zur Bestimmug des Stückkostemiimums (Betriebsoptimum) wird zuächst die Stückkostefuktio bestimmt: K(),,8+,96+ K() 4,84 4,84 K'(),,8 9,68 K''(),+ 3 4,84 K'() :,,8 3,,8 4,84 D es sich um eie Gleichug 3.Grdes hdelt, die mit mthemtische Verfhre zu löse ist (Regul flsi, Newto-Verfhre), die de Rhme der Vorlesug überschreite, begüge wir us hier mit der Überprüfug der ösug (vorgegebe). Es ergibt sich: 4,84 K'(),,8 9,68 K''(),+ > 3 Somit liegt der Stelle ds Stückkostemiimum vor. Die miimle Stückkoste 4,84 belufe sich uf K(),,8+,96+,63GE. Iteresst ist uch die Frge ch dem iimum der vrible Stückkoste (Betriebsmiimum). Hierzu utersuche wir die vrible Stückkoste, die sich us de vrible Koste K v (), 3 -,8 +,96 ergebe: Kv() Kv (),,8+,96 ittels der erste ud zweite Ableitug wird ds iimum dieser Fuktio berechet, Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 8 -

19 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible K K K v v v '(),,8 ''(), '() :,,8,,8 9 Kv''(9),> Die vrible Stückkoste werde für 9 miiml ud belufe sich uf Kv (9),9,89+,96,5GE Ds iimum der Grezkoste mcht eie Aussge über diejeige Produktiosmege, bei der eie Produktiosäderug um eie Eiheit mit der kleiste Kosteäderug eihergeht. Dzu bestimme wird die Grezkostefuktio ls Ableitug der Gesmtkostefuktio. k() K'(),3 -,36 +,96 Wir reche wie gewoht mit de erste beide Ableituge: k'(),6,36 k''(),6 k'() :,6,36,6,36 6 k''(6),6> Dmit liegt ds Grezkostemiimum der Stelle 6. Sei Wert bestimmt sich wieder durch Eisetze (i die Grezkostefuktio) ls k(6),6 6 -,36 6 +,96 -, GE. Ds Grezkostemiimum ist mthemtisch der Wedepukt der Gesmtkostefuktio Gewifuktioe I diesem Abschitt betrchte wir ds Problem der Gewimimierug bei der rktsitutio der vollstädige Kokurrez (Polypol). I diesem Fll ist der rktpreis kostt. Ei Uterehme stellt Eiheite eies Produktes her. Die Produktio uterliegt der Gesmtkostefuktio K() Ds Produkt k zu eiem feste rktpreis vo 6 GE pro Stück bgesetzt werde. Dmit hbe wir die Preis-Abstz-Fuktio p() 6 (kostt) ud die Erlösfuktio E() p() 6 (lier). Aus der Erlösfuktio ud der Kostefuktio ergibt sich die Gewifuktio G() E() - K() (vgl...3.), G() 6 - ( ) lso G() Alle drei Fuktioe sid i der Grfik eigezeichet. Zur Ermittlug des Gewimimums beutze wir die Ableituge der Gewifuktio: Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 9 -

20 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible G'() 3 G''() 6+ 4 G'() : 3 G''() 4> (8) 8 G''(8) 4< Dmit wird ds Gewimimum bei Abstz vo 8 Eiheite des Produktes erreicht. Der mimle Gewi ergibt sich ls G(8) GE. Der mimle Stückgewi errechet sich uf der Grudlge der Stückgewifuktio, die sich us der Gewifuktio errechet: G() 98 G() + Es ergibt sich: 98 G'() G''() G'() : Auch hier liegt wieder eie Gleichug vor, zu dere ösug m ethode brucht, die i dieser Vorlesug icht besproche werde Wir überprüfe hd der Ableituge die (vorgegebee) ösug 7: 98 G'(7) G''(7) < 3 7 Also liegt der Stelle 7 ds Stückgewimimum vor. Der mimle Stückgewi ergibt sich durch Eisetze: G(7) GE 98 7 Zur Bestimmug des Grezgewimimums, lso der Stelle, bei der eie Äderug des Abstzes um eie Eiheit eie mimle Gewiäderug ch sich zieht, bilde wir die Grezgewifuktio ls Ableitug der Gewifuktio: g() G'() Ds imum des Grezgewis bestimme wir mit de Ableituge dieser eue Fuktio: g'() g''() -6 g'() : g''(4) 6< Dmit liegt der mimle Grezgewi bei 4 Eiheite. Sei Wert ergibt sich durch Eisetze i die Grezgewifuktio mit g(4) Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - -

21 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible..8.5 Courotscher Pukt Im Gegestz zu eiem Abieter im Polypol, der eie kostte rktpreis zur Grudlge ht, k ei Abieter im oopol de Preis für sei Produkt festlege. Die Kude ls Nchfrger regiere uf de Preis etspreched der Nchfrgefuktio ls Umkehrfuktio zur Preis-Abstz-Fuktio. Im Prizip ädert sich der mthemtische Problemstellug llerdigs ichts. Auch jetzt geht es um die Bestimmug vo Gewimimum, Stückgewimimum ud Grezgewimimum. Eizige Erweiterug ist ds Auftrete eies besodere Puktes, des Courotsche Puktes, der uf der Preis-Abstz-Fuktio liegt ud die gewimimle Abstzmege mit dem zugehörige Stückpreis zusmmefsst. Wir beschräke us hier uf die Berechug des Gewimimums. Ei Uterehme stellt Eiheite eies Produktes her, wobei die folgede Kostefuktio gegebe ist: K() ,5. Die Preis-Abstz-Fuktio lutet: p() 6 -. Dmit ergibt sich zuächst die Erlösfuktio: E() p() 6 - ud us Erlösfuktio ud Kostefuktio die Gewifuktio: G() E() - K() ( ,5) lso G() ,5. Alle drei Fuktioe, die Gewizoe, der mimle Gewi ud der Courotsche Pukt C sid i der Grfik skizziert. Zur Ermittlug des Gewimimums beutze wir wie gewoht die Ableituge der Gewifuktio. G'() G''() 6 G'() : 3 / ± ( ) 5 ( 45) ± 49 ± 7 G''(5) 65< Dmit ergibt sich ds Gewimimum bei Abstz vo 5 Eiheite des Produktes. Die ege -9 ist ökoomisch icht relevt, bzw. liegt icht im ökoomische Defiitiosbereich. Der mimle Gewi liegt bei G(5) ,5 55,5 GE. Zur Bestimmug des Courotsche Puktes wird 5 i die Preis-Abstz-Fuktio eigesetzt: p(5) 6-5. Wir erhlte dmit de Courotsche Pukt C(5 ), der die gewimimle Abstzmege 5 ud de zugehörige Stückpreis vo p(5) GE zusmmefsst. Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - -

22 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible Auf die Berechug bzw. Überprüfug vo Grezgewi, Stückgewi ud vriblem Stückgewi wird hier verzichtet. Die Rechewege etspreche dee des Beispiels im Polypol...9. Elstizität Der i der Wirtschftstheorie häufig verwedete Begriff der Elstizität beschreibt llgemei gesproche die Apssugsfähigkeit eies ökoomische Systems uf veräderte Rhmebediguge. Etws detillierter wird die Frge gestellt, wie eie ökoomische Größe, etw die Nchfrge ch eiem Gut, uf eie Veräderug eies Eiflussfktors, z.b. des Preises, regiert. spricht i diesem Zusmmehg uch vo Regibilität. Dbei immt m llerdigs icht die bsolute Veräderuge i de Blick, soder kozetriert sich uf reltive Äderuge. We m d frgt, welche reltive Äderug eier betrchtete Größe, der Wirkug, eie reltive Äderug eier Eiflussgröße, der Ursche, ch sich zieht, kommt m zu eier erste Präzisierug des Begriffs Elstizität ls Quotiet: Elstizität reltive Äderug der Wirkug reltive Äderug der Ursche Zum bessere Verstädis diet folgedes Beispiel: Der Besitzer eier lädliche Diskothek verlgt für ei Gls Bier 5,-. Dmit kommt er m Abed durchschittlich uf eie egeumstz vo 8 Gls Bier. D die Polizei ih ermht, druf zu chte, dss die Besucher seier Diskothek, die zum große Teil mit dem Auto komme, icht zuviel Alkohol trike, beschließt er eie Preiserhöhug um,- pro Gls. D sich die vo der Polizei erhoffte Wirkug icht eistellt, erhöht er die Preise später och eiml um,-. Alle Zhle fide sich i der folgede Tbelle. Preis verkufte Preisäderug reltiv egeäderug reltiv Erlös ege bsolut bsolut % - -5% ,6% - -33,3% 36 Bei beide Preiserhöhuge sid die bsolute Äderuge sowohl beim Preis (Ursche) ls uch bei der verkufte ege (Wirkug) gleich. Bei de reltive Äderuge sieht m ber deutliche Uterschiede. Bildet m die Elstizität ch dem obige Quotiete, so ergibt sich bei der erste Preiserhöhug ei Wert vo, 65 ud bei der zweite Preis ,3 erhöhug ei Wert vo, 64. Der Absolutwert der Elstizität ist lso beim erste 8,6 Schritt,65 < ud beim zweite Schritt,64 >. Ds erklärt sich ddurch, dss beim erste Schritt die Preiserhöhug reltiv höher ist ls der ddurch erlittee reltive egerückgg, wodurch letztlich uch der Erlös sogr och gesteigert wird. Im zweite Schritt ist dgege die reltive Preiserhöhug kleier ls der reltive egeverlust, der sich d uch i eiem Erlösrückgg iederschlägt. Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - -

23 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible Im erste Schritt spreche wir vo eier uelstische Rektio, im zweite Schritt vo eier elstische Rektio der Kude bzw. der Nchfrge uf die vorgeommee Preisäderug. Im mthemtische Sie wird die ökoomische Größe durch eie Fuktio f() drgestellt, dere Vrible de Eiflussfktor wiedergibt. Der Begriff der Elstizität wird d geuer defiiert ls Quotiet: Elstizität reltive Äderug der Fuktio f reltive Äderug der Vrible Eie mthemtische Präzisierug dieses Quotiete ergibt sich, we m zwei Pukte der Fuktio betrchtet, P ( y ) ud P ( y ). We sich die Vrible vom Wert uf de Wert ädert, d ädert sich demetspreched der Wert der Fuktio vo y f( ) uf y f( ). Dmit köe wir zuächst die bsolute Veräderuge ls Differeze beschreibe: bsolute Äderug vo : - bsolute Äderug vo f: f( )- f( ). Drus ergebe sich die reltive Äderuge i Bezug zum Ausggswert : reltive Äderug vo : reltive Äderug vo f: f() f() f( ) Bezeichet m die Elstizität der Fuktio f bezüglich der Vrible mit ε f, d ergibt sich us de obige Quotiete: ε f, f() f( f( ) ) : f() f( f( ) ) f() f( ) f( ) Etspreched de Überleguge bei der Ableitugsfuktio (s...6.) setzt m u + h ud dmit f( ) f( + h) ud erhält ε f, f( + h) f( h ) f( ) oder llgemeier (uter Verzicht uf die Idizierug) f(+ h) f() ε f, h f() f(+ h) f() Durch Grezwertbildug (vgl...6.) wird lim f'() h h ud dmit ε f, f'(), ud ls erkregel: f() Elstizität Ableitug ml Vrible Fuktio Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 3 -

24 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible Dmit ht m eie hdliche Formel, um Elstizitäte mthemtisch zu beliebige Fuktioe zu bereche. Die Elstizität ist dimesiosfrei, d.h. keie Größe, soder eie Kezhl, weil gleichdimesiole Größe dividiert werde. Die Zhl ε f, wird ls Prozetgbe iterpretiert: Ädert sich der Wert der Vrible um %, d ädert sich der Wert der Fuktio f um ε%. I der folgede Tbelle sid die verschiedee Fälle der Elstizität übersichtlich zusmmegefsst: Wert der Elstizität Bezeichug Erklärug ε f, > Die Fuktio ädert sich reltiv stärker ls die Vrible. f ist elstisch bzgl. Die Fuktio ädert sich reltiv ε f, < f ist uelstisch bzgl. weiger strk ls die Vri- ble. ε f, Fuktio ud Vrible äder sich reltiv gleich strk. f ist isoelstisch bzgl. Kleiste Äderuge der Vrible bewirke "uedlich ε f, (Grezfll) f ist vollkomme elstisch bzgl. große" Äderuge vo f. ε (Grezfll) f, f ist vollkomme uelstisch bzgl. Eie Äderug der Vrible bewirkt keie Äderug der Fuktio.. Beispiel: Eie Nchfrgefuktio ist gegebe mit (p) e -, p. Die Elstizität für p GE ist zu bereche ud zu beurteile. rechet: '(p) e ε,p,p '(p) p e (p) e (,) e,p,p,p p p 5 ε,p(p ) 4 5 Die Nchfrge regiert der Stelle p GE elstisch. Ädert sich der Preis vo GE um %, d ädert sich die Nchfrge um 4%. Zusätzlich deutet ds egtive Vorzeiche druf hi, dss bei Preissteigerug die Nchfrge sikt ud bei Preissekug die Nchfrge steigt.. Beispiel: Ei Uterehme erzielt bei der Produktio vo Eiheite eies Produktes de 3 Gewi vo G() Gesucht ist die Elstizität der Gewifuktio bei eier Produktio vo 5 Eiheite. erhält: 6 G'() + 45 ud dmit: Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 4 -

25 . Alysis - Fuktioe mit eier Vrible ( + 45) ε G, ( ) 5 99 εg,( 5), , Der Gewi verhält sich der Stelle 5 Eiheite elstisch. Eie Äderug der Produktiosmege um % ht eie Gewiäderug vo,7% zur Folge. Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 5 -

26 . Alysis - Fuktioe mit mehrere Vrible.. Fuktioe mit mehrere Vrible... Grudlge Fuktioe mit eier ubhägige Vrible, lso Fuktioe der Form f() y, köe i eiem zweidimesiole Koorditesystem grfisch drgestellt werde. Die Drstellug ht d im spezielle Fll die Form eier Gerde, im llgemeie ber die Form eier (mehrfch) gekrümmte iie. Evetuell ergebe sich Eischräkuge des Defiitiosbereiches, die z.b. zu Uedlichkeitsstelle führe köe (vgl. hierzu die Drstellug der Fuktiosklsse im Abschitt..4.). Betrchte wir ls Beispiel och eiml die Fuktio f(), die i der Grfik drgestellt ist. Für jede Wert uf der -Achse wird durch y ei Wert uf der y-achse berechet. Wir sehe die breits bekte Prbel. Scho bei Fuktioe mit zwei ubhägige Vrible, lso Fuktioe der Form f(,y) z reicht ei zweidimesioles Koorditesystem zur grfische Drstellug icht mehr us. Wir bruche für jede Vrible eie Achse ud eie weitere für die Fuktioswerte. Dmit hbe wir eie dreidimesiole Drstellug solcher Fuktioe. So wird die obige Fuktio f() mit der zusätzliche Vrible y zu der Fuktio f(,y) ud zeigt sich dreidimesiol ls prbelförmige "We", weil sich j für jede y-wert die zweidimesiole Prbel ergibt. Hier sei die Drstellug kostter Fuktioe f() c eriert, die uch jeder Stelle de kostte Wert c ls Fuktioswert hbe ud somit grfisch eie Prllele zur -Achse bilde. Die liere Fuktio f() (Idetität) liefert die 45 o -Achse im Koorditesystem. Als f(,y) ergibt sich eie Ebee im Wikel vo 45 o. Kombiiert m die beide drgestellte Fuktioe zu f(,y) + y, so erhält m eie prbelförmige We, die im 45 o -Wikel durch ds Koorditesystem zieht. Die Prbel f() i beide Achse ls f(,y) + y kombiiert, ergibt ei räumliches iimum. it f(,y) - - y ht m etspreched ei räumliches imum, ud f(,y) - + y liefert eie räumliche Sttelpukt. Kompliziertere Fuktiosterme liefer d "dschfte" oder "Gebirge" im dreidimesiole Rum, mit "Berge", "Täler" ud "Sättel". Scho die Fuktio f(,y) y 3-3y - y liefert eie leichte Vorstellug vo derrtige "Fuktiosgebirge". Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 6 -

27 . Alysis - Fuktioe mit mehrere Vrible Jede weitere Vrible fügt dem Rum, i dem die Fuktio drgestellt werde k, eie weitere Dimesio hizu, so dss scho bei Fuktioe mit drei Vrible der zur Drstellug ötige vierdimesiole Rum user Vorstellugsvermöge, ws eie Fuktiosverluf belgt, deutlich überfordert. Dher werde wir us i diesem Abschitt weitestgehed uf Fuktioe mit zwei ubhägige Vrible beschräke. Allerdigs k lles, ws im Folgede zu Ableituge, Etremwertbestimmug ud dere Theme gesgt wird, problemlos uf weitere Vrible ud dmit weitere Dimesioe übertrge werde.... Prtielle Ableituge Um die Steigug eier Fuktio mit zwei Vrible zu bestimme, erier wir de Begriff der Tgete, der bei der Eiführug des Steigugsbegriffes bei Fuktioe mit eier Vrible hilfreich wr: Die Steigug der Fuktio f() im Pukt P etspricht der Steigug der Tgete die Fuktio im Pukt P. Nimmt m de Pukt P(,y) i de Blick (s. Skizze), d k sowohl i -Richtug ls uch i y-richtug eie Tgete gelegt werde. Diese beide Tgete (i der Grfik rot eigezeichet) spe eie Tgetilebee uf, die wiederum zur Steigugsbestimmug der Fuktio hergezoge werde k. So wie bei Fuktioe mit eier Vrible die Steigug im Pukt P gleich der Steigug der Tgete im Pukt P ist, ist bei Fuktioe mit zwei Vrible die Steigug im Pukt P gleich der Steigug der Tgetilebee im Pukt P de Fuktiosgrphe. Weil eie Ebee durch zwei Richtuge bestimmt ist, wird die Steigug der Ebee durch die beide Richtugssteiguge bestimmt. Die Richtugssteiguge sid die Steiguge der Schittgerde des Fuktiosgrphe i - Richtug bzw. i y- Richtug (i der ebestehede Grfik rot eigezeichet). Für jede y-wert ergibt sich eie Schittkurve i -Richtug, ud für jede -Wert ergibt sich eie solche Schittliie i y-richtug. Dher ist es sivoll, icht ch der Steigug der Fuktio im Pukt P zu frge, soder ch de beide Richtugssteiguge, lso der Steigug i -Richtug ud der Steigug i y- Richtug im Pukt P. Drus ergibt sich der Begriff der prtielle Ableitug. Dieser im Flle vo Fuktioe mit zwei Vrible och schulich verstädliche Ableitugsbegriff ist uf Fuktioe mit beliebig viele Vrible problemlos erweiterbr. erhält zu jeder Vrible der Fuktio die prtielle Ableitug, idem m lle dere Vrible wie Kostte behdelt. Ds etspricht der Ableitug der Schittkurve, die zu der jeweilige Vrible gehört. Alle Ableitugsregel us..7. gelte uverädert. Die prtielle Ableituge eier Fuktio f(,y) werde mit f '(,y) ud f y '(,y) bezeichet. Bei f '(,y) ist die usgewählte Vrible ud y wird demetspreched ls Kostte behdelt, bei f y '(,y) ist es geu umgekehrt. Bei Fuktioe mit mehr ls zwei Vrible werde die prtielle Ableituge i gleicher Weise durch Idizierug mit der usgewählte Vrible bezeichet. Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 7 -

28 . Alysis - Fuktioe mit mehrere Vrible Wir betrchte im Folgede eiige Beispiele. Beispiel : f(, y) y3y + f '(,y) y3y f '(,y) y 6y + bechte, dss bei f y '(,y) der Summd i der Fuktio isgesmt eie Kostte drstellt ud somit i der Ableitug zum Wert Null führt, der weggelsse wird. Beispiel : f(,y,z) 3 3 y zy z + 3 y z 3 3 f '(,y,z) 3 y zy z f '(,y,z) y 3 yz6y z + 6y + 6 z yz 3 3 f (, y,z) y 3 y 3 4y z+ 9 y z Beispiel 3: f(,y) + y y (+ y)(y) ( f'(,y) (+ y) (+ y)( ) ( fy'(,y) (+ y) y) y (+ y) y) (+ y) Beide prtielle Ableituge wurde durch Awedug der Quotieteregel gebildet. Bei der Diskussio vo Fuktioe mit eier Vrible (s...8.) wurde zur Bestimmug vo Etremwerte eier Fuktio f() die erste Ableitug f '() ud die zweite Ableitug f ''() utersucht. Etspreched werde bei Fuktioe mit mehrere Vrible die erste ud zweite prtielle Ableituge zu utersuche sei. Bei der Bildug der zweite prtielle Ableituge ist zu bechte, dss es zu jeder erste prtielle Ableitug eie zweite prtielle Ableitug zu jeder Vrible gibt. Also hbe wir zu f(,y) die erste prtielle Ableituge f '(,y) ud f y '(,y), ud dzu d die vier zweite prtielle Ableituge f ''(,y), f y ''(,y), f y ''(,y) ud f yy ''(,y), die i der gleiche Weise wie obe beschriebe gebildet werde. Beispiel: f(, y) 3 yy y f '(,y) 6yy f f f f f '(,y) 3 y y y yy ''(,y) 6y+ y ''(,y) 63y ''(,y) 63y ''(,y) 6y y y y y y Es fällt uf, dss die beide zweite Ableituge mit uterschiedliche Richtuge, lso f y ''(,y) ud f y ''(,y), gleich sid. Dies gilt immer, we uch mit der i dieser Vorlesug u- Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 8 -

29 . Alysis - Fuktioe mit mehrere Vrible erhebliche Eischräkug, dss die Ableituge sämtlich stetig sei müsse. Im Flle vo drei Vrible gilt lso, dss f y '' f y '', f z '' f z '' ud f yz '' f zy '' ist, ud llgemei: Zweite Ableituge mit uterschiedlicher Ableitugsreihefolge sid (uter Vorussetzug der Stetigkeit) gleich...3. Etremwerte ohe Nebebediguge..3. Notwedige Bedigug I der ebestehede Grfik ist die Fuktio f(,y) - - y drgestellt. Die rote iie kezeiche die beide Tgete i Richtug der -Achse sowie i Richtug der y-achse die Fuktio im imum. Durch diese beide Tgete wird eie Tgetilebee die Fuktio im imum ufgespt. Wie obe beschriebe, ist die Steigug der Tgetilebee gleich der Steigug der Fuktio, i diesem Fll im imum. Etspreched de Überleguge bei Fuktioe mit eier Vrible y f() (s...5.) leuchtet es umittelbr ei, dss die Steigug der Tgetilebee im imum der Fuktio de Wert "Null" hbe muss. Weil die Steigug der Tgetilebee ber eideutig bestimmt ist durch die Steiguge der beide usgewählte Tgete, die wiederum die prtielle Ableituge der Fuktio repräsetiere, ergibt sich sofort die otwedige Bedigug für ds imum ud dmit für ds Vorliege eies Etremwertes: f '(,y) ud f y '(,y). Verllgemeiert heißt ds bei eier Fuktio mit mehrere Vrible, dss ls otwedige Bedigug für ds Vorliege eies Etremwertes lle erste prtielle Ableituge verschwide müsse. Bei eier Fuktio y f(,,..., ) mit de Vrible,..., ergibt sich: f '(,..., ), f '(,..., ),..., f '(,..., ) Beispiel: Die Fuktio f(,y) 3 - y + 6y soll uf mögliche Etremwerte utersucht werde. Die erste prtielle Ableituge lute: f '(,y) 3 y f '(,y) + y y Als otwedige Bedigug ergibt sich mit f '(,y) ud f y '(,y) : 3 y + y Aus der zweite Gleichug erhält m y ud dmit y. I die erste Gleichug eigesetzt ergibt 3 3(4) Somit ht m die beide ösuge ud 4. Die etsprechede y-werte errechet m durch Eisetze i eie der beide Gleichuge für mit y ud für 4 mit y 4. ögliche Etremwerte liege lso de "kritische Stelle" P ( f(,)) ud P (4 4 f(4,4)). Die Fuktioswerte f( ) ud f(4 4) köe durch Eisetze i die Fuktio f(,y) bestimmt werde, sid ber zuächst icht vo Belg. Um u edgültig zu etscheide, ob es sich ttsächlich um Etremwerte hdelt, müsse wie im Fll vo Fuktioe mit eier Vrible die zweite Ableituge hergezoge wer- Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 9 -

30 . Alysis - Fuktioe mit mehrere Vrible de. De m Beispiel der Fuktio f(,y) - y (s. Grfik) erket m, dss ds Verschwide der erste prtielle Ableituge uch zu eiem Sttelpukt führe k. Aschulich fällt hier ei iimum i -Richtug mit eiem imum i y-richtug zusmme. Amerkug: Es leuchtet ei, dss scho die meiste Fuktioe mit ur zwei Vrible us mit de zur Verfügug stehede beschräkte mthemtische ittel vor sehr große Problem stelle werde, we Etremwerte bestimmt werde solle. Im Rhme dieser Vorlesug werde lso ur recht eifche Beispiele behdelt werde köe, Fuktioe mit drei ud mehr Vrible werde wir wege der hohe Kompleität icht weitest gehed usklmmer trize ud Determite I der liere Algebr (s. Abschitt.) versteht m uter eier Determite eie Fuktio, die eier qudrtische tri eie Zhl zuordet. Auf de Begriff der tri werde wir im. Abschitt dieses Skripts och vertieft eigehe. bezeichet mit tri ei Zhleschem, bestehed us Zeile ud Splte. Qudrtische trize hbe gleich viele Zeile ud Splte. Abgesehe vo der -tri, die ur us eier Zhl besteht, sid die eifchste die -trize mit zwei Zeile ud zwei Splte. Sie hbe die llgemeie Form: A (die -tri schreibt m A ( )) b b 3 Etspreched sehe 3 3-trize so us: A b b b3 c c c3 Die Determite eier -tri ist der Zhlewert der eizige Zhl, die die tri bildet, lso det A, die Determite eier -tri wird durch folgede Rechug gegebe: deta b b, d.h. m zieht die Produkte der beide Digole voei- b b der b. Für die Berechug vo 3 3-Determite bediet m sich der Regel des Srrus, idem m die Determite die erste beide Splte ls Hilfssplte fügt ud d die so etstehede 6 Digole wie folgt behdelt: deta b c b c b c b c b c b c 3 + b 3 c + bc 3 3 b c b 3 c bc Die Determite vo trize mit mehr ls 3 Zeile ud Splte köe ch dem Etwicklugsstz vo plce berechet werde, idem sie i kleiere Utermtrize zerlegt werde. Die Behdlug dieses Thems führt hier zu weit ud ist uch für die weitere Theme icht vo Belg. 3 Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 3 -

31 . Alysis - Fuktioe mit mehrere Vrible Bei der Bestimmug vo Etremwerte vo Fuktioe mit mehrere Vrible ist ds Huptmiorekriterium vo Bedeutug. iore oder Uterdetermite erhält m, we m i eier gegebee tri Zeile ud Splte streicht, lso die tri verkleiert ud vo dieser verkleierte tri die Determite berechet. Die Huptmiore sid die Uterdetermite eier qudrtische tri, bei dee dieselbe Zeile ud Splte gestriche werde. Führede Huptmiore der Ordug k eier -tri erhält m, we die erste k Zeile ud Splte erhlte bleibe. Dzu betrchte wir ds Beispiel eier 3 3-tri: 3 Die tri A ht die Huptmiore der Ordug det, k : det 3 ud k 3: det deta k : ( ) et eie tri positiv defiit, we lle Huptmiore positiv sid, egtiv defiit, we die Huptmiore mit gerdem k positiv, diejeige mit ugerdem k egtiv sid, ud idefiit, we det A, ud keier der erste beide Fälle eitritt Die Hesse-Determite Nch diesem Ausflug i die Welt der trize ud Determite wede wir us u wieder dem eigetliche Problem zu: Wie wird etschiede, ob bei eier Fuktio mit mehrere Vrible eier kritische Stelle ei imum, ei iimum oder ei Sttelpukt vorliegt. Aus de zweite prtielle Ableituge der Fuktio wird die Hesse-tri wie folgt gebildet: f' '(,y) fy''(,y) bei zwei Vrible mit f(,y): H f, fy' '(,y) fyy''(,y) f''(,y,z) fy' '(,y,z) fz' '(,y,z) bei drei Vrible mit f(,y,z): Hf fy''(,y,z) fyy' '(,y,z) fyz' '(,y,z) usw. fz' '(,y,z) fzy''(,y,z) fzz''(,y,z) Ist die Hesse-Determite positiv defiit, liegt ei iimum vor, egtiv defiit, liegt ei imum vor, idefiit, liegt ei Sttelpukt vor, dereflls k keie Aussge gemcht werde. Im spezielle Fll vo Fuktioe mit zwei Vrible k die Überprüfug ei weig hdlicher gestltet werde. bildet für f(,y) zuächst die Hesse-Determite (lso die Determite der Hesse-tri) ls Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 3 -

32 . Alysis - Fuktioe mit mehrere Vrible deth f f det f y ''(,y) ''(,y) f f y yy ''(,y) f ''(,y) ''(,y) f yy ''(,y) f y ''(,y) f y ''(,y). Weil f y ''(,y) f y ''(,y) (s....) köe wir eifcher schreibe det H f f ''(,y) f yy ''(,y) - (f y ''(,y)). Die obe gegebee (hireichede) Bediguge für Etremwerte bzw. Sttelpukte lsse sich wie folgt umsetze: Ist der Term f ''(,y) f yy ''(,y)-(f y ''(,y)) >, liegt ei Etremwert vor, ud zwr ei imum, we f ''(,y) < ud f yy ''(,y) < iimum, we f ''(,y) > ud f yy ''(,y) > flls f ''(,y) f yy ''(,y)-(f y ''(,y)) <, liegt ei Sttelpukt vor ud flls f ''(,y) f yy ''(,y)-(f y ''(,y)), ist keie Agbe möglich. Diese Bediguge etspreche im Fll der -tri geu de obe defiierte Begriffe positiv/egtiv defiit bzw. idefiit. Wede wir diese Bediguge uf ds Beispiel us..3.., so erhlte wir die zweite prtielle Ableituge f ''(,y) 6, f y ''(,y) - ud f yy ''(,y). Dmit bilde wir die Hesse-Determite f ''(,y) f yy ''(,y) - (f y ''(,y)) 6 - (-). Für de Pukt P ( f(,)) ergibt sich durch Eisetze: 6 - (-) -44 < ud für de Pukt P (4 4 f(4,4)) etspreched (-) 44 > Dmit liegt im Pukt P ei Sttelpukt vor ud im Pukt P hbe wir eie Etremwert, ud zwr ei iimum, weil f ''(4,4) > ud uch f yy ''(,y) > gilt. Hier och ei weiteres Beispiel: Die Fuktio f(,y) 3-3 y + 3y + y y soll uf Etremwerte utersucht werde. Die erste prtielle Ableituge lute f '(,y) 3-6y + 3y - 3 f y '(,y) y + 3y - Wir löse ds Gleichugssystem: 3-6y + 3y y + 3y - 6y - 4 6y 4 y 4 y - ud y + Dzu bestimme wir die -Werte durch Eisetze i eie der beide Gleichuge. Für y - erhält m 3 6( ) + 3( ) / ± 43 ± Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik - 3 -

33 . Alysis - Fuktioe mit mehrere Vrible Dmit hbe wir zwei mögliche Etremwerte de beide Pukte P (-3 - f(-3,-)) ud P (- - f(-,-)). Für y erhält m: / ± 43 ± 3 Dmit ergebe sich zwei weitere mögliche Etremwerte der Fuktio mit P 3 ( f(,)) ud P 4 (3 f(3,)). Zur Überprüfug, ob es sich um Etremwerte hdelt, bilde wir zuächst die zweite prtielle Ableituge zu f(,y) ud drus die Hesse-Determite. f ''(,y) 6-6y f y ''(,y) y f yy ''(,y) 6 + 6y Die Hesse-Determite lutet dmit llgemei: (6-6y) (6 + 6y) -(-6 + 6y). Der Wert der Determite wird u für lle 4 Pukte überprüft: P : (6 (-3)- 6 (-)) (6 (-3) + 6 (-)) -(-6 (-3) + 6 (-)) (-6) (-3)- (6) >, somit liegt bei P ei Etremwert vor. Weil f ''(-3,-) -6 < ist, hdelt es sich um ei imum. P : (6 (-)- 6 (-)) (6 (-) + 6 (-)) -(-6 (-) + 6 (-)) (6) (-8)-(-6) <, lso liegt bei P ei Sttelpukt vor. P 3 : (6-6 ) (6 + 6 ) -( ) (-6) (8)-(6) <, lso hdelt es sich bei P 3 ebeflls um eie Sttelpukt. P 4 : (6 3-6 ) ( ) -( ) (6) (3)-(-6) >, lso liegt bei P 4 ei Etremwert vor. Weil f ''(3,) 6 > ist, hdelt es sich hierbei um ei iimum Ökoomische Aweduge Erlösmimum bei zwei Produkte Ei Hersteller bietet zu Hllowee ei Kostüm i zwei Vrite, wobei er regiol eie oopolstellug ht. Bei Verkufspreise (i ) für Vrite ud y für Vrite gelte die beide Nchfrgefuktioe: Vrite : f (,y) y Vrite : f (,y) y. Bei welche Preise ud y wird der Gesmterlös miml, we vorusgesetzt wird, dss die chgefrgte ege uch umgesetzt werde köe? ösug: Zuächst wird der Gesmterlös bestimmt, der sich us der Summe der Eizelerlöse wie folgt ergibt: E(,y) E (,y) + E (,y) f (,y) + f (,y) y E(,y) ( y) + ( y) y y + 65y + 3y - 8y - - 8y + 7y y Die erste prtielle Ableituge sid: E '(,y) - + 7y E y '(,y) -6y Ds Verschwide der erste Ableituge führt zu folgedem Gleichugssystem, ds mit dem Additiosverfhre gelöst wird: Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik

34 . Alysis - Fuktioe mit mehrere Vrible - + 7y y y y y y 465 y 5 Dzu bestimmt m durch Eisetze de zugehörige -Wert: Die zweite prtielle Ableituge sid E ''(,y) - E y ''(,y) 7 E yy ''(,y) -6. Drus ergibt sich für die Hesse-Determite: (-) (-6) - (7) >, lso liegt ei Etremwert vor, ud weil E ''(5,5) - <, hbe wir ei imum. Dmit wird der Gesmterlös miml, we die Vrite des Kostüms für 5,- ud die Vrite für 5,- gebote werde Produktiosmimum bei zwei Fktore Ei Hersteller vo Systemregle rbeitet ch der Produktiosfuktio P(,y) -,8 +,5y -,75y + + 3y, wobei die Azhl der schiestude ud y die Azhl der Fchrbeiterstude bedeute ud der Wert der Fuktio sich ls Azhl der pro Woche gefertigte Regle drstellt. Es ist zu bereche, bei welche Studezhle für schie- ud Fchrbeitereistz die wöchetliche Produktivität miml wird. Die mimle Produktivität ist zugebe. Aus de erste prtielle Ableituge der Fuktio P(,y) P '(,y) -,6 +,5y + ud P y '(,y),5 -,5y + 3 bilde wir ds Gleichugssystem -,6 +,5y +,5 -,5y + 3, ds ch dem Additiosverfhre gelöst wird: -,6 +,5y +,5 -,5y + 3 -, + 5, 5 5 Durch Eisetze erhält m de zugehörige y-wert -,6 5 +,5y +,5y - 78,5y 78 y 5 + Vorlesugsskript Wirtschftsmthemtik