2.2 Funktionen und Stetigkeit

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1 . Funktionen und Stetigkeit.. Funktionen und Stetigkeit 9 Ein zentraler Begriff der Mathematik ist der Begriff der Abbildung oder Funktion, und dieses Konzept taucht in den verschiedensten Zusammenhängen auf. Wir haben den Begriff bereits gebraucht, um die Abzählbarkeit definieren zu können. Jetzt werden wir reellwertige Funktionen in einer reellen Variablen genauer unter die Lupe nehmen. Darunter versteht man Funktionen der Form f:d W, wobei der Definitionsbereich D und die Wertemenge W jeweils Teilmengen von R sind. Häufig verzichtet man auch auf die Angabe von W. Eine solche Funktion können wir bekanntlich in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem graphisch darstellen. Der Graph der Funktion f ist definiert als Graph(f) := {(,f() D} R. Man trägt also jeweils zu D den Punkt mit den Koordinaten (,f()) in das Koordinatensystem ein...1 Definition Eine Funktion f:d W (D,W R) heisst streng monoton steigend auf M D, falls f( 1 ) < f( ) für alle 1 <, i M, und f heisst streng monoton fallend, falls umgekehrt f( 1 ) > f( ) für alle 1 <, i M. Sei zum Beispiel f :R 0 R 0, die Funktion, die durch Einschänkung der Parabelfunktion auf negative Zahlen (oder Null) entsteht, und f + :R 0 R 0,, die Einschränkung auf nichtnegative Zahlen. Dann ist f streng monoton fallend, und f + streng monoton steigend. Beobachtung: Ist eine Funktion f: D R streng monoton steigend (oder fallend) aufd,soistsieinjektiv,dasheisstjederzahlenwert wirdvonderfunktionhöchstens an einer Stelle angenommen... Satz Eine Funktion f:d W ist genau dann bijektiv (also eine 1-1-Zuordnung), wenn f umkehrbar ist. Das bedeutet, es gibt eine Funktion g:w D, die sogenannte Umkehrfunktion von f, mit der Eigenschaft, dass g(f()) = für alle D und f(g(y)) = y für alle y W. Sind D,W R, so erhält man den Graphen von g durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden, das heisst der Geraden, definiert durch y = in R...3 Beispiel Sei D = R \ { 1 }, W = R \ {0} und f:d W, definiert durch f() = 1. Diese Funktion ist bijektiv. Der Graph von f ist eine Hyperbel mit +1 Asymptoten bei = 1 und y = 0. Durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden erhalten wir wieder eine Hyperbel, diesmal mit Asymptoten bei y = 1 und = 0. Um die Umkehrfunktion g:w D von f genauer zu bestimmen, setzen wir f() = 1 1 y = y und lösen nach auf. Das führt auf die Beziehung =, und wir +1 y erhalten g(y) = 1 y. Nach Umbenennung der Variablen wird daraus die Vorschrift y g() = 1.

2 30 Kapitel. Differentialrechnung in einer Variablen Ist eine Funktion f:d R auf einem bestimmten Teilbereich D 1 D des Definitionsbereiches monoton steigend (oder fallend), so können wir f zumindest auf D 1 umkehren. Denn durch Einschränkung erhalten wir eine bijektive Funktion f 1 :D 1 W 1 := {f() D 1 }, gegeben durch f 1 () = f() für alle D 1, und können nun die dazugehörige Umkehrfunktion bilden g 1 :W 1 D 1. Auf diese Weise kann man n-te Wurzeln ziehen oder die trigonometrischen Funktionen jeweils auf passenden Teilbereichen umkehren...4 Beispiele Sei n N gerade. Die Funktion f:r R, n, ist auf dem Teilbereich D 1 := R 0 monoton steigend, und nimmt dort als Werte alle reellen Zahlen 0 an. Bilden wir die dazugehörige Umkehrfunktion, erhalten wir die n-te Wurzelfunktion g:r 0 R 0, n (n gerade). Für ungerade n N ist die Funktion f:r R, n sogar selbst bijektiv, die Wurzelfunktion ist hier also auch für negative Zahlen definiert: g:r R, n (n ungerade). Sei jetzt f eine reellwertige Funktion, definiert auf dem Definitionsbereich D. Sei weiter 0 ein Punkt im Abschluss von D, das heisst, es gebe Folgen von Punkten aus D, die gegen 0 konvergieren...5 Definition Man sagt, die Funktion f habe an der Stelle 0 den Grenzwert y 0, falls für jede Folge ( n ) n N in D, die gegen 0 konvergiert, die Folge der Funktionswerte (f( n )) n N gegen y 0 konvergiert. Ist dies der Fall, schreibt man lim f() = y 0. 0 Dabei ist auch 0 = oder 0 = zugelassen...6 Beispiele Die Funktion f() = 1 1 ist nicht definiert für 0 = 1. Aber weil f() = ( 1)(+1) 1 lim 1/ = 0 und lim 1/ = 0. lim 1 +1 = lim (1 +1 ) = 1. = +1, ist lim 1 f() =. Man kann die Überlegungen verfeinern, indem man rechts- oder linksseitige Grenzwerte betrachtet. Damit ist folgendes gemeint.

3 .. Funktionen und Stetigkeit Definition Man spricht vom rechtsseitigen Grenzwert lim f() = y 0, ց 0 wenn für jede Folge n > 0, die von oben gegen 0 konvergiert, die Funktionswerte f( n ) gegen y 0 konvergieren. Entsprechend ist der linksseitige Grenzwert lim ր 0 f() = y 0, wenn für jede Folge n < 0, die von unten gegen 0 konvergiert, die Funktionswerte f( n ) gegen y 0 konvergieren...8 Bemerkung Eistieren an einer Stelle 0 sowohl der rechts- als auch der linksseitige Grenzwert von f und stimmen sie überein, dann ist dies auch der beidseitige Grenzwert. Stimmen sie aber nicht überein, so kann es keinen beidseitige Grenzwert geben...9 Beispiele lim ց0 1/ = und lim ր0 1/ =. lim ց0 1/ = lim ր0 1/ = Für die Grenzwerte von Funktionen gelten entsprechende Aussagen wie für die Grenzwerte von Folgen, also Verträglichkeit mit den Grundrechenarten, Verträglichkeit mit der Relation, und es gibt wiederum einen Vergleichssatz...10 Satz Seien f, g, h drei reellwertige Funktionen, die alle auf dem offenen Intervall I = (a,b) definiert sind, und sei 0 [a,b]. Gilt f() g() h() für alle I und lim f() = a = lim h(), so folgt auch lim g() = a Beispiele 1. lim 3 1 = und lim +1 =.. lim +1 = 0. Dazu schreiben wir die Differenz folgendermassen um: +1 = ( +1 )( +1+ ) +1+ = Wir kommen nun zum Begriff der Stetigkeit. Anschaulich gesprochen ist eine Funktion auf einem Bereich stetig, wenn sie dort keine Sprünge macht, oder anders gesagt, wenn kleine Änderungen des Argumentes zu kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Dabei betrachten wir nur Funktionen auf offenen Definitionsbereichen. Eine Teilmenge D R heisst offen, wenn D eine Vereinigung von offenen Intervallen ist.

4 3 Kapitel. Differentialrechnung in einer Variablen..1 Definition Eine Funktion f, definiert auf einer offenen Teilmenge D, heisst stetig an der Stelle 0 D, wenn lim f() = f( 0 ). 0 Die Funktion f heisst stetig, falls f an jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig ist. Eine andere äquivalente Charakterisierung der Stetigkeit ist die folgende ǫ-δ- Definition:..13 Satz Eine Funktion f ist stetig an der Stelle 0 D, falls für jedes ǫ > 0 ein δ > 0 eistiert, so dass 0 < δ = f() f( 0 ) < ǫ für alle D. Beweis. Wir zeigen nur, dass aus der ǫ-δ-eigenschaft die Stetigkeit folgt. Nehmen wir an, n ist einefolgevonpunkten ind,diegegen 0 konvergiert. Zuǫ > 0wählen wir δ wie im Satz. Nach der Grenzwertdefinition gibt es ein n 0 N mit n 0 < δ für alle n n 0. Also gilt für die Folge der Funktionswerte f( n ) f( 0 ) < ǫ für alle n n 0. Das bedeutet aber gerade, dass lim n f( n ) = f( 0 ). q.e.d...14 Beispiele Jede Funktion der Form f() = a+b (für feste a,b R) ist überall stetig, ebenso jedes Polynom. Denn f() f( 0 ) = a 0 < ǫ, wenn 0 < ǫ/ a = δ. { 1 für > 0 Die Vorzeichenfunktion, definiert durch h() = 0 für = 0, ist bei 0 = 0 nicht stetig, dort liegt eine Sprungstelle vor. 1 für < 0 { für 1 Sei f() = +1 3 = 4 für < 1. Der Graph dieser Funktion hat eine Knickstelle bei 0 = 1. Dort ist aber lim f() = lim f() = 3 = f( 1). ց 1 ր 1 Also passen die beiden Teile zusammen, und f ist bei 0 stetig. Die Funktion f() = 4 kann man stetig nach 0 = fortsetzen durch f() = 4. Stetigkeit vererbt sich auf Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten (dort wo diese definiert sind), wie sich sofort aus den entsprechenden Sätzen für Grenzwerte ergibt...15 Folgerung Sämtliche rationalen Funktionen sind stetig.

5 .3. Elementare Funktionen 33 Beweis. Wendet man die Produktregel auf die Funktion und auf konstante Funktionen an, erhält man die Stetigkeit sämtlicher Funktionen der Form c n (n N, c R). Daraus ergibt sich durch Summenbildung die Stetigkeit sämtlicher Polynome. Unter einer rationalen Funktion versteht man eine Funktion der Form f = p,wobei p,q Polynome sind. Eshandelt sichalsoumquotientenvonpolynomen q und deshalb stetige Funktionen. q.e.d. Ohne Beweis halten wir noch fest:..16 Satz Sind I,J Intervalle und ist f:i J eine bijektive, stetige Funktion, so ist auch die Umkehrfunktion f 1 wieder stetig...17 Folgerung Die Wurzelfunktionen n (n N) sind stetig. Ausserdem gilt:..18 Satz Eine aus stetigen Funktionen zusammengesetzte Funktion ist wieder stetig. Beweis. Sind f:d W und g:d 1 W 1 stetige Funktionen und ist W 1 D, so können wir die Funktionen f und g zusammensetzen: f g:d 1 W, (f g)() = f(g()). Man spricht auch von der Komposition der Funktionen f und g. Sei jetzt 0 D 1. Wegen der Stetigkeit von g gilt für jede Folge ( n ) in D 1, die gegen 0 konvergiert: lim g( n) = g( 0 ). n Aus der Stetigkeit von f folgt nun wiederum lim f(g( n)) = f(g( 0 )). n Also ist auch die zusammengesetzte Funktion f g wieder stetig. q.e.d. Diese Tatsache lässt sich vielseitig verwenden, um Grenzwerte von zusammengesetzten Funktionen zu bestimmen..3 Elementare Funktionen Bisher haben wir nur rationale Funktionen und Wurzelfunktionen betrachtet. Nun wollen wir die trigonometrischen Funktionen, die Eponentialfunktion und den Logarithmus genauer anschauen. All diese Funktionen sind ebenfalls stetig. Aus dem Vorrat der rationalen Funktionen, der trigonometrischen Funktionen, sowie der Eponentialfunktionen kann man durch Verknüpfung mithilfe der Grundrechenarten, durch Umkehrung, sowie durch Zusammensetzung neue Funktionen bilden. Dabei

6 34 Kapitel. Differentialrechnung in einer Variablen ist der Definitionsbereich eventuell geeignet zu verkleinern. Die so gebildeten Funktionen sind nach Satz..16 und..18 alle stetig. Man bezeichnet sie als elementare Funktionen. Die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens wurden zunächst in Abhängigkeit von Winkeln als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken definiert. Ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge a, b und Hypotenuse der Länge c, und bezeichnet 0 < α < 90 den Winkel, der der Seite a gegenüberliegt, dann ist sin(α) = a c, cos(α) = b c, tan(α) = a b = sin(α) cos(α). Eine andere Interpretation dieser Grössen erhält man, wenn man so wählt, dass c = 1 ist, und dann folgendermassen in den Kreis von Radius 1 um den Nullpunkt einzeichnet. Jetzt erweisen sich die Werte = cos(α) und y = sin(α) als die Koordinaten des Punktes P auf dem Einheitskreis, dessen Ortsvektor mit der positiven Achse den Winkel α bildet. Und auf diese Weise lässt sich die Definition von Sinus und Cosinus auf alle Winkel ausdehnen. y P 1 sin(α) t tan(α) α cos(α) Der Tangens tritt in diesem Bild auf als Länge des Abschnitts auf der Tangente an den Punkt (1, 0) an den Einheitskreis, der durch diesen Winkel markiert wird. Misst man jetzt den Winkel nicht im Gradmass, sondern im Bogenmass, d.h. durch die Länge t des Bogens, der durch den Winkel α aus dem Einheitskreis ausgeschnitten wird, dann kann man Sinus und Cosinus als Funktionen einer reellen Zahl t R interpretieren..3.1 Bemerkung Die Sinusfunktion ist auf ganz R stetig. Die Cosinusfunktion ergibt sich durch Verschiebung der Sinusfunktion um π, sie also auch stetig. Die Tangensfunktion wiederum ist als Quotient aus Sinus und Cosinus ebenfalls stetig. Beweis. Die Stetigkeit bei = 0 ergibt sich so: lim 0 sin() = 0, denn 0 sin() für [ π, π ], wie man an der Bedeutung des Sinus am Einheitskreis 4 4

7 .3. Elementare Funktionen 35 ablesen kann. Ausserdem gilt: lim 0 cos() = 1, denn 1 cos() 1, weil cos () = 1 sin () 1 für [ π, π ]. Nun verwenden wir das Additionstheorem für den Sinus, das wir später noch herleiten werden, und die speziellen 4 4 Grenzwerte von Sinus und Cosinus an der Stelle 0, die wir gerade bestimmt haben. lim sin() = limsin( 0 +h) = lim(sin( 0 )cos(h)+sin(h)cos( 0 )) = sin( 0 ). 0 h 0 h 0 Also ist die Sinusfunktion überall stetig. q.e.d. Mithilfe der trigonometrischen Funktionen kann man Schwingungsvorgänge modellieren. Eine harmonische Schwingung wird durch eine Funktion der Form f(t) = Asin(ωt+ϕ) (t R) beschrieben. Dabei ist A > 0 die Amplitude, ω > 0 die Frequenz und ϕ die Phasenverschiebung der Schwingung. Zum Beispiel könnte f(t) die vertikale Auslenkung einer schwingenden Saite zum Zeitpunkt t angeben. Auch die Auslenkung einer Feder durch eine daran befestigte Masse wird durch eine solche Funktion beschrieben. Durch Kombination der Sinusfunktion mit rationalen Funktionen entsteht ein grosses Spektrum an Funktionen mit sehr unterschiedlichem Verhalten..3. Beispiele Die Funktion f() = sin() (für 0) beschreibt eine Schwingung, deren Amplitude mit wachsendem linear zunimmt. Sie ist auch bei = 0 stetig. lim(sin()) = 0, 0 denn sin(), weil die Sinusfunktion nur Werte zwischen 1 und +1 annimmt. Die Funktion f() = sin() (für 0) hat bei = 0 eine Definitionslücke. Es handelt sich um eine gedämpfte Schwingung. Wir können f bei = 0 stetig durch den Wert f(0) = 1 fortsetzen, denn: sin() lim 0 = 1. Um dies einzusehen, lesen wir aus der Bedeutung des Tangens am Einheitskreis die folgende Ungleichung ab: tan() = sin() cos() für ( π, π). Daraus folgt sin() cos() und wir erhalten für π < < π: cos() sin() 1. Mit dem Vergleichssatz folgt nun die Behauptung.

8 36 Kapitel. Differentialrechnung in einer Variablen Bei der folgenden Funktion beobachten wir, dass es noch andere Unstetigkeitsphänomene gibt als nur Sprungstellen..3.3 Beispiel Die Funktion f() = sin( 1 ) (für 0) besitzt keine stetige Fortsetzung nach 0 = 0, der Grenzwert lim 0 f() eistiert nicht. Denn f() kommt für kleine -Werte jedem y-wert zwischen 1 und +1 beliebig nahe. Schauen wir uns das etwas genauer an: Hier sind zwei Nullfolgen, deren Funktionswerte nicht gegen denselben Grenzwert konvergieren. Sei dazu a n := 1 und b nπ n := für (4n+1)π n N. Beide Folgen (a n ) n N und (b n ) n N sind Nullfolgen. Aber lim f(a n) = lim sin(nπ) = 0 1 = lim f(b n ) = lim sin( (4n+1) π). n n n n Die Umkehrfunktionen von Sinus, Cosinus und Tangens werden als Arcusfunktionen bezeichnet, weil man jeweils einer Zahl eine Bogenlänge zuordnet. Dabei versteht man üblicherweise unter arcsin die Umkehrung der Sinusfunktion auf dem Abschnitt [ π, π ] und unter arccos die Umkehrung der Cosinusfunktion auf dem Abschnitt [0, π]. Die Tangensfunktion ist gegeben durch tan() = sin() cos(). Sie ist definiert für alle R mit cos() 0, das heisst für (n+1) π (für alle n Z).AufdemoffenenIntervall ( π, π)istdietangensfunktionmonotonsteigend, und nimmt dort als Werte alle reellen Zahlen an. Die entsprechende Umkehrfunktion ist der Arcustangens: arctan:r ( π, π ). Wir haben hier die wichtigen Grenzwerte: lim arctan() = π und lim arctan() = π. Hier einige Grenzwerte weiterer zusammengesetzter Funktionen: sin+.3.4 Beispiele 1. lim ց0 = 3. sin+ sin Denn lim 0 = lim 0 + = 3. Nun folgt die Behauptung aus der Stetigkeit der Wurzelfunktion.. lim arctan( 3 +1 ) = π +4. Dennesgiltlim 3 +1 = undlim +4 arctan() = π,unddiefunktion arctan ist stetig. 3. lim sin( 1 π) = 0. +1

9 .3. Elementare Funktionen 37 Kommenwir jetzt zudeneponentialfunktionen. Ist a R,a > 1vorgegeben, so definiertmandieeponentialfunktion a zurbasisazunächstrekursivfürnatürliche Eponenten: a 0 := 1, a 1 := a, a n+1 = a a n für n N. Dann dehnt man die Definition auf negative ganze Zahlen aus: a n := 1 a n für n N. Durch vollständige Induktion ergibt sich das bekannte Potenzgesetz: a n+m = a n a m für alle n,m Z. Und schliesslich setzt man für rationale Eponenten fest: a p/q := ( q a) p für p Z,q N. Diese Festlegung hängt nicht davon ab, wie der rationale Eponent dargestellt ist. Dennangenommen p = p,so ist ( q a) p = ( q q q a) p,wie manmithilfe der Potenzgesetze für ganze Eponenten und der Eindeutigkeit der Wurzeln zeigen kann. Ausserdem gilt a p/q > 1 für alle p,q N. Denn da die Funktion f p : p und die Funktion g q : q (für positive ) beide streng monoton wachsend sind, folgt aus a > 1 zunächst q a > q 1 = 1 und dann a p/q = ( q a) p > 1, wie behauptet. Die Eponentialfunktion lässt sich nun durch stetige Fortsetzung auch auf beliebige reelle Eponenten ausdehnen. Für jede reelle Zahl a > 1 erhalten wir eine streng monoton wachsende Funktion ep a :R R >0, a, die auf ganz R definiert ist und nur positive Werte annimmt. Für beliebige Eponenten gilt das bekannte Potenzgesetz: a 0 = 1 und a +y = a a y für alle,y R. Ausserdem ist (a ) y = a y,y R. Man kann beweisen, dass die so definierte Eponentialfunktion stetig ist und es gilt lim a = und lim a = 0. Eine besonders wichtige Rolle spielt die Eponentialfunktion zur Basis e, der sogenannten Eulerschen Zahl. Man verwendet hier die Notation ep() := e. Wie bereits erwähnt, können wir e definieren durch Ausserdem gilt: e := lim n (1+ 1 n )n e = k=0 und e = lim n (1+ n )n für R. 1 k! und e = k=0 k k!.

10 38 Kapitel. Differentialrechnung in einer Variablen Mithilfe der Eponentialfunktion können wir eponentielles Wachstum, aber auch Abklingvorgänge beschreiben. Zum Beispiel wird der Zerfall einer radioaktiven Substanz durch f(t) = K 0 e λt (t 0) beschrieben. Dabei ist t die Zeit, K 0 bezeichnet die zum Zeitpunkt t = 0 vorliegende Menge und λ > 0 ist die Zerfallsrate. Ein Wachstumsprozess, bei dem eine Sättigung eintritt, lässt sich durch eine Funktion der folgenden Form modellieren: f(t) = a(1 e λt )+b (t 0). Hier handelt es sich um eine monoton steigende Funktion, die zum Zeitpunkt t = 0 mit dem Wert b startet und für t gegen den Grenzwert a+b hat. Eine Kombination von Sinus und Eponentialfunktion wird verwendet, um gedämpfte Schwingungen darzustellen: f(t) = Ae λt sin(ωt+ϕ) (t 0). Hier ist λ > 0 eine Dämpfungsrate, und der Faktor e λt sorgt für eine allmähliche Abnahme der Amplitude der Schwingung, während die Frequenz unverändert bleibt. Die Eponentialfunktion ep a :R R >0 für eine Basis a > 1 ist bijektiv und daher umkehrbar. Die Umkehrfunktion nennt man den Logarithmus log a zur Basis a. Die Funktion log a :R >0 R ist nur definiert für positive Zahlen und es gilt: a log a (y) = y und log a (a ) = für alle R, y R >0. Die Logarithmusfunktion ist als Umkehrfunktion einer stetigen Funktion auch wieder stetig. Der Logarithmus zur Basis e ist der sogenannte natürliche Logarithmus, den wir mit log e = ln bezeichnen. Durch Umkehrung der Potenzgesetze ergibt sich für Logarithmen folgendes Gesetz: log a (1) = 0 und log a ( y) = log a ()+log a (y) für alle,y R >0. Ausserdem ist log a (a) = 1 und log a ( y ) = y log a (),y > 0. Die Logarithmusfunktion ist streng monoton wachsend und es gilt: lim log a() = und limlog a () = Bemerkung Der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Eponentialfunktionen ist folgender: Für jede Basis a > 1 gilt: a = e lna für alle R. Beweis. Dies folgt aus den Rechenregeln für Potenzen, denn für R gilt e ln(a) = e ln(a) = (e ln(a) ) = a wie behauptet. q.e.d.