Korrelationen in Finanzmärkten

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1 Ausarbeitung des Hauptseminar-Vortrags Korrelationen in Finanzmärkten von Jennifer Lopez Barrilao

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen des Aktienmarktes Preisentwicklung und Preisunterschiede Aktienmärkte Drift und Volatilität Returns Korrelationen und Portfolio-Optimierung Korrelationen Korrelationskoezient Portfolio-Optimierung Zusammenfassung 14 1

3 In der folgenden Ausarbeitung des Hauptseminar-Vortrags Korrelation in Finanzmärkten werden die Beziehungen der Aktienkurse untereinander betrachtet. Hierzu müssen als Erstes einige Grundlagen des Aktienmarktes eingeführt und erklärt werden. Aus diesem Grund wird in 1.1 die Preisentwicklung bzw. Preisunterschiede und in 1.2 die Denition des Aktienmarktes und des Aktienindexes betrachtet. In 1.3 wird mit Hilfe der Brownschen Bewegung, der Drift und die Volatilität der Aktienverläufe erklärt. Kapitel 1.4 beschäftigt sich mit den Returns und ihrer Verteilung über verschieden lange Zeiträume. Um die Beziehungen der Aktienkurse bestimmen zu können, werden die verschiedenen Arten der Korrelationen (Teil 2.1) erläutert und die relativen Preisändereungen (Returns, dt.: Rendite) berechnet (Teil 2.1.1). Anschlieÿend wird die Auswirkung im Bezug auf die Portfolio-Optimierung und die Senkung des Risikos (Teil 2.2) dargestellt. 1 Grundlagen des Aktienmarktes 1.1 Preisentwicklung und Preisunterschiede Der Preis einer Ware wird bestimmt durch Angebot und Nachfrage. Dies kann man sich anhand eines einfachen Beispieles verdeutlichen: Aufgrund der Fuÿball WM möchte Tanja einen neuen Fernseher kaufen. Damit sie eine Vorstellung von den Preisen bekommt, vergleicht sie die Preise von verschiedenen Anbietern, wie z.b. Saturn, Media Markt und einem kleinen Elektronikfachgeschäft. Um nun die Preisentwicklung für diesen Fernseher zu verstehen, kann man sich folgende Szenarien konstruieren: 1. Saturn und Media Markt haben Konkurs angemeldet: Dies bedeutet, dass bei gleicher Nachfrage das Angebot für diesen Fernseher gesunken ist. Das kleine Elektronikfachgeschäft kann somit den Preis bestimmen, so dass die Preise steigen werden. Allgemeiner formuliert: Bei hoher Nachfrage und/oder niedrigem Angebot steigen die Preise. 2. Sättigung der Nachfrage Nach einer gewissen Zeit haben sich viele Menschen einen Fernseher gekauft, so dass die Nachfrage gesättigt ist, allerdings die Anbieter das Angebot nicht angepasst haben. Aus diesem Grund beginnt ein Preiskampf, in diesem Beispiel, zwischen Saturn, Media Markt und dem kleinen Elektronikfachgeschäft. Die Anbieter müssen den Preis senken, damit die Nachfrage angeregt wird und somit wieder Fernseher verkauft werden. Allgemeiner formuliert: Bei hohem Angebot und/oder niedriger Nachfrage sinken die Preise. Der Preis einer Aktie wird ebenfalls durch das Angebot und die Nachfrage bestimmt. Der Unterschied besteht hier allerdings darin, dass die Verkäufer und Käufer nicht direkt miteinander handeln. Jedes Angebot und jede Nachfrage wird in ein, vom jeweiligen Börsenplatz gepegtes, Orderbuch eingetragen. Jede Aktie bekommt hierbei ihren eigenen Orderbucheintrag, in dem jedes Verkaufsangebot und jede Kaufnachfrage für diese Aktie eingetragen werden. 2

4 (a) Hohe Nachfrage (b) Hohes Angebot Abbildung 1: Orderbucheinträge 3

5 Abbildung 1 zeigt zwei Orderbucheinträge, einmal für eine hohe Nachfrage (1(a)) und einmal für ein hohes Angebot (1(b)). Die verschiedenen Angebote und Nachfragen werden in verschiedenen Farben dargestellt. Das Angebot als rote Balken und die Nachfrage als grüne Balken. Auÿerdem werden in das Orderbuch die angebotene Stückzahl und die gewünschte Kaufanzahl eingetragen, wodurch sich die Länge der jeweiligen Balken deniert. Im Teil 1(a) der Abblidung sieht man, dass eine hohe Kaufnachfrage bei 4,50 Euro herrscht, allerdings das gröÿte Verkaufsangebot erst bei 4,67 Euro vorliegt. Anders liegt der Fall im Teil 1(b) der Abbildung. Hier herrscht eine allgemein geringe Kaufnachfrage, die gröÿte Kaufnachfrage liegt hier bei 47,29 Euro und das gröÿte Verkaufsangebot liegt bei 48,99 Euro. Aufgrund der farbigen Visualisierung kann man direkt auf dem ersten Blick erkennen, dass im linke Orderbucheintage eine hohe Nachfrage herrscht, während im rechten Eintage ein hohes Angebot herrrscht. Des weiteren kann man, aufgrund des zu Beginn des Abschnittes beschriebenen Beispieles, vermuten, dass der Preis der gezeigten Aktie im linken Eintrag steigen wird und der Preis der rechten Aktie sinken wird. Ein Aktienverlauf wie in Abbildung 2 wird dadurch bestimmt, dass sich ein Käufer und Verkäufer auf einen Preis einigen und somit ein Handel stattndet. Jeder Handel entspricht einem Datenpunkt. Abbildung 2: Zeitlicher Verlauf der Daimler-AG-Aktie über einen Zeitraum von einem Jahr. 1 Nachdem das Grundprinzip der Preisentwicklung näher erläutert wurde, soll im Folgendem auf die Preisentwicklung bei Preisunterschieden zwischen verschiedenen Märkten eingegangen werden. Die Ausnutzung eines solchen Presiunterschiedes zwischen verschiedenen Märkten wird Arbitrage genannt und bietet einen schnellen und risikolosen Gewinn. Auch hier ist es wieder sinnvoll ein einfaches Beispiel zu konstruieren: Eine Kiste Bananen kostet in Essen 30 Euro. In Duisburg kostet sie hingegen 40 Euro. Es besteht nun die Möglichkeit Bananen in Essen zu kaufen und in Duisburg zu verkaufen. Für den einfachen Fall, dass Transportkosten oder Ähnliches vernachlässigt werden können, ergibt sich bei einem Kauf von 200 Kisten Bananen folgender Gewinn: 200 (40 30)e = 2000e 1 4

6 Durch den wiederholten Kauf in Essen und den wiederholten Verkauf in Duisburg ändert sich das Verhältnis von Angebot und Nachfrage auf diesen Märkten. Etwas genauer, da die Nachfrage auf dem Markt in Essen steigt, werden die Preise steigen und da das Angebot in Duisburg steigt, werden die Preise sinken. Dies wird solange geschehen, bis sich ein Preisgleichgewicht eingestellt hat und sich der Kauf in Essen bzw. der Verkauf in Duisburg nicht mehr lohnt. Aus diesem Grund zerstört sich Arbitrage nach einer gewissen Zeit selbst. Bei Märkten, welche räumlich getrennt sind, wie in diesem Beispiel Essen und Duisburg, kann der Zeitraum zum Preisgleichgewicht Tage betragen. Anders liegt der Fall auf den Aktienmärkten. Durch moderne Medien, wie z.b. das Internet, sind diese Zeiträume sehr, sehr klein, da man innerhalb einiger Sekunden eine Aktie auf einem Markt kaufen und auf einem anderen Markt verkaufen kann. Infolgedessen kann man von einem arbitragefreien Markt sprechen und somit von einem ezienten Markt. Die Modellvorstellung der Ezienz bedeutet, dass alle Informationen über den Markt bzw. der Firmen frei verfügbar sind und dass alle Parteien rational handeln. 1.2 Aktienmärkte In vorherigen Kapitel 1.1 wurde an vielen Stellen über Märkte gesprochen ohne diese näher erklärt zu haben. Dies soll an dieser Stelle nachgeholt werden. Aktien werden an verschiedenen Aktienmärkten gehandelt. Zur Erläuterung sollen drei Aktienmärkte genannt werden: 1. Frankfurter Wertpapierbörse (FWB) 2. New York Stock Exchange (NYSE) 3. London Stock Exchange (LSE) Diese drei Beispiele sind Beispiele für Märkte, an denen alle an der Börse gehandelten Aktien in einem Land verzeichnet sind. Die FWB in Deutschland, der NYSE in den USA und der LSE in Groÿbritannien. Da es oft schwierig ist, zu einem Zeitpunkt den kompletten Markt zu überblicken, wurden verschiedene Indizes eingeführt. Diese Indizes können, je nach Denition, den gesamten Markt oder einen Industriesektor repräsentieren. Auch hier soll zu den jeweiligen Aktienmärkten jeweils ein Beispiel für einen Aktienindex genannt werden: 1. Deutscher Aktienindex (DAX) 2. Standard & Poor's 500 (S&P500) 3. FTSE 100 Index Der DAX beinhaltet die 30 Firmen mit der gröÿten Marktkapitalisierung Deutschlands, der S&P500 die 500 Firmen mit der gröÿten Marktkapitalisierung der USA und der FTSE 100 Index die 100 Firmen mit der gröÿten Marktkapitalisierung Groÿbritanniens. Die Kursverläufe dieser Indizes werden anhand ihrer Marktkapitalisierung gewichtet, wodurch ein gewisser Trend des kompletten Marktes oder eines Industriesektors erkennbar ist. Die Marktkapitalisierung ist deniert durch die Multiplikation des aktuellen Kurses der Aktie und der Anzahl der ausgegebenen Aktien. 5

7 1.3 Drift und Volatilität Abbildung 3: Zeitlicher Verlauf der Daimler-AG-Aktie über einen Zeitraum von einem Jahr (schwarz) und 18-Tage Durchschnitt (gelb). 2 Betrachtet man einen Kursverlauf wie in Abbildung 3 erkennt man die Ähnlichkeit mit einer geometrischen Brownschen Bewegung mit Drift. Die geometrische Brownsche Bewegung setzt sich aus einem deterministischen und einem stochastischen Anteil zusammen. ds = Sµdt + Sσɛ dt Mit S als Preis, µ als Drift, σ als Volatilität und ɛ als zeitabhängige Zufallsvariable. Die lineare Abhängigkeit des Dierentials des deterministischen Anteils ergibt sich beim Übergang vom diskreten Random Walk zur kontinuierlichen Darstellung aufgrund der linearen Abhängigkeit des 1. Momentes mit der Zeit. Die Wurzel des Dierentials im stochastischen Anteil ergibt sich beim Übergang durch die lineare Abhängigkeit des 2. Momentes mit der Zeit. Die geometrische Brownsche Bewegung ergibt sich ebenfalls bei der Anwendung des Lemmas von Itô auf einem allgemeinen Itô Prozess. Zur Verdeutlichung des Drifts (Trend der Aktie) und der Volatilität (Preisschwankung um den Mittelwert) werden zwei Fälle betrachtet: 1. Betrachtung ohne Volatilität (σ = 0) 2. Betrachtung ohne Drift (µ = 0) 2 6

8 1. Bei der Betrachtung ohne Volatilität (σ = 0) bleibt nur der deterministische Anteil der geometrischen Brownschen Bewegung übrig. Dieser Anteil ist eine analytische Funktion und somit leicht lösbar. ds = Sµdt S(t) exp (µt) Abbildung 4: Logarithmische Auftragung des Dow-Jones ( ) 3 In Abbildung 4 ist der Verlauf des Dow-Jones logarithmisch über einen Zeitraum von 30 Jahren aufgetragen. Es ist erkennbar, dargestellt durch die schwarzen Geraden, dass der Verlauf über längere Zeiträume exponentiell ist. Bei einer Betrachtung mit Volatilität ergibt sich der blaue Verlauf. 3 Econophysics: Brief Introduction, T. Guhr,

9 2. Bei der Betrachtung ohne Drift (µ = 0) bleibt nur der stochastische Anteil übrig. Dieser ist mit Hilfe eines mathematischen Modells, dem Wiener Prozess, simulierbar. ds = σɛ dt Abbildung 5: Simulation des Wiener Prozesses 4 Abbildung 5 zeigt eine Simulation des Wiener Prozesses. S(t 0 ) ist hierbei der Startpreis zur Startzeit t 0. Für jedes dt ändert sich die Variable ɛ und somit der Preisunterschied ds. Es ergibt sich eine Schwankung um dem Mittelwert (Volatilität), welcher hier der Startpreis ist. 1.4 Returns Die Preisänderung eines Aktienverlaufes ergibt sich durch die Dierenz zweier Preise: S k (t) = S k (t + t) S k (t) Wobei S der Preis, k die betrachtete Firma und t das Return-Intervall ist. Die relative Preisänderung wird arithmetischer Return genannt und eignet sich zum Vergleich verschiedener Firmen: r k (t) = S k(t) S k (t) Neben dem arithmetischen Return gibt es noch den logarithmischen Return, welcher sich durch den exponentiellen Verlaufes der Drift, zur driftfreien Betrachtung eignet: G k (t) = ln [S k (t + t)] ln [S k (t)] [ ] Sk (t + t) = ln S k (t) 4 Econophysics: Brief Introduction, T. Guhr,

10 Für kleine t gilt r k (t) = G k (t). Dies erkennt man durch die Entwicklung des logarithmischen Returns: [ ] Sk (t) + S k (t) G k = ln S k (t) [ = ln 1 + S ] k(t) S k (t) S k(t) S k (t) = r k (t) Wie in Kapitel 1.3 erläutert, ähnelt ein Aktienverlauf an eine geometrische Brownsche Bewegung. Eine interessante Frage ist dann, ob empirische Daten wirklich mit einer geometrischen Brownschen Bewegung, welche von logarithmisch-normalverteilten Preisen ausgeht, beschrieben werden können. (a) mit groÿen Return-Inervallen (b) mit kurzen Return-Inervallen Abbildung 6: Verteilung der logarithmischen Preisdierenzen 5 Abbildung 6 zeigt die Verteilung der logarithmischen Preisdierenzen im Vergleich zu einer Gauÿverteilung. Im Teil 6(a) der Abbildung wurden groÿe Return-Intervalle zur Berechnung der Differenzen verwendet und im Teil 6(b) kurze Return-Intervalle. Auÿerdem wurden im Teil 6(b) der Abbildung die Dierenzen logarithmisch aufgetragen, damit das Verhalten der Flanken besser sichtbar ist. Man erkennt, dass die Gauÿverteilung die Verteilung für groÿe Return-Intervalle gut beschreibt, während die Flanken bei der Verteilung mit kurzen Return-Intervallen durch die Gauÿverteilung stark abweichen. 5 R.N. Mantegna, H.E. Stanley, An Introduction to Econophysics, Cambridge University Press, Cambridge,

11 Durch Verdeutlichung dieser Tatsache kann man die Returns in einer anderen Darstellung betrachten: Abbildung 7: S&P500, , jeweils 850 Datenpunkte 6 Abbildung 7 zeigt die Returnverteilung für 10-minütige und monatliche Return-Intervalle im Vergleich zu einem Gauÿrauschen. Es wird deutlich, dass sich das Rauschen der Returnintervalle durch die Länge des Intervalls glätten lässt, allerdings nicht komplett verschwindet. Somit lässt sich sagen, dass die Returns nicht gauÿverteilt sind und die geometrische Brownsche Bewegung nur zur Näherung dient. 2 Korrelationen und Portfolio-Optimierung Die in Kapitel 1 behandelten Grundlagen sind wichtige Einzelheiten in Bezug auf Investitionen. Um die Attraktivität einer Aktie beurteilen zu können, werden die relativen Preisänderungen (Returns) verwendet. Da man in den meisten Fällen nicht nur in eine Aktie investieren möchte, sondern in eine Vielzahl von Aktien (Portfolio), werden die Korrelationen zwischen den Returns berechnet, um die Aktienverläufe miteinander vergleichen zu können. 2.1 Korrelationen Die unterschiedlichen Arten der Korrelationen lassen sich durch drei Grenzfälle veranschaulichen: 1. unkorreliert Man spricht von unkorreliert, wenn die Firmen aus zwei unterschiedlichen Bereichen kommen und es aufgrunddessen keine Überschneidungen bei Kunden, Zulieferern oder Ähnlichen gibt. Als Beispiel dienen hier die Lebensmittelindustrie und die Automobilindustrie. 2. antikorreliert In diesem Fall können die Firmen aus unterschiedlichen oder gleichen Bereichen kommen und unterliegen z.b. saisonalen Aufwärtstrends oder konkurrieren aufgrund eines Produktes oder einer Dienstleistung. Ein Beispiel für Firmen aus unterschiedlichen Bereichen sind Hersteller für Bademode und Regenschirmhersteller und ein Beispiel für Firmen aus dem gleichen Bereich sind McDonalds und Burger King 3. korreliert Firmen korrelieren stark, wenn sie in irgendeiner Form voneinander abhängig sind, z.b. Ölindustrie und Automobilindustrie. 6 P. Gopikrishnan, V. Plerou, L.A.N. Amaral, M. Meyer, H.E. Stanley, Physical Review E60 (1999)

12 2.1.1 Korrelationskoezient Die Korrelation zwischen verschiedenen Firmen spielt eine wichtige Rolle bei der Portfolio-Optimierung. Aufgrund dessen ist es sinnvoll einen Korrelationskoezienten herzuleiten. Hierzu werden zuerst die Mittelwerte für eine Firma und für zwei Firmen betrachtet: r k = 1 T r k (t)r l (t) = 1 T T r k (t) t=1 T r k (t)r l (t) k und l geben die betrachteten Firmen an, k, l = 1,..., K und T gibt die Länge des betrachteten Zeitintervalls an. Auch hier lässt sich schon eine Art Korrelation festellen: 1. vollständig korreliert k = l r 2 k (t) 2. unkorreliert r k (t)r l (t) = r k (t) r l (t) 3. vollständig antikorreliert r l (t) = r k (t) Hierbei ist zu sagen, dass der vollständig unkorrelierte Fall nur ein Beispiel ist und hier den stärksten Fall beschreibt, da im gezeigten Beispiel die Returns genau aufeinander liegen mit der selben Varianz. Aufgrund der unterschiedlichen Basis bei der Betrachtung der Korrelation durch die Mittelwerte, wird der Pearson-Korrelationskoezient verwendet, da hiermit der Vergleich erleichtert wird. Der Pearson-Korrelationskoezient beinhaltet eine Korrektur um die Mittelwerte beider Firmen und eine Normierung auf die Standardabweichung σ bzw. die Wurzel der Varianz bzw. die Wurzel der Volatilität. Der Pearson-Korrelationskoezient ist wie folgt deniert: t=1 C kl = r k (t)r l (t) r k (t) r l (t) r 2 k (t) r k (t) 2 r 2 l (t) r l(t) 2 Durch die normierten Returns M k lässt sich der Pearson-Korrelationskoezient vereinfacht ausdrücken: M k (t) = r k(t) r k (t) r 2 k (t) r k (t) 2 C kl = M k (t)m l (t) = 1 T T M k (t)m l (t) t=1 11

13 In dieser Notation gibt der Pearson-Korrelationskoezient die Einträge einer K K-Matrix wieder und liegt zwischen 1 und vollständig korreliert C kl = unkorreliert C kl = 0 3. vollständig antikorreliert C kl = 1 Den unkorrelierten Fall gibt es nur sehr selten, da in der Regel der Korrelationskoezient positiv ist und stark variiert mit der Zeit. Abbildung 8: Auftagung der logarithmischen Preise gegen die Zeit mit der Berechnung des Korrelationskoezient eines Jahres zwischen Coca Cola und Procter & Gamble zwischen 1990 und Abbildung 8 zeigt die Verläufe der logarithmischen Preise zwischen 1990 und Der Korrelationskoezient wurde für diesen Zeitraum für jedes Jahr berechnet. Man erkennt, dass sich der Koezient ändert und er somit eine Aussage über die Stärke der Korrelation zwischen diesen Firmen zulässt. 2.2 Portfolio-Optimierung Portfolio 1 Portfolio 2 ExxonMobil British Petrol Daimler AG BMW Thyssen Krupp Voest-Alpine Sony British Petrol Daimler AG Coca Cola Bayer N Voest-Alpine Die zwei gezeigten Portfolio spiegeln zwei verschiedene Strategien wieder. In Portfolio 1 korrelieren die Firmen sehr stark, da hier nur Firmen aus der Stahl-, Automobilund Ölindustrie verwendet werden. Dies bedeutet gleichzeitig ein höheres Risiko, da hier hohe Gewinne und hohe Verluste erzielt werden können. Diese Strategie wird Spekulation genannt. In Portfolio 2 wurde das Sortiment ausgeweitet. Dies wird Diversikation genannt. Das Risiko wird gesenkt, da hier die Firmen aus der Stahl-, Automobil-, Öl-, Lebensmittel-, Elektronik- und Pharmaindustrie kommen und eine nicht so starke Korrelation zwischen allen Firmen herrscht. 7 R.N. Mantegna, H.E. Stanley, An Introduction to Econophysics, Cambridge University Press, Cambridge

14 Um die Risikosenkung durch Diversikation zu veranschaulichen, kann folgende Grak betrachtet werden: Abbildung 9: Risiko in Abhängigkeit von der Firmenanzahl 8 Man erkennt in Abbildung 9, dass das Risiko in ein systematisches und ein unsystematisches Risiko eingeteilt werden kann. Das systematische Risiko kann nicht eliminiert werden, das dies das Risiko des Markttrendes (Aufschwünge und Abschwünge) ist. Dieses Risiko muss von jedem Investor in Kauf genommen werden. Anders ist dies beim unsystematischen Risiko. Diese Risiko kann durch Diversikation minimiert werden. Man erkennt, dass das Risiko am gröÿten bei der Investition in eine Firma ist und dass das Risiko auf das systematische Risiko minimiert werden kann bei einer Anzahl von 20 verschiedenen Firmen in einem Portfolio. Das Risiko eines Portfolios ist folgendermaÿen deniert: Ω 2 = (Y (t) Y (t) ) 2 Hierbei ist Y (t) der Return des Portfolios und wird beschrieben als die relative Wertänderung bei gegebenen Wert V (t): V (t) = Y (t) = K w k (t)s k (t) k=1 dv (t) V (t) w k ist das Gewicht, d.h. die Anzahl der erworbenen Aktien. Das Risiko (Portfolio-Varianz) lässt sich ebenfalls durch den in Kapitel hergeleiteten Korrelationskoezienten beschreiben: Ω 2 = K k=1 l=1 K C kl σ k σ l w k w l Das Problem bei der Berechnung des Risikos ist allerdings, dass man zur Berechnung des Korrelationskoezienten C kl nur historische Daten verwenden kann und diese nicht die aktuelle Korrelation 8 Econophysics: Measuring and Removing Noise in Financial Correlations, P.J. Andersson, A. Öberg, B. Kälber, T. Guhr,

15 wiedergeben. Ziel der Portfolio-Optimierung ist die Zusammenstellung eines Portfolios (Bestimmung der Gewichte), welches bei vorgegebenem Return ein möglichst geringes Risiko aufweist. 3 Zusammenfassung Die Kenntnis der Korrelation zwischen verschiedenen Aktienverläufen, erleichtert die Optimierung eines Portfolios bzw. des Portfolio-Risikos, da es in arbitrage-freien Märkten keine risikofreien Investitionen gibt. Das Risiko beschreibt die Portfolio-Varianz und kann durch Diversikation auf das Marktrisiko minimiert werden. Hierbei ist zu beachten, dass die Berechnung des Risikos von der Qualität des Korrelationskoezienten beeinusst wird. Die Aussagekraft des Koezienten hängt von Aktualität der verwendeten Daten ab und kann durch die Länge der Return-Intervalle gesteuert werden. Je nachdem, welche Einzelheiten betrachtet werden sollen, kann der arithmetische oder logarithmische Return verwendet werden, wobei von einer gauÿverteilten Returnverteilung abgesehen werden sollte. 14